閉モノイドカテゴリ

Type of category in mathematics

数学、特に圏論において、閉モノイド圏（またはモノイド閉圏）は、構造が両立するような形でモノイド圏と閉圏の両方である圏である。

典型的な例としては、集合 の圏Setが挙げられる。ここで、集合とのモノイド積は通常の直積であり、内部 Homはからへの関数の集合である。直積以外の例としては、体 上のベクトル空間 K -Vect の圏が挙げられる。ここで、モノイド積は通常のベクトル空間のテンソル積であり、内部 Hom はあるベクトル空間から別のベクトル空間への線型写像のベクトル空間である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle B^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle K}$

閉じた対称モノイド圏の内部言語は線型論理であり、型システムは線型型システムである。閉じたモノイド圏の多くの例は対称的である。しかし、これは必ずしも当てはまらない。言語学の圏論的定式化においては、非対称なモノイド圏が見られることがあるためである。大まかに言えば、これは自然言語における語順が重要であるためである。

意味

閉モノイド圏とは、任意のオブジェクト に対して、右 テンソル化によって与えられる関数が ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\mapsto A\otimes B}$

右随伴関数は、

${\displaystyle A\mapsto (B\Rightarrow A).}$

これは、ホム集合の間に「カリー化」と呼ばれる一対一関係が存在することを意味する。

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C)}$

これはAとC の両方において自然である。異なるが一般的な表記法では、関数

${\displaystyle -\otimes B:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

右随伴関数を持つ

${\displaystyle [B,-]:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

同様に、閉モノイドカテゴリとは、任意の2つのオブジェクトAとBに対して、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• オブジェクト、 ${\displaystyle A\Rightarrow B}$
• 射影、 ${\displaystyle \mathrm {eval} _{A,B}:(A\Rightarrow B)\otimes A\to B}$

次の普遍性を満たす：すべての射に対して

${\displaystyle f:X\otimes A\to B}$

唯一の射影が存在する

${\displaystyle h:X\to A\Rightarrow B}$

そういう

${\displaystyle f=\mathrm {eval} _{A,B}\circ (h\otimes \mathrm {id} _{A}).}$

この構成は関数 を定義することが示せます^{[要出典] 。この関数は}内部 Hom 関数と呼ばれ、その対象はおよびの内部 Homと呼ばれます。内部 Hom には、他にも多くの表記法が一般的に用いられます。 のテンソル積が直積である場合、通常の表記法は となり、その対象は指数関数的対象と呼ばれます。 ${\displaystyle \Rightarrow :{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B^{A}}$

双閉カテゴリと対称カテゴリ

厳密に言えば、任意のオブジェクトとの右テンソル化は右随伴を持つという条件を課したため、右閉モノイド圏を定義した。左閉モノイド圏では、任意のオブジェクトとの左テンソル化の関手が ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle B\mapsto A\otimes B}$

右副次変数を持つ

${\displaystyle B\mapsto (B\Leftarrow A)}$

双閉モノイドカテゴリは、左と右の両方が閉じているモノイドカテゴリです。

対称モノイド圏 が左閉である必要十分条件は、右閉であるときである。したがって、左閉か右閉かを指定せずに「対称モノイド閉圏」について安全に話すことができる。実際、より一般的には、編み込みモノイド圏についても同じことが言える。編み込みによって は自然に と同型となるため、左閉と右閉の区別は重要ではなくなり、したがって、すべての右閉編み込みモノイド圏は標準的な方法で左閉になり、その逆もまた同様である。 ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle B\otimes A}$

我々は、閉モノイド圏を、追加の性質を持つモノイド圏として記述した。これと同値に、閉モノイド圏を追加の性質を持つ閉圏として定義することもできる。すなわち、内部Hom関手に左随伴するテンソル積の存在を要求することができる。このアプローチでは、閉モノイド圏はモノイド閉圏とも呼ばれる。^[要出典]

例

• モノイド構造が直積構造である場合、すべての直積閉圏は対称モノイド閉圏となる。内部Hom関手は指数対象 によって与えられる。 ${\displaystyle B^{A}}$
  • 特に、集合の圏Setは対称閉モノイド圏である。ここで、内部 Hom はから への写像全体の集合である。 ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• 可換環R上のR -Mod 加群の圏は、非直角対称モノイド閉圏である。モノイド積は加群のテンソル積で与えられ、内部 HomはR -線型写像の空間とその自然なR -加群構造で与えられる。 ${\displaystyle M\Rightarrow N}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$
  • 特に、体上のベクトル空間のカテゴリは対称的な閉じたモノイドカテゴリです。 ${\displaystyle K}$
  • アーベル群はZ加群とみなすことができるため、アーベル群のカテゴリも対称的な閉じたモノイド カテゴリになります。
• 対称コンパクト閉圏は、内部Hom関手が で与えられる対称モノイド閉圏である。標準的な例は有限次元ベクトル空間の圏FdVect である。 ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ ${\displaystyle A^{*}\otimes B}$

反例

• 環の圏は、環 のテンソル積の下で対称なモノイド圏であり、 は単位対象として働く。この圏は閉じていない。もし閉じているならば、任意の環のペアの間にはちょうど1つの準同型が存在することになる： 。可換環R上のR-環の圏についても同様である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} \otimes R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ,R\Rightarrow S)\cong \{\bullet \}}$

参照

• イスベル共役

参考文献

• ケリー, GM (1982). 強化されたカテゴリー理論の基本概念(PDF) . ロンドン数学会講義録シリーズ. 第64巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-28702-9. OCLC  1015056596.
• メリエス、ポールアンドレ (2009)。 「線形論理のカテゴリー意味論」(PDF)。パノラマと合成。27 : 1– 197。CiteSeerX  10.1.1.62.5117。
• nラボにおける閉モノイドカテゴリ

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