補集合論

Set of the elements not in a given subset

集合論において、集合Aの補集合は、しばしば(またはA ′ ) と表記され、^[1] Aに含まれない要素の集合である。^[2] ${\displaystyle A^{c}}$

宇宙のすべての要素、つまり検討中のすべての要素が、与えられた集合Uのメンバーであると考えられる場合、Aの絶対補集合は、 Aに含まれないUの要素の集合です。

集合Bに関するAの相対的補集合は、BとAの差集合とも呼ばれ、AにないBの要素の集合と書きます。 ${\displaystyle B\setminus A,}$

絶対補完

白い円の絶対補色は赤い領域である

意味

Aが集合である場合、 Aの絶対補集合（あるいは単にAの補集合）は、 Aに含まれない要素の集合（暗黙的に定義されたより大きな集合内）である。言い換えれば、U を研究対象のすべての要素を含む集合とする。U が既に指定されているか、自明かつ一意であるため、特に言及する必要がない場合、 Aの絶対補集合は、 UにおけるAの相対補集合である。^[3] $${\displaystyle A^{c}=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.}$$

Aの絶対補集合は通常 と表記される。他の表記法としては^{[2] [4]などがある。} ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle {\overline {A}},A',}$ ${\displaystyle \complement _{U}A,{\text{ and }}\complement A.}$

例

• 宇宙が整数の集合であると仮定する。Aが奇数の集合ならば、Aの補集合は偶数の集合である。Bが3の倍数の集合ならば、 Bの補集合は3を法として1または2と合同となる数の集合（より簡単に言えば、3の倍数ではない整数の集合）である。
• 宇宙が標準的な52枚のカードデッキであると仮定します。セットAがスペードのスートである場合、Aの補集合はクラブ、ダイヤ、ハートのスートを合わせたものです。セットBがクラブとダイヤのスートを合わせたものである場合、Bの補集合はハートとスペードのスートを合わせたものです。
• 宇宙が形式化された集合論で記述される集合の宇宙である場合、集合の絶対補集合は一般にそれ自体が集合ではなく、むしろ真集合である。詳しくは、普遍集合を参照のこと。

プロパティ

AとB を宇宙U内の2つの集合とします。以下の恒等式は絶対補集合の重要な性質を捉えています。

ド・モルガンの法則：^[5]

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.}$

補法則：^[5]

• ${\displaystyle A\cup A^{c}=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{c}=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset ^{c}=U.}$
• ${\displaystyle U^{c}=\emptyset .}$
• ${\displaystyle {\text{If }}A\subseteq B{\text{, then }}B^{c}\subseteq A^{c}.}$

  (これは条件文とその対偶が同値であることから分かります)。

反転法則または二重補数法則:

• ${\displaystyle \left(A^{c}\right)^{c}=A.}$

相対的補語と絶対的補語の関係:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c}.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B=A^{c}\cup (B\cap A).}$

差集合の関係:

• ${\displaystyle A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A.}$

上記の最初の 2 つの補法則は、A が空でないUの適切な部分集合である場合、{ A , A ^∁ }はUの分割であることを示しています。

相対的補数

意味

AとBが集合である場合、 BにおけるAの相対補集合^[5]、つまりBとAの差集合^[6]は、BにはあるがAにはない要素の集合である。

BにおけるAの相対補集合： ${\displaystyle B\cap A^{c}=B\setminus A}$

BにおけるAの相対補集合は、 ISO 31-11 規格に従って表記されます。この表記法は、文脈によっては（例えば関数解析におけるミンコフスキー集合演算など）、 Bからbを取り、Aからa を取るすべての要素の集合と解釈される可能性があるため、曖昧です。 ${\displaystyle B\setminus A}$ ${\displaystyle B-A,}$ ${\displaystyle b-a,}$

正式には： $${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.}$$

例

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}$
• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}$
• が実数の集合であり、が有理数の集合である場合、は無理数の集合です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$

プロパティ

A、B、Cを宇宙U内の3つの集合とします。以下の恒等式は、相対補集合の注目すべき性質を捉えています。

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}$

  重要な特殊なケースでは、交差は相対補数演算のみを使用して表現できることを示しています。 ${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$

• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}$
• ${\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}$
• もし なら、。 ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}$
• ${\displaystyle A\supseteq B\setminus C}$は と同等です。 ${\displaystyle C\supseteq B\setminus A}$

補完関係

2項関係は、 集合の積のサブセットとして定義されます。相補関係は、におけるの補集合です。の補関係は次のように書くことができます。ここで、 は、の行が の要素、 の列が の要素を表す論理行列としてよく見られます。の真偽は、行列の 1 に対応します。 に対する相補関係を生成することは、補集合の論理行列で、すべての 1 を 0 に、0 を 1 に切り替えることに相当します。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle R}$

関係の合成と逆関係とともに、相補関係と集合の代数は関係の計算の基本的な演算です。

LaTeX表記

LaTeX組版言語では、コマンド\setminus^{[7]は通常、}バックスラッシュ記号に似た集合差記号をレンダリングするために使用されます。レンダリングされたコマンドは、スラッシュの前後に少しスペースがあることを除けば、\setminusと同一に見えます。これはLaTeXシーケンス に似ています。バリアントはamssymbパッケージで利用可能ですが、この記号はUnicodeに個別に含まれていません。記号（ とは対照的に）は によって生成されます。（これはUnicode記号U+2201 ∁ COMPLEMENTに対応します。）\backslash\mathbin{\backslash}\smallsetminus ${\displaystyle \complement }$ ${\displaystyle C}$\complement

参照

• 集合の代数 – 集合に関する恒等式と関係
• 交差（集合論）  – いくつかの集合のすべてに共通する要素の集合
• 集合の恒等式と関係の一覧 – 集合の組み合わせの等式
• 素朴集合論 – 非公式集合論
• 対称差 – 2つの集合のうちの1つに含まれる要素
• 和集合論 – いずれかの集合の要素の集合

注記

1. 「補集合と差集合」. web.mnstate.edu . 2020年9月4日閲覧。
2. 「補集合の定義（図解数学辞典）」www.mathsisfun.com . 2020年9月4日閲覧。
3. したがって、補集合が考慮される集合は、絶対補集合では暗黙的に言及され、相対補集合では明示的に言及されます。
4. ブルバキ 1970, p. E II.6.
5. Halmos 1960、17ページ。
6. デブリン 1979、6ページ。
7. [1] 2022年3月5日アーカイブ、Wayback Machineより包括的なLaTeXシンボルリスト

参考文献

• ブルバキ、N. (1970)。テオリ・デ・アンサンブル（フランス語）。パリ: ヘルマン。ISBN 978-3-540-34034-8。
• デブリン、キース・J. (1979). 『現代集合論の基礎』 . Universitext. Springer . ISBN 0-387-90441-7. Zbl  0407.04003。
• ハルモス、ポール・R. (1960).素朴集合論. 大学数学シリーズ. ヴァン・ノストランド社. ISBN 9780442030643. Zbl  0087.04403。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「補数」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「補集合」。MathWorld。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Complement_(set_theory)&oldid=1320867965"