F空間

完全な並進不変計量を持つ位相ベクトル空間

関数解析学において、F空間は、実数または複素数上のベクトル空間 と、次のような計量を組み合わせたものである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$

1. におけるスカラー乗法はに関して連続であり、 の標準計量はまたは ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
2. の加算は連続である ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$
3. 計量は並進不変である。つまり、すべての ${\displaystyle d(x+a,y+a)=d(x,y)}$ ${\displaystyle x,y,a\in X.}$
4. 距離空間は完全です。 ${\displaystyle (X,d)}$

この演算はFノルムと呼ばれますが、一般にFノルムは同次である必要はありません。並進不変性により、計量はFノルムから復元可能です。したがって、実数または複素数のF空間は、完備Fノルムを備えた実数または複素数ベクトル空間と同値です。 ${\displaystyle x\mapsto \|x\|:=d(0,x)}$

一部の著者はF空間ではなくフレシェ空間という用語を使用するが、通常「フレシェ空間」という用語は局所凸F空間を指す。また、「F空間」という用語を「フレシェ空間」の同義語として使用する著者もおり、これは局所凸完備計量化可能な位相ベクトル空間を意味する。計量はF空間上の構造の一部となる場合もあれば、そうでない場合もある。多くの著者は、そのような空間が上記の性質を満たす方法で計量化可能であることのみを要求している。

例

すべてのバナッハ空間とフレシェ空間はF空間である。特に、バナッハ空間は^[1]という追加条件を備えたF空間である。 ${\displaystyle d(ax,0)=|a|d(x,0).}$

L ^p空間は、すべておよびについて F 空間にすることができ、局所的に凸にすることができるため、フレシェ空間やバナッハ空間にさえすることができます。 ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

例1

${\displaystyle L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]}$はF空間である。連続半ノルムや連続線型汎関数は存在せず、自明な双対空間を持つ。

例2

を単位円上の複素数値テイラー級数全体の空間とし、この場合、 はpノルムの下でF空間となる。 ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ $${\displaystyle \sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}<\infty }$$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}\qquad (0<p<1).}$$

実際、は準バナッハ代数である。さらに、の写像を持つ任意の に対して、 は 上の有界線型（乗法関数）である。 ${\displaystyle W_{p}}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle |\zeta |\leq 1}$ ${\displaystyle f\mapsto f(\zeta )}$ ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} ).}$

十分な条件

定理^{[2] [3]} （Klee（1952））—任意の^[注1]計量空間をベクトル空間とし、その計量空間が位相ベクトル空間によって誘導される位相によって位相ベクトル空間 が形成されるとする。 が完備計量空間であるならば、 は完備位相ベクトル空間である。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

関連プロパティ

開写像定理は、と を両方とも完全計量化可能な位相ベクトル空間（例えば、バナッハ空間 やフレシェ空間）にする上の位相がある場合、そして一方の位相が他方の位相よりも細かいか粗い場合、それらは必ず等しくなければならない（つまり、 の場合）ということを意味している。^[4] ${\displaystyle \tau {\text{ and }}\tau _{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}}$

• グラフが閉じているF空間への線型ほぼ連続写像は連続である。^[5]
• グラフが閉じているF空間への線型ほぼ開写像は必然的に開写像となる。^[5]
• F空間からの線型連続なほぼ開写像は必然的に開写像となる。^[6]
• F空間からの線型連続ほぼ開写像であって、その像が余域の第2カテゴリに属する​​ものは、必然的に射影 開写像となる。^[5]

参照

• バナッハ空間 – 完備なノルムベクトル空間
• バレル空間 – 位相ベクトル空間の種類リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 可算準バレル空間
• 完全計量空間 – 計量幾何学
• 完全位相ベクトル空間 – 関数解析における構造
• DFスペース
• フレシェ空間 – 局所凸位相ベクトル空間であり、完備計量空間でもある
• ヒルベルト空間 – 数学におけるベクトル空間の種類
• K空間（機能解析）
• LBスペース
• LF空間 – 位相ベクトル空間
• 計量化可能な位相ベクトル空間 – 計量によって位相を定義できる位相ベクトル空間
• 核空間 – ヒルベルト空間とは異なる有限次元ユークリッド空間の一般化
• 射影テンソル積

参考文献

1. Dunford N., Schwartz JT (1958). 線型作用素 第1部 一般理論. Interscience Publishers, Inc., New York. p. 59
2. シェーファー＆ウォルフ 1999、35ページ。
3. Klee, VL (1952). 「群における不変計量（バナッハの問題の解）」(PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 3 (3): 484– 487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .
4. Treves 2006、166–173 ページ。
5. フサインとカリールラ 1978、p. 14.
6. フセインとカリールーラ、1978年、p. 15.

注記

1. 翻訳不変であるとは想定されません。

出典

• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978).位相的ベクトル空間と順序付きベクトル空間におけるバレル性. Lecture Notes in Mathematics . Vol. 692. ベルリン、ニューヨーク、ハイデルベルク: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665。
• カレルラ, SM (1982).位相ベクトル空間における反例.数学講義ノート. 第936巻. ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370。
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ルーディン、ウォルター(1966).実解析と複素解析. マグロウヒル. ISBN 0-07-054234-1。
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• シェクター、エリック（1996年）『分析とその基礎ハンドブック』サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。

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