バナッハ空間

Normed vector space that is complete

数学、より具体的には関数解析において、バナッハ空間（バナッハかん、 / ˈ b ɑː . n ʌ x /、ポーランド語発音：[ˈba.nax]）は、完備なノルムベクトル空間である。したがって、バナッハ空間とは、ベクトルの長さとベクトル間の距離を計算できる計量を持つベクトル空間であり、ベクトルのコーシー列が常にその空間内の明確に定義された極限に収束するという意味で完備である。

バナッハ空間は、ポーランドの数学者シュテファン・バナッハにちなんで名付けられました。バナッハは、この概念を提唱し、1920年から1922年にかけてハンス・ハーン、エドゥアルト・ヘリーと共に体系的に研究しました。^[1] モーリス・ルネ・フレシェが初めて「バナッハ空間」という用語を使用し、その後バナッハが「フレシェ空間」という用語を新たに作りました。^{[2]バナッハ空間は、もともと20世紀初頭に}ヒルベルト、フレシェ、リースが行った関数空間の研究から発展しました。バナッハ空間は関数解析において中心的な役割を果たしています。解析の他の分野では、研究対象となる空間はしばしばバナッハ空間です。

意味

バナッハ空間は完全な ノルム空間 である。 ノルム空間は、スカラー体上のベクトル空間（ここではまたはが一般的に）と特別な^{[注 2]}ノルムのペア^{[注 1]}である。すべてのノルムと同様に、このノルムは並進不変^{[注 3]}距離関数を誘導し、これはすべてのベクトルに対して^{[注 4]}によって定義される標準計量または（ノルム）誘導計量と呼ばれる。 これにより、は計量空間になる。すべての実数に対して、と がより大きいときはいつでも となるような添え字が存在するとき、 シーケンスはまたは-コーシーまたは-コーシーと呼ばれる。 が完全な計量空間である場合、 ノルム空間はバナッハ空間と呼ばれ、標準計量は完全な計量と呼ばれる。これは定義により のすべてのコーシーシーケンスに対して となるような シーケンスが存在することを意味する。ここで、このシーケンスの への収束は ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|).}$ ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \|{\cdot }\|:X\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ $${\displaystyle d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d).}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \|{\cdot }\|}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle d(x_{n},x_{m})=\|x_{n}-x_{m}\|<r}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\;{\text{ in }}(X,d),}$$ ${\displaystyle \|x_{n}-x\|=d(x_{n},x),}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|=0\;{\text{ in }}\mathbb {R} .}$$

ノルム空間のノルムは ${\displaystyle \|{\cdot }\|}$ ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$がバナッハ空間である場合は完全ノルムです。 ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$

L-半内積

任意のノルム空間に対して、すべてのに対してとなるL-半内積が存在する^[3]一般に、この条件を満たす L-半内積は無限に存在する可能性があり、L-半内積の存在証明は非構成的ハーン・バナッハの定理に依存する。^{[3] L-半内積は}内積の一般化であり、これがヒルベルト空間を他のすべてのバナッハ空間と根本的に区別するものである。これは、すべてのノルム空間（したがってすべてのバナッハ空間）が（プレ）ヒルベルト空間の一般化と見なせることを示している。 ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|),}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

シリーズによる特徴づけ

ベクトル空間構造は、コーシー列の振る舞いをベクトルの収束級数の振る舞いと関連付けることを可能にする。ノルム空間がバナッハ空間となるための必要十分条件は、各絶対収束級数が^[4]の範囲内の値に収束することである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|v_{n}\|<\infty \implies \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}{\text{ converges in }}X.}$$

トポロジー

ノルム空間の正準計量は、通常の計量位相を誘導し、この位相は正準位相またはノルム誘導位相と呼ばれる。特に断りのない限り、すべてのノルム空間はこのハウスドルフ位相を持つと自動的に仮定される。この位相において、すべてのバナッハ空間はベール空間となるが、ベール空間であってバナッハ空間ではないノルム空間も存在する。^[5]ノルムは、それが誘導する位相に関して常に連続関数である。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$ ${\displaystyle \tau _{d}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \|{\cdot }\|:X\to \mathbb {R} }$

点を中心とする半径 の開球と閉球は、それぞれ の集合です。 このような球はいずれもの凸かつ有界部分集合ですが、コンパクト球/近傍が存在するのは、 が有限次元の場合のみです。特に、無限次元ノルム空間は局所コンパクトになることも、ハイネ・ボレル特性を持つこともできません。がベクトルで がスカラーの場合、 を 使用すると、ノルム誘導位相が並進不変 であることが示されます。つまり、任意の と に対して、部分集合が で開(それぞれ閉じ) であるためには、その並進が開 (それぞれ 閉じ) である場合のみです。したがって、ノルム誘導位相は、原点における任意の近傍基数によって完全に決定されます。原点における一般的な近傍基数には などがあります。ここで、 はでに収束する任意の正の実数列です(一般的な選択肢はまたは です)。例えば、の任意の開部分集合は、何らかの部分集合でインデックス付けされた和集合として表すことができます 。ここで、各部分集合は前述のシーケンスから選択できます（開球は閉球に置き換えることもできますが、その場合、インデックス集合と半径も置き換える必要がある場合があります）。さらに、が可算空間である場合、 は常に可算として選択できます。これは、定義により、 が何らかの可算な稠密部分集合を含むことを意味します。 ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle B_{r}(x):=\{z\in X\mid \|z-x\|<r\}\qquad {\text{ and }}\qquad C_{r}(x):=\{z\in X\mid \|z-x\|\leq r\}.}$$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ $${\displaystyle x_{0}+s\,B_{r}(x)=B_{|s|r}(x_{0}+sx)\qquad {\text{ and }}\qquad x_{0}+s\,C_{r}(x)=C_{|s|r}(x_{0}+sx).}$$ ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x+S:=\{x+s\mid s\in S\}}$ $${\displaystyle \{B_{r}(0)\mid r>0\},\qquad \{C_{r}(0)\mid r>0\},\qquad \{B_{r_{n}}(0)\mid n\in \mathbb {N} \},\qquad {\text{ and }}\qquad \{C_{r_{n}}(0)\mid n\in \mathbb {N} \},}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r_{n}:={\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle r_{n}:=1/2^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle U=\bigcup _{x\in I}B_{r_{x}}(x)=\bigcup _{x\in I}x+B_{r_{x}}(0)=\bigcup _{x\in I}x+r_{x}\,B_{1}(0)}$$ ${\displaystyle I\subseteq U,}$ ${\displaystyle r_{x}}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots .}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r_{x}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

可分バナッハ空間の同相類

すべての有限次元ノルム空間は可分バナッハ空間であり、同じ有限次元の任意の2つのバナッハ空間は線型同相である。すべての可分無限次元ヒルベルト空間は、その通常のノルムを持つ可分ヒルベルト列空間に線型等長同型である。 ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|{\cdot }\|_{2}.}$

アンダーソン・ケーデックの定理は、すべての無限次元可分フレシェ空間は の可算個コピーの積空間に同相である（この同相は線型写像 である必要はない）ことを述べている。^{[6] [7]} したがって、すべての無限次元可分フレシェ空間は互いに同相である（言い換えると、それらの位相は同相を除いて一意である）。すべてのバナッハ空間はフレシェ空間であるため、このことは を含むすべての無限次元可分バナッハ空間にも当てはまる。 実際、はそれ自身の単位球面にも同相であり、これは有限次元空間（例えば ユークリッド平面は単位円と同相ではない）とは著しい対照をなしている。 ${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \{x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} )\mid \|x\|_{2}=1\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

同相類におけるこのパターンは、計量バナッハ多様体として知られる計量化可能（局所ユークリッド）位相多様体の一般化にまで拡張される。計量バナッハ多様体は、あらゆる点の周囲にある計量空間であり、与えられたバナッハ空間のある開部分集合に局所的に同相である（計量ヒルベルト多様体と計量フレシェ多様体も同様に定義される）。^[7] 例えば、バナッハ空間のすべての開部分集合は、包含写像が開局所同相であるため、標準的には をモデル化した計量バナッハ多様体である。ヒルベルト空間マイクロバンドルを用いて、デイヴィッド・ヘンダーソンは1969 年に^{[8] 、可分な無限次元バナッハ（または}フレシェ）空間上にモデル化されたすべての計量多様体はの開部分集合として位相的に埋め込むことができ、その結果、一意の滑らかな構造を許容してヒルベルト多様体になることを示した。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\to X}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

コンパクト部分集合と凸部分集合

のコンパクト部分集合が存在し、その凸包は閉じておらず、したがってコンパクトでもない。^{[注 5] [9]} しかし、すべてのバナッハ空間と同様に、この（および他のすべての）コンパクト部分集合の閉じた凸包はコンパクトになる。^[10]完備でないノルム空間では、一般に がコンパクトになることは保証されない。例えば、^{[注 5] の（非完備な）}プレヒルベルトベクトル部分空間にさえも例が見られる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$

位相ベクトル空間として

このノルム誘導位相は、位相ベクトル空間(TVS)と呼ばれるものにもなります。これは、定義により、加算とスカラー乗算の演算が連続になる位相を備えたベクトル空間です。TVS は、特定の種類の位相を伴うベクトル空間にすぎないことが強調されています。つまり、TVS として考えた場合、特定のノルムやメトリック (どちらも「忘れ去られた」)に関連付けられていません。このハウスドルフ TVS は、原点を中心とするすべての開球の集合が、凸均衡開集合からなる原点での近傍基底を形成するため、局所的にも凸です。この TVS はノルム可能でもあり、これは定義により、位相が何らかの (おそらく未知の)ノルムによって誘導される任意の TVS を指します。ノルム可能な TVS は、ハウスドルフであり、原点の有界凸近傍を持つことによって特徴付けられます。すべてのバナッハ空間は樽型空間であり、これはすべての樽が原点の近傍である（たとえば、原点を中心とするすべての閉じた球は樽である）ことを意味し、バナッハ・シュタインハウスの定理が成り立つことを保証します。 ${\displaystyle (X,\tau _{d})}$ ${\displaystyle (X,\tau _{d})}$ ${\displaystyle (X,\tau _{d})}$

完全に計量化可能なベクトルトポロジーの比較

開写像定理によれば、 と が上の位相で、と の両方が完全な計量化可能な TVS（たとえば、バナッハ空間 またはフレシェ空間）になるとき、一方の位相が他方の位相よりも細かいか粗い場合、それらは等しくなければならない（つまり、または のとき）。^[11]したがって、たとえば、と が位相とを持つバナッハ空間であり、これらの空間の 1 つに、もう 1 つの空間の開部分集合でもある開球がある場合（または、同等に、またはの 1 つが連続する場合）、それらの位相は同一であり、ノルムと は同値である。 ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau _{1})}$ ${\displaystyle (X,\tau _{2})}$ ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{2}\subseteq \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{1}=\tau _{2}}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle \tau _{q},}$ ${\displaystyle p:(X,\tau _{q})\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:(X,\tau _{p})\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

完全

完全規範と同等規範

ベクトル空間上の2つのノルム、およびは、それらが同じ位相を誘導する場合、同値であると言われる。 ^[12]これは、すべての実数に対してとなる場合と同値である。ベクトル空間上の2つの同値なノルムが であるとき、がバナッハ空間であることと、 がバナッハ空間であることは同値である。バナッハ空間上の連続ノルムがそのバナッハ空間のノルムと同値ではない例については、この脚注を参照のこと。 ^{[注 6] [12]} 有限次元ベクトル空間上のすべてのノルムは同値であり、すべての有限次元ノルム空間はバナッハ空間である。^[13] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c,C>0}$ ${\textstyle c\,q(x)\leq p(x)\leq C\,q(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$

完全な規範と完全な指標

ベクトル空間上の計量は のノルムによって誘導されるが、 が並進不変^{[注 3]}かつ絶対同次 である場合に限り、 となる。つまり、すべてのスカラーおよびすべてのに対してとなる。この場合、関数は のノルムを定義し、 によって誘導される標準計量は ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D(sx,sy)=|s|D(x,y)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \|x\|:=D(x,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|{\cdot }\|}$ ${\displaystyle D.}$

がノルム空間で、が に誘導されるノルム位相であるとする。 が 上の任意の計量であって、に誘導する位相がに等しいものとしよう。が並進不変^{[note 3]}ならば、 がバナッハ空間となるのは、 が完備計量空間である場合に限ります^{[14] 。 が並進不変}でない場合 、はバナッハ空間であるが は完備計量空間ではない可能性がある^[15] (例についてはこの脚注^{[note 7]}を参照)。これに対し、すべての計量化可能な位相ベクトル空間にも適用されるKlee の定理^{[16] [17] [note 8]}は、にノルム位相を誘導する上の任意の^{[note 9]}完備計量が存在する場合、はバナッハ空間であることを意味する。 ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$ ${\displaystyle (X,D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$ ${\displaystyle (X,D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$

フレシェ空間は、ある平行移動不変な完備計量によって位相が誘導される局所凸位相ベクトル空間である。すべてのバナッハ空間はフレシェ空間であるが、その逆は成り立たない。実際、ノルムが連続関数ではないフレシェ空間も存​​在する（積位相を持つ実数列の空間 など）。しかし、すべてのフレシェ空間の位相は、ノルムの一般化であるセミノルムと呼ばれる実数値（必然的に連続）写像の可算な族によって誘導される。フレシェ空間がノルムの可算な族によって誘導される位相を持つことも可能である（そのようなノルムは必然的に連続である）^{[note 10] [18]が、その位相を}単一のノルムによって定義できないため、バナッハ/ノルム可能空間 ではない。そのような空間の例はフレシェ空間で、その定義はテスト関数と超関数の空間に関する記事 にある。 ${\textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$

完全ノルムと完全位相ベクトル空間

計量完全性のほかに、完全性の概念がもう 1 つあります。それは、一様空間の理論を使用する、完全位相ベクトル空間(TVS) または TVS 完全性の概念です。特に、TVS 完全性の概念は、ベクトルの減算とベクトル空間が備えている位相のみに依存する、標準一様性と呼ばれる唯一の並進不変一様性を使用します。そのため、特に、この TVS 完全性の概念は、位相を誘導するノルムとは独立しています(計量化可能ではないTVS にも適用されます)。すべてのバナッハ空間は完全 TVS です。さらに、ノルム付き空間がバナッハ空間である (つまり、そのノルム誘導計量が完全である) 必要十分条件は、それが位相ベクトル空間として完全である場合です。が計量化可能な位相ベクトル空間（たとえば、任意のノルム誘導位相空間）である場合、 が完全 TVS である場合と、それが順次完全 TVS である場合に限ります。つまり、のすべてのコーシー列がの何らかの点に収束することを確認すれば十分です（つまり、任意のコーシーネットのより一般的な概念を考慮する必要はありません）。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$

が位相が何らかの（おそらく未知の）ノルムによって誘導される位相ベクトル空間である場合（このような空間はノルム可能と呼ばれる）、 が完備位相ベクトル空間となることと、 に位相上で を誘導し、 をバナッハ空間にもするノルムを割り当てることができることとは同値である。ハウスドルフの局所凸位相ベクトル空間がノルム可能であることと、その強双対空間がノルム可能であることとは同値であり、^[19]この場合、 はバナッハ空間である（の強双対空間を表し、その位相は連続双対空間上の双対ノルム誘導位相の一般化である。詳細についてはこの脚注^{[注 11]を参照）。}が計量化可能な局所凸 TVSである場合、 がノルム可能であることと、 がフレシェ–ウリゾーン空間である場合とは同値である。^{[20]これは、}局所凸 TVS のカテゴリにおいて、バナッハ空間はまさに計量化可能であり、かつ計量化可能な強双対空間を持つ完備空間であるということを示している。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|{\cdot }\|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'_{b}}$ ${\displaystyle X'_{b}}$ ${\displaystyle X'_{b}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'_{b}}$

完了

任意のノルム空間は、バナッハ空間の稠密ベクトル部分空間に等長的に埋め込むことができ、このバナッハ空間はノルム空間の完備化と呼ばれる。このハウスドルフ完備化は、等長同型性を除いて一意である。

より正確には、任意のノルム空間に対して、バナッハ空間と写像が存在し、は等長写像であり、はで稠密である。が別のバナッハ空間であり、 からの稠密部分集合上への等長同型が存在する場合、 は に等長同型である。バナッハ空間は、ノルム空間のハウスドルフ完備化である。 の基礎となる計量空間は、からへのベクトル空間演算を拡張したの計量完備化と同じである。の完備化は、 によって表されることがある。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(X)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\widehat {X}}.}$

一般理論

線形演算子、同型

とが同一の基底体上のノルム空間であるとき、すべての連続-線型写像の集合は で表される。無限次元空間では、すべての線型写像が連続であるとは限らない。ノルム空間から別のノルム空間への線型写像が連続であるためには、それがの閉単位球上に有界となる必要がある。したがって、ベクトル空間には演算子ノルムを与えることができる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle B(X,Y).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ $${\displaystyle \|T\|=\sup\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\ \|x\|_{X}\leq 1\}.}$$

バナッハ空間の場合、空間はこのノルムに関してバナッハ空間である。圏論的な文脈では、 2つのバナッハ空間間の関数空間を短写像のみに制限することが便利な場合がある。その場合、空間は自然な双関手として再び現れる。^[21] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

がバナッハ空間である場合、その空間は単位バナッハ代数を形成します。乗算演算は線型写像の合成によって与えられます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$

と がノルム空間である場合、それらの空間は、その逆が連続となるような線型一対一空間が存在するとき、同型ノルム空間である。2つの空間またはのいずれかが完備（または反射的、可分など）であれば、もう一方の空間も完備である。2つのノルム空間と は、加えて が等長変換 である場合、つまり の任意の に対してである場合、等長同型である。2つの同型だが等長ではない空間と 間のバナッハ・マズール距離は、2つの空間と の差の大きさを表す尺度となる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{-1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \|T(x)\|=\|x\|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle d(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

連続および有界線形関数と半ノルム

すべての連続線型作用素は有界線型作用素であり、ノルム空間のみを扱う場合はその逆も成り立ちます。つまり、2 つのノルム空間間の線型作用素が有界となるのは、連続関数の場合のみです。したがって特に、スカラー体 (または)はノルム空間であるため、ノルム空間上の線型関数が有界線型関数となるのは、連続線型関数の場合のみです。これにより、連続性に関する結果 (以下に示すような結果) をバナッハ空間に適用できます。ノルム空間間の線型写像における有界性と連続性は同じですが、「有界」という用語は、主にバナッハ空間を扱う場合によく使用されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

が劣加法関数（ノルム、劣線形関数、実線形関数など）である場合、 ^{[22] が}原点で連続であるための必要十分条件は、が の全体にわたって一様連続である場合です。また、 が連続であるための必要十分条件は、が の開部分集合である場合です。 ^{[22] [注 12]} また、ハーン・バナッハの定理を適用する上で非常に重要なことですが、線形関数が連続であるための必要十分条件は、その実部についてこれが成り立つ場合であり、さらに、 であり、実部によって完全に決定されるため、ハーン・バナッハの定理は実線形関数についてのみ述べられることが多いのです。また、上の線形関数が連続であるための必要十分条件は、半ノルムが連続であるための必要十分条件であり、となる連続半ノルムが存在する場合のみに成り立ちます。線形関数と半ノルムを含むこの最後の記述は、ハーン・バナッハの定理の多くのバージョンで見られます。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \{x\in X\mid |f(x)|<1\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle \|\operatorname {Re} f\|=\|f\|}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

基本的な概念

2つのノルム空間の直積は、標準的にはノルムを備えていない。しかしながら、いくつかの同値なノルムが一般的に用いられており、^[23]例えば、バナッハ空間と短写像（上記で議論した）の圏における余積と積にそれぞれ対応するノルムが用いられる。 ^[21] 有限（余）積の場合、これらのノルムは同型なノルム空間を生じ、積（または直和）が完備となるのは、2つの因数が完備である場合に限る。 ${\displaystyle X\times Y}$ $${\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)}$$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y}$

がノルム空間の閉線型部分空間である場合、商空間には自然なノルムが存在する。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M,}$ $${\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.}$$

が完備なとき、商はバナッハ空間となる。^[24]からその類への商写像は、のときを除いて線型、上乗せ、ノルムである。ただし、 のときは商は零空間となる。 ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x+M,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle M=X,}$

の閉線形部分空間は、射影有界線形射影の値域がの補部分空間であると言われる。この場合、空間はの直和と射影の核に同型である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P:X\to M.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ker P,}$ ${\displaystyle P.}$

とがバナッハ空間であり、の標準因数分解が存在すると仮定する^[24]。ここで、最初の写像は商写像であり、2番目の写像は商のすべてのクラスを の像に写す。これは、同じクラスのすべての元が同じ像を持つため、明確に定義されている。この写像はからへの線型一対一写像であり、その逆写像は必ずしも有界である必要はない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y).}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\quad T:X{\overset {\pi }{{}\longrightarrow {}}}X/\ker T{\overset {T_{1}}{{}\longrightarrow {}}}Y}$$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle x+\ker T}$ ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle X/\ker T}$ ${\displaystyle T(X),}$

クラシックな空間

バナッハ空間の基本的な例^{[25]としては、} Lp空間 とその特殊なケース、自然数でインデックス付けされたスカラー列からなる列空間、その中でも絶対和可能列の空間と平方和可能列の空間、ゼロに向かう列の空間と有界列の空間、最大ノルムを備えたコンパクトハウスドルフ空間上の連続スカラー関数の空間などが挙げられる。 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|\mid x\in K\},\quad f\in C(K).}$$

バナッハ・マズール定理によれば、任意のバナッハ空間は何らかの部分空間に等長同型である^[26]。任意の可分バナッハ空間に対して、閉部分空間が存在し、^[27] ${\displaystyle C(K).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle X:=\ell ^{1}/M.}$

任意のヒルベルト空間はバナッハ空間の例となる。上のヒルベルト空間は、 の形のノルムに対して完備である 。ここで は内積であり、その第一引数に線型であり、以下を満たす。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ $${\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},}$$ $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbb {K} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\quad {\text{ for all }}x,y\in H\\\langle x,x\rangle &\geq 0,\quad {\text{ for all }}x\in H\\\langle x,x\rangle =0{\text{ if and only if }}x&=0.\end{aligned}}}$$

たとえば、空間はヒルベルト空間です。 ${\displaystyle L^{2}}$

ハーディ空間やソボレフ空間は、空間に関連し、追加の構造を持つバナッハ空間の例です。これらは、調和解析や偏微分方程式など、解析学の様々な分野で重要な役割を果たします。 ${\displaystyle L^{p}}$

バナッハ代数

バナッハ代数は、上のバナッハ空間、または上の代数の構造を伴い、積写像が連続となるようなものである。 上の同値なノルムは、任意の に対してとなるように見出すことができる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A\times A\ni (a,b)\mapsto ab\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|ab\|\leq \|a\|\|b\|}$ ${\displaystyle a,b\in A.}$

例

• 点ごとの積を持つバナッハ空間はバナッハ代数です。 ${\displaystyle C(K)}$
• 円板代数は 、開単位円板上で正則でその閉包上で連続な関数から構成される。円板代数の最大ノルムは、次の閉部分代数である。 ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }}.}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }},}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle C\left({\overline {\mathbf {D} }}\right).}$
• ウィーナー代数は 、絶対収束するフーリエ級数を持つ単位円上の関数の代数である。関数をそのフーリエ係数列に写像することで、この代数は、積が列の畳み込みとなるバナッハ代数と同型となる。 ${\displaystyle A(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \ell ^{1}(Z),}$
• あらゆるバナッハ空間に対して、写像の合成を積とする境界付き線形作用素の空間はバナッハ代数である。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle X,}$
• C *-代数は、反線型反転を持つ複素バナッハ代数であり、ヒルベルト空間上の有界線型作用素の空間はC*-代数の基本的な例である。ゲルファンド・ナイマークの定理は、すべてのC*-代数は、あるC*-部分代数と等長的に同型であることを述べている。コンパクトハウスドルフ空間上の複素連続関数の空間は可換C*-代数の例であり、反転によってすべての関数にその複素共役が関連付けられる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\mapsto a^{*}}$ ${\displaystyle \|a^{*}a\|=\|a\|^{2}.}$ ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B(H).}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {f}}.}$

デュアルスペース

がノルム空間で、基礎体（実数または複素数）が である場合、連続双対空間はからへの連続線型写像または連続線型汎関数の空間である。連続双対の表記法についてはこの記事を参照。^[28]はバナッハ空間（絶対値をノルムとする）である ため、双対は任意のノルム空間に対してバナッハ空間となる。ディクスミア・ングの定理はバナッハ空間の双対空間を特徴付ける。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle X'=B(X,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X.}$

連続線形関数の存在を証明するための主なツールは、ハーン・バナッハの定理です。

ハーン・バナッハの定理—体上のベクトル空間を仮定するさらに ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} .}$

• ${\displaystyle Y\subseteq X}$線形部分空間であり、
• ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$線形関数であり、
• ${\displaystyle f:Y\to \mathbb {K} }$線形関数であり、すべての ${\displaystyle \operatorname {Re} (f(y))\leq p(y)}$ ${\displaystyle y\in Y.}$

すると、次のような線形関数が存在する。 ${\displaystyle F:X\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle F{\big \vert }_{Y}=f,\quad {\text{ and }}\quad {\text{ for all }}x\in X,\ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).}$$

特に、ノルム空間の部分空間上の任意の連続線型関数は、関数のノルムを増加させることなく、空間全体に連続的に拡張することができる。[ 29 ]^重要な特別な場合として、ノルム空間内の任意の ベクトルに対して、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X'}\leq 1.}$$

がベクトルと等しくない場合、関数はノルム1を持つ必要があり、ノルム関数と呼ばれる。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

ハーン・バナッハ分離定理は、実バナッハ空間における互いに素で空でない二つの凸集合（一方は開凸集合）は、閉アフィン 超平面によって分離できることを述べている。開凸集合は超平面の一方の側に厳密に存在し、他方の凸集合は超平面の反対側に存在するが、超平面に接する場合がある。^[30]

バナッハ空間の部分集合は、の線型範囲が で稠密である場合に全集合となる。の部分集合が で全集合となるのは、 で消える唯一の連続線型関数が関数である場合に限ります。この同値性は、ハーン・バナッハの定理から導かれます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

が2つの閉線型部分空間の直和である場合、の双対はと^[31]の双対の直和に同型である。 [31]が閉線型部分空間である 場合、双対におけるの直交を関連付けることができる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle M^{\bot }=\{x'\in X\mid x'(m)=0{\text{ for all }}m\in M\}.}$$

直交空間は双対の閉線型部分空間である。の双対は等長的に同型であり、 の双対は等長的に同型である^[32] ${\displaystyle M^{\bot }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X'/M^{\bot }.}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M^{\bot }.}$

分離可能なバナッハ空間の双対は分離可能である必要はないが、

定理^[33] —をノルム空間とする。が分離可能ならば、は分離可能である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$

が分離可能な場合、上記の全体性に関する基準は、可算な全体集合の存在を証明するために使用できる。 ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X.}$

弱いトポロジー

バナッハ空間上の弱位相は、連続双対空間のすべての元が連続するような最も粗い位相である。したがって、ノルム位相は弱位相よりも細かい。ハーン・バナッハの分離定理から、弱位相はハウスドルフであり、バナッハ空間のノルム閉凸部分集合も弱閉であることが示される。 ^[34] 2つのバナッハ空間と 間のノルム連続線型写像も弱連続である。つまり、 の弱位相から の弱位相へ連続である。[ ^35] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

が無限次元の場合、連続しない線型写像が存在する。から基底体へのすべての線型写像の成す空間（この空間は代数的双対空間と呼ばれ、 と区別するために と呼ばれる）は、 上の位相も誘導する。この位相は弱位相よりも細かいため、関数解析ではあまり用いられない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$

双対空間上には、の弱位相よりも弱い位相が存在する。これは弱*位相と呼ばれる。これは、上の値域が連続となるようなすべての評価写像が成り立つような、上の最も粗い位相である。その重要性は、バナッハ・アラオグルの定理に由来する。 ${\displaystyle X',}$ ${\displaystyle X',}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle x'\in X'\mapsto x'(x),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$

バナッハ＝アラオグルの定理—をノルムベクトル空間とする。このとき、双対空間の閉単位球は弱*位相においてコンパクトである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B=\{x\in X\mid \|x\|\leq 1\}}$

バナッハ＝アラオグル定理は、コンパクト・ハウスドルフ空間の無限積に関するティコノフの定理を用いて証明できる。が可分な場合、双対の単位球は弱*位相において計量化可能コンパクトとなる。 ^[36] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B'}$

双対空間の例

の双対はと等長的に同型である。上のすべての有界線形汎関数に対して、となる唯一の元が存在する。 ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c_{0},}$ ${\displaystyle y=\{y_{n}\}\in \ell ^{1}}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ {\text{and}}\ \ \|f\|_{(c_{0})'}=\|y\|_{\ell _{1}}.}$$

の双対はと等長同型である。ルベーグ空間の双対はと のときと等長同型である。 ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{q}([0,1])}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

ヒルベルト空間内の任意のベクトルに対して、写像 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H,}$ $${\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }$$

は、上の連続線型関数を定義します。リースの表現定理によれば、上のすべての連続線型関数は、で一意に定義されたベクトルに対して の形式になります。この写像は、 からその双対への反線型等長一対一写像です 。スカラーが実数の場合、この写像は等長同型です。 ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle y\in H\to f_{y}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H'.}$

がコンパクトなハウスドルフ位相空間であるとき、の双対はブルバキの意味でラドン測度の空間である。 ^[37]質量1の非負測度（確率測度）からなるの 部分集合は、 の単位球の凸w*閉部分集合である。 の 極点は上のディラック測度である。上 のディラック測度の集合はw*-位相を備え、 と同相である。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M(K)}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle P(K)}$ ${\displaystyle M(K)}$ ${\displaystyle M(K).}$ ${\displaystyle P(K)}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K.}$

バナッハ・ストーン定理—とがコンパクトハウスドルフ空間でありとが等長同型であるならば、位相空間とが同相である。 ^{[38] [39]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C(L)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

^{この結果は、アミール[40]}とカンバーン^[41]によって、と間の乗法バナッハ・マズール距離がの場合に拡張された。 定理は、距離が^{[42]の場合には成立しなくなる。} ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C(L)}$ ${\displaystyle <2.}$ ${\displaystyle =2.}$

可換バナッハ代数 において、最大イデアルはまさにディラック測度の核である。 ${\displaystyle C(K),}$ ${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K)\mid f(x)=0\},\quad x\in K.}$$

より一般的には、ゲルファンド＝マズール定理により、単位可換バナッハ代数の極大イデアルは、その特徴と、単に集合としてではなく位相空間として同一視することができる。前者は殻核位相と、後者はw*位相と同義である。この同一視において、極大イデアル空間は、双対な単位球のw*コンパクト部分集合と見ることができる。 ${\displaystyle A'.}$

定理—がコンパクトハウスドルフ空間であるとき、バナッハ代数の最大イデアル空間は^[38]に同相である。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K.}$

すべての単位可換バナッハ代数が何らかのコンパクト ハウスドルフ空間に対して の形になるわけではない。しかし、 をより小さなカテゴリである可換C*-代数に配置すると、この記述は成り立つ。 可換 C*-代数のゲルファントの表現定理によれば、すべての可換単位C *-代数は空間に等長同型である。^[43]ここでの ハウスドルフコンパクト空間は、 C*-代数の文脈ではのスペクトルとも呼ばれる最大イデアル空間である。 ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$

バイデュアル

がノルム空間である場合、双対空間の（連続）双対空間は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X'}$二元的または あらゆるノルム空間には自然写像が存在する、の双対 ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}\colon X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

これは上の連続線型関数として定義され、つまり の元です。この写像は からへの線型写像です。任意の に対する ノルム関数の存在の結果として、この写像は等長写像であり、したがって単射です。 ${\displaystyle F_{X}(x)}$ ${\displaystyle X',}$ ${\displaystyle X''.}$ ${\displaystyle F_{X}\colon x\to F_{X}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle F_{X}}$

例えば、 の双対はと同一視され、 の双対は有界スカラー列の空間と同一視されます。これらの同一視のもとで、は からへの包含写像であり、これは確かに等長写像ですが、全射ではありません。 ${\displaystyle X=c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$ ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$

が射影的である場合、ノルム空間は反射的と呼ばれる（下記参照）。ノルム空間の双対であるため、双対空間は完備であり、したがって、すべての反射的ノルム空間はバナッハ空間となる。 ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$

等長埋め込みを用いると、ノルム空間をその双双対の部分集合として考えるのは通常慣例である。がバナッハ空間であるとき、それはの閉線型部分空間とみなされる。が反射的でない場合、の単位球はの単位球の真部分集合である。 ゴールドスタインの定理は、ノルム空間の単位球は双双対の単位球において弱*稠密であることを述べている。言い換えれば、双双対の任意のに対して、以下のネットが存在する。 ${\displaystyle F_{X},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''.}$ ${\displaystyle x''}$ ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sup _{i\in I}\|x_{i}\|\leq \|x''\|,\ \ x''(f)=\lim _{i}f(x_{i}),\quad f\in X'.}$$

双対が可分な場合、ネットは弱*収束する列に置き換えることができる。一方、 の双対のうち に含まれない元は、が弱逐次完備であるため、の列の弱*極限にはなり得ない。 ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

バナッハの定理

以下はバナッハ空間に関する主要な一般的な結果であり、バナッハの著書（Banach (1932)）の時代まで遡り、ベールのカテゴリー定理と関連している。この定理によれば、完全な計量空間（バナッハ空間、フレシェ空間、F空間など）は、可算個以上の空内部を持つ閉部分集合の和集合と等しくはならない。したがって、バナッハ空間は、既にそれらの1つと等しくない限り、可算個以上の閉部分空間の和集合にはなり得ない。可算なハメル基底を持つバナッハ空間は有限次元である。

バナッハ・シュタインハウスの定理—をバナッハ空間とし、をノルムベクトル空間とする。を からまでの連続線型作用素の集合とする一様有界性原理は、における成り立つとき、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$ ${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{Y}<\infty .}$

バナッハ＝シュタインハウスの定理はバナッハ空間に限らない。例えば、がフレシェ空間である場合にも拡張できる。ただし、結論は次のように修正される。同じ仮定のもとで、におけるの近傍が存在し、におけるすべての が において一様有界となる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U,}$ $${\displaystyle \sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .}$$

開写像定理—をバナッハ空間と射影連続線型演算子とすると、 は開写像となります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$

系—バナッハ空間からバナッハ空間へのすべての 1 対 1 の有界線形演算子は同型です。

バナッハ空間の第一同型定理—とがバナッハ空間であり、さらに の値域がで閉じているとすると、はと同型である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X/\ker T}$ ${\displaystyle T(X).}$

この結果は、前述のバナッハ同型定理と有界線型写像の標準因数分解の直接的な結果です。

系—バナッハ空間が閉部分空間の内部直和である場合、それは ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}.}$

これはバナッハの同型定理のもう一つの結果であり、 からへの連続一対一変換に適用され、を の和に送るものである。 ${\displaystyle M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{1},\cdots ,m_{n}}$ ${\displaystyle m_{1}+\cdots +m_{n}.}$

閉グラフ定理—をバナッハ空間間の線型写像とする。のグラフがで閉じている場合、かつ が連続である場合に限る。 ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle T}$

反射性

自然写像が射影的であるとき、ノルム空間は反射的と呼ばれます。反射的ノルム空間はバナッハ空間です。 ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

定理—が反射的なバナッハ空間である場合、 のすべての閉部分空間と のすべての商空間は反射的です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

これはハーン・バナッハの定理の帰結である。さらに、開写像定理によれば、バナッハ空間からバナッハ空間への有界線型作用素が存在する場合、それは反射的である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$

定理—がバナッハ空間である場合、 が反射的であるのは、 が反射的である場合に限ります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$

系—を反射的バナッハ空間とする。すると、が可分となるのは、が可分となる場合のみである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$

実際、バナッハ空間の双対が分離可能であれば、 は分離可能です。が反射的かつ分離可能であれば、 の双対が分離可能であり、 も分離可能です。 ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'}$

定理-がノルム空間であり、 であると仮定します。そのとき、それぞれが反射的である場合に限り、 は反射的です。 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X=X_{1}\oplus \cdots \oplus X_{n}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{j}}$

ヒルベルト空間は反射的である。より一般的には、一様凸空間はミルマン・ペティスの定理により反射的である。これらの空間は反射的ではない。これらの非反射空間の例では、双対はよりも「はるかに大きい」。すなわち、ハーン・バナッハの定理によって与えられたの へ の自然な等長的埋め込みのもとで、商は無限次元であり、さらには非可分である。しかし、ロバート・C・ジェームズは、商が1次元であるような非反射空間の例^[44]を構築した。これは通常「ジェームズ空間」と呼ばれ、 ^[45]と表記される。さらに、この空間はその双対と等長的に同型である。 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle c_{0},\ell ^{1},L^{1}([0,1]),C([0,1])}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X''/X}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle J''/J}$ ${\displaystyle J}$

定理—バナッハ空間が反射的であるためには、その単位球が弱位相においてコンパクトである必要があります。 ${\displaystyle X}$

が反射的である場合、のすべての閉凸部分集合および有界凸部分集合は弱コンパクトとなる。ヒルベルト空間において、単位球の弱コンパクト性は、次のように非常によく用いられる。すなわち、 のすべての有界列は弱収束する部分列を持つ。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$

単位球の弱コンパクト性は、反射空間における特定の最適化問題の解を見つけるためのツールを提供する。例えば、反射空間の単位球上のすべての凸連続関数は、ある点で最小値をとる。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$

前の結果の特殊なケースとして、 がのすべての連続線型関数上の反射空間であるとき、 の単位球上で最大値に達します。Robert C. James の 次の定理は、逆の命題を提供します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \|f\|}$ ${\displaystyle X.}$

ジェームズの定理—バナッハ空間の場合、次の 2 つの特性は同等です。

• ${\displaystyle X}$反射的です。
• そこに存在するすべてのもののために ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \|x\|\leq 1,}$ ${\displaystyle f(x)=\|f\|.}$

この定理は、弱コンパクト凸集合の特徴を与えるように拡張することができます。

非反射的バナッハ空間には、ノルム達成しない連続線型関数が存在する。しかし、ビショップ・フェルプス定理^[46]によれば、ノルム達成関数は双対のバナッハ空間においてノルム稠密である。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X.}$

シーケンスの弱収束

バナッハ空間の数列は、双対の任意の連続線型関数に対して が に収束する場合、ベクトルに弱収束します。が の任意のに対してスカラー極限に収束する場合、数列は弱コーシー数列です。がの任意のに対してに収束する場合、双対の 数列は関数に弱*収束します。弱コーシー数列、弱収束数列、および弱*収束数列は、バナッハ–シュタインハウスの定理 の結果として、ノルム有界です。 ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X'.}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ ${\displaystyle L(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X'.}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle f\in X'}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

における数列が弱コーシー数列であるとき、上の極限は双対上の有界線型汎関数、すなわち の双対の元を定義し、 は双対の弱*位相におけるの極限である。バナッハ空間が弱逐次完備であるとは、すべての弱コーシー数列が において弱収束することである 。これまでの議論から、反射空間は弱逐次完備であることが分かる。 ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X',}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

定理^[47] —すべての測度に対して空間は弱順次完備である。 ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$

ヒルベルト空間における直交列は、弱収束列の単純な例であり、その極限はベクトルに等しい。に対するまたはの単位ベクトル基底は、弱ヌル列の別の例である。つまり、 に弱収束する列である。 バナッハ空間における任意の弱ヌル列に対して、与えられた列からのベクトルの凸結合の列が存在し、 にノルム収束する^[48]。 ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle c_{0},}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$

の単位ベクトル基底は弱コーシーではない。-空間は弱逐次完備であるため、 の弱コーシー列は弱収束する。実際、 の弱収束列はノルム収束する。^{[49]これは、}がシュアーの性質を満たすことを意味する。 ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

結果𝓁 ¹基礎

弱コーシー列と基底は、H.P.ローゼンタールの次の深い結果で確立された二分法の反対の場合である。^[50] ${\displaystyle \ell ^{1}}$

定理^[51] —をバナッハ空間の有界列とする。弱コーシー部分列を持つか、または標準単位ベクトル基底と同値な部分列を持つ。 ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

この結果を補完するのは、Odell と Rosenthal (1975) です。

定理^[52] —を可分なバナッハ空間とする。以下の2つは同値である。 ${\displaystyle X}$

• この空間には、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$
• 双対のすべての要素は、 ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle X.}$

ゴールドスタインの定理によれば、の単位球のすべての元はの単位球内のネットの弱*極限である。が のすべての元を含まないとき、は の単位球内の数列の弱*極限である^[53]。 ${\displaystyle B''}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle B''}$ ${\displaystyle X.}$

バナッハ空間が可分なとき、弱*位相を備えた双対の単位球は計量化可能なコンパクト空間^[36]となり、双対のすべての元は上の有界関数を定義する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X',}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle x''}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle x'\in K\mapsto x''(x'),\quad |x''(x')|\leq \|x''\|.}$$

この関数は、 のコンパクト位相に対して連続であり、かつ がの部分集合として実際に である場合に限ります。さらに、 を含まない 段落の残りの部分に対しても であると仮定します 。OdellとRosenthalの前の結果により、関数は上の連続関数の列の上の点ごとの極限であり、したがって上の最初のBaireクラス関数です 。双対の単位球は 上の最初のBaireクラスの点ごとのコンパクト部分集合です^[54] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x''}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X''.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$ ${\displaystyle x''}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K.}$

シーケンス、弱コンパクト性、弱コンパクト性*

が可分な場合、双対の単位球はバナッハ・アラオグル定理により弱*コンパクトであり、弱*位相に対して計量化可能である。 ^[36]したがって、双対内の任意の有界列は弱*収束する部分列を持つ。これは可分反射空間にも当てはまるが、この場合は後述するように、より多くのことが当てはまる。 ${\displaystyle X}$

バナッハ空間の弱位相が計量化可能であることと、が有限次元であることは同値である。^[55]双対が可分であれば、 の単位球の弱位相は計量化可能である。これは特に可分反射バナッハ空間に当てはまる。単位球の弱位相は一般に計量化可能ではないが、列を用いて弱コンパクト性を特徴付けることができる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$

エーベルライン・シュムリアン定理^[56] —バナッハ空間内の集合その中のが弱収束する部分列を持つ場合である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$

バナッハ空間が反射的であるためには、その中の各有界列が弱収束する部分列を持つ必要がある。^[57] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

の弱コンパクト部分集合はノルムコンパクトである。実際、 の任意の列はエーベルライン・シュムリアンによって弱収束する部分列を持ち、それらはシュール性によってノルム収束する。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

タイプとコタイプ

バナッハ空間を分類する方法の 1 つは、タイプとコタイプという確率的な概念を使用することです。これら 2 つは、バナッハ空間がヒルベルト空間からどれだけ離れているかを測定します。

シャウダー基地

バナッハ空間におけるシャウダー基底は、任意 のベクトルに対して、 に依存して一意に定義されるスカラーが存在するという性質を持つベクトル列である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{e_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle x,}$ $${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}e_{n},\quad {\textit {i.e.,}}\quad x=\lim _{n}P_{n}(x),\ P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}x_{k}e_{k}.}$$

シャウダー基底を持つバナッハ空間は必然的に分離可能であり、これは有理係数（と仮定）を持つ有限線形結合の可算集合が稠密であるためである。

バナッハ＝シュタインハウスの定理から、線型写像はある定数によって一様有界となることが分かる。上の展開において、の座標の任意の に割り当てる座標汎関数を と表記する。これらは双直交汎関数と呼ばれる。基底ベクトルがノルムを持つとき、座標汎関数は の双対においてノルムを持つ。 ${\displaystyle \{P_{n}\}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \{e_{n}^{*}\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \{e_{n}^{*}\}}$ ${\displaystyle {}\leq 2C}$ ${\displaystyle X.}$

古典的な可分空間のほとんどは明示的な基底を持つ。ハール系は 、次の場合の基底である。 三角関数系は、次の場合の基底である。 シャウダー系は、空間の基底である^[58]。円板代数が基底を持つかどうか^[59] という問題は、40年以上もの間未解決のままであったが、1974年にボチカレフがフランクリン系から構成される基底を許容することを示した^[60]。 ${\displaystyle \{h_{n}\}}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle C([0,1]).}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$

基底を持つバナッハ空間内の任意のベクトルは、有限階数で一様有界である の極限となるので、この空間は有界近似性を満たす。近似性を満たさない空間の最初の例は、エンフロによって示されたが、同時にシャウダー基底を持たない可分バナッハ空間の最初の例でもあった。^[61] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{n}(x),}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle X}$

ロバート・C・ジェームズはバナッハ空間における反射性を基底で特徴づけた。シャウダー基底を持つ空間が反射的であるための必要十分条件は、基底が縮小かつ有界完備であることである。^[62] この場合、双直交関数は双対の基底を形成する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

テンソル積

とを2つの -ベクトル空間とする。とのテンソル積は、双線型写像を持つ -ベクトル空間であり、以下の普遍性を持つ。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T:X\times Y\to Z}$

が-ベクトル空間への任意の双線型写像であるとき、次のような唯一の線型写像が存在する。 ${\displaystyle T_{1}:X\times Y\to Z_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Z_{1},}$ ${\displaystyle f:Z\to Z_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}=f\circ T.}$

のカップルの像はで表され、単純テンソルと呼ばれます。のすべての要素は、このような単純テンソルの有限和です。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle x\otimes y,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$

基礎となるベクトル空間のテンソル積には様々なノルムを置くことができ、その中には1955年にA.グロタンディークによって導入された射影交差ノルムと入射交差ノルムがある^。[63]

一般に、完備空間のテンソル積は再び完備ではない。バナッハ空間を扱う場合、2つのバナッハ空間の射影テンソル積^[64]は、射影テンソルノルムを備えた代数的テンソル積の完備化であるとよく言われ、同様に、入射テンソル積^[65]についても グロタンディークは特に^{[66]を証明した。} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C(K){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y&\simeq C(K,Y),\\L^{1}([0,1]){\widehat {\otimes }}_{\pi }Y&\simeq L^{1}([0,1],Y),\end{aligned}}}$$ここで、はコンパクトハウスドルフ空間、から連続関数のバナッハ空間、からボッホナー測定可能かつ積分可能な関数の空間であり、同型写像は等長写像である。上記の2つの同型写像は、テンソルをベクトル値関数に写像するそれぞれの拡大である。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(K,Y)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1],Y)}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f\otimes y}$ ${\displaystyle s\in K\to f(s)y\in Y.}$

テンソル積と近似特性

をバナッハ空間とする。テンソル積は有限階数作用素の集合における閉包と等長的に同一視される。が近似性を持つとき、この閉包は上のコンパクト作用素の空間と一致する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

任意のバナッハ空間に対して、代数テンソル積の恒等写像を拡張することで得られる自然なノルム線型写像が存在する。グロタンディークは、近似問題を、 が の双対であるときにこの写像が1対1写像であるかどうかという問題に関連付けた。正確には、任意のバナッハ空間に対して、が 1対1写像 となるのは、が近似性を持つ場合のみである。^[67] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle 1}$ $${\displaystyle Y{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to Y{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\ \longrightarrow X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$$ ${\displaystyle X}$

グロタンディークは、無限次元バナッハ空間と無限次元バナッハ空間が等しい場合、必ずとが異なっていると予想した。これは1983年にジル・ピシエによって反証された。 ^[68]ピシエは、とが等しい 無限次元バナッハ空間を構築した。さらに、エンフロの例と同様に、この空間は近似性を持たない「手作り」空間である。一方、シャンコフスキーは古典空間が近似性を持たないことを証明した。^[69] ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }X}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(\ell ^{2})}$

いくつかの分類結果

バナッハ空間におけるヒルベルト空間の特徴づけ

バナッハ空間のノルムが内積に関連付けられるための必要十分条件は、平行四辺形の恒等式である。 ${\displaystyle X}$

平行四辺形のアイデンティティ—すべての人に ${\displaystyle x,y\in X:\qquad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}).}$

例えば、ルベーグ空間 がヒルベルト空間となるのは、 のときのみで ある。この恒等式が満たされる場合、関連する内積は分極恒等式によって与えられる。実スカラーの場合、これは以下のようになる。 ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle p=2.}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}).}$$

複素スカラーの場合、内積を分極恒等式において- 線形かつ反線形となるように定義すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2})\right).}$$

平行四辺形の法則が十分であることを確認するには、実数の場合に が対称であること、複素数の場合に がエルミート対称性特性とを満たすことを観察します。平行四辺形の法則は、が で加法的であることを意味します 。したがって、 は有理数上で線形であり、連続性によって線形であることが分かります。 ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle ix,y\rangle =i\langle x,y\rangle .}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x.}$

ヒルベルト空間と同型（等長的ではない）な空間の特徴付けはいくつか存在する。平行四辺形法則は2つ以上のベクトルに拡張することができ、定数 を伴う両側不等式の導入によって弱められる。クワピエニは、任意の整数とすべてのベクトル族に対して、バナッハ空間がヒルベルト空間と同型であることを証明した。^[70] ここで、 は符号の可能な選択肢の平均を表す。同じ論文で、クワピエニは、フーリエ変換におけるバナッハ値パーセバルの定理の妥当性が、ヒルベルト空間と同型のバナッハ空間の特徴付けとなることを証明した。 ${\displaystyle c\geq 1}$ $${\displaystyle c^{-2}\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|^{2}\leq \operatorname {Ave} _{\pm }\left\|\sum _{k=1}^{n}\pm x_{k}\right\|^{2}\leq c^{2}\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|^{2}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\subseteq X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Ave} _{\pm }}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \pm 1.}$

リンデンシュトラウスとツァフリリは、すべての閉線型部分空間が補空間である（つまり、有界線型射影の値域である）バナッハ空間がヒルベルト空間と同型であることを証明した。^{[71]この証明は、高次元中心対称凸体のユークリッド切断に関する}ドヴォレツキーの定理に基づいている。言い換えれば、ドヴォレツキーの定理は、任意の整数に対して、次元が- 次元ユークリッド空間に対して十分に大きい有限次元ノルム空間は、 - 次元ユークリッド空間にほぼ等長な部分空間を含むことを述べている。 ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$

次の結果は、いわゆる同質空間問題の解を与える。無限次元バナッハ空間は、そのすべての無限次元閉部分空間と同型であるとき、同質であると言われる。同型であるバナッハ空間は同質であり、バナッハはその逆を求めた。^[72] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

定理^[73] —すべての無限次元閉部分空間に同型なバナッハ空間は可分ヒルベルト空間に同型である。

無限次元バナッハ空間が遺伝的に分解不可能であるとは、その部分空間が2つの無限次元バナッハ空間の直和に同型にならないことを意味する。ガワーズ二分定理^[73]は、すべての無限次元バナッハ空間は、無条件基底を持つ部分空間か、遺伝的に分解不可能な部分空間のいずれかを含み、特にその閉超平面と同型ではないことを主張している。^[74]が同質である ならば、それは無条件基底を持つ必要がある。したがって、コモロウスキーとトムチャック・イェーガーマンによって得られた無条件基底を持つ空間の部分解^[75]から、 はと同型であることが分かる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

メトリック分類

がバナッハ空間からバナッハ空間への等長変換（ただし、 と はどちらも上のベクトル空間）である場合、マズール・ウラム定理によれば、 は必ずアフィン変換となる。特に、これがの零点を の零点に写す場合、 は必ず線型となる。この結果は、バナッハ空間、そしてより一般的にはノルム空間における計量が、その線型構造を完全に捉えていることを意味する。 ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(0_{X})=0_{Y},}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle T}$

位相的分類

有限次元バナッハ空間は、実ベクトル空間と同じ次元を持つ場合にのみ、位相空間として同相です。

アンダーソン・ケーデックの定理（1965–66）は、任意の二つの無限次元可分バナッハ空間が位相空間として同相であることを証明している^[76]。ケーデックの定理はトルンチクによって拡張され、トルンチクは、任意の二つのバナッハ空間が同相であるための必要十分条件は、それらが稠密部分集合の最小濃度である密度指標を持つことである^[77]。

連続関数の空間

2つのコンパクト・ハウスドルフ空間とが同相であるとき、バナッハ空間と は等長である。逆に、が と の間の（乗法的）バナッハ・マズール距離に同相でない場合、上記のアミールとカンベルンの結果が成立するためには、 は 以上でなければならない。無数コンパクト計量空間は異なる同相型を持つ可能性があるが、ミルティンによれば次の結果が得られる。^[78] ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle C(K_{1})}$ ${\displaystyle C(K_{2})}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2},}$ ${\displaystyle C(K_{1})}$ ${\displaystyle C(K_{2})}$ ${\displaystyle 2,}$

定理^[79] —を非可算コンパクト距離空間とする。このとき、は ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C([0,1]).}$

可算無限コンパクトハウスドルフ空間の場合は状況が異なる。すべての可算無限コンパクトは、順序位相を備えた順序数の閉区間に同相である。ここでは可算無限順序数である。^[80]このとき バナッハ空間はC (⟨1, α ⟩)に等長である。が2つの可算無限順序数のとき、空間C (⟨1, α ⟩)とC (⟨1, β ⟩)が同型であるための必要十分条件はβ < α ^ωである。^[81]たとえば、バナッハ空間は互いに同型ではない。 ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \langle 1,\alpha \rangle =\{\gamma \mid 1\leq \gamma \leq \alpha \}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \alpha \leq \beta ,}$ $${\displaystyle C(\langle 1,\omega \rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega }\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{2}}\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{3}}\rangle ),\cdots ,C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{\omega }}\rangle ),\cdots }$$

例

以下の表の記号の用語集:

• ${\displaystyle \mathbb {F} }$実数または複素数の体を表す ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• ${\displaystyle K}$はコンパクトなハウスドルフ空間です。
• ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} }$は、ヘルダー共役である実数であり、したがって、 ${\displaystyle 1<p,q<\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1}$ ${\displaystyle q={\frac {p}{p-1}}.}$
• ${\displaystyle \Sigma }$は集合の-代数です。 ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \Xi }$は集合の代数である（ ba 空間などの有限の加法性のみを必要とする空間の場合）。
• ${\displaystyle \mu }$は変動のある測度です。正の測度は、加算的に可算な -代数上で定義された実数値の正の集合関数です。 ${\displaystyle |\mu |.}$ ${\displaystyle \sigma }$

古典的なバナッハ空間
	デュアルスペース	反射的	弱く順次完了	ノルム		注記
${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$	${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$	はい	はい	${\displaystyle \|x\|_{2}}$	${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\right)^{1/2}}$	ユークリッド空間
${\displaystyle \ell _{p}^{n}}$	${\displaystyle \ell _{q}^{n}}$	はい	はい	${\displaystyle \|x\|_{p}}$	${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$
${\displaystyle \ell _{\infty }^{n}}$	${\displaystyle \ell _{1}^{n}}$	はい	はい	${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$	${\displaystyle =\max \nolimits _{1\leq i\leq n}|x_{i}|}$
${\displaystyle \ell ^{p}}$	${\displaystyle \ell ^{q}}$	はい	はい	${\displaystyle \|x\|_{p}}$	${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$
${\displaystyle \ell ^{1}}$	${\displaystyle \ell ^{\infty }}$	いいえ	はい	${\displaystyle \|x\|_{1}}$	${\displaystyle =\sum _{i=1}^{\infty }\left|x_{i}\right|}$
${\displaystyle \ell ^{\infty }}$	${\displaystyle \operatorname {ba} }$	いいえ	いいえ	${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$	${\displaystyle =\sup \nolimits _{i}\left|x_{i}\right|}$
${\displaystyle \operatorname {c} }$	${\displaystyle \ell ^{1}}$	いいえ	いいえ	${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$	${\displaystyle =\sup \nolimits _{i}\left|x_{i}\right|}$
${\displaystyle c_{0}}$	${\displaystyle \ell ^{1}}$	いいえ	いいえ	${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$	${\displaystyle =\sup \nolimits _{i}\left|x_{i}\right|}$	同型だが等長ではない ${\displaystyle c.}$
${\displaystyle \operatorname {bv} }$	${\displaystyle \ell ^{\infty }}$	いいえ	はい	${\displaystyle \|x\|_{bv}}$	${\displaystyle =\left|x_{1}\right|+\sum _{i=1}^{\infty }\left|x_{i+1}-x_{i}\right|}$	等尺的に同型 ${\displaystyle \ell ^{1}.}$
${\displaystyle \operatorname {bv} _{0}}$	${\displaystyle \ell ^{\infty }}$	いいえ	はい	${\displaystyle \|x\|_{bv_{0}}}$	${\displaystyle =\sum _{i=1}^{\infty }\left|x_{i+1}-x_{i}\right|}$	等尺的に同型 ${\displaystyle \ell ^{1}.}$
${\displaystyle \operatorname {bs} }$	${\displaystyle \operatorname {ba} }$	いいえ	いいえ	${\displaystyle \|x\|_{bs}}$	${\displaystyle =\sup \nolimits _{n}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|}$	等尺的に同型 ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$
${\displaystyle \operatorname {cs} }$	${\displaystyle \ell ^{1}}$	いいえ	いいえ	${\displaystyle \|x\|_{bs}}$	${\displaystyle =\sup \nolimits _{n}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|}$	等尺的に同型 ${\displaystyle c.}$
${\displaystyle B(K,\Xi )}$	${\displaystyle \operatorname {ba} (\Xi )}$	いいえ	いいえ	${\displaystyle \|f\|_{B}}$	${\displaystyle =\sup \nolimits _{k\in K}|f(k)|}$
${\displaystyle C(K)}$	${\displaystyle \operatorname {rca} (K)}$	いいえ	いいえ	${\displaystyle \|x\|_{C(K)}}$	${\displaystyle =\max \nolimits _{k\in K}|f(k)|}$
${\displaystyle \operatorname {ba} (\Xi )}$	?	いいえ	はい	${\displaystyle \|\mu \|_{ba}}$	${\displaystyle =\sup \nolimits _{S\in \Xi }|\mu |(S)}$
${\displaystyle \operatorname {ca} (\Sigma )}$	?	いいえ	はい	${\displaystyle \|\mu \|_{ba}}$	${\displaystyle =\sup \nolimits _{S\in \Sigma }|\mu |(S)}$	の閉部分空間 ${\displaystyle \operatorname {ba} (\Sigma ).}$
${\displaystyle \operatorname {rca} (\Sigma )}$	?	いいえ	はい	${\displaystyle \|\mu \|_{ba}}$	${\displaystyle =\sup \nolimits _{S\in \Sigma }|\mu |(S)}$	の閉部分空間 ${\displaystyle \operatorname {ca} (\Sigma ).}$
${\displaystyle L^{p}(\mu )}$	${\displaystyle L^{q}(\mu )}$	はい	はい	${\displaystyle \|f\|_{p}}$	${\displaystyle =\left(\int |f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$
${\displaystyle L^{1}(\mu )}$	${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$	いいえ	はい	${\displaystyle \|f\|_{1}}$	${\displaystyle =\int |f|\,d\mu }$	が-有限の場合、双対は です。 ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$
${\displaystyle \operatorname {BV} ([a,b])}$	?	いいえ	はい	${\displaystyle \|f\|_{BV}}$	${\displaystyle =V_{f}([a,b])+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)}$	${\displaystyle V_{f}([a,b])}$は、​ ${\displaystyle f}$
${\displaystyle \operatorname {NBV} ([a,b])}$	?	いいえ	はい	${\displaystyle \|f\|_{BV}}$	${\displaystyle =V_{f}([a,b])}$	${\displaystyle \operatorname {NBV} ([a,b])}$次のような関数から構成される ${\displaystyle \operatorname {BV} ([a,b])}$ ${\displaystyle \lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)=0}$
${\displaystyle \operatorname {AC} ([a,b])}$	${\displaystyle \mathbb {F} +L^{\infty }([a,b])}$	いいえ	はい	${\displaystyle \|f\|_{BV}}$	${\displaystyle =V_{f}([a,b])+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)}$	ソボレフ空間に同型 ${\displaystyle W^{1,1}([a,b]).}$
${\displaystyle C^{n}([a,b])}$	${\displaystyle \operatorname {rca} ([a,b])}$	いいえ	いいえ	${\displaystyle \|f\|}$	${\displaystyle =\sum _{i=0}^{n}\sup \nolimits _{x\in [a,b]}\left|f^{(i)}(x)\right|}$	テイラーの定理により本質的に同型である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\oplus C([a,b]),}$

デリバティブ

バナッハ空間では、微分の概念がいくつか定義できます。詳細については、フレシェ微分とガトー微分に関する記事を参照してください。フレシェ微分は、全微分の概念をバナッハ空間に拡張することを可能にします。ガトー微分は、方向微分の概念を局所凸位相 ベクトル空間に拡張することを可能にします。フレシェ微分可能性は、ガトー微分可能性よりも強い条件です。準微分は、方向微分の別の一般化であり、ガトー微分可能性よりも強い条件ですが、フレシェ微分可能性よりも弱い条件となります。

一般化

関数解析におけるいくつかの重要な空間、例えば無限回微分可能関数全体の空間や上の超関数全体の空間は完備だが、ノルムベクトル空間ではないため、バナッハ空間ではない。フレシェ空間では依然として完備計量が存在するが、LF空間はフレシェ空間の極限として生じる完備一様ベクトル空間である。 ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

参照

• 空間（数学）  - 構造が追加された数学的集合
  • フレシェ空間 – 局所凸位相ベクトル空間であり、完備計量空間でもある
  • ハーディ空間 – 複素解析における概念
  • ヒルベルト空間 – 数学におけるベクトル空間の種類
  • L-半内積 – すべてのノルム空間に適用できる内積の一般化
  • ${\displaystyle L^{p}}$空間 – 有限次元pノルム空間を一般化する関数空間
  • ソボレフ空間 – 数学における関数のベクトル空間
  • バナッハ格子 – 格子の適合構造を持つバナッハ空間
• バナッハ円板
• バナッハ多様体 – バナッハ空間をモデルとした多様体
  • バナッハ束
• 歪みの問題
• 補間空間 – 数学におけるベクトル空間
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 凸性の係数と特性
• スミス空間
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間
• ツィレルソン空間
• バナッハ・サックスの性質

注記

1. より技術的には正しいが（通常は）衒学的である「はノルム空間である」ではなく、「 はノルム空間である」と読むのが一般的です。特に、ノルムがよく知られている場合（空間など）や、他のノルムよりも特定の（同値な）ノルムを選択する必要がない場合（特に、より抽象的な位相ベクトル空間の理論）はそうです。その場合、このノルムは（必要な場合）自動的に で表されると想定されることがよくあります。ただし、ノルムが重視される状況では、ではなく と書かれることが一般的です。ノルム空間をペアとして技術的に正しく定義することは、ノルム空間、ノルム可能空間、距離空間、 TVS、位相空間などのカテゴリ間の区別が通常重要なカテゴリ理論のコンテキストでも重要になることがあります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ ${\displaystyle \|{\cdot }\|.}$ ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$
2. これは、ノルムが上の異なるノルムに置き換えられた場合、たとえノルムが同値であっても、 は と同じノルム空間ではないことを意味します。ただし、与えられたベクトル空間上のノルムの同値性は、同値関係を形成します。 ${\displaystyle \|{\cdot }\|}$ ${\displaystyle \|{\cdot }\|'}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$ ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|'),}$
3. ベクトル空間上の計量は、すべてのベクトルに対して次の場合、並進不変であると言われています。これは、すべてのベクトルに対して次の場合のみ発生します。ノルムによって誘導される計量は常に並進不変です。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D(x,y)=D(x+z,y+z)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ ${\displaystyle D(x,y)=D(x-y,0)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
4. すべて に対しては常に真であるため、この定義におけるとの順序は重要ではありません。 ${\displaystyle \|{-z}\|=\|z\|}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
5. 通常のノルムを持つ平方和可能列の可分ヒルベルト空間とし、を標準直交基底（つまり、それぞれが番目^の位置の a を除くすべての位置で零を持つ）とする。閉集合はコンパクトである（ は逐次コンパクトであるため）が、その凸包は閉集合ではない。なぜなら、点はにおけるの閉包に属するが、 におけるすべての点はの元の有限凸結合であるため、有限個数の座標を除くすべての座標で となるが、 においては は成り立たないからである。しかし、すべての完全ハウスドルフ局所凸空間と同様に、このコンパクト部分集合の閉凸包はコンパクトである。ベクトル部分空間は、ヒルベルト空間がその上に誘導する部分構造を有する場合、前ヒルベルト空間となるが、完全ではなく となる（ であるため）。におけるの閉凸包（ここで「閉じている」とは、前述のように に関してではなくに関してであることを意味する）は に等しく、これはコンパクトではない（完全部分集合ではないため）。これは、完全ではないハウスドルフ局所凸空間では、コンパクト部分集合の閉じた凸包がコンパクトにならない可能性があることを示しています（ただし、プレコンパクト/完全に有界になります）。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|{\cdot }\|_{2},}$ ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}$ ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S=\{0\}\cup \{{\tfrac {1}{n}}e_{n}\mid n=1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\textstyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\ldots )\in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z_{n}=0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle X:=\operatorname {span} S=\operatorname {span} \{e_{1},e_{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h\not \in C:=K\cap X}$ ${\displaystyle h\not \in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K\cap X,}$
6. で最大ノルムを持つ連続関数のバナッハ空間を表し、で によって誘導される上の位相を表すものとします。ベクトル空間は(包含写像により)すべてに対してを満たす空間の適切な稠密ベクトル部分空間として識別できます。で への制限を表し、この写像が上のノルムになるものとします(一般に、任意のノルムの任意のベクトル部分空間への制限は、必然的に再びノルムになります)。ノルム空間はバナッハ空間ではありません。なぜなら、その完備化は の適切なスーパーセットだからです。なぜなら、写像上で が成り立つためです。は連続です。それにもかかわらず、ノルムはノルムと同値ではありません(は完全ですが は完全ではないため)。 ${\displaystyle (C([0,1]),|{\cdot }\|_{\infty })}$ ${\displaystyle \tau _{\infty }}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle \|{\cdot }\|_{\infty }.}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle (L^{1}([0,1]),\|{\cdot }\|_{1}),}$ ${\displaystyle \|f\|_{1}\leq \|f\|_{\infty }}$ ${\displaystyle f\in X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|{\cdot }\|_{1}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (L^{1}([0,1]),\|{\cdot }\|_{1}).}$ ${\displaystyle p\leq \|{\cdot }\|_{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p:(X,\tau _{\infty })\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|{\cdot }\|_{\infty }}$ ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|_{\infty })}$ ${\displaystyle (X,p)}$
7. ノルム空間は 、絶対値が実数直線上のノルムであるバナッハ空間であり、上に通常のユークリッド位相を誘導します。 のすべての に対してによって上の計量を定義します。 の誘導計量と同様に、 の計量も 上に通常のユークリッド位相を誘導します。ただし、は完全計量ではありません。なぜなら、 によって定義される数列は-コーシー数列ですが、 のどの点にも収束しないからです。収束しない結果、この-コーシー数列は におけるコーシー数列にはなり得ません(つまり、ノルム に関するコーシー数列ではありません)。なぜなら、もし-コーシーであれば、がバナッハ空間であるという事実は、それが収束することを意味するからです (矛盾)。Narici & Beckenstein 2011、pp. 47–51 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{i}:=i}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$
8. 定理の主張は以下の通りである。ベクトル空間上の任意の計量 を、によって誘導される位相が位相ベクトル空間 を形成するものとし、が完備計量空間であるならば、は完備位相ベクトル空間となる。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$
9. この計量は並進不変であるとは仮定されていない。したがって、特にこの計量はノルムによって誘導される必要さえない。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$
10. 位相ベクトル空間上のノルム（または半ノルム）が連続であるための必要十分条件は、に誘導する位相がよりも粗い場合（つまり）であり、これはに（おそらく例えば のような） で開いている開球が存在する場合のみである。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{p}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \{x\in X\mid p(x)<1\}}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$
11. はの連続双対空間を表す。が の有界部分集合上の一様収束位相とも呼ばれる強双対空間位相 を持つ場合、これは と表記される（添え字 がの代わりに使用されることもある）。 がノルム を持つノルム空間である場合、この位相は双対ノルムによって誘導される上の位相に等しい。このように、強位相は上の通常のノルム誘導位相の一般化である。 ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X'_{b}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|{\cdot }\|}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'.}$
12. が開いているということは連続であることを意味するので、連続性の証明は簡単になります。なぜなら、これは、すべての実数とすべての実数に対してこれを示すのではなく、 に対して、および（ただし）で開いていることを示すだけで十分であることを意味するからです。 ${\displaystyle \{x\in X\mid |f(x)|<1\}}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{x\in X\mid |f(x)-f(x_{0})|<r\}}$ ${\displaystyle r:=1}$ ${\displaystyle x_{0}:=0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x_{0}\in X.}$

参考文献

1. ブルバキ 1987, V.87
2. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、93ページ。
3. Lumer, G. (1961). 「半内積空間」.アメリカ数学会誌. 100 (1): 29– 43. doi : 10.1090/S0002-9947-1961-0133024-2 .
4. Megginson (1998)の定理1.3.9、p.20を参照。
5. ウィランスキー 2013、29ページ。
6. Bessaga & Pełczyński 1975、p. 189
7. アンダーソンとショーリ 1969、p. 315.
8. ヘンダーソン 1969.
9. アリプランティスとボーダー 2006、p. 185.
10. Trèves 2006、145ページ。
11. Treves 2006、166–173 ページ。
12. コンラッド、キース。「ノルムの等価性」（PDF）。kconrad.math.uconn.edu 。2022年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。 2020年9月7日閲覧。
13. Megginson (1998)の系1.4.18、32ページを参照。
14. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、47–66頁。
15. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、47–51頁。
16. シェーファー＆ウォルフ 1999、35ページ。
17. Klee, VL (1952). 「群における不変計量（バナッハ問題の解）」(PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 3 (3): 484– 487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 . 2022年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) .
18. Trèves 2006、57–69ページ。
19. Trèves 2006、201ページ。
20. Gabriyelyan, SS「特定の局所可算ネットワークを持つ位相空間と位相群について（2014）」
21. Qiaochu Yuan (2012年6月23日). 「バナッハ空間（およびローヴェア計量、閉圏）」. Annoying Precision .
22. Narici & Beckenstein 2011、pp. 192–193。
23. バナッハ（1932年、182ページ）
24. Carothers（2005）の17～19ページを参照。
25. バナッハ（1932）11-12ページを参照。
26. Banach (1932)、Th.9、p.185を参照。
27. Carothers (2005)の定理6.1、p.55を参照
28. 関数解析に関するいくつかの書籍では、連続双対の表記法が使用されています。たとえば、Carothers (2005)、Lindenstrauss & Tzafriri (1977)、Megginson (1998)、Ryan (2002)、Wojtaszczyk (1991) などです。 ${\displaystyle X^{*}}$
29. 定理1.9.6、Megginson (1998) 75ページ
30. Megginson (1998)の定理2.2.26、p. 179も参照
31. Carothers（2005）19ページを参照。
32. 定理 1.10.16, 1.10.17 pp.94–95 in Megginson (1998)
33. 定理1.12.11、メギンソン（1998）112ページ
34. 定理2.5.16、Megginson（1998）の216ページ。
35. II.A.8、p.11を参照。 29位 ヴォイタシュチク (1991)
36. Megginson (1998)の定理2.6.23、p. 231を参照。
37. N. Bourbaki、(2004)、「Integration I」、Springer Verlag、 ISBN を参照 3-540-41129-1。
38. Eilenberg, Samuel (1942). 「位相幾何学におけるバナッハ空間法」Annals of Mathematics . 43 (3): 568– 579. doi :10.2307/1968812. JSTOR  1968812.
39. 計量化可能および計量化可能については、Banach (1932)、p. 170も参照。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L.}$
40. アミール、ダン (1965). 「連続関数空間の同型性について」.イスラエル数学ジャーナル. 3 (4): 205– 210. doi : 10.1007/bf03008398 . S2CID  122294213.
41. Cambern, M. (1966). 「一般化されたバナッハ・ストーン定理」. Proc. Amer. Math. Soc . 17 (2): 396– 400. doi : 10.1090/s0002-9939-1966-0196471-9 .Cambern , M. (1967). 「小さな境界を持つ同型について」Proc. Amer. Math. Soc . 18 (6): 1062– 1066. doi : 10.1090/s0002-9939-1967-0217580-2 .
42. Cohen, HB (1975). 「C ( X ) {\displaystyle C(X)} バナッハ空間間の境界2同型」. Proc. Amer. Math. Soc . 50 : 215–217 . doi : 10.1090/s0002-9939-1975-0380379-5 .
43. 例えば、 Arveson, W. (1976). An Invitation to C*-Algebra . Springer-Verlag. ISBNを参照。 0-387-90176-0。
44. RC James (1951). 「非反射的バナッハ空間等長空間とその第二共役空間」Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 37 (3): 174– 177. Bibcode :1951PNAS...37..174J. doi : 10.1073/pnas.37.3.174 . PMC 1063327 . PMID  16588998. 
45. Lindenstrauss & Tzafriri (1977)、25ページを参照。
46. bishop, E.を参照; Phelps, R. (1961). 「すべてのバナッハ空間が部分反射的であることの証明」Bull. Amer. Math. Soc . 67 : 97–98 . doi : 10.1090/s0002-9904-1961-10514-4 .
47. III.C.14、p. を参照。ヴォイタシュチクで140位（1991年）。
48. Diestel (1984)の系2、11ページを参照。
49. Diestel (1984)の85ページを参照。
50. Rosenthal, Haskell P (1974). 「ℓ1を含むバナッハ空間の特徴づけ」Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 71 (6): 2411– 2413. arXiv : math.FA/9210205 . Bibcode :1974PNAS...71.2411R. doi : 10.1073/pnas.71.6.2411 . PMC 388466 . PMID  16592162. Rosenthalの証明は実スカラーに対して行われます。この結果の複素版は、L. Dorによるものです。Dor , Leonard E (1975). "On sequence spanning a complex ℓ1 space". Proc. Amer. Math. Soc . 47 : 515– 516. doi : 10.1090/s0002-9939-1975-0358308-x .
51. Diestel (1984) 201ページを参照。
52. Odell, Edward W.; Rosenthal, Haskell P. (1975), "A double-dual characterization of separable Banach spaces containing ℓ1" (PDF) , Israel Journal of Mathematics , 20 ( 3– 4): 375– 384, doi : 10.1007/bf02760341 , S2CID 122391702, 2022年10月9日時点のオリジナルより アーカイブ(PDF)。
53. OdellとRosenthal、Sublemma p.378およびRemark p.379。
54. Baire類の点単位コンパクト部分集合の詳細については、Bourgain, Jean ; Fremlin, DH; Talagrand, Michel (1978)「Pointwise Compact Sets of Baire-Measurable Functions」、Am. J. Math.、100 (4): 845– 886、doi :10.2307/2373913、JSTOR  2373913を参照。。
55. Megginson (1998)の命題2.5.14、215ページを参照。
56. たとえば、p. を参照してください。 49、II.C.3、Wojtaszczyk (1991)。
57. Megginson (1998)の系2.8.9、251ページを参照。
58. Lindenstrauss & Tzafriri (1977) p. 3を参照。
59. この質問はバナッハの著書『バナッハ（1932）』238ページ、§3に掲載されています。
60. SV Bočkarev「円板内解析関数空間における基底の存在とフランクリンシステムのいくつかの性質」（ロシア語）Mat. Sb. (NS) 95(137) (1974), 3–18, 159を参照。
61. Enflo, P. (1973). 「バナッハ空間における近似特性の反例」を参照。Acta Math . 130 : 309–317 . doi : 10.1007/bf02392270 . S2CID  120530273.
62. RC James, "Bases and reflexivity of Banach spaces". Ann. of Math. (2) 52, (1950). 518–527. また、Lindenstrauss & Tzafriri (1977) p. 9も参照。
63. A. Grothendieck、「Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires」を参照。メム。アメール。数学。社会1955年（昭和30年）、いいえ。 16、140ページ、およびA. Grothendieck、「Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques」。ボル。社会マット。サンパウロ 8 1953 1–79。
64. Ryan（2002）の第2章15ページを参照。
65. Ryan（2002）の第3章45ページを参照。
66. Ryan (2002)の例2.19、29ページ、49～50ページを参照。
67. Ryan (2002)の命題4.6、p.74を参照。
68. Pisier, Gilles (1983)「Grothendieck予想に対する反例」Acta Math. 151 :181–208を参照。
69. Szankowski, Andrzej (1981)、「近似特性を持たない」、Acta Math. 147 : 89–108を参照。Ryanは、この結果はRyan (2002)の74ページのPer Enfloによるものだと主張している。 ${\displaystyle B(H)}$
70. Kwapień, S. (1970)「内積空間の線形位相的特徴付け」Studia Math. 38 :277–278を参照。
71. リンデンシュトラウス, ヨラム; ツァフリリ, リオール (1971). 「相補部分空間問題について」.イスラエル数学ジャーナル. 9 (2): 263– 269. doi : 10.1007/BF02771592 .
72. 16 ページを参照してください。バナッハ (1932) で 245。そこでは均一性の性質を「propriété (15)」と呼んでいます。バナッハは次のように書いています。「次元の無限の例を考えると、固有の同形性は存在しません (15)」。 ${\displaystyle (L^{2}).}$
73. Gowers, WT (1996)、「バナッハ空間の新しい二分法」、Geom. Funct. Anal. 6 :1083–1093。
74. Gowers, WT (1994). 「バナッハの超平面問題の解」Bull. London Math. Soc . 26 (6): 523– 530. doi :10.1112/blms/26.6.523を参照。
75. Komorowski , Ryszard A.; Tomczak-Jaegermann, Nicole (1995). 「局所無条件構造を持たないバナッハ空間」. Israel Journal of Mathematics . 89 ( 1–3 ): 205– 226. arXiv : math/9306211 . doi : 10.1007/bf02808201 . S2CID  5220304. を参照。また、Komorowski, Ryszard A.; Tomczak-Jaegermann, Nicole (1998). 「Erratum to: Banach spaces without local unconditional structure. Israel Journal of Mathematics . 105 : 85– 92. arXiv : math/9607205 . doi : 10.1007/bf02780323 . S2CID  18565676.
76. C. ベッサガ、A. ペチンスキ (1975)。無限次元トポロジーの選択されたトピック。パンストウェウィド。ナウコウェ。177～ 230ページ 。
77. H. Torunczyk (1981).ヒルベルト空間位相の特徴づけ. Fundamenta Mathematicae. pp.  247– 262.
78. Milyutin, Alekseĭ A. (1966), 「連続体の濃度のコンパクト集合上の連続関数の空間の同型性」 (ロシア語) Teor. Funkciĭ Funkcional. Anal. i Priložen. Vyp. 2 :150–156.
79. ミルティン。ローゼンタール、ハスケルP.「バナッハ空間C(K)」『バナッハ空間の幾何学ハンドブック』第2巻、1547-1602ページ、北ホラント、アムステルダム、2003年も参照。
80. α = ω ^βnを取ることができます。ここで、はカントール-ベンディクソンの順位であり、は- 番目の導出セット内の点の有限数です。Mazurkiewicz , Stefan を参照。 Sierpiński、Wacław (1920)、「Contribution à la topologie des ensembles dénombrables」、Fundamenta Mathematicae 1: 17–27。 ${\displaystyle \beta +1}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle K(\beta )}$ ${\displaystyle K.}$
81. Bessaga, Czesław; Pełczyński, Aleksander (1960)「連続関数の空間。IV.連続関数の空間の同型分類について」、Studia Math. 19 :53–62。

参考文献

• アリプランティス, チャラランボス D. ;ボーダー, キム C. (2006). 『無限次元解析：ヒッチハイク・ガイド（第3版）』 ベルリン: シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC  262692874。
• アンダーソン, RD; ショリ, R. (1969). 「無限次元多様体の因数」(PDF) .アメリカ数学会誌. 142.アメリカ数学会 (AMS): 315– 330. doi :10.1090/s0002-9947-1969-0246327-5. ISSN  0002-9947.
• バックマン、ジョージ、ナリシ、ローレンス (2000). 『関数分析』（第2版）ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版. ISBN 978-0486402512. OCLC  829157984。
• ステファン・バナハ（1932年）。 Théorie des Opérations Linéaires [線形演算の理論] (PDF)。 Monografie Matematyczne (フランス語)。 Vol. 1. ワルシャワ: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej。Zbl  0005.20901。2014 年 1 月 11 日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2020年7月11日に取得。
• ボーザミー、バーナード（1985）[1982]、バナッハ空間とその幾何学入門（第2改訂版）、ノースホラント.*ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190。
• ベッサガ、Ｃ． Pełczyński、A. (1975)、無限次元トポロジーの選択されたトピック、Monografie Matematyczne、ワルシャワ: Panstwowe wyd。ナウコウェ。
• カロザース、ニール・L.（2005）「バナッハ空間理論の短期講座」ロンドン数学会学生テキスト第64巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、pp. xii+184、ISBN 0-521-84283-2。
• コンウェイ、ジョン(1990). 『関数解析コース』 . 『Graduate Texts in Mathematics』 . 第96巻 (第2版). ニューヨーク: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908。
• ディーステル、ジョセフ（1984）、バナッハ空間における数列と級数、大学院数学テキスト第92巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp. xii+261、ISBN 0-387-90859-5。
• ダンフォード、ネルソン、シュワルツ、ジェイコブ・T.、WG・ベイド、RG・バートルの協力（1958年）、線形演算子I.一般理論、純粋および応用数学、第7巻、ニューヨーク：インターサイエンス出版社、MR  0117523
• エドワーズ、ロバート・E. (1995). 『関数解析：理論と応用』 ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-68143-6OCLC  30593138 。
• グロタンディーク、アレクサンダー(1973). 『位相ベクトル空間』 . チャルジュブ、オーランド訳. ニューヨーク: ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098。
• ヘンダーソン, デイヴィッド・W. (1969). 「無限次元多様体はヒルベルト空間の開集合である」. Bull. Amer. Math. Soc . 75 (4): 759– 762. doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 . MR  0247634.
• カレルラ, SM (1982).位相ベクトル空間における反例.数学講義ノート. 第936巻. ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370。
• Lindenstrauss, ヨラム; Tzafriri、Lior (1977)、Classical Banach Spaces I、Sequence Spaces、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、vol. 92、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 3-540-08072-4。
• メギンソン、ロバート・E.（1998）「バナッハ空間理論入門」、Graduate Texts in Mathematics、第183巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp. xx+596、ISBN 0-387-98431-3。
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• リース、フレデリック;シズ＝ナジ、ベーラ(1990) [1955].関数解析. ボロン、レオ・F. 訳. ニューヨーク:ドーバー出版. ISBN 0-486-66289-6. OCLC  21228994。
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• ライアン、レイモンド A. (2002)、「バナッハ空間のテンソル積入門」、シュプリンガー数学モノグラフ、ロンドン：シュプリンガー出版社、pp. xiv+225、ISBN 1-85233-437-1。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• シュワルツ、チャールズ (1992). 『関数解析入門』 ニューヨーク: M. デッカー. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。
• ウィランスキー、アルバート(2013). 『位相ベクトル空間における現代的手法』 ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114。
• Wojtaszczyk, Przemysław (1991), Banach spaces for analyzers , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 25, Cambridge: Cambridge University Press, pp. xiv+382, ISBN 0-521-35618-0。

外部リンク

• 「バナッハ空間」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「バナッハ・スペース」。マスワールド。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Banach_space&oldid=1303112749"