同値類

Mathematical concept

合同は同値関係の一例です。左端の2つの三角形は合同ですが、3番目と4番目の三角形はここに示されている他のどの三角形とも合同ではありません。したがって、最初の2つの三角形は同じ同値類に属し、3番目と4番目の三角形はそれぞれ独自の同値類に属します。

数学において、ある集合 の要素が同値性の概念（同値関係として形式化される）を持つ場合、その集合を自然に同値類に分割することができます。これらの同値類は、要素と が同じ同値類に属する場合、かつ が同値である場合に限り、同じ同値類に属するように構築されます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

正式には、集合と の同値関係が与えられたとき、の元の同値類は と表記される。あるいは、同値関係を強調するためにと表記され、は と-関係にある のすべての元の集合として定義される。同値関係の定義は、同値類が意味の分割を形成し 、集合のすべての要素がちょうど1つの同値類に属することを意味する。同値類の集合は、によるの商集合または商空間と呼ばれることもあり、 によって表される。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle [a]_{\sim }}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sim ,}$ ${\displaystyle S/{\sim }.}$

集合が何らかの構造（群演算や位相など）を持ち、同値関係がこの構造と両立する場合、商集合は親集合から同様の構造を継承することが多い。例としては、線型代数における商空間、位相における商空間、商群、同質空間、商環、商モノイド、商圏などが挙げられる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sim }$

定義と表記

集合上の同値関係は、 3つの性質を満たす二項関係である: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle a\sim a}$すべて（反射性）に対して、 ${\displaystyle a\in X}$
• ${\displaystyle a\sim b}$すべて（対称性）に対して、 ${\displaystyle b\sim a}$ ${\displaystyle a,b\in X}$
• すべてに対して(推移性) 。 ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle b\sim c}$ ${\displaystyle a\sim c}$ ${\displaystyle a,b,c\in X}$

要素の同値類は次のように定義される^[2] ${\displaystyle a}$

${\displaystyle [a]=\{x\in X:a\sim x\}.}$

「同値類」という用語における「クラス」という言葉は、一般的に「集合」の同義語とみなされますが、同値類の中には集合ではなく真正なクラスであるものもあります。例えば、「同型である」は群上の同値関係であり、同型類と呼ばれる同値類は集合ではありません。

同値関係に関するにおける同値類全体の集合は と表記され、 を法として（あるいは ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X/R,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$の商集合）。^[3]からの各要素をその同値類に写す射影写像は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\mapsto [x]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/R,}$正準全射、または正準射影。

同値類の元はどれもその類を特徴づけ、その類を表すために用いることができる。そのような元が選択されると、それは類の代表と呼ばれる。各類における代表の選択は、 XからXへの射影を定義する。その射影は標準射影と合成されるため、圏論の用語を用いる場合、そのような射影の恒等写像は切断と呼ばれる。 ${\displaystyle X/R}$ ${\displaystyle X/R,}$

時には、他の部分よりも「自然」な部分が存在することがあります。この場合、代表値は標準代表値と呼ばれます。例えば、モジュラー算術において、1より大きい任意の整数 mに対して、mを法とする合同性は整数の同値関係であり、2 つの整数aとbは等価です（この場合、合同であると言います） 。m がこれを割り切る場合、 と表されます。各クラスには、 より小さい一意の非負整数が含まれており、これらの整数が 標準代表値 と呼ばれます。 ${\displaystyle a-b;}$ ${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$ ${\displaystyle m,}$

クラスを表すために代表を用いることで、クラスを明示的に集合として考える必要がなくなります。この場合、要素をそのクラスに写す標準射影は、要素をそのクラスの代表に写す関数に置き換えられます。前の例では、この関数は と表記され、 aをmでユークリッド除算した剰余を生成します。 ${\displaystyle a{\bmod {m}},}$

プロパティ

同値関係を持つ集合 に対して、のすべての要素は反射性により同値類の要素となる（すべての に対して）。 と のすべての同値類は、の場合に等しいか、そうでない場合は互いに素である。したがって、 のすべての同値類の集合はの分割を形成する。つまり、のすべての要素は、ただ1つの同値類に属する。^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle a\sim a}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle [y]}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

逆に、集合 に対しては、あらゆる分割はこのように同値関係から生じ、異なる関係は異なる分割を与える。したがって、と が分割の同じ集合に属する場合、かつその場合のみである。 ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

前のセクションの特性から、 が集合上の同値関係であり、と が次のステートメントの 2 つの要素である場合、これらは同値であることがわかります。 ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle x\sim y}$、
• ${\displaystyle [x]=[y]}$、 そして
• ${\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset .}$

例

• を平面上のすべての長方形の集合とし、同値関係が「面積が同じ」であるとすると、すべての正の実数に対して、面積が同じであるすべての長方形の同値類が存在することになる^[6]。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A.}$
• 整数集合 における法2の同値関係を考えてみましょう。この関係において、 はそれらの差が偶数である場合に限ります。この関係は、正確に2つの同値類を生み出します。1つの類はすべて偶数から成り、もう1つの類はすべて奇数から成ります。この関係における同値類を表すために、類の1つの要素を角括弧で囲みます。そして、すべては^[2]の同じ要素を表します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle [7],[9],}$ ${\displaystyle [1]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /{\sim }.}$
• を非ゼロの整数の順序付きペアの集合とし、が である場合に限り、 となるような同値関係を で定義し、そのペアの同値類を有理数と同一視することができ、この同値関係とその同値類を使って有理数集合の正式な定義を与えることができる。^[7]同じ構成を任意の整域の分数の体に一般化することができる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$ ${\displaystyle ad=bc,}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a/b,}$
• が、例えばユークリッド平面上のすべての直線から成り、かつ と が平行線であることを意味する場合、互いに平行な直線の集合は、直線がそれ自身と平行であるとみなされる限り、同値類を形成します。この場合、各同値類は無限遠点を決定します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\sim M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$

グラフィカルな表現

7つのクラスの同値例のグラフ

無向グラフは、頂点が の要素であり、2つの頂点が の要素である集合上の任意の対称関係に関連付けることができ、それらの頂点が の要素であり、かつ の場合にのみ連結されている。これらのグラフの中には、同値関係のグラフが含まれる。これらのグラフはクラスターグラフと呼ばれ、連結成分がクリークであるグラフとして特徴付けられる。^[2] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s\sim t.}$

不変量

が上の同値関係であり、が真であるとき、が真であるとき、その性質は の不変量である、または関係の下で明確に定義されていると言われる。 ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\sim y,}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \,\sim \,,}$ ${\displaystyle \,\sim .}$

が別の集合 からへの関数である場合、よくある特殊なケースが発生します。 のときはいつでも、は の下でクラス不変である、あるいは単にの下で不変であると言われます。これは例えば、有限群のキャラクタ理論で発生します。著者の中には、「 の下で不変」という表現の代わりに、「 と互換性がある」や単に「 を尊重する」という表現を使う人もいます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}\sim x_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \,\sim \,,}$ ${\displaystyle \,\sim .}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$

任意の関数 は、の同値類に従って、が に写像されるすべての要素の集合である。つまり、はの逆像である。この同値関係はの核として知られている。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \,\sim \,,}$ ${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$ ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle f.}$

より一般的には、関数は（上の同値関係の下で）同値な引数を（上の同値関係の下で）同値な値に写像することができる。このような関数は、同値関係を備えた集合の射である。 ${\displaystyle \sim _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim _{Y}}$ ${\displaystyle Y}$

位相幾何学における商空間

位相幾何学において、商空間とは、位相空間上の同値関係の同値類の集合上に形成される位相空間であり、元の空間の位相を使用して同値類の集合上に位相を作成します。

抽象代数では、代数の基礎集合上の合同関係により、その代数から関係の同値類上の代数を誘導することができ、これを商代数と呼ぶ。線型代数では、商空間は商群をとることで形成されるベクトル空間であり、ここで商準同型は線型写像となる。拡張により、抽象代数では、商空間という用語は、商加群、商環、商群、または任意の商代数に対して使用されることがある。しかし、より一般的なケースにおいてこの用語を使用する際には、群作用の軌道との類推が用いられることが多い。

集合に対する群作用の軌道は、特に、群作用の軌道が、群の部分群の左並進による作用から生じる群の部分群の右剰余類である場合、またはそれぞれ、右並進による軌道としての左剰余類である場合、集合に対する作用の商空間と呼ばれることがあります。

位相群の正規部分群は、並進作用によって群に作用し、位相、抽象代数、群作用の意味で同時に商空間となります。

この用語は、任意の同値関係の同値類の集合、場合によっては更なる構造を持つものにも使用できるが、この用語の使用意図は、一般的に、集合上の同値関係の種類を、群作用の軌道上の同種構造から同値類の集合に何らかの構造を誘導する同値関係と比較することである。同値関係によって保存される構造の意味と、群作用における不変量の研究は、いずれも上記に示した同値関係の不変量の定義につながる。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$

参照

• 同値分割法、可能な入力のプログラムカバレッジに基づいてソフトウェアテストセットを考案する方法
• 同次空間、リー群の商空間
• 部分同値関係 – オブジェクトを比較するための数学的概念
• 同値関係による商 – 同値類のスキーム理論への一般化
• セトイド – 同値関係を持つ集合の数学的構成
• 横断的（組合せ論）  - 集合族のすべてと交差する集合

注記

1. デブリン2004、122ページ。
2. デブリン 2004、123ページ。
3. ウルフ 1998、178ページ
4. マドックス 2002, p. 74, Thm. 2.5.15
5. アベルスガード 1989, p. 132, Thm. 3.16
6. アベルスガード 1989, 127ページ
7. マドックス 2002、77～78ページ

参考文献

• アベルスガード、キャロル（1989）、高等数学の基礎、スコット・フォレスマン、ISBN 0-673-38152-8
• デブリン、キース（2004年）、集合、関数、論理：抽象数学入門（第3版）、チャップマン＆ホール/ CRCプレス、ISBN 978-1-58488-449-1
• マドックス、ランドール・B.（2002）『数学的思考とライティング』ハーコート/アカデミック・プレス、ISBN 0-12-464976-9
• スタイン、エリアス・M.; シャカルチ、ラミ (2012). 『関数解析：解析のさらなるトピックスへの入門』 プリンストン大学出版局. doi :10.1515/9781400840557. ISBN 978-1-4008-4055-7。
• ウルフ、ロバート・S.（1998）、証明、論理、推測：数学者の道具箱、フリーマン、ISBN 978-0-7167-3050-7

さらに読む

• サンドストロム（2003）「数学的推論：文章と証明」、プレンティス・ホール
• スミス、エッゲン、セント・アンドレ（2006年）、上級数学への移行（第6版）、トムソン（ブルックス/コール）
• シューマッハー、キャロル（1996）、第0章：抽象数学の基本概念、アディソン・ウェスレー、ISBN 0-201-82653-4
• オリアリー（2003）『証明の構造：論理と集合論』プレンティス・ホール
• レイ（2001）「分析と証明の入門」プレンティス・ホール
• モラッシュ、ロナルド・P.（1987）『抽象数学への架け橋』ランダムハウス、ISBN 0-394-35429-X
• ギルバート、ヴァンストーン（2005年）、数学的思考入門、ピアソン・プレンティス・ホール
• フレッチャー、パティ、高等数学の基礎、PWS-ケント
• イグレヴィッツ、ストイル『数学的推論入門』マクミラン
• D'Angelo; West (2000)、数学的思考：問題解決と証明、Prentice Hall
• クピラーリ『証明の要点』ワズワース
• ボンド著『抽象数学入門』ブルックス／コール社
• バニエ、フェルドマン（2000年）、上級数学入門、プレンティスホール
• アッシュ、抽象数学入門、MAA

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