構築可能な宇宙

Particular class of sets which can be described entirely in terms of simpler sets

数学の集合論において、構成可能宇宙（またはゲーデルの構成可能宇宙）は、より単純な集合で完全に記述できる特定の集合のクラスである。は構成可能階層の和集合である。これは、クルト・ゲーデルが1938年の論文「選択公理と一般化連続体仮説の無矛盾性」で導入した。 ^[1]この論文で、ゲーデルは構成可能宇宙がZF集合論（つまり、選択公理を除いたツェルメロ-フランケル集合論）の内部モデルであること、また選択公理と一般化連続体仮説が構成可能宇宙において真であることを証明した。これは、ZF自体が無矛盾であれば、両方の命題が集合論の基本公理と無矛盾であることを示している。他の多くの定理は、命題の一方または両方が真であるシステムでのみ成立するため、それらの無矛盾性は重要な結果である。 ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$

何Lは

${\displaystyle L}$は、フォン・ノイマン宇宙の構築に似た「段階」で構築されると考えることができる。各段階は順序数でインデックス付けされる。フォン・ノイマン宇宙では、次の段階では、 は前の段階のすべての部分集合の集合となる。対照的に、ゲーデルの構成可能宇宙 では、前の段階の部分集合のうち、以下のもののみを使用する。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle L}$

• 集合論の形式言語の式で定義できる、
• 前の段階のパラメータと、
• 量指定子は前の段階の範囲に解釈されます。

すでに構築されているもののみで定義された集合に限定することで、結果として得られる集合が、集合論の周囲のモデルの特殊性から独立した方法で構築され、そのようなモデルに含まれることが保証されます。

Def演算子を定義する: ^[2]

$${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{y\mid y\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\}~{\Big |}~\Phi {\text{ is a first-order formula and }}z_{1},\ldots ,z_{n}\in X{\Bigr \}}.}$$

${\displaystyle L}$は超限再帰によって次のように定義されます。

• ${\textstyle L_{0}:=\varnothing .}$
• ${\textstyle L_{\alpha +1}:=\operatorname {Def} (L_{\alpha }).}$
• が極限順序数の場合、は に先行することを意味します。 ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle L_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }.}$ ${\textstyle \alpha <\lambda }$ ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle \lambda }$
• ${\textstyle L:=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {Ord} }L_{\alpha }.}$ここで、Ord はすべての順序数のクラスを表します。

が の要素である場合、 となる。^[3]はの部分集合であり、 はの冪集合の部分集合である。したがって、これは入れ子になった推移集合の塔である。しかし、自体は真クラスである。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle z=\{y\in L_{\alpha }\ {\text{and}}\ y\in z\}\in {\textrm {Def}}(L_{\alpha })=L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L}$

の元は「構成可能」集合と呼ばれ、自身は「構成可能宇宙」です。「構成可能性公理」、別名「」は、 の任意の集合（）は構成可能、すなわち において であると述べています。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

L集合に関する追加情報_α

の同等の定義は次のとおりです。 ${\displaystyle L_{\alpha }}$

任意の順序数 の場合、。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }\operatorname {Def} (L_{\beta })\!}$

任意の有限順序数 に対して、集合と は同じ（等しいかどうかに関わらず）であり、したがって=です。つまり、それらの要素は遺伝的に有限な集合とまったく同じです。この点を超える等式は成立しません。が に等しいZFCモデルでも、は の真部分集合であり、それ以後はすべての に対して のべき集合 の真部分集合です。一方、 は、例えば がアクセスできない場合など、がに等しいことを意味します。より一般的には、 はすべての無限基数 に対して= を意味します。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\omega }}$ ${\displaystyle V_{\omega }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle V_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha >\omega }$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha =\omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

が無限順序数である場合、との間には一対一関係が存在し、その一対一関係は構成可能である。したがって、これらの集合は、それらを含む集合論の任意のモデルにおいて同数である。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

上で定義したように、は、（レヴィ階層、すなわち、有界量指定子のみを含む集合論の式に関して）式によって定義される部分集合の集合であり、その要素としてのみパラメータとして使用される。 ^[4] ${\displaystyle {\textrm {Def}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta _{0}}$ ${\displaystyle X}$

ゲーデルによる別の定義では、それぞれを、ゲーデルの演算と同様に、9つの明示的な関数の集合によるの冪集合と の閉包との共通部分として特徴づけている。この定義では定義可能性については言及されていない。 ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }\cup \{L_{\alpha }\}}$

の算術的部分集合と 上の関係はすべてに属します（算術定義により において が1つ得られるため）。逆に、に属するの任意の部分集合は算術的です（ の元は自然数でコード化でき、 が定義可能、すなわち算術的であるため）。一方、は既に の算術的ではない部分集合、例えば（自然数コード化）真の算術的ステートメントの集合（これは から定義できるために属する）などを含んでいます。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\omega }}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L_{\omega +2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle L_{\omega +2}}$

のすべての超算術的部分集合と 上の関係は（ はチャーチ・クリーネ順序数を表す）に属し、逆にに属する の任意の部分集合は超算術的である。^[5] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}}$ ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}}$

LはZFCの標準的な内部モデルである

${\displaystyle (L,\in )}$は標準モデルです。つまり、 は推移的クラスであり、その解釈では実数元の関係が使用されるため、整基礎です。は内部モデルです。つまり、 のすべての順序数が含まれており、 の集合以外に「余分な」集合はありません。ただし、は厳密に のサブクラスである可能性があります。はZFCのモデルであり、次の公理を満たすことを意味します。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

• 正則性の公理: 空でないすべての集合には、 と が互いに素な集合となるような要素が含まれています。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle (L,\in )}$は の部分構造であり、 は整列しているので、は整列しています。特に の場合、の推移性により、 が成り立ちます。これをと同じように に適用すると、 は と依然として素です。なぜなら、同じ要素関係を使用しており、新しい集合は追加されていないからです。 ${\displaystyle (V,\in )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y\in x\in L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y\in L}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$

• 外延性公理: 2 つの集合は同じ要素を持っている場合、それらは同じです。

とが に存在し、 に同じ要素を持つ場合、の推移性により、 には同じ要素（）が含まれます。したがって、 と は等しい（ では等しく、 では等しくなります）。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

• 空集合の公理: {} は集合です。

${\displaystyle \{\}=L_{0}=\{y\mid y\in L_{0}\land y=y\}}$は にあります。つまり です。要素関係は同じで、新しい要素は追加されていないため、これは の空集合です。 ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle \{\}\in L}$ ${\displaystyle L}$

• ペアリング公理: 、が集合である場合、は集合です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$

かつ ならば、かつ となる順序数が存在する。すると となる。したがって、および はに対して と同じ意味を持つ。 ${\displaystyle x\in L}$ ${\displaystyle y\in L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \{x,y\}=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;(s=x\;\mathrm {or} \;s=y)\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \{x,y\}\in L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$

• 和集合の公理: 任意の集合には、その要素がまさにその集合の要素の要素である集合が存在する。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

の場合、 の要素は に含まれ、 の要素も に含まれます。は のサブセットであるため、 になります。すると になります。したがって になります。 ${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;z\in x\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;s\in z\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle y\in L}$

• 無限公理:が に含まれるような集合が存在し、が に含まれるときはいつでも、その和集合も に含まれる。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\cup \{y\}}$

超限帰納法を用いて各順序数が に属することを示すことができます。特に、であり、したがって です。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \omega \in L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle \omega \in L}$

• 分離公理: 任意の集合と任意の命題が与えられた場合、は集合である。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\}}$

の部分公式に基づく帰納法によって、と を含み、（がで真であるとき、かつ が で真であるときに限ります）が存在することが示せます。後者は「反射原理」と呼ばれます。したがって、= です。したがって、 の部分集合は に含まれます。^[6] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L_{\alpha }\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$

• 置換公理: 任意の集合と任意のマッピング(およびが を意味する命題として正式に定義)が与えられた場合、は集合です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle P(x,z)}$ ${\displaystyle y=z}$ ${\displaystyle \{y\mid \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\}}$

を に相対化する式とします。つまり、 のすべての量指定子はに制限されます。は よりもはるかに複雑な式ですが、それでも有限式であり、 がへの写像であったため、はへの写像でなければなりません。したがって、 の置換を に適用できます。つまり、=は の集合であり、 のサブクラスです。 の置換公理をもう一度使用すると、 が存在し、この集合が のサブセットであることがわかります。次に、 の分離公理を使用して、 が の元であることを示します。 ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \{y\mid y\in L\;\mathrm {and} \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}}$ ${\displaystyle \{y\mid \mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;\mathrm {x} \in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;Q(x,y)\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

• べき集合の公理: 任意の集合に対して、 の要素がのサブセットと正確に一致するような集合 が存在する。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

一般に、 内の集合の一部のサブセットはに含まれません。したがって、 内の集合の全体のべき集合は、通常 には含まれません。ここで必要なのは、 とのべき集合の共通部分が に含まれることを示すことです。での置換を使用して、共通部分が のサブセットとなるような α が存在することを示します。そうすると、共通部分は になります。したがって、必要な集合は に含まれます。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \{z\mid z\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;z\;\mathrm {is} \;\mathrm {a} \;\mathrm {subset} \;\mathrm {of} \;x\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$

• 選択公理: 互いに素な空でない集合の集合が与えられたとき、の各メンバーから正確に 1 つの要素を含む集合( の選択集合) が存在します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Lの定義可能な整列が存在することが、特に定義と出現階数に基づいて示される。したがって、 の各要素の最小元を選択して、の和公理と分離公理を用いて、 Lを形成する。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$

が ZFC のモデルであることの証明には、が ZF のモデルであることのみが必要であることに注意してください。つまり、選択公理が で成り立つとは仮定しません。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Lは絶対的かつ最小である

が と同じ順序数を共有するZFの標準モデルである場合、 で定義されるは で定義されると同じになります。特に、は任意の順序数 に対して、およびで同じです。また、 における同じ式とパラメータは、において同じ構成可能集合を生成します。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathrm {Def} (L_{\alpha })}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$

さらに、は のサブクラスであり、同様に はのサブクラスであるため、はZF の内部モデルとなるすべての順序数を含む最小のクラスです。実際、はそのようなすべてのクラスの積集合です。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

にZFの内部モデルとなる集合 があり、順序数が に現れる順序数の集合である場合、 はのである。ZFの標準モデルとなる集合がある場合、そのような最小の集合は となる。この集合はZFCの極小モデルと呼ばれる。下向きレーヴェンハイム・スコーレム定理を用いることで、極小モデル（存在する場合）が可算集合であることを示すことができる。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$

もちろん、無矛盾な理論には必ずモデルが存在するため、集合論の極小モデルの中にも、ZF のモデルとなる集合が存在します（ZF が無矛盾であると仮定した場合）。しかし、これらの集合モデルは非標準的です。特に、通常の元関係を用いておらず、十分な根拠がありません。

「内で構築」と「内で構築」はどちらも実数 となり、のと の はどちらも実数となるため、 はにおいて真であり、は ZF のモデルであればどれでも真となります。しかし、は ZF の他の標準モデルでは成立しません。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V=L}$

Lと大きなカーディナル

であるため、関数やその他の構造 (つまり、式) の欠如に依存する順序数の特性は、からに下げても保持されます。したがって、の初期順序数はにおいて初期順序数のままです。正則順序数はにおいて正則順序数のままです。一般化連続体仮説が において成り立つため、弱極限基数はにおいて強極限基数になります。弱アクセス不可能基数はにおいて強アクセス不可能になります。弱Mahlo 基数はにおいて強 Mahlo になります。さらに一般的には、0 ^#より弱い任意の大きな基数特性(大きな基数特性のリストを参照) は において保持されます。 ${\displaystyle \mathrm {Ord} \subset L\subseteq V}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{\mathrm {ZF} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

しかし、 はでは真であっても偽である。したがって、 の存在が示唆するすべての大きな基数は、それらの大きな基数的性質を失うが、それらが同時に持つ性質よりも弱い性質は保持する。例えば、測定可能な基数はでは測定可能ではなくなるが、 Mahlo のままである。 ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$

が で成り立つ場合、で順序識別不可能な閉じた非有界順序数クラスが存在する。これらのいくつかは の初期順序数ですらないが、よりも弱い大きな基数特性をすべて備えている。さらに、この順序識別不可能なクラスからそれ自身への任意の厳密に増加するクラス関数は、一意に の への基本埋め込みに拡張できる。[引用が^{必要]これ}により、繰り返しセグメントの適切な構造が得られる。 ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Lは整然と並べることができる

を整列させる方法は様々です。その一つに、の「微細構造」が挙げられます。これは、ロナルド・ビョルン・イェンセンが1972年に発表した論文「構築可能な階層構造の微細構造」で初めて説明されました。ここでは微細構造の説明ではなく、上記の定義のみを用いて がどのように整列化されるかについて、概要を説明します。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

とが における異なる集合であるとし、または かどうかを判定したいとします。 がに初めて現れ、が に初めて現れ、 がと異なる場合、 の場合にのみが成り立ちます。以降、 と仮定します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha <\beta }$ ${\displaystyle \beta =\alpha }$

この段階では、集合とを定義するために、からのパラメータを持つ式が用いられます。（今のところは）パラメータを無視すれば、これらの式は自然数によって標準的なゲーデル数付けで表すことができます。が を定義するために使用できる最小のゲ​​ーデル数を持つ式であり、が を定義するために使用できる最小のゲ​​ーデル数を持つ式であり、 がと異なる場合、ゲーデル数付けにおいて が成り立つ場合、かつ が成り立つ場合に限り、 <とします。以降、 と仮定します。 ${\displaystyle L_{\alpha +1}=\mathrm {Def} (L_{\alpha })}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi <\Psi }$ ${\displaystyle \Psi =\Phi }$

が からのパラメータを使用するものとします。 はを定義するためにで使用できるパラメータの列であり、 も同様に について行われるものとします。そして、 がまたは (および) または (およびおよび) などのいずれかである場合に限り、とします。これは逆辞書式順序と呼ばれます。集合の 1 つを定義するパラメータの列が複数ある場合、この順序付けの下で最小のものを選択します。各パラメータの可能な値はから への順序付けの制約に従って順序付けられると理解されているので、この定義は 上の超限再帰を含みます。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle z_{n}<w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n}=w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n-1}<w_{n-1}}$ ${\displaystyle z_{n}=w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n-1}=w_{n-1}}$ ${\displaystyle z_{n-2}<w_{n-2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

単一パラメータの値の整列性は、超限帰納法の帰納的仮定によって提供される。パラメータの組の値は、積の順序付けによって整列される。パラメータを含む式は、整列性の順序付けの和（ゲーデル数による）によって整列される。そして、は、上の順序付けの和（ で添え字付け）によって整列される。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$

この整列順序は、パラメータを持たず、自由変数 と のみを持つ集合論の式によって、それ自体の中で定義できることに注目してください。また、この式は、、 、 （同じ順序数を持つ ZF の他の標準モデル）のいずれで評価されても同じ真理値を与え、またはのいずれかがにない場合は式が偽であると仮定します。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$

選択公理は、あらゆる集合を整列させる能力と同値であることはよく知られています。（ここで を用いて行ったように）真集合を整列させる能力は、大域選択公理と同値であり、これは空でない集合の真集合もカバーするため、 通常の選択公理よりも強力です。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

L反射原理を持つ

分離公理、置換公理、選択公理が成り立つことを証明するには（少なくとも上で示したように）、 の反射原理を用いる必要がある。ここではそのような原理について説明する。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

の帰納法により、 で ZF を使用して、任意の順序数 に対して、 内に を持ち、 より少ない記号 ( の要素の定数記号を 1 つの記号としてカウントする) を含む任意の文に対して、でが成り立つ場合のみ、 で が成り立つという順序数が存在することを証明できます。 ${\displaystyle n<\omega }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta >\alpha }$ ${\displaystyle P(z_{1},\ldots ,z_{k})}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle P(z_{1},\ldots ,z_{k})}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L}$

一般化連続体仮説はLにおいて成立する

とし、を の構成可能な部分集合とします。すると、となるものが存在するので、となる式があり、から導かれる式があります。下向きのレーヴェンハイム・スコーレムの定理とモストフスキー崩壊により、と を含み、 を に置き換えたものと同じ一階理論を持つ推移集合が存在するはずです。そして、これはと同じ基数を持ちます。が で真であるため、 Kでも真であるため、 と同じ基数を持つもの に対して が成り立ちます。また、 と は同じ理論を持つため、実際に でもあります。 ${\displaystyle S\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle T\in L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in S:\Phi (x,z_{i})\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle K=L_{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in L_{\gamma }:x\in S\wedge \Phi (x,w_{i})\}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L_{\gamma }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L_{\gamma +1}}$

したがって、無限集合のすべての構成可能部分集合の階数は、（最大で）の階数と同じ基数になります。したがって、が の初期順序数である場合、 は内の「べき集合」として機能します。したがって、この「べき集合」 です。そしてこれは、 の「べき集合」の基数が最大で であることを意味します。自体が基数 であると仮定すると、「べき集合」の基数はちょうど である必要があります。しかし、これはまさにに相対化された一般化連続体仮説です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\subseteq L_{\delta }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\in L_{\delta +1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \vert \delta \vert }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle L}$

構成可能集合は順序数から定義できる

というアイデアを表現する集合論の公式があります。これは、およびに対してのみ自由変数を持ちます。これを使用して、各構成可能集合の定義を拡張できます。 の場合、内の何らかの公式と何らかのに対して が成り立ちます。これは、すべての に対して、かつ となる場合に限り、[ かつ となるような が存在する]という式が成り立つことと同等です。ここで、内の各量指定子を に制限した結果です。いくつかの に対してそれぞれ となることに注意してください。 の公式をの公式と組み合わせ、 の外側に存在量指定子を適用すると、 などの式にパラメータとして現れる順序数のみを使用して構成可能集合を定義する公式が得られます。 ${\displaystyle X=L_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle S\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle S=\{y\mid y\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;\Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;(L_{\alpha },\in )\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle \Psi (X,y,z_{1},\ldots ,z_{n})}$ ${\displaystyle \Psi (X,\ldots )}$ ${\displaystyle \Phi (\ldots )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z_{k}\in L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x=L_{\alpha }}$

例: 集合は構成可能です。これは次の式を満たす唯一の集合です。 ${\displaystyle \{5,\omega \}}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle \forall y(y\in s\iff (y\in L_{\omega +1}\land (\forall a(a\in y\iff a\in L_{5}\land Ord(a))\lor \forall b(b\in y\iff b\in L_{\omega }\land Ord(b)))))}$$

は次の略語です: ${\displaystyle Ord(a)}$

$${\displaystyle \forall c\in a(\forall d\in c(d\in a\land \forall e\in d(e\in c))).}$$

実のところ、この複雑な式でさえ、最初の段落で示した指示から得られるものより簡略化されています。しかし、重要な点は、望ましい構成可能な集合に対してのみ成り立ち、順序数のみのパラメータを含む集合論の式が存在するということです。 ${\displaystyle S}$

相対的な構築可能性

時には、 のように狭い集合論モデルでありながら、構成不可能な集合を含む、あるいはその影響を受けているようなモデルを見つけることが望ましい場合があります。これは相対的構成可能性の概念を生み出し、これには と で表される2つの種類があります。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L[A]}$

構成不可能な集合のクラスは、集合論の標準モデルであり、すべての順序数を含むすべてのクラスの積集合です。 ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle L(A)}$は超限再帰によって次のように定義されます。

• ${\displaystyle L_{0}(A)}$=を要素として含む最小の推移集合、つまりの推移閉包。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{A\}}$
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}(A)}$＝ ${\displaystyle \mathrm {Def} (L_{\alpha }(A))}$
• が極限順序数である場合、 となります。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L_{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }(A)}$
• ${\displaystyle L(A)=\bigcup _{\alpha }L_{\alpha }(A)}$。

が の推移閉包の整列を含む場合、これは の整列に拡張できます。そうでない場合、選択公理は において成立しません。 ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle \{A\}}$ ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L(A)}$

一般的な例としては、すべての実数を含む最小のモデルである が挙げられます。これは、現代の記述的集合論で広く使用されています。 ${\displaystyle L(\mathbb {R} )}$

クラス は、によって構成が影響を受ける集合のクラスです。ここでは（おそらく構成不可能な）集合または真クラスです。このクラスの定義には が用いられます。これは と同じですが、モデル の式の真偽を評価する代わりに、が単項述語であるモデル が用いられます。 の意図された解釈は です。すると の定義は の定義と全く同じになり、を に置き換えただけです。 ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} _{A}(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} (X)}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (X,\in )}$ ${\displaystyle (X,\in ,A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(y)}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} }$ ${\displaystyle \mathrm {Def} _{A}}$

${\displaystyle L[A]}$は常に選択公理のモデルです。が集合であっても、は必ずしも の要素ではありません。ただし、 が順序数の集合である場合は、 は常に の要素です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle A}$

または内のセットは、通常、実際には構築できず、これらのモデルの特性は、それ自体の特性とはまったく異なる場合があります。 ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle L}$

参照

• 構成可能性の公理
• Lで真である文
• 反射原理
• 公理的集合論
• 推移集合
• 左（右）
• 順序定義可能
• 凝縮補題

注記

1. ゲーデル 1938.
2. KJ Devlin、「構築可能な階層構造の微細構造入門」（1974年）。2023年2月20日にアクセス。
3. KJ Devlin, Constructibility (1984)、第2章「構築可能な宇宙」、p.58。Perspectives in Mathematical Logic、Springer-Verlag。
4. K. Devlin 1975, 「構築可能な階層構造の微細構造入門」（p.2）。2021年5月12日にアクセス。
5. Barwise 1975、60ページ（定理5.9の証明に続くコメント）
6. P. Odifreddi,古典的再帰理論, pp.427. 論理学と数学の基礎研究

参考文献

• バーワイズ、ジョン（1975年）『許容集合と構造』ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-07451-1。
• デブリン、キース・J. (1984).コンストラクティビリティ. ベルリン: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-13258-9。
• フェルグナー、ウルリッヒ (1971). ZF集合論のモデル. 数学講義ノート. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 3-540-05591-6。
• ゲーデル、クルト (1938). 「選択公理と一般化連続体仮説の一貫性」.米国科学アカデミー紀要. 24 (12). 米国科学アカデミー: 556–557 . Bibcode : 1938PNAS...24..556G. doi : 10.1073 /pnas.24.12.556 . JSTOR  87239. PMC  1077160. PMID  16577857 .
• ゲーデル、クルト（1940）『連続体仮説の無矛盾性』数学研究年報第3巻、プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-07927-1. MR  0002514。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• ジェック、トーマス(2002).集合論. Springer Monographs in Mathematics (第三千年紀版). Springer. ISBN 3-540-44085-2。

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