凸体

Non-empty convex set in Euclidean space

正十二面体は凸体です。

数学において、次元ユークリッド空間の凸体は、内部が空でないコンパクト凸集合である。一部の著者は、内部が空でないことを要求せず、集合が空でないだけで十分であると主張する。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

凸体は、原点に関して中心対称である場合に対称と呼ばれます。つまり、点がにある場合、その反対称点も にある場合のみです。対称凸体は、上のノルムの単位球と1対1に対応しています。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

凸体のよく知られた例としては、ユークリッド球、超立方体、交差多面体などがあります。

計量空間構造

の凸体の集合について書く。すると は距離が である完備距離空間である。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$

${\displaystyle d(K,L):=\inf\{\epsilon \geq 0:K\subset L+B^{n}(\epsilon ),L\subset K+B^{n}(\epsilon )\}}$. ^[1]

さらに、ブラシュケ選択定理によれば、任意のd境界列には収束する部分列が存在する。^[1] ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$

極体

が内部に原点を含む有界凸体である場合、極体は です。極体には、 、有界、 の場合には など、いくつかの優れた性質があります。極体は双対関係の一種です。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle \{u:\langle u,v\rangle \leq 1,\forall v\in K\}}$ ${\displaystyle (K^{*})^{*}=K}$ ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}}$ ${\displaystyle K_{2}^{*}\subset K_{1}^{*}}$

参照

• 凸状性トピックのリスト
• ジョン楕円体 – n次元の凸状物体に最も近く含まれる、またはn次元の凸状物体に含まれる楕円体
• ブルン・ミンコフスキーの定理は、凸体の幾何学に関連する多くの意味を持っています。

参考文献

1. ( 2020). 「凸幾何学講義」 .数学大学院テキスト. 286. doi :10.1007/978-3-030-50180-8. ISBN 978-3-030-50179-2. ISSN  0072-5285.

• ヒリアルト・ウルティ、ジャン・バティスト。ルマレシャル、クロード (2001)。凸分析の基礎。土井：10.1007/978-3-642-56468-0。ISBN 978-3-540-42205-1。
• ロッカフェラー、R.ティレル（1997年1月12日）『凸解析』プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-01586-6。
• アリア、スニル。マウント、デイビッド M. (2023)。 「多面体近似のための最適な体積依存境界」。第 39 回計算幾何学国際シンポジウム (SoCG 2023)。258 .ダグシュトゥール城 – Leibniz-Zentrum für Informatik: 9:1–9:16。土井：10.4230/LIPIcs.SoCG.2023.9。
• ガードナー, リチャード J. (2002). 「ブルン・ミンコフスキー不等式」.アメリカ数学会誌 (NS) 39 ( 3): 355–405 (電子版). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .

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