カップル（メカニック）

物理学において、偶力とは、大きさは等しいが作用方向が反対方向にある一対の力のことです。偶力は並進運動を伴わず、純粋な回転運動を生み出します。

シンプルなカップル

最も単純な偶力は、作用線が一致しない2つの等しく反対向きの力から構成されます。これは「単純偶力」と呼ばれます。 ^[1]これらの力は、力の作用する面に垂直な軸を中心に、トルクと呼ばれる回転効果またはモーメントを持ちます。この偶力のトルクのSI単位はニュートンメートルです。

2つの力が $F$ と $-F の$ 場合、トルクの大きさは次の式で表されます。ここで $\tau =Fd$

$\tau$ カップルの瞬間
$F$ は力の大きさである
$d$ は2つの平行な力の間の垂直距離（モーメント）である。

トルクの大きさは $F ・ d$ に等しく、トルクの方向は単位ベクトルで表されます。単位ベクトルは2つの力を含む平面に垂直で、反時計回りの偶力が正の方向です。d $を$ 力の作用点間のベクトルとすると、トルクは $d$ と $F$ の外積、すなわち ${\hat {e}}$ $\mathbf {\tau } =|\mathbf {d} \times \mathbf {F} |.$

参照点の独立性

力のモーメントは、ある点 $Pに関してのみ定義され（「$ $P$ の周りのモーメント」と呼ばれます）、一般に $P$ が変化するとモーメントも変化します。しかし、カップルのモーメント（トルク）は基準点 $Pに$ 依存しません。つまり、どの点においても同じモーメントを与えます。^{[1]言い換えれば、カップルは、より一般的なモーメントとは異なり、「自由ベクトル」です。（この事実は、}ヴァリニョンの第2モーメント定理と呼ばれています。）^[2]

この主張の証明は以下の通りである。力ベクトル $F 1$ 、 $F 2$ 、…の集合が偶力を形成し、それぞれ位置ベクトル $r$ $1$ 、 $r$ $2$ $、\dots（原点P$ の周り）と対をなすとする $。P$ の周りのモーメントは

M=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots

$ここで、 P$ からベクトル $r$ だけ離れた新しい基準点 $P'$ を取ります。新しいモーメントは

M'=(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{2}+\cdots

さて、外積の分配法則は次式を意味します。

M'=\left(\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots \right)+\mathbf {r} \times \left(\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots \right).

しかし、力の偶力の定義は

\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots =0.

したがって、

M'=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots =M

これは、モーメントが参照点に依存しないことを証明しており、カップルが自由ベクトルであることの証明です。

力とカップル

質量中心から距離dにある剛体に作用する力Fは、質量中心と偶力Cℓ = Fdに直接作用する同じ力と同じ効果を持つ。この偶力は、剛体に偶力の面に対して直角の角加速度を発生させる。 ^[3]質量中心の力は、剛体を力の方向に加速させるが、その方向は変化しない。一般的な定理は以下の通りである。^[3]

剛体の任意の点O′に作用する単一の力は、任意の点Oに作用する等しい平行力Fと、 Fに平行な力を持つ偶力（モーメントM = Fd、dはOとO′の距離）に置き換えることができる。逆に、偶力と偶力平面内の力は、適切な位置にある単一の力に置き換えることができる。

任意のカップルは、同じ平面、同じ方向、同じモーメント、任意の力、任意の腕を持つ別のカップルに置き換えることができます。^[3]

アプリケーション

工学や物理科学においては、カップルは非常に重要です。いくつか例を挙げてみましょう。

ドライバーに手で加えられる力
ドライバーの先端がネジの頭に及ぼす力
回転するプロペラに作用する抗力
均一電場中の電気双極子に働く力
宇宙船の反応制御システム
ハンドルに手が加える力
「揺れるカップル」とは、振動を引き起こす定期的な不均衡である。

参照

参考文献

^ ab TR KaneとDA Levinson著『 ダイナミクス、理論、応用』 1985年、90～99ページ：無料ダウンロード
^ 工学力学：平衡、C. Hartsuijker、JW Welleman著、64ページウェブリンク
^ abc オーガスタス・ジェイ・デュボア (1902). 『工学力学』第1巻. Wiley. p. 186.

HF Girvin (1938)応用力学、§28 カップル、pp 33,4、ペンシルベニア州スクラントン：International Textbook Company。

[Kane-1] TR KaneとDA Levinson著『 ダイナミクス、理論、応用』 1985年、90～99ページ：無料ダウンロード

[2] 工学力学：平衡、C. Hartsuijker、JW Welleman著、64ページウェブリンク

[DuBois-3] オーガスタス・ジェイ・デュボア (1902). 『工学力学』第1巻. Wiley. p. 186.