キュムラント

Set of quantities in probability theory

確率論と統計学において、確率分布のキュムラント κ _{n は}、分布のモーメントに代わる量の集合です。モーメントが等しい2つの確率分布は、キュムラントも同じであり、その逆も同様です。

最初のキュムラントは平均、2番目のキュムラントは分散、3番目のキュムラントは3番目の中心モーメントと同じです。しかし、4番目以降のキュムラントは中心モーメントと等しくありません。キュムラントを用いた問題の理論的処理は、モーメントを用いたものよりも簡単な場合があります。特に、2つ以上の確率変数が統計的に独立している場合、それらの和のn次キュムラントは、それらのn次キュムラントの和に等しくなります。同様に、正規分布の3次以上のキュムラントはゼロであり、この特性を持つ分布は正規分布だけです。

モーメントの場合と同様に、ランダム変数の集合にジョイント モーメントが使用される場合、ジョイント キュムラントを定義することができます。

意味

確率変数Xのキュムラントは、モーメント生成関数の自然対数であるキュムラント生成関数 K ( t )を使用して定義されます。 $${\displaystyle K(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{tX}\right].}$$

キュムラントκn_はキュムラント生成関数のべき級数展開から得られる。 $${\displaystyle K(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\kappa _{1}{\frac {t}{1!}}+\kappa _{2}{\frac {t^{2}}{2!}}+\kappa _{3}{\frac {t^{3}}{3!}}+\cdots =\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .}$$

この展開はマクローリン級数なので、n番目のキュムラントは上記の展開をn回微分し、その結果をゼロで評価することによって得られる。 ^[1] $${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0).}$$

モーメント生成関数が存在しない場合は、キュムラントは後述するキュムラントとモーメントの関係に基づいて定義できます。

キュムラント生成関数の別の定義

一部の著者^{[2] [3]}は、キュムラント生成関数を特性関数の自然対数として定義することを好む。これは第二特性関数とも呼ばれる。^{[4] [5]} $${\displaystyle H(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{itX}\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots }$$

H ( t ) (ある意味では純虚引数について評価された関数K ( t ) )の利点は^、 E[ e itX ^]がtのすべての実値に対して明確に定義されることです。これは、 Xが大きな値を持つ可能性が「高すぎる」場合に発生することがあります。関数H ( t )は明確に定義されますが、マクローリン級数の長さの点ではK ( t )を模倣します。マクローリン級数は引数tの線形順序を超えて拡張することはできず (まれに、線形順序に達することさえできません)  、特に明確に定義されているキュムラントの数は変化しません。ただし、H ( t ) が長いマクローリン級数を持たない場合でも、ランダム変数の解析、特に追加に直接使用できます。コーシー分布（ローレンツ分布とも呼ばれる）と、より一般的には安定分布（レヴィ分布に関連）はどちらも、生成関数の冪級数展開に明確に定義された項が有限個しかない分布の例です。

いくつかの基本的な特性

ランダム変数（の分布）の番目のキュムラントには、次の特性があります。 ${\textstyle n}$ ${\textstyle \kappa _{n}(X)}$ ${\textstyle X}$

• とが定数（つまりランダムではない）ならば、つまりキュムラントは並進不変である。（ならば、 ${\textstyle n>1}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle \kappa _{n}(X+c)=\kappa _{n}(X),}$ ${\textstyle n=1}$ ${\textstyle \kappa _{1}(X+c)=\kappa _{1}(X)+c.)}$
• が定数（つまりランダムではない）である場合、つまり 番目のキュムラントは次数 の 同次です。 ${\textstyle c}$ ${\textstyle \kappa _{n}(cX)=c^{n}\kappa _{n}(X),}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle n}$
• ランダム変数が独立している場合、つまり、キュムラントは累積的であるため、この名前が付けられます。 ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{m}}$ $${\displaystyle \kappa _{n}(X_{1}+\cdots +X_{m})=\kappa _{n}(X_{1})+\cdots +\kappa _{n}(X_{m})\,.}$$

累積性は、キュムラント生成関数を考えることですぐに明らかになります。つまり、独立確率変数の和の各キュムラントは、加数に対応するキュムラントの和となります。つまり、加数が統計的に独立している場合、和の平均は平均の和、和の分散は分散の和、和の3番目のキュムラント（これは3番目の中心モーメントです）は3番目のキュムラントの和となり、キュムラントの各次数についても同様です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}K_{X_{1}+\cdots +X_{m}}(t)&=\log \operatorname {E} \left[e^{t(X_{1}+\cdots +X_{m})}\right]\\[5pt]&=\log \left(\operatorname {E} \left[e^{tX_{1}}\right]\cdots \operatorname {E} \left[e^{tX_{m}}\right]\right)\\[5pt]&=\log \operatorname {E} \left[e^{tX_{1}}\right]+\cdots +\log \operatorname {E} \left[e^{tX_{m}}\right]\\[5pt]&=K_{X_{1}}(t)+\cdots +K_{X_{m}}(t),\end{aligned}}}$$

与えられたキュムラントκ _nを持つ分布は、エッジワース級数を通じて近似できます。

モーメントの関数としての最初のいくつかのキュムラント

高次のキュムラントはすべて整数係数の中心モーメントの多項式関数ですが、2 次と 3 次キュムラントのみが実際に中心モーメントとなります。

をキュムラント、を平均、を中心モーメントとします。すると、次のようになります。 ${\textstyle \kappa _{n}(X)}$ ${\textstyle m(X):=\operatorname {E} \left[X\right]}$ ${\textstyle \mu _{n}(X):=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{n}\right]={}}$

• ${\textstyle \kappa _{1}=m=\operatorname {mean} (X)}$（平均値）。
• ${\textstyle \kappa _{2}=\mu _{2}=\operatorname {var} (X)}$（分散、または第 2 中心モーメント）。
• ${\textstyle \kappa _{3}=\mu _{3}}$。
• ${\textstyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3\mu _{2}^{2}}$（これはキュムラントが単なるモーメントや中心モーメントではない最初のケースです。3次を超える中心モーメントには累積的な性質がありません。）
• ${\textstyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\mu _{2}}$。

いくつかの離散確率分布のキュムラント

• 定数確率変数X = μ。キュムラント生成関数はK ( t ) = μtです。最初のキュムラントはκ ₁ = K '(0) = μで、他のキュムラントはゼロ、κ ₂ = κ ₃ = κ ₄ = ⋅⋅⋅ = 0です。
• ベルヌーイ分布（成功確率pで1回の試行で成功する回数）。キュムラント生成関数はK ( t ) = log(1 − p + p e ^t )である。最初のキュムラントはκ ₁ = K '(0) = pとκ ₂ = K′′ (0) = p ·(1 − p )である。これらのキュムラントは再帰式を満たす。 $${\displaystyle \kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}.}$$
• 幾何分布（各試行で成功確率pで1回の成功までの失敗回数）。キュムラント生成関数はK ( t ) = log( p / (1 + ( p − 1)e ^t ))である。最初のキュムラントはκ ₁ = K′ (0) = p ⁻¹ − 1、κ ₂ = K′′ (0) = κ ₁ p ⁻¹である。p = ( μ + 1) −1を代入すると、 K ( t ⁾ = −log ( 1 + μ (1−e ^t ))、κ ₁ = μとなる。
• ポアソン分布。キュムラント生成関数はK ( t ) = μ (e ^t − 1)です。すべてのキュムラントはパラメータκ ₁ = κ ₂ = κ ₃ = ... = μに等しい。
• 二項分布、（各試行で成功確率pでのn 回の 独立試行における成功回数）。 n = 1 の特別な場合はベルヌーイ分布です。すべてのキュムラントは、対応するベルヌーイ分布の対応するキュムラントのn倍です。キュムラント生成関数はK ( t ) = n log(1 − p + p e ^t )です。最初のキュムラントはκ ₁ = K′ (0) = npおよびκ ₂ = K′′ (0) = κ ₁ (1 − p )です。 p = μ · n ⁻¹を代入すると、 K '( t ) = (( μ ⁻¹ − n ⁻¹ )·e ^{− t} + n ⁻¹ ) ⁻¹およびκ ₁ = μが得られます。極限ケースn → +∞はポアソン分布です。
• 負の二項分布（各試行で成功確率pでr 回の成功を得るまでの失敗回数）。 r = 1 の特別な場合は幾何分布です。すべてのキュムラントは、対応する幾何分布の対応するキュムラントのr倍です。キュムラント生成関数の導関数は、K ′( t ) = r ·((1 − p ) ⁻¹ ·e ^{− t} −1) ⁻¹です。最初のキュムラントは、 κ ₁ = K ′(0) = r ·( p ⁻¹ −1)、およびκ ₂ = K ''(0) = κ ₁ · p ⁻¹です。p = (μ· r ⁻¹ +1) ^{−1を代入すると、} K ′( t ) = (( μ ⁻¹ + r ⁻¹ ) e ^{− t} − r ⁻¹ ) ⁻¹およびκ ₁ = μとなります。これらの式を二項分布の式と比較すると、「負の二項分布」という名前が分かります。極限ケースr → +∞ はポアソン分布です。

分散平均比を導入すると、上記の確率分布はキュムラント生成関数の導関数の統一された式を得る：^{[引用が必要]} $${\displaystyle \varepsilon =\mu ^{-1}\sigma ^{2}=\kappa _{1}^{-1}\kappa _{2},}$$ $${\displaystyle K'(t)=(1+(e^{-t}-1)\varepsilon )^{-1}\mu }$$

2番目の導関数は、最初のキュムラントがκ ₁ = K′ (0) = μであり、2番目のキュムラントがκ ₂ = K′ (0) = με であることを確認します。 $${\displaystyle K''(t)=(\varepsilon -(\varepsilon -1)e^{t})^{-2}\mu \varepsilon e^{t}}$$

定数確率変数X = μではε = 0となります。

二項分布ではε = 1 − pとなるので、0 < ε < 1となります。

ポアソン分布ではε = 1となります。

負の二項分布ではε = p ⁻¹となるのでε > 1となります。

離心率による円錐断面の分類との類似点に注意してください: 円ε = 0、楕円0 < ε < 1、放物線ε = 1、双曲線ε > 1。

いくつかの連続確率分布のキュムラント

• 期待値μ、分散σ ²の正規分布において、キュムラント生成関数はK ( t ) = μt + σ ² t ² /2です。キュムラント生成関数の1次導関数と2次導関数はK ′( t ) = μ + σ ² · tとK ''( t ) = σ ²です。キュムラントはκ ₁ = μ、κ ₂ = σ ²、κ ₃ = κ ₄ = ⋅⋅⋅ = 0です。特別な場合σ ² = 0は定数確率変数X = μです。
• 区間[−1, 0]上の一様分布のキュムラントはκn = Bn _/ nで、Bnはn番目_のベルヌーイ数_です。
• 速度パラメータλを持つ指数分布のキュムラントはκn = _λ ⁻ n ( ⁿ −1)!である。

キュムラント生成関数のいくつかの性質

キュムラント生成関数K ( t )は、存在する場合、無限微分可能かつ凸で、原点を通ります。その第 1 導関数は、確率分布のサポートの最小値から最大値までの開区間で単調に変化し、第 2 導関数は、単一の質点の退化した分布を除いて、定義されているすべての場所で厳密に正です。キュムラント生成関数が存在するのは、分布の裾が指数関数的減少によって主要化される場合、つまり、次の式が成り立つ場合のみです ( Big O 表記を参照) 。ここで、は累積分布関数です。キュムラント生成関数は、そのようなcの負の上限が存在する場合はそこに、またそのようなdの上限が存在する場合はそこに垂直漸近線を持ちます。そうでない場合は、すべての実数に対して定義されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\exists c>0,\,\,F(x)=O(e^{cx}),x\to -\infty ;{\text{ and}}\\[4pt]&\exists d>0,\,\,1-F(x)=O(e^{-dx}),x\to +\infty ;\end{aligned}}}$$ ${\textstyle F}$

確率変数Xのサポートに有限の上限または下限がある場合、そのキュムラント生成関数y = K ( t )が存在するならば、それは、傾きがサポートの上限または下限に等しく 、どこでもこれらの両方の線より上にある漸近線（s）に近づきます 。（K (0) = 0であるため、積分によりこれらの漸近線の y切片が得られます。） $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(t+1)\inf \operatorname {supp} X-\mu (X),{\text{ and}}\\[5pt]y&=(t-1)\sup \operatorname {supp} X+\mu (X),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}\left[t\inf \operatorname {supp} X-K'(t)\right]\,dt,\qquad \int _{\infty }^{0}\left[t\inf \operatorname {supp} X-K'(t)\right]\,dt}$$

分布がcだけシフトした場合、cにおける退化した質点に対して、キュムラント生成関数は直線であり、より一般的には、XとYが独立であり、それらのキュムラント生成関数が存在する場合のみである（劣独立性と2次モーメントの存在は独立性を示唆するのに十分である。^[6]） ${\textstyle K_{X+c}(t)=K_{X}(t)+ct.}$ ${\textstyle K_{c}(t)=ct}$ ${\textstyle K_{X+Y}=K_{X}+K_{Y}}$

分布の自然指数族は、K(t)をシフトまたは平行移動し、常に原点を通るように垂直に調整することによって実現できます。fがキュムラント生成関数を持つpdfで、がその自然指数族である場合、 ${\textstyle K(t)=\log M(t),}$ ${\textstyle f|\theta }$ ${\textstyle f(x\mid \theta )={\frac {1}{M(\theta )}}e^{\theta x}f(x),}$ ${\textstyle K(t\mid \theta )=K(t+\theta )-K(\theta ).}$

K ( t )がt ₁ < Re( t ) < t ₂の範囲で有限ならば、 t ₁ < 0 < t ₂であればK ( t )は解析的であり、t ₁ < Re( t ) < t _{2 の}範囲で無限微分可能である。さらに、t が実数でt ₁ < t < t _{2 の範囲では} K ( t )は厳密に凸であり、K ′( t )は厳密に増加である。^[要出典]

キュムラントのさらなる性質

陰性の結果

正規分布のキュムラントの結果から、あるm > 3に対してκ _m = κ _{m +1} = ⋯ = 0となり、低次のキュムラント（3 次からm − 1 次）が非ゼロとなるような分布の族が見つかるかもしれない。しかし、そのような分布は存在しない。^[7]ここでの根本的な結果は、キュムラント生成関数は2次を超える有限次多項式にはなり得ないということである。

キュムラントとモーメント

モーメント生成関数は次のように与えられます。 $${\displaystyle M(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu '_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right)=\exp(K(t)).}$$

つまり、キュムラント母関数はモーメント母関数の対数である。 $${\displaystyle K(t)=\log M(t).}$$

最初のキュムラントは期待値です。2 番目と 3 番目のキュムラントはそれぞれ第 2 と第 3 の中心モーメントです(第 2 中心モーメントは分散です)。ただし、高次のキュムラントはモーメントでも中心モーメントでもなく、むしろモーメントのより複雑な多項式関数です。

モーメントは、 ⁠ ⁠におけるn次導関数を評価することでキュムラントの観点から復元できる。 ${\textstyle \exp(K(t))}$ ${\displaystyle t=0}$ $${\displaystyle \mu '_{n}=M^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\exp(K(t))}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}.}$$

同様に、キュムラントは、⁠ ⁠におけるn次導関数を評価することによってモーメントの観点から復元できます。 ${\textstyle \log M(t)}$ ${\displaystyle t=0}$ $${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\log M(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}.}$$

n次モーメントを最初のn 次キュムラントで明示的に表す表現、およびその逆は、合成関数の高次導関数に対するファア・ディ・ブルーノの公式を用いることで得られる。一般に、 は不完全（または部分）ベル多項式である。 $${\displaystyle \mu '_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n-k+1})}$$ $${\displaystyle \kappa _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{1},\ldots ,\mu '_{n-k+1}),}$$ ${\textstyle B_{n,k}}$

同様に、平均が で与えられる場合、中心モーメント生成関数は で与えられ、n次中心モーメントはキュムラントを用いて次のように得られる。 ${\textstyle \mu }$ $${\displaystyle C(t)=\operatorname {E} [e^{t(x-\mu )}]=e^{-\mu t}M(t)=\exp(K(t)-\mu t),}$$ $${\displaystyle \mu _{n}=C^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\exp(K(t)-\mu t)\right|_{t=0}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0,\kappa _{2},\ldots ,\kappa _{n-k+1}).}$$

また、n > 1の場合、中心モーメントに関するn番目のキュムラントは $${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{n}&=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}(\log C(t)+\mu t)\right|_{t=0}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(0,\mu _{2},\ldots ,\mu _{n-k+1}).\end{aligned}}}$$

n次モーメントμ ′ _nは、最初のn 個のキュムラントにおけるn次多項式です。最初の数式は次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[5pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}\\[5pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}\\[5pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}\\[5pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}\\[5pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}\\&{}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.\end{aligned}}}$$

「プライム」はモーメントμ ′ _nと中心モーメント μ _nを区別する。中心モーメントをキュムラントの関数として表すには、これらの多項式からκ ₁が因子として現れる項をすべて削除する。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0\\[4pt]\mu _{2}&=\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{3}&=\kappa _{3}\\[4pt]\mu _{4}&=\kappa _{4}+3\kappa _{2}^{2}\\[4pt]\mu _{5}&=\kappa _{5}+10\kappa _{3}\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{6}&=\kappa _{6}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}+15\kappa _{2}^{3}.\end{aligned}}}$$

同様に、n次のキュムラントκn_は、最初のn個の非中心モーメントにおけるn次多項式である。最初の数式は以下の通りである。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}={}&\mu '_{1}\\[4pt]\kappa _{2}={}&\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}\\[4pt]\kappa _{3}={}&\mu '_{3}-3\mu '_{2}\mu '_{1}+2{\mu '_{1}}^{3}\\[4pt]\kappa _{4}={}&\mu '_{4}-4\mu '_{3}\mu '_{1}-3{\mu '_{2}}^{2}+12\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{2}-6{\mu '_{1}}^{4}\\[4pt]\kappa _{5}={}&\mu '_{5}-5\mu '_{4}\mu '_{1}-10\mu '_{3}\mu '_{2}+20\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{2}+30{\mu '_{2}}^{2}\mu '_{1}-60\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{3}+24{\mu '_{1}}^{5}\\[4pt]\kappa _{6}={}&\mu '_{6}-6\mu '_{5}\mu '_{1}-15\mu '_{4}\mu '_{2}+30\mu '_{4}{\mu '_{1}}^{2}-10{\mu '_{3}}^{2}+120\mu '_{3}\mu '_{2}\mu '_{1}\\&{}-120\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{3}+30{\mu '_{2}}^{3}-270{\mu '_{2}}^{2}{\mu '_{1}}^{2}+360\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{4}-120{\mu '_{1}}^{6}\,.\end{aligned}}}$$

一般に、^[8]キュムラントは行列の行列式である。 $${\displaystyle \kappa _{l}=(-1)^{l+1}\left|{\begin{array}{cccccccc}\mu '_{1}&1&0&0&0&0&\ldots &0\\\mu '_{2}&\mu '_{1}&1&0&0&0&\ldots &0\\\mu '_{3}&\mu '_{2}&\left({\begin{array}{l}2\\1\end{array}}\right)\mu '_{1}&1&0&0&\ldots &0\\\mu '_{4}&\mu '_{3}&\left({\begin{array}{l}3\\1\end{array}}\right)\mu '_{2}&\left({\begin{array}{l}3\\2\end{array}}\right)\mu '_{1}&1&0&\ldots &0\\\mu '_{5}&\mu '_{4}&\left({\begin{array}{l}4\\1\end{array}}\right)\mu '_{3}&\left({\begin{array}{l}4\\2\end{array}}\right)\mu '_{2}&\left({\begin{array}{c}4\\3\end{array}}\right)\mu '_{1}&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\mu '_{l-1}&\mu '_{l-2}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ddots &1\\\mu '_{l}&\mu '_{l-1}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\left({\begin{array}{l}l-1\\l-2\end{array}}\right)\mu '_{1}\end{array}}\right|}$$

n > 1のキュムラントκn_を中心モーメントの関数として表すには、これらの多項式からμ' _1が因子として現れるすべての項を削除します。 $${\displaystyle \kappa _{2}=\mu _{2}\,}$$ $${\displaystyle \kappa _{3}=\mu _{3}\,}$$ $${\displaystyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3{\mu _{2}}^{2}\,}$$ $${\displaystyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\mu _{2}\,}$$ $${\displaystyle \kappa _{6}=\mu _{6}-15\mu _{4}\mu _{2}-10{\mu _{3}}^{2}+30{\mu _{2}}^{3}\,.}$$

キュムラントは、関係K ( t ) = log M ( t )をtについて微分することでモーメントに関連付けることができ、M′ ( t ) = K′ ( t ) M ( t )となります。この式には、便利なことに指数や対数が含まれていません。 t ^{n −1} / ( n −1)!の係数を左辺と右辺で等しくし、 μ′ ₀ = 1を使用すると、 n ≥ 1について次の式が得られます。^[9]これらの式により、低次のキュムラントとモーメントに関する知識を使用して、またはのいずれかを他方から計算できます。 についての中心モーメントに対応する式は、それぞれをについてに設定して置き換えることで、これらの式から作成されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[1pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{1}\mu '_{1}+\kappa _{2}\\[1pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{1}\mu '_{2}+2\kappa _{2}\mu '_{1}+\kappa _{3}\\[1pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{1}\mu '_{3}+3\kappa _{2}\mu '_{2}+3\kappa _{3}\mu '_{1}+\kappa _{4}\\[1pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{1}\mu '_{4}+4\kappa _{2}\mu '_{3}+6\kappa _{3}\mu '_{2}+4\kappa _{4}\mu '_{1}+\kappa _{5}\\[1pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{1}\mu '_{5}+5\kappa _{2}\mu '_{4}+10\kappa _{3}\mu '_{3}+10\kappa _{4}\mu '_{2}+5\kappa _{5}\mu '_{1}+\kappa _{6}\\[1pt]\mu '_{n}={}&\sum _{m=1}^{n-1}{n-1 \choose m-1}\kappa _{m}\mu '_{n-m}+\kappa _{n}\,.\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \kappa _{n}}$ ${\textstyle \mu '_{n}}$ ${\textstyle \mu _{n}}$ ${\textstyle n\geq 2}$ ${\textstyle \mu '_{1}=\kappa _{1}=0}$ ${\textstyle \mu '_{n}}$ ${\textstyle \mu _{n}}$ ${\textstyle n\geq 2}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{2}={}&\kappa _{2}\\[1pt]\mu _{3}={}&\kappa _{3}\\[1pt]\mu _{n}={}&\sum _{m=2}^{n-2}{n-1 \choose m-1}\kappa _{m}\mu _{n-m}+\kappa _{n}\,.\end{aligned}}}$$

キュムラントと集合分割

これらの多項式は、注目すべき組み合わせ論的解釈を持つ。係数は集合の特定の分割を数える。これらの多項式の一般的な形は、 $${\displaystyle \mu '_{n}=\sum _{\pi \,\in \,\Pi }\prod _{B\,\in \,\pi }\kappa _{|B|}}$$

• π は、サイズnのセットのすべてのパーティションのリストを実行します。
• 「B∈π 」は、Bが集合を分割する「ブロック」の1つであることを意味する。
• | B |はセットBのサイズです。

したがって、各単項式は、添え字の和がnであるキュムラントの積の定数倍である（例えば、 κ ₃ κ ₂ ² κ ₁という項では、添え字の和は3 + 2 + 2 + 1 = 8である。これは、最初の8つのキュムラントの関数として8次モーメントを表す多項式に現れる）。 各項は整数 nの分割に対応する。各項の係数は、 n個の要素からなる集合の分割数であり、集合の要素が区別できなくなるときに、その整数nの分割に収束する。

キュムラントと組み合わせ論

キュムラントと組合せ論のさらなる関連はジャン・カルロ・ロータの研究に見出すことができ、そこでは不変理論、対称関数、二項式列との関連が陰影計算を介して研究されている。^[10]

結合キュムラント

いくつかの確率変数X ₁ , ..., X _nの結合キュムラント κ は、多変数キュムラント生成関数のマクローリン級数の係数κ _1,...,1 ( X ₁ , ..., X _n )として定義されます。 ^[11]のセクション 3.1 を参照してください。特に、単一変数の場合と同様に、生成関数とキュムラントは次のように定義できます。 この場合、および $${\displaystyle G(t_{1},\dots ,t_{n})=\log \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\sum _{j=1}^{n}t_{j}X_{j}})=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n}}\kappa _{k_{1},\ldots ,k_{n}}{\frac {t_{1}^{k_{1}}\cdots t_{n}^{k_{n}}}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}\,.}$$ $${\displaystyle \kappa _{k_{1},\dots ,k_{n}}=\left.\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t_{1}}}\right)^{k_{1}}\cdots \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t_{n}}}\right)^{k_{n}}G(t_{1},\dots ,t_{n})\right|_{t_{1}=\dots =t_{n}=0}\,,}$$ $${\displaystyle \kappa (X_{1},\ldots ,X_{n})=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t_{1}\cdots \mathrm {d} t_{n}}}G(t_{1},\dots ,t_{n})\right|_{t_{1}=\dots =t_{n}=0}\,.}$$ $${\displaystyle H(t_{1},\dots ,t_{n})=\log \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\sum _{j=1}^{n}it_{j}X_{j}})=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n}}\kappa _{k_{1},\ldots ,k_{n}}i^{k_{1}+\cdots +k_{n}}{\frac {t_{1}^{k_{1}}\cdots t_{n}^{k_{n}}}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}\,,}$$ $${\displaystyle \kappa _{k_{1},\dots ,k_{n}}=(-i)^{k_{1}+\cdots +k_{n}}\left.\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t_{1}}}\right)^{k_{1}}\cdots \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t_{n}}}\right)^{k_{n}}H(t_{1},\dots ,t_{n})\right|_{t_{1}=\dots =t_{n}=0}\,,}$$ $${\displaystyle \kappa (X_{1},\ldots ,X_{n})=\left.(-i)^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t_{1}\cdots \mathrm {d} t_{n}}}H(t_{1},\dots ,t_{n})\right|_{t_{1}=\dots =t_{n}=0}\,.}$$

繰り返し確率変数と係数の関係κ_{k 1 , ..., k n}

は とも表記できることに注目してください。 このことから、 と結論 付けることができます。たとえば、および特に、最後の等式は、単一のランダム変数のキュムラントがそのランダム変数の複数のコピーの結合キュムラントであることを示しています。 ${\textstyle \kappa _{k_{1},\dots ,k_{n}}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ $${\displaystyle \kappa _{k_{1},\dots ,k_{n}}=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k_{1}}}{\mathrm {d} t_{1,1}\cdots \mathrm {d} t_{1,k_{1}}}}\cdots {\frac {\mathrm {d} ^{k_{n}}}{\mathrm {d} t_{n,1}\cdots \mathrm {d} t_{n,k_{n}}}}G\left(\sum _{j=1}^{k_{1}}t_{1,j},\dots ,\sum _{j=1}^{k_{n}}t_{n,j}\right)\right|_{t_{i,j}=0},}$$ $${\displaystyle \kappa _{k_{1},\dots ,k_{n}}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\kappa _{1,\ldots ,1}(\underbrace {X_{1},\dots ,X_{1}} _{k_{1}},\ldots ,\underbrace {X_{n},\dots ,X_{n}} _{k_{n}}).}$$ $${\displaystyle \kappa _{2,0,1}(X,Y,Z)=\kappa (X,X,Z),\,}$$ $${\displaystyle \kappa _{0,0,n,0}(X,Y,Z,T)=\kappa _{n}(Z)=\kappa (\underbrace {Z,\dots ,Z} _{n}).\,}$$

混合瞬間との関係

ランダム変数の結合キュムラントは、それらの混合モーメントの積の交互和として表すことができます。^[11] の式(3.2.7)を参照してください。 ここで 、 πは{1, ..., n }のすべてのパーティションのリストを実行します。ここで、  Bはパーティションπのすべてのブロックのリストを実行します 。そして 、| π |はパーティション内の部分の数です。 $${\displaystyle \kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }(|\pi |-1)!(-1)^{|\pi |-1}\prod _{B\in \pi }E\left(\prod _{i\in B}X_{i}\right)}$$

例えば、は の期待値、はと の共分散、そして $${\displaystyle \kappa (X)=\operatorname {E} (X),}$$ ${\textstyle X}$ $${\displaystyle \kappa (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y),}$$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ $${\displaystyle \kappa (X,Y,Z)=\operatorname {E} (XYZ)-\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} (Z)-\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (Y)-\operatorname {E} (YZ)\operatorname {E} (X)+2\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)\operatorname {E} (Z).\,}$$

平均ゼロの確率変数 に対して、 の任意の混合モーメントは、がの分割で、かつ 1 個のみを含む場合、ゼロとなる。したがって、それらの結合キュムラントを混合モーメントで表すと簡約になる。例えば、X、Y、Z、W が平均ゼロの確率変数である場合、以下の式が成り立つ。 ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\textstyle \prod _{B\in \pi }E\left(\prod _{i\in B}X_{i}\right)}$ ${\textstyle \pi }$ ${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\textstyle B=\{k\}}$ $${\displaystyle \kappa (X,Y,Z)=\operatorname {E} (XYZ).\,}$$ $${\displaystyle \kappa (X,Y,Z,W)=\operatorname {E} (XYZW)-\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} (ZW)-\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (YW)-\operatorname {E} (XW)\operatorname {E} (YZ).\,}$$

より一般的には、マクローリン級数の任意の係数は混合モーメントで表すこともできますが、簡潔な公式は存在しません。実際、上述のように、確率変数を適切に繰り返すことで結合キュムラントとして表し、上記の公式を適用して混合モーメントで表すことができます。例えば、 $${\displaystyle \kappa _{201}(X,Y,Z)=\kappa (X,X,Z)=\operatorname {E} (X^{2}Z)-2\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (X)-\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Z)+2\operatorname {E} (X)^{2}\operatorname {E} (Z).\,}$$

いくつかのランダム変数が他のすべてのランダム変数から独立している場合、2つ（またはそれ以上）の独立したランダム変数を含むキュムラントはゼロになります。^[要出典]

キュムラントを用いた混合モーメントの表現の組み合わせ論的意味は、キュムラントを用いた混合モーメントの表現の組み合わせ論的意味よりも理解しやすい。^{[11]の式(3.2.6)を参照。} $${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\in \pi }\kappa (X_{i}:i\in B).}$$

例えば： $${\displaystyle \operatorname {E} (XYZ)=\kappa (X,Y,Z)+\kappa (X,Y)\kappa (Z)+\kappa (X,Z)\kappa (Y)+\kappa (Y,Z)\kappa (X)+\kappa (X)\kappa (Y)\kappa (Z).\,}$$

その他の特性

結合キュムラントのもう一つの重要な性質は多重線性である。 $${\displaystyle \kappa (X+Y,Z_{1},Z_{2},\dots )=\kappa (X,Z_{1},Z_{2},\ldots )+\kappa (Y,Z_{1},Z_{2},\ldots ).\,}$$

2番目のキュムラントが分散であるのと同様に、2つの確率変数の結合キュムラントは共分散です。このよく知られた恒等式はキュムラントにも一般化できます。 $${\displaystyle \operatorname {var} (X+Y)=\operatorname {var} (X)+2\operatorname {cov} (X,Y)+\operatorname {var} (Y)\,}$$ $${\displaystyle \kappa _{n}(X+Y)=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}\kappa (\,\underbrace {X,\dots ,X} _{j},\underbrace {Y,\dots ,Y} _{n-j}\,).\,}$$

条件付きキュムラントと全キュムラントの法則

全期待値法則と全分散法則は、条件付きキュムラントに自然に一般化される。n = 3の場合を、キュムラントではなく（中心）モーメントの用語で表現すると、次のようになる。 $${\displaystyle \mu _{3}(X)=\operatorname {E} (\mu _{3}(X\mid Y))+\mu _{3}(\operatorname {E} (X\mid Y))+3\operatorname {cov} (\operatorname {E} (X\mid Y),\operatorname {var} (X\mid Y)).}$$

一般的に^[12] 、 $${\displaystyle \kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }\kappa (\kappa (X_{\pi _{1}}\mid Y),\dots ,\kappa (X_{\pi _{b}}\mid Y))}$$

• 和はインデックスの集合{1, ..., n }のすべての分割 πにわたっており、
• π ₁、...、  π _bはパーティションπのすべての「ブロック」です。式κ ( X _{π m} )は、インデックスがパーティションのそのブロック内にあるランダム変数の結合キュムラントを示します。

条件付きキュムラントと条件付き期待値

特定の設定の下では、条件付きキュムラントと条件付き期待値の間には微分恒等式が成立する。例えば、Y = X + Z（ZはXに依存しない標準正規分布）とすると、任意のXに対して^[13] が成立する。この結果は指数分布族にも拡張できる。^[14] $${\displaystyle \kappa _{n+1}(X\mid Y=y)={\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} y^{n}}}\operatorname {E} (X\mid Y=y),\,n\in \mathbb {N} ,\,y\in \mathbb {R} .}$$

統計物理学との関係

統計物理学において、多くの示量（つまり、与えられた系の体積や大きさに比例する量）は、確率変数のキュムラントと関連しています。その深い関連性は、大規模な系においては、エネルギーや粒子数といった示量（示量）は、例えば、複数のほぼ独立した領域に関連付けられたエネルギーの総和として考えることができるという点にあります。これらのほぼ独立した確率変数のキュムラントが（ほぼ）加算されるという事実は、示量（示量）がキュムラントと関連していると考えるのが妥当であることを示しています。

温度Tの熱浴と平衡状態にある系は、 変動する内部エネルギーEを持ち、これは分布 から抽出された確率変数とみなすことができます。系の分配関数はβ =  1/( kT )であり、kはボルツマン定数です。エネルギーEとの混同を避けるため、期待値ではなく という表記法が用いられています。したがって、エネルギーEの第一キュムラントと第二キュムラントは、平均エネルギーと平均熱容量を与えます。 ${\textstyle E\sim p(E)}$ $${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}},}$$ ${\textstyle \langle A\rangle }$ ${\textstyle \operatorname {E} [A]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle E\rangle _{c}&={\frac {\partial \log Z}{\partial (-\beta )}}=\langle E\rangle \\[6pt]\langle E^{2}\rangle _{c}&={\frac {\partial \langle E\rangle _{c}}{\partial (-\beta )}}=kT^{2}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}}=kT^{2}C\end{aligned}}}$$

ヘルムホルツの自由エネルギーは 、さらに熱力学量をエネルギーのキュムラント生成関数と結び付けます。自由エネルギーの導関数である熱力学特性、例えば内部エネルギー、エントロピー、比熱容量などは、これらのキュムラントを用いて容易に表現できます。その他の自由エネルギーは、磁場や化学ポテンシャルなどの変数の関数となることもあります。例えば、 Nは粒子数、は総ポテンシャルです。ここでも、自由エネルギーの定義とキュムラント生成関数の間には密接な関係があることから、この自由エネルギーのさまざまな導関数は、 EとNの結合キュムラントを用いて表すことができます。 $${\displaystyle F(\beta )=-\beta ^{-1}\log Z(\beta )\,}$$ ${\textstyle \mu }$ $${\displaystyle \Omega =-\beta ^{-1}\log \left(\left\langle e^{-\beta (E+\mu N)}\right\rangle \right),}$$ ${\textstyle \Omega }$

歴史

キュムラントの歴史についてはアンダース・ハルトが論じている。^{[15] [16]}

キュムラントは1889年にソーヴァルド・N・ティーレによって初めて導入され、彼はこれを半不変量と呼んだ。^[17]キュムラント と呼ばれたのは、 1932年のロナルド・フィッシャーとジョン・ウィシャートによる論文においてである。^[18]フィッシャーはニーマンによってティーレの研究について公に思い出させられ、ニーマンはフィッシャーにティーレの研究の以前の引用文献も紹介している。^[19] スティーブン・スティグラーは、キュムラントという名称はハロルド・ホテリングからの手紙の中でフィッシャーに提案されたと述べている^[要出典]。1929年に発表された論文では、フィッシャーはこれを累積モーメント関数と呼んでいた。^[20]

統計物理学における分配関数は、1901年にジョサイア・ウィラード・ギブスによって導入されました。 ^[要出典]自由エネルギーはしばしばギブスの自由エネルギーと呼ばれます。統計力学では、キュムラントは1927年の論文に関連してアーセル関数とも呼ばれます。^[要出典]

一般化された設定におけるキュムラント

形式キュムラント

より一般的には、数列{ m _n  : n = 1, 2, 3, ... }のキュムラント（必ずしも任意の確率分布のモーメントではない）は、定義により、任意 の数列が収束するかどうかの問題を無視して、 n = 1, 2, 3, ...に対するκ _nの値が形式的に、すなわち代数のみによって求められるものである。「キュムラント問題」の困難さはすべて、形式的に扱うことで解消される。最も単純な例は、確率分布の2番目のキュムラントは常に非負でなければならず、それより高次のキュムラントがすべてゼロである場合にのみゼロになるということである。形式的なキュムラントには、このような制約はない。 $${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {m_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right),}$$

ベル番号

組合せ論において、n番目のベル数は、大きさnの集合の分割数です。ベル数列のキュムラントはすべて1 に等しくなります。ベル数は、期待値が 1 であるポアソン分布のモーメントです。

二項式型の多項式列のキュムラント

特性ゼロの体における任意のスカラー列{ κ _n  : n = 1, 2, 3, ... }は形式的キュムラントとみなされ、対応する形式的モーメントの列{ μ ′ : n = 1, 2, 3, ... }が存在し、これは上記の多項式によって与えられます。^{[明確化が必要] [引用が必要]}これらの多項式については、次の方法で多項式列を構築します。多項式から、 これらともう 1 つの変数xの新しい多項式を作成し、パターンを一般化します。パターンは、前述の分割におけるブロックの数がxの指数であるというものです。各係数はキュムラントの多項式であり、これらはエリック・テンプル・ベルにちなんで名付けられたベル多項式です。^{[引用が必要]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{6}=\kappa _{6}&+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}\\[4pt]&{}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{6}(x)=\kappa _{6}\,x{}&+\left(6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}\right)x^{2}+\left(15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+15\kappa _{2}^{3}\right)x^{3}\\&{}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}\,x^{4}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}\,x^{5}+\kappa _{1}^{6}\,x^{6},\end{aligned}}}$$

この多項式列は二項型である。実際、他に二項型列は存在しない。二項型多項式列はすべて、その形式キュムラント列によって完全に決定される。^[要出典]

自由キュムラント

上記のモーメント・キュムラント式\ では 、集合{ 1, ..., n }のすべての分割 について合計します。代わりに、交差しない分割についてのみ合計すると、これらの式をモーメントについて解くことで、上で扱った従来のキュムラントではなく、自由キュムラントが得られます。これらの自由キュムラントは Roland Speicher によって導入され、自由確率論で中心的な役割を果たしています。^{[21] [22]} その理論では、確率変数の代数のテンソル積で定義される確率変数の独立性を考慮するのではなく、代数の自由積で定義される確率変数の自由独立性を考慮します。^[22] $${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\,\in \,\pi }\kappa (X_{i}:i\in B)}$$ ${\textstyle \kappa }$

正規分布の2次以上の通常キュムラントはゼロである。ウィグナー半円分布の2次以上の自由キュムラントもゼロである。^[22]これは、自由確率論におけるウィグナー分布の役割が、従来の確率論における正規分布の役割と類似している点の一つである。

参照

• エントロピー値が危険にさらされている
• 多重集合からのキュムラント生成関数
• コーニッシュ・フィッシャー拡大
• エッジワース拡張
• ポリケイ
• k統計量、キュムラントの最小分散不偏推定量
• アーセル関数
• 量子化学における電子波動関数を解析するためのキュムラントの応用としての全位置広がりテンソル。

参考文献

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外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「キュミュラント」。マスワールド。
• 数学用語の最も古い使用例

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