円筒座標系

Coordinates comprising two distances and an angle

原点O、極軸A、経度軸Lを持つ円筒座標系。点は、半径距離ρ = 4、角座標φ = 130°、高さz = 4の点である。基準面には紫色の部分が含まれる。

円筒座標系は、主軸（選択された有向線）と補助軸（参照光線）の周りの点の位置を指定する3次元 座標系です。3つの円筒座標は、主軸からの点の垂直距離ρ 、選択された原点から主軸に沿った点の符号付き距離z、そして原点を通り主軸に垂直な参照平面への 点投影の平面角φです。

主軸は円筒軸や縦軸など様々な呼び方があります。補助軸は極軸と呼ばれ、基準面上にあり、原点を起点として基準方向を指します。縦軸に垂直な他の方向は、放射状線と呼ばれます。

軸からの距離は半径距離または半径と呼ばれることがあり、角度座標は角度位置または方位角と呼ばれることもあります。半径と方位角は、基準面と平行な点を通る平面上の2次元極座標系に対応するため、極座標と呼ばれます。3つ目の座標は、高さまたは高度（基準面が水平とみなされる場合）、経度位置^[1]、または軸位置^[2]と呼ばれることがあります。

円筒座標は、円形断面を持つ直管内の水の流れ、金属円筒内の熱分布、長い直線ワイヤ内の電流によって生成される電磁場、天文学における降着円盤など、縦軸を中心に回転対称性を持つ物体や現象に関連して役立ちます。

これらは円筒極座標^[3]または極円筒座標^[4]と呼ばれることもあり、銀河内の星の位置を特定するために使用されることもあります（銀河中心円筒極座標）。^[5]

意味

点Pの3 つの座標 ( ρ、φ、z )は次のように定義されます。

• 半径距離 ρは、 z軸から点Pまでのユークリッド距離です。
• 方位角 φは、選択した平面上の基準方向と、原点から平面上のPの投影までの線との間の角度です。
• 軸座標または高さ zは、選択した平面から点Pまでの符号付き距離です。

ユニークな円筒座標

極座標と同様に、円筒座標系における同一点（ρ、φ、z）には、（ρ、φ ± n ×360°、z）と（−ρ 、 φ ±（2n +1）×180°、z）という無数の等価座標が存在します（nは任意の整数） 。さらに、半径ρが0の場合、方位角は任意です。

各点に一意の座標セットが必要な状況では、半径を非負（ρ ≥ 0 ）に制限し、方位角φを[−180°、+180°]または[0、360°]などの 360° にわたる特定の間隔に制限することができます。

コンベンション

円筒座標の表記法は統一されていません。ISO規格31-11では、(ρ, φ, z) が推奨されています。ここで、ρは半径座標、φは方位角、zは高さです。ただし、半径はrまたはs、方位角はθまたはt、第3の座標はh、（円筒軸が水平とみなされる場合）x、あるいは文脈に応じた任意の文字で表記されることもよくあります。

円筒座標( ρ , φ , z )の座標面。赤い円筒はρ = 2の点、青い平面はz = 1の点、黄色の半平面はφ = −60°の点を示す。z軸は垂直で、x軸は緑色で強調表示されている。3つの面は点Pでこれらの座標（黒い球で表示）と交差する。Pの直交座標はおおよそ (1.0, −1.732, 1.0) である。

円筒座標面。3つの直交成分ρ（緑）、φ（赤）、z（青）はそれぞれ一定の割合で増加します。点は3つの色付き面の交点にあります。

具体的な状況や多くの数学的な図では、正の角度座標は、正の高さを持つ任意の点から見て反時計回りに測定されます。

座標系の変換

円筒座標系は、数ある三次元座標系の一つです。以下の式を用いて、三次元座標系と円筒座標系を変換することができます。

直交座標

円筒座標と直交座標間の変換では、前者の基準面を直交座標xy平面（方程式z = 0）とし、円筒軸を直交座標z軸と仮定すると便利です。この場合、z座標は両方のシステムで同じになり、円筒座標（ρ、φ、z）と直交座標（x、y、z）の対応は極座標の場合と同じで、つまり一方向と他方向で同じになります。逆正弦関数は正弦関数の逆関数であり、[− ⁠ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\text{if }}x\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}}$$π/2⁠、 + ⁠π/2⁠ ] = [−90°, +90°]。これらの式は、方位角φ を[−180°, +180°]の範囲で。

逆正接関数を使うと、角度も[− ⁠π/2⁠、 + ⁠π/2⁠ ] = [−90°, +90°] 、最初に計算しなくても計算できます。他の数式については、 「極座標系」の記事を参照してください。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\{\frac {\pi }{2}}{\frac {y}{|y|}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y\neq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

多くの現代のプログラミング言語は、xとyが与えられたときに、上記のような場合分けを行うことなく、範囲(-π, π)内の正しい方位角φを計算する関数を提供しています。例えば、この関数はC言語ではatan2 ( y , x )、Common Lispでは(atan y x )として呼び出されます。

球座標

球座標（半径r、仰角または傾斜θ、方位角φ ）は、 θ が仰角または傾斜角を表すかどうかに応じて、次のように円筒座標に変換したり、円筒座標から変換したりできます。

球座標と円筒座標間の変換

変換先:	座標	θは標高	θは傾斜角
円筒形	ρ =	r cosθ​	r sin θ
	φ =	φ
	z =	r sin θ	r cosθ​
球状	r =	${\textstyle {\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$
	θ =	${\textstyle \arctan \left({\frac {z}{\rho }}\right)}$	${\textstyle \arctan \left({\frac {\rho }{z}}\right)}$
	φ =	φ

線と体積の要素

円筒極座標を含む多くの問題では、線分要素と体積要素を知っておくと役立ちます。これらは、パスと体積を含む問題を解くための積分に使用されます。

線要素は $${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.}$$

ボリューム要素は $${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}$$

一定半径ρの表面（垂直円筒） の表面要素は $${\displaystyle \mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}$$

方位角φが一定の面（垂直半平面）の表面要素は $${\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.}$$

一定の高さzの面（水平面）の表面要素は $${\displaystyle \mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .}$$

このシステムのdel演算子により、勾配、発散、回転、ラプラシアンについて次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}$$

円筒倍音

円筒対称性を持つシステムにおけるラプラス方程式の解は、円筒調和関数と呼ばれます。

運動学

円筒座標系では、粒子の位置は^[6]のように表すことができます 。粒子の速度は位置の時間微分であり、項はポアソンの公式に由来します。粒子の加速度は^[6]です。 $${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,{\dot {\varphi }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\dot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}},}$$ ${\displaystyle \rho {\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\rho }}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\varphi }}{\hat {z}}\times {\hat {\rho }}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\varphi }}+\rho \,{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\ddot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}}$$

参照

• 標準座標変換のリスト
• 円筒座標と球座標におけるベクトル場
• 円筒座標と球座標におけるDel

参考文献

1. Krafft, C.; Volokitin, AS (2002年1月1日). 「共鳴電子ビームと複数の低域混成波との相互作用」. Physics of Plasmas . 9 (6): 2786– 2797. Bibcode :2002PhPl....9.2786K. doi :10.1063/1.1465420. ISSN  1089-7674. 2013年4月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年2月9日閲覧。…円筒座標( r , θ , z )において… Z = v _bz tは縦方向の位置…
2. Groisman, Alexander; Steinberg, Victor (1997). 「粘弾性クエット流における孤立渦対」. Physical Review Letters . 78 (8): 1460– 1463. arXiv : patt-sol/9610008 . Bibcode :1997PhRvL..78.1460G. doi :10.1103/PhysRevLett.78.1460. S2CID  54814721. …ここで、 r、θ、zは円筒座標であり…軸方向位置の関数として…
3. Szymanski, JE (1989). 電子工学技術者のための基礎数学：モデルと応用. 電子工学チュートリアルガイド (第16号). Taylor & Francis. p. 170. ISBN 978-0-278-00068-1。
4. ナン、ロバート・H. (1989). 中級流体力学. テイラー＆フランシス. p. 3. ISBN 978-0-89116-647-4。
5. スパーク、リンダ・シボーン;ギャラガー、ジョン・シル (2007)。宇宙の銀河: 入門 (第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。 p. 37.ISBN​ 978-0-521-85593-8。
6. Taylor, John R. (2005).古典力学. カリフォルニア州サウサリート: University Science Books. p. 29.

さらに読む

• モース, フィリップ・M. ;フェシュバッハ, ハーマン(1953). 『理論物理学の方法 第一部』ニューヨーク市:マグロウヒルpp.  656– 657. ISBN 0-07-043316-X。LCCN  52011515。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• ヘンリー・マーゲナウ、ジョージ・M・マーフィー (1956). 『物理と化学の数学』 ニューヨーク市: D. van Nostrand. p. 178. ISBN 9780882754239LCCN  55010911. OCLC 3017486  . {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• Korn, Granino A.; Korn, Theresa M. (1961). 『科学者とエンジニアのための数学ハンドブック』 ニューヨーク市: McGraw-Hill. pp. 174–175. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• ロバート・ザウアー。イシュトヴァーンのサボ（1967）。Ingenieurs の数学。ニューヨーク市: S​​pringer-Verlag。 p. 95.LCCN 67025285  。
• ズウィリンガー、ダニエル (1992). 『統合ハンドブック』ボストン:ジョーンズ・アンド・バートレット出版社113頁. ISBN 0-86720-293-9. OCLC  25710023。
• ムーン, P.; スペンサー, DE (1988). 「円筒座標 (r, ψ, z)」.場の理論ハンドブック（座標系、微分方程式、およびその解を含む）（訂正第2版）. ニューヨーク市: シュプリンガー出版社. pp.  12– 17, 表1.02. ISBN 978-0-387-18430-2。

外部リンク

• 「円筒座標」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• MathWorldによる円筒座標の説明
• 円筒座標 フランク・ワッテンバーグによる円筒座標を示すアニメーション

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