対角行列

Matrix whose only nonzero elements are on its main diagonal

線型代数において、対角行列とは、主対角線以外の要素がすべて 0 である行列のことです。この用語は通常、正方行列を指します。主対角線の要素は、0 または非ゼロのいずれかになります。2×2 対角行列の例は、3×3 対角行列の例は です。任意のサイズの単位行列、またはその倍数は、スカラー行列と呼ばれる対角行列です。たとえば、 です。幾何学では、対角行列をスケーリング行列として使用します。これは、対角行列を掛け合わせるとスケール (サイズ) が変わり、場合によっては形状も変わるためです。スカラー行列だけがスケールの一様な変化をもたらします。 ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{smallmatrix}}\right]}$

意味

上で述べたように、対角行列とは、すべての非対角要素がゼロである行列のことである。つまり、n列n行の行列D = ( d _{i , j} )が対角行列であるとは、 $${\displaystyle \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.}$$

ただし、主な対角エントリには制限はありません。

対角行列という用語は、直交対角行列。これはm行n列の行列で、すべての要素がd _i（iはゼロ）の形式ではない。例えば、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}}$$

しかし、多くの場合、対角行列は正方行列を指し、明示的に正方対角行列。正方対角行列は対称行列なので、対称対角行列。

次の行列は正方対角行列です。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}}$$

要素が実数または複素数の場合も、それは通常の行列です。

この記事の残りの部分では、正方対角行列のみを取り上げ、単に「対角行列」と呼ぶことにします。

ベクトルから行列への diag 演算子

対角行列D は、次の演算子を使用してベクトルから構築できます。 ${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \operatorname {diag} }$ $${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}).}$$

これは、より簡潔に と表記することもできます。 ${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a} )}$

同じ演算子は、各引数A _iが行列であるブロック対角行列を表すためにも使用されます。 ${\displaystyle \mathbf {A} =\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\dots ,\mathbf {A} _{n})}$

diag演算子は、 と表記されます。ここで、 はアダマール積を表し、1は​​要素 1 を持つ定数ベクトルです。 $${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I} ,}$$ ${\displaystyle \circ }$

行列からベクトルへの診断演算子

逆行列からベクトルへのdiag演算子は、引数が行列になり、結果がその対角要素のベクトルになる、 同じ名前の で表されることもあります。 ${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}},}$

次の特性が成り立ちます。 $${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}=\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {1} .}$$

スカラー行列

対角成分が等しい対角行列はスカラー行列、つまり単位行列Iのλ倍のスカラー行列である。ベクトルに対しては、 λによるスカラー乗算となる。例えば、3×3 のスカラー行列は次の形式をとる。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}}$$

スカラー行列は行列代数の中心です。つまり、同じサイズの他のすべての正方行列と交換できる行列です。 ^[a]対照的に、体上（実数など）では、すべての対角要素が異なる対角行列は、対角行列とのみ交換できます（その中心化は対角行列の集合です）。これは、対角行列が、( i , j )項の積を持つ行列Mを与える場合、およびおよび（ m _ijで割ることができるため）であるためです。したがって、非対角項が 0 でない限り、それらは交換しません。^[b]対角要素がすべて等しくない、またはすべて異なる対角行列には、空間全体と対角行列のみの中間の中心化があります。^[1] ${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{i}\neq a_{j},}$ ${\displaystyle m_{ij}\neq 0,}$ ${\displaystyle (\mathbf {DM} )_{ij}=a_{i}m_{ij}}$ ${\displaystyle (\mathbf {MD} )_{ij}=m_{ij}a_{j},}$ ${\displaystyle a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}}$

抽象ベクトル空間V (具体的なベクトル空間K ⁿではなく) の場合、スカラー行列の類似物はスカラー変換です。これは、環R上のモジュール Mに対して、行列の代数を自己準同型代数End( M ) ( M上の線型作用素の代数)で置き換えた場合に、より一般的に当てはまります。正式には、スカラー乗算は線型写像であり、 End ( M )をR -代数として示す写像(スカラーλからそれに対応するスカラー変換、つまりλによる乗算)を誘導します。ベクトル空間の場合、スカラー変換はまさに自己準同型代数の中心であり、同様に、スカラー可逆変換は一般線型群GL( V )の中心です。前者は、より一般的には、自己準同型代数が行列代数と同型である真の自由モジュールです。 ${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M),}$ ${\displaystyle M\cong R^{n},}$

ベクトル演算

ベクトルと対角行列を掛け合わせると、各項にそれぞれ対応する対角要素が掛け合わされます。対角行列とベクトルが与えられた場合、積は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ $${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

これは、対角行列の代わりにベクトル を使用し、ベクトルのアダマール積（エントリワイズ積）を取ることで、より簡潔に表現できます。 ${\displaystyle \mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} \circ \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

これは数学的には等価ですが、この疎行列の零項をすべて格納することを避けています。この積は、機械学習において、例えばバックプロパゲーションにおける微分積の計算やTF-IDFにおけるIDF重みの乗算などに用いられます。^{[2]行列を効率的に乗算する}BLASフレームワークの中には、アダマール積の機能を直接備えていないものもあります。^[3]

行列演算

対角行列の加算と乗算は、特に対角行列の場合に簡単です。左上隅から始まる対角要素がa ₁ , ..., a _nである対角行列をdiag( a ₁ , ... , a _n )と書きます。すると、加算については、

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}+b_{n})}$$

行列の乗算の場合、

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}b_{n}).}$$

対角行列diag( a ₁ , ..., a _n )が逆行列と なるのは、要素a ₁ , ..., a _nがすべて非ゼロである場合に限ります。この場合、

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\,\ldots ,\,a_{n}^{-1}).}$$

特に、対角行列はすべてのn行n列の行列の環の部分環を形成します。

n行n列の行列A を左からdiag( a ₁ , ..., an )で乗算すると、すべての i について_Aのi番目の行にa iを_乗算することになります。また、行列Aを右からdiag( a ₁ , ..., an ₎で乗算すると、すべてのiについてAのi番目の列にa _iを乗算することになります。

固有基底における演算子行列

演算子行列の係数の決定で説明したように、行列Aが対角形式をとる特別な基底e ₁ , ..., e _nがあります。したがって、定義方程式では、i ≠ jのすべての係数a _{i, j}はゼロであり、合計ごとに1つの項のみが残ります。生き残った対角要素a _{i, j}は固有値と呼ばれ、方程式ではλ _iで示され、次のように簡約されます。結果として得られる方程式は固有値方程式^{[4]と呼ばれ、}特性多項式、さらには固有値と固有ベクトルを導出するために使用されます。 ${\textstyle \mathbf {Ae} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {Ae} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}.}$

言い換えれば、diag( λ ₁ , ..., λ _n )の固有値はλ ₁ , ..., λ _nとそれに関連する固有ベクトルe 1 _, ..., e _nです。

プロパティ

• diag( a ₁ , ..., a _n )の行列式は積a ₁ ⋯ a _nです。
• 対角行列の付加行列もまた対角行列です。
• すべての行列が正方行列である場合、
  • 行列が対角行列となるのは、それが三角行列かつ正規行列である場合のみです。
  • 行列が対角行列となるのは、上三角行列と下三角行列の両方である場合のみです。
  • 対角行列は対称です。
• 単位行列 I _nと零行列は対角行列です。
• 1×1 行列は常に対角行列です。
• トレースがゼロの 2×2 行列の平方は常に対角になります。

アプリケーション

対角行列は線形代数の多くの分野で用いられます。行列演算と固有値・固有ベクトルは上述のように簡潔に記述できるため、与えられた行列や線形写像は対角行列で表現することが一般的に望ましいとされています。

実際、n行n列の行列Aが対角行列に相似である（つまり、X ⁻¹ AXが対角行列となるような行列Xが存在する）のは、 n個の線形独立な固有ベクトルを持つ場合に限られます。このような行列は対角化可能であると言われています。

実数体や複素数体では、さらに多くのことが当てはまります。スペクトル定理によれば、すべての正規行列は対角行列とユニタリ相似です（ AA ^∗ = A ^∗ Aならば、 UAU ^∗が対角となるようなユニタリ行列Uが存在します）。さらに、特異値分解によれば、任意の行列Aに対して、U ∗ AV が正の成分を持つ対角行列となるようなユニタリ行列UとVが存在し、その行列はU ^∗ AVとなります。

作用素理論

作用素論、特に偏微分方程式の研究では、作用素が基底に対して対角関係にある場合、特に作用素は理解しやすく、偏微分方程式も解きやすい。これは、分離可能な偏微分方程式に対応する。したがって、作用素を理解するための重要な手法は、座標変換（作用素の用語では積分変換）であり、基底を固有関数の固有基底に変更することで、方程式を分離可能にする。重要な例としては、熱方程式のラプラシアン作用素など、定数係数微分作用素（より一般的には並進不変作用素）を対角化するフーリエ変換が挙げられる。

特に簡単なのは乗算演算子です。これは、固定された関数（の値）による乗算として定義されます。各ポイントでの関数の値は、行列の対角要素に対応します。

参照

• 反対角行列
• バンドマトリックス
• 二重対角行列
• 対角優勢行列
• 対角化可能な行列
• ジョルダン正規形
• 乗算演算子
• 三角行列
• テプリッツ行列
• トーラルリー代数
• 循環行列

注記

1. 証明:基本行列 が与えられた場合、はMのi行目のみの行列であり、はM のj列目のみの正方行列であるため、非対角要素はゼロでなければならず、i番目の対角要素はj番目の対角要素とほぼ等しくなります。 ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle Me_{ij}}$ ${\displaystyle e_{ij}M}$
2. より一般的な環では、常に割り切れるわけではないので、これは成り立ちません。

参考文献

1. 「対角行列は常に可換か？」Stack Exchange。2016年3月15日。 2018年8月4日閲覧。
2. Sahami, Mehran (2009-06-15). テキストマイニング：分類、クラスタリング、そして応用. CRC Press. p. 14. ISBN 9781420059458。
3. 「BLASにおける要素ごとのベクトル-ベクトル乗算？」stackoverflow.com . 2011年10月1日. 2020年8月30日閲覧。
4. ニアリング、ジェームズ (2010). 「第7.9章 固有値と固有ベクトル」(PDF) . 物理学のための数学ツール. ドーバー出版. ISBN 978-0486482125. 2012年1月1日閲覧。

出典

• ホーン、ロジャー・アラン；ジョンソン、チャールズ・ロイヤル（1985年）、マトリックス分析、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-38632-6

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