Matrices similar to diagonal matrices
線型代数 において 、 正方行列は、 対角行列 と 相似で ある場合、 対角化可能 または 非欠陥で あると呼ばれます。 つまり、 となる 可逆行列 と対角行列が存在する場合です 。これは と同等です 。 （そのような は 一意 ではありません。）この性質は任意 の線型写像に対して存在します。 有限次元 ベクトル空間に対して 、 線型 写像は 、の 固有ベクトル からなる の順序 付き 基底 が存在する場合、 対角化可能 と呼ばれます 。これらの定義は同等です。が上記のように 行列 表現 を持つ場合 、 の列ベクトルは の固有ベクトルからなる基底を形成し 、 の対角成分 は の 対応する 固有値です 。 この固有ベクトル基底に関して、 は で表されます A {\displaystyle A} P {\displaystyle P} D {\displaystyle D} P − 1 A P = D {\displaystyle P^{-1}AP=D} A = P D P − 1 {\displaystyle A=PDP^{-1}} P {\displaystyle P} D {\displaystyle D} V {\displaystyle V} T : V → V {\displaystyle T:V\to V} V {\displaystyle V} T {\displaystyle T} T {\displaystyle T} A = P D P − 1 {\displaystyle A=PDP^{-1}} P {\displaystyle P} T {\displaystyle T} D {\displaystyle D} T {\displaystyle T} T {\displaystyle T} D {\displaystyle D}
対角化と は、上記の と を 求めるプロセスであり 、後続の多くの計算を容易にします。 対角行列を べき乗するには、対角要素をそのべき乗するだけです。対角行列の 行列式 は、すべての対角要素の積です。このような計算は に簡単に一般化できます 。 P {\displaystyle P} D {\displaystyle D} D {\displaystyle D} A = P D P − 1 {\displaystyle A=PDP^{-1}}
対角化可能な行列によって表される幾何学的変換は、 非同次拡大 （または 異方性スケーリング ）です。つまり、空間を異なる方向に異なる量で スケーリング できます。各固有ベクトルの方向は、対応する固有値によって与えられる係数によってスケーリングされます。
対角化できない正方行列は、 欠陥 と 呼ばれます。実数 要素を持つ 行列が 実数上で欠陥となる場合があります。つまり、実数要素を持つ任意の逆行列 と対角行列 では は不可能ですが、 複素数 要素では可能であり 、複素数上で対角化可能です 。 たとえば、一般的な 回転行列がこれに該当します A {\displaystyle A} A = P D P − 1 {\displaystyle A=PDP^{-1}} P {\displaystyle P} D {\displaystyle D} A {\displaystyle A}
対角化可能行列に関する多くの結果は、 代数的に閉体 （複素数など）上でのみ成り立ちます。この場合、対角化可能行列は すべての行列の空間において 稠密であり、これは任意の欠陥行列を小さな 摂動 によって対角化可能行列に変形できることを意味します。また、 ジョルダン・シュヴァレー分解は、任意の行列が対角化可能行列とべき 零行列 の和として一意に定まることを述べています 。代数的に閉体上では、対角化可能行列は 半単純行列 と同値です。
定義 体 に要素を持つ 正方 行列は 、逆行列（すなわち、 一般線型群 GL n ( F )の元） が存在し、 それが対角行列である場合、 対角化可能 または 欠陥がないと 呼ばれます 。 n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle A} F {\displaystyle F} n × n {\displaystyle n\times n} P {\displaystyle P} P − 1 A P {\displaystyle P^{-1}AP}
特徴付け 対角化可能な写像と行列に関する基本的な事実は、次のように表現されます
体上の 行列 が 対角化可能であるのは、その固有空間の 次元の和 が に等しい 場合であり 、これは の固有ベクトルからなる の 基底 が存在する場合であり、かつその場合に限ります 。そのような基底が見つかった場合、 これらの 基底ベクトルを 列として持つ行列 を形成することができ、 は 対角成分が の固有値である対角行列になります 。この行列は の 様相行列 として知られています 。 n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle A} F {\displaystyle F} n {\displaystyle n} F n {\displaystyle F^{n}} A {\displaystyle A} P {\displaystyle P} P − 1 A P {\displaystyle P^{-1}AP} A {\displaystyle A} P {\displaystyle P} A {\displaystyle A} 線型写像が対角化可能であるのは、 その固有空間の 次元の和が に等しい場合であり 、 これ は の固有ベクトルからなる の基底が存在する場合であり、かつ その場合に限ります。そのような基底に関して、 は対角行列によって表されます。この行列の対角成分は の固有値です 。 T : V → V {\displaystyle T:V\to V} dim ( V ) {\displaystyle \dim(V)} V {\displaystyle V} T {\displaystyle T} T {\displaystyle T} T {\displaystyle T} 次の十分条件（ただし必要条件ではありません）は、しばしば有用です
行列 が 体上で対角化可能であるのは、それが において異なる固有値を 持つ場合 、 つまりその 特性多項式が において異なる根を 持つ場合です 。 ただし、その逆は偽となる場合があります。 が固有値 1、2、2（すべてが異なるわけではない）を持ち、対角形式（ と 同様 ） と 基底行列の変換 によって対角化可能である場合を考えます。が1より高い次元の固有空間を持つ 場合、逆は失敗します。 この例では、 固有値 2 に関連付けられた の固有空間は次元 2 です。 n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle A} F {\displaystyle F} n {\displaystyle n} F {\displaystyle F} n {\displaystyle n} F {\displaystyle F} [ − 1 3 − 1 − 3 5 − 1 − 3 3 1 ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{bmatrix}},} A {\displaystyle A} [ 1 0 0 0 2 0 0 0 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}} P {\displaystyle P} [ 1 1 − 1 1 1 0 1 0 3 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&0\\1&0&3\end{bmatrix}}.} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} を持つ 線型写像は、異なる固有値 を持つ場合 、つまりその特性多項式が において異なる根を持つ場合 、対角化可能です T : V → V {\displaystyle T:V\to V} n = dim ( V ) {\displaystyle n=\dim(V)} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} F {\displaystyle F} を 上の行列とします 。 が 対角化可能であれば 、 の任意のべき乗も対角化可能です。逆に、 が可逆で、 が代数的に閉じており、 の標数の整数倍ではない ものに対して対角化可能である 場合 、 は対角化可能です。証明： が 対角化可能であれば、 は ある多項式 によって消滅します 。多項式 は（ であるため ） 重根を持たず 、 の最小多項式で割り切れます A {\displaystyle A} F {\displaystyle F} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} F {\displaystyle F} A n {\displaystyle A^{n}} n {\displaystyle n} F {\displaystyle F} A {\displaystyle A} A n {\displaystyle A^{n}} A {\displaystyle A} ( x n − λ 1 ) ⋯ ( x n − λ k ) {\displaystyle \left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)} λ j ≠ 0 {\displaystyle \lambda _{j}\neq 0} A {\displaystyle A}
複素数 上 、ほぼすべての行列は対角化可能です。より正確には、 上対角化 できない 複素行列の集合を の 部分 集合とみなすと 、 ルベーグ測度は ゼロになります。また 、対角化可能な行列は ザリスキー位相 に関して稠密な部分集合を形成するとも言えます 。つまり、対角化できない行列は 、特性多項式の 判別式 の 消失集合（ 超曲面）内に存在します。このことから、 ノルム によって与えられる 通常の（ 強い ）位相における密度も導かれます。 上では同じことは成り立ちません 。 C {\displaystyle \mathbb {C} } n × n {\displaystyle n\times n} C {\displaystyle \mathbb {C} } C n × n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}} R {\displaystyle \mathbb {R} }
ジョルダン ・シュヴァレー分解は、 演算子をその半単純（すなわち対角化可能な）部分とべき 零 部分の和として表現します。したがって、行列が対角化可能であるのは、そのべき零部分がゼロである場合のみです。言い換えれば、行列が対角化可能であるのは、 ジョルダン形式 の各ブロックにべき零部分が存在しない場合、つまり各「ブロック」が1行1列の行列である場合です。
対角化 次の2つの任意の基底 とを考えます 。基底Eに関して記述される行列で表される線型変換が存在すると仮定します。 また、次の固有方程式が存在すると仮定します E = { e i | ∀ i ∈ [ n ] } {\displaystyle E=\{{{\boldsymbol {e}}_{i}|\forall i\in [n]}\}} F = { α i | ∀ i ∈ [ n ] } {\displaystyle F=\{{{\boldsymbol {\alpha }}_{i}|\forall i\in [n]}\}} A E {\displaystyle A_{E}}
A E α E , i = λ i α E , i {\displaystyle A_{E}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}}
アルファ固有ベクトルはE基底に関しても表されます。集合Fは行列Aの固有ベクトルの集合であり、任意のベクトル空間を張るので、 に類似した対角行列である行列が存在すると言えます 。言い換えれば、行列が基底Fで表されている場合、は対角化可能な行列です。基底変換の計算は 、次のように基底をEからFに変更する 遷移行列を用いて行います。 D F {\displaystyle D_{F}} A E {\displaystyle A_{E}} A E {\displaystyle A_{E}} S {\displaystyle S}
D F = S E F A E S E − 1 F {\displaystyle D_{F}=S_{E}^{F}\ A_{E}\ S_{E}^{-1F}} 、
ここで 、はE基底からF基底への遷移行列です。逆行列は、 基底をFからEに変更する新しい遷移行列と等しくすることができ、次の関係が成り立ちます。 S E F {\displaystyle S_{E}^{F}} P {\displaystyle P}
S E − 1 F = P F E {\displaystyle S_{E}^{-1F}=P_{F}^{E}}
と遷移行列は どちらも 逆行列です。したがって、次のように行列を操作できます。 行列 はと表され 、これは依然としてE基底です。同様に、対角行列はF基底です S {\displaystyle S} P {\displaystyle P} D = S A E S − 1 D = P − 1 A E P {\displaystyle {\begin{aligned}D=S\ A_{E}\ S^{-1}\\D=P^{-1}\ A_{E}\ P\end{aligned}}} A E {\displaystyle A_{E}} A {\displaystyle A}
対称行列の対角化は、軸を回転させて固有ベクトルに合わせることと解釈できます。 行列が 対角化できる場合、つまり A {\displaystyle A}
P − 1 A P = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] = D , {\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}=D,} 場合：
A P = P [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . {\displaystyle AP=P{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.} 遷移行列Sは、E基底ベクトルを基底Fの列として表します。逆に、逆遷移行列Pは、 Eの基底で表されたF基底ベクトルを持つため、Pをブロック行列形式で次のように表すことができます。 α i {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{i}}
P = [ α E , 1 α E , 2 ⋯ α E , n ] , {\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}},} 結果として、次のように書くことができます。 A [ α E , 1 α E , 2 ⋯ α E , n ] = [ α E , 1 α E , 2 ⋯ α E , n ] D . {\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}D.\end{aligned}}}
ブロック行列形式では、A行列を1x1次元の行列と見なすことができますが、Pは1xn次元の行列です。D行列は、すべての対角要素をnxn次元の行列として完全な形式で表すことができます。
A [ α E , 1 α E , 2 ⋯ α E , n ] = [ α E , 1 α E , 2 ⋯ α E , n ] [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . {\displaystyle A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}
上記の行列乗算を実行すると、次のようになります。 ブロック行列の各成分を両側で個別に取ると、次のようになります A [ α 1 α 2 ⋯ α n ] = [ λ 1 α 1 λ 2 α 2 ⋯ λ n α n ] {\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&\lambda _{2}{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &\lambda _{n}{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
A α i = λ i α i ( i = 1 , 2 , … , n ) . {\displaystyle A{\boldsymbol {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\dots ,n).} したがって、 の列ベクトルは の 右固有ベクトル であり 、 対応する対角要素は対応する 固有値 です。 の可逆性は また、固有ベクトルが 線形独立で あり、 の基底を形成することを示唆しています 。 これは、対角化可能性と対角化の標準的なアプローチの必要十分条件です。 の 行ベクトル はの 左固有ベクトル です 。 P {\displaystyle P} A {\displaystyle A} P {\displaystyle P} F n {\displaystyle F^{n}} P − 1 {\displaystyle P^{-1}} A {\displaystyle A}
複素行列 が エルミート行列 （またはより一般的には 正規行列 ）である場合、 の固有ベクトルは の 正規直交基底 を形成するように選択でき 、 は ユニタリ行列 になるように選択できます 。さらに、 が実 対称行列 である場合、その固有ベクトルは の正規直交基底を形成するように選択でき 、は 直交行列 になるように選択できます 。 A ∈ C n × n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} A {\displaystyle A} C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} P {\displaystyle P} A ∈ R n × n {\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} P {\displaystyle P}
ほとんどの実用的な作業では、行列はコンピュータソフトウェアを使用して数値的に対角化されます。これを達成するための 多くのアルゴリズム が存在します。
同時対角化 行列の集合が 同時対角化可能 であるとは、集合内のすべての に対して が対角行列となる ような 単一の可逆行列が存在する場合です 。次の定理は同時対角化可能な行列を特徴付けます。対角化可能な 行列の集合が可換で あるためには、その集合が同時対角化可能である必要があります。 [1] ：p. 64 P {\displaystyle P} P − 1 A P {\displaystyle P^{-1}AP} A {\displaystyle A}
となるすべての 対角化可能な行列（ 上 ） の集合は 同時対角化可能ではない。例えば、行列 n × n {\displaystyle n\times n} C {\displaystyle \mathbb {C} } n > 1 {\displaystyle n>1}
[ 1 0 0 0 ] and [ 1 1 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}} は対角化可能ですが、可換ではないため、同時に対角化できません。
集合が可換な 正規行列 から構成される場合と、それが ユニタリ行列 によって同時に対角化可能である場合とで同値です。つまり、 集合内の 任意の に対して が対角となる ようなユニタリ行列が存在するということです。 U {\displaystyle U} U ∗ A U {\displaystyle U^{*}AU} A {\displaystyle A}
リー理論 の言語では 、同時に対角化可能な行列の集合は トーラル・リー代数 を生成します。
例
対角化可能な行列 対角化は 、実数（および特性が2以外の任意の体）上で対角化可能であり、対角線上に±1があります。 有限位数自己準 同型 は、（または体の特性が自己準同型の位数を割り切らない任意の代数的に閉体） 上で対角化可能であり、対角線上に 単位根が あります。これは、最小多項式が 可分で あるため、単位根が異なることから成り立ちます C {\displaystyle \mathbb {C} } 射影は 対角化可能であり、対角線上には0と1が存在します。 実 対称行列は 直交行列 によって対角化可能です 。 つまり、実対称行列が与えられた場合 、 ある直交行列に対しては対角行列となります。より一般的には、行列が ユニタリ行列 によって対角化可能であるのは、それらが 正規行列 である場合に限ります 。実対称行列の場合、となるので 、 明らかに 成り立ちます。正規行列の例としては、実対称（または 歪対称 ）行列（共分散行列など）と エルミート行列 （または歪エルミート行列）があります。 無限次元ベクトル空間への一般化については、 スペクトル定理を参照してください。 A {\displaystyle A} Q T A Q {\displaystyle Q^{\mathrm {T} }AQ} Q {\displaystyle Q} A = A T {\displaystyle A=A^{\mathrm {T} }} A A T = A T A {\displaystyle AA^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }A}
対角化できない行列 一般に、 回転行列は 実数体上では対角化できませんが、すべての 回転行列は 複素体上では対角化できます。行列が対角化できない場合でも、「できる限りのことをする」ことで、主対角線上に固有値、上対角線上に1または0で構成される同じ特性を持つ行列を見つけることは常に可能です 。
これは ジョルダン正規形として知られています
いくつかの行列は、どの体上でも対角化できません。特に非零冪 零行列がこれに該当します。これはより一般的には、固有値の代数的 重複度と幾何的重複度 が一致しない場合に発生します 。例えば、
C = [ 0 1 0 0 ] . {\displaystyle C={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.} この行列は対角化できません。対角行列となる ような 行列は存在しません。実際、 は1つの固有値（つまり0）を持ち、この固有値は代数的重複度が2、幾何的重複度が1です。 U {\displaystyle U} U − 1 C U {\displaystyle U^{-1}CU} C {\displaystyle C}
実数行列の中には、実数上で対角化できないものがあります。例えば、
B = [ 0 1 − 1 0 ] . {\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\\!-1&0\end{array}}\right].} この行列は 実固有値を持たないため、対角行列 となるような 実数 行列は存在しません。しかし、 複素数を許容すれば 対角化できます。実際、 とすると B {\displaystyle B} Q {\displaystyle Q} Q − 1 B Q {\displaystyle Q^{-1}BQ} B {\displaystyle B}
Q = [ 1 i i 1 ] , {\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1&i\\i&1\end{bmatrix}},} は対角行列です。は反時計回りに角度回転する回転行列である ことが簡単にわかります。 Q − 1 B Q {\displaystyle Q^{-1}BQ} B {\displaystyle B} θ = − π 2 {\textstyle \theta =-{\frac {\pi }{2}}}
上記の例は、対角化可能な行列の和が必ずしも対角化可能である必要はないことを示していることに注意してください。
行列の対角化方法 行列の対角化は、固有ベクトルが基底を形成する場合、 固有値と固有ベクトルを 求めるのと同じプロセスです。例えば、次の行列を考えます。
A = [ 0 1 − 2 0 1 0 1 − 1 3 ] . {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right].} 特性多項式 の根は 固有値です 。 線形連立方程式を解くと 、 固有ベクトルとが得られ 、 一方 、 は と なります 。 つまり、 の場合、 となります。 これらのベクトルは の基底を形成するので 、 基底変換 行列 の列ベクトルとして組み立てると 、次のようになります。 この方程式を変換の観点から見てみましょう。 は標準基底を固有基底 に取るので 、 次のようになります。 したがって、 は 標準基底を固有ベクトルとして持ち、これが の定義特性です 。 p ( λ ) = det ( λ I − A ) {\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I-A)} λ 1 = 1 , λ 2 = 1 , λ 3 = 2 {\displaystyle \lambda _{1}=1,\lambda _{2}=1,\lambda _{3}=2} ( 1 I − A ) v = 0 {\displaystyle \left(1I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} } v 1 = ( 1 , 1 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1,0)} v 2 = ( 0 , 2 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(0,2,1)} ( 2 I − A ) v = 0 {\displaystyle \left(2I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} } v 3 = ( 1 , 0 , − 1 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(1,0,-1)} A v i = λ i v i {\displaystyle A\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}} i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} V = R 3 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}} P {\displaystyle P} P − 1 A P = [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] − 1 [ 0 1 − 2 0 1 0 1 − 1 3 ] [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 2 ] = D . {\displaystyle P^{-1}AP=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}}=D.} P {\displaystyle P} P e i = v i {\displaystyle P\mathbf {e} _{i}=\mathbf {v} _{i}} P − 1 A P e i = P − 1 A v i = P − 1 ( λ i v i ) = λ i e i , {\displaystyle P^{-1}AP\mathbf {e} _{i}=P^{-1}A\mathbf {v} _{i}=P^{-1}(\lambda _{i}\mathbf {v} _{i})=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i},} P − 1 A P {\displaystyle P^{-1}AP} D {\displaystyle D}
には固有ベクトルの優先順序がないことに注意してください 。 における固有ベクトルの順序を変更すると 、 の対角化された形式における 固有値 の順序が変わるだけです 。 [2] P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} A {\displaystyle A}
行列関数への応用 対角化は行列のべき乗を効率的に計算するために使用できます 。 A = P D P − 1 {\displaystyle A=PDP^{-1}}
A k = ( P D P − 1 ) k = ( P D P − 1 ) ( P D P − 1 ) ⋯ ( P D P − 1 ) = P D ( P − 1 P ) D ( P − 1 P ) ⋯ ( P − 1 P ) D P − 1 = P D k P − 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&=\left(PDP^{-1}\right)^{k}=\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1},\end{aligned}}} 後者は対角行列のべき乗のみを扱うため、計算が簡単です。例えば、 上記の例の 固有値を持つ行列の場合、次のように計算します A {\displaystyle A} λ = 1 , 1 , 2 {\displaystyle \lambda =1,1,2}
A k = P D k P − 1 = [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] [ 1 k 0 0 0 1 k 0 0 0 2 k ] [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] − 1 = [ 2 − 2 k − 1 + 2 k 2 − 2 k + 1 0 1 0 − 1 + 2 k 1 − 2 k − 1 + 2 k + 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} このアプローチは、行列指数関数 や、 べき級数として定義できる他の 行列関数 に一般化できます。例えば、を定義すると 、 次のようになります。 exp ( A ) = I + A + 1 2 ! A 2 + 1 3 ! A 3 + ⋯ {\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }
exp ( A ) = P exp ( D ) P − 1 = [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] [ e 1 0 0 0 e 1 0 0 0 e 2 ] [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] − 1 = [ 2 e − e 2 − e + e 2 2 e − 2 e 2 0 e 0 − e + e 2 e − e 2 − e + 2 e 2 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)=P\exp(D)P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}e^{1}&0&0\\0&e^{1}&0\\0&0&e^{2}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2e-e^{2}&-e+e^{2}&2e-2e^{2}\\0&e&0\\-e+e^{2}&e-e^{2}&-e+2e^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} これは、フィボナッチ数列 のような 線形再帰列の 項の閉じた形式表現を見つけるのに特に役立ちます 。
具体的な応用 例えば、次の行列を考えてみましょう。
M = [ a b − a 0 b ] . {\displaystyle M={\begin{bmatrix}a&b-a\\0&b\end{bmatrix}}.} の様々なべき乗を計算すると 、驚くべきパターンが明らかになります。 M {\displaystyle M}
M 2 = [ a 2 b 2 − a 2 0 b 2 ] , M 3 = [ a 3 b 3 − a 3 0 b 3 ] , M 4 = [ a 4 b 4 − a 4 0 b 4 ] , … {\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}&b^{2}-a^{2}\\0&b^{2}\end{bmatrix}},\quad M^{3}={\begin{bmatrix}a^{3}&b^{3}-a^{3}\\0&b^{3}\end{bmatrix}},\quad M^{4}={\begin{bmatrix}a^{4}&b^{4}-a^{4}\\0&b^{4}\end{bmatrix}},\quad \ldots } 上記の現象は、を対角化することで説明できます 。 これを実現するには、の固有ベクトルからなる の基底が必要です 。 そのような固有ベクトル基底の1つは、 M {\displaystyle M} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} M {\displaystyle M}
u = [ 1 0 ] = e 1 , v = [ 1 1 ] = e 1 + e 2 , {\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2},} ここで、 e i は R n の標準基底を表します 。基底の逆変換は、
e 1 = u , e 2 = v − u . {\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\mathbf {u} ,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {v} -\mathbf {u} .} 簡単な計算でわかります。
M u = a u , M v = b v . {\displaystyle M\mathbf {u} =a\mathbf {u} ,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} .} したがって、 a と bは、それぞれ u と v に対応する固有値です 。行列の乗算の線形性により、
M n u = a n u , M n v = b n v . {\displaystyle M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {u} ,\qquad M^{n}\mathbf {v} =b^{n}\mathbf {v} .} 標準基底に戻ると、
M n e 1 = M n u = a n e 1 , M n e 2 = M n ( v − u ) = b n v − a n u = ( b n − a n ) e 1 + b n e 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}M^{n}\mathbf {e} _{1}&=M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {e} _{1},\\M^{n}\mathbf {e} _{2}&=M^{n}\left(\mathbf {v} -\mathbf {u} \right)=b^{n}\mathbf {v} -a^{n}\mathbf {u} =\left(b^{n}-a^{n}\right)\mathbf {e} _{1}+b^{n}\mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}} 行列形式で表された上記の関係は、
M n = [ a n b n − a n 0 b n ] , {\displaystyle M^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&b^{n}-a^{n}\\0&b^{n}\end{bmatrix}},} これにより、上記の現象が説明されます。
量子力学への応用 量子力学 および 量子化学 計算において 、行列の対角化は最も頻繁に適用される数値処理の1つです。基本的な理由は、時間に依存しない シュレーディンガー方程式が、無限次元 ヒルベルト空間 上のほとんどの物理的状況ではあるが、 固有値方程式であるためです
非常に一般的な近似は、ヒルベルト空間を有限次元に切り捨て（または射影し）、その後、シュレーディンガー方程式を実対称行列または複素エルミート行列の固有値問題として定式化することです。正式には、この近似は 変分原理 に基づいており、下から有界なハミルトニアンに対して有効です。
一次摂動論は また、縮退状態の行列固有値問題につながります。
作用素論 行列は線型作用素 に一般化できます 。対角行列はヒルベルト空間上の対角作用素に一般化できます。
をヒルベルト空間とします 。作用素が 対角作用素である場合、 それは の正規直交基底が存在し 、 ある に対してとなる場合に限ります 。 H {\displaystyle H} D : H → H {\displaystyle D:H\to H} ( e n ) n {\displaystyle (e_{n})_{n}} H {\displaystyle H} D e n = λ n e n {\displaystyle De_{n}=\lambda _{n}e_{n}} λ n ∈ C {\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {C} }
任意の に対して 、 p-シャッテンノルムを 次 のように定義します。 を作用素とすると、 となり 、 はトレース となります 。p-シャッテン類は、有限のp-シャッテンノルムを持つすべての作用素の集合です p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} T : H → H {\displaystyle T:H\to H} ‖ T ‖ p := Tr ( | T | p ) 1 / p {\displaystyle \|T\|_{p}:=\operatorname {Tr} (|T|^{p})^{1/p}} Tr {\displaystyle \operatorname {Tr} }
ワイル [3] 、 フォン・ノイマン [4] 、および黒田 [5] は、以下を示した。
任意の、 ヒルベルト空間上の 任意の自己随伴作用素 、および任意のに対して 、対角作用素が存在し 、 となり ます p > 1 {\displaystyle p>1} T {\displaystyle T} H {\displaystyle H} ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} D {\displaystyle D} ‖ T − D ‖ p ≤ ϵ {\displaystyle \|T-D\|_{p}\leq \epsilon }
言い換えれば、任意の自己随伴作用素は対角作用素からの無限小摂動であり、「無限小」とはp-シャッテンノルムの意味で用いられます。特に、ヒルベルト・シュミット作用素類は2-シャッテン類であるため、任意の自己随伴作用素は無限小ヒルベルト・シュミット作用素による摂動の後で対角化可能であることを意味します。実際、上記の結果はさらに一般化できます。
トレース類ではない任意のノルムイデアル、ノルム、 ヒルベルト空間上の 任意の自己随伴作用素 、および任意のに対して、 となる 対角作用素が存在 する ‖ ⋅ ‖ J {\displaystyle \|\cdot \|_{J}} T {\displaystyle T} H {\displaystyle H} ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} D {\displaystyle D} ‖ T − D ‖ J ≤ ϵ {\displaystyle \|T-D\|_{J}\leq \epsilon }
結果は （ トレースクラス ）に対して偽です。これは、 が自己随伴で が トレースクラスで ある場合、スペクトル の同じ 絶対連続部分 を持つという、 Kato [6] –Rosenblum [7] [8]の 定理XI.8 の単純な系です。しかし、が絶対連続部分を持たない場合、 無限小トレースクラス作用素による摂動後に対角化 できる という意味で、結果は鋭いものです。 [9] p = 1 {\displaystyle p=1} T {\displaystyle T} A {\displaystyle A} T , T + A {\displaystyle T,T+A} T {\displaystyle T}
同時対角化 について、 互いに可換な自己随伴作用素の有限リストが与えられた場合、任意の に対して、 となる 対角作用素の列 が存在する ことが知られています。 ここ で は n-シャッテンノルムです。 [10]に注意してください。 T 1 , … , T n {\displaystyle T_{1},\dots ,T_{n}} ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} D 1 , … , D n {\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}} ‖ T 1 − D 1 ‖ n ≤ ϵ , … , ‖ T n − D n ‖ n ≤ ϵ {\displaystyle \|T_{1}-D_{1}\|_{n}\leq \epsilon ,\dots ,\|T_{n}-D_{n}\|_{n}\leq \epsilon } ‖ ⋅ ‖ n {\displaystyle \|\cdot \|_{n}} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}
関連項目
参考文献 ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis, second edition . Cambridge University Press. ISBN 9780521839402 。 ^ Anton, H.; Rorres, C. (2000年2月22日). Elementary Linear Algebra (Applications Version) (8th ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-17052-5 。 ^ フォン・ワイル、ヘルマン（1909年12月）。「Über beschränkte quadratische formen, deren differenz vollstetig ist」。 パレルモ数学界研究 （ドイツ語）。27 ( 1): 373– 392. doi :10.1007/BF03019655. ISSN 0009-725X. ^ フォン・ノイマン、ジョン (1935). 「積分作用素のスペクトルの特徴づけ」. Actualités Scientifiques et Industrielles (ドイツ語). 229 : 3–20 . ^ 黒田 茂俊 (1958-01-01). 「ワイル-フォン・ノイマンの定理について」. 日本学士院紀要, シリーズA, 数学科学 . 34 (1). doi :10.3792/pja/1195524841. ISSN 0386-2194 ^ 加藤敏雄 (1957). 「トレースクラス演算子による連続スペクトルの摂動」. 日本学士院紀要 . 33 (5): 260– 264. doi :10.3792/pja/1195525063. ^ ローゼンブラム、マーヴィン (1957). 「連続スペクトルの摂動とユニタリー同値性」. Pacific J. Math . 7 (4): 997–1010 . doi :10.2140/pjm.1957.7.997. ^ リード, マイケル ; サイモン, バリー (1979年5月12日). 散乱理論 . 現代数理物理学の方法. 第3巻 (第1版). アカデミック・プレス. ISBN 978-0125850032 。 ^ Carey, RW; Pincus, JD (1976). 「自己随伴作用素のトレースクラスを法とするユニタリー同値性」 . American Journal of Mathematics . 98 (2): 481–514 . doi :10.2307/2373898. ISSN 0002-9327. JSTOR 2373898. ^ Voiculescu, Dan (1990-06-01). 「ノルムイデアルに対する準中心近似単位の存在について。パートI」 . Journal of Function Analysis . 91 (1): 1–36 . doi :10.1016/0022-1236(90)90047-O. ISSN 0022-1236.
![{\displaystyle E=\{{{\boldsymbol {e}}_{i}|\forall i\in [n]}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c713e2dfbd10285e2ad74bc1af00a7536a9616f0)
![{\displaystyle F=\{{{\boldsymbol {\alpha }}_{i}|\forall i\in [n]}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f257452f06ba7c5860fbc9c1bc6fd4fd30985ff5)
![{\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\\!-1&0\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4941e8021022600bd893174955fd7d0fda584c54)
![{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d4bf4a6225301829b5d901fde06b5d437666a4)
![{\displaystyle P^{-1}AP=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}}=D.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f9e3351d58c7861f8c69580f3cd14ac82ec7a3d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begi n{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75e9ac586b275dab0b07cfa8a76cf1fa56d759f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)=P\exp(D)P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}e^{1}&0&0\\0&e^{1}&0\\0&0&e^{2}\end{bmatrix}}\left[{\be gin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2e-e^{2}&-e+e^{2}&2e-2e^{2}\\0&e&0\\-e+e^{2}&e-e^{2}&-e+2e^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10abb668f51f9306f9384119e09ee5d32c0df35f)
