Matrices similar to diagonal matrices
線型代数 において 、 正方行列は、 対角行列 と 相似で あるとき、 対角化可能 あるいは 非欠陥であると いわれる 。つまり、 となる 可逆行列 と対角行列が存在する場合である 。これは と同等である 。 （このような 、 は一意ではない。）この特性は任意の線型写像に対して成立する。 有限次元 ベクトル空間に対して 、 線型 写像は 、の 固有ベクトル からなる の 順序付き基底 が存在するとき、対 角化可能で あるといわれる 。これらの定義は同等である。 が上記のように 行列 表現さ れる場合 、 の列ベクトルは の固有ベクトルからなる基底を形成し 、 の対角要素 は の 対応する 固有値である 。 この固有ベクトル基底に関して、 は によって表される 。 A {\displaystyle A} P {\displaystyle P} D {\displaystyle D} P − 1 A P = D {\displaystyle P^{-1}AP=D} A = P D P − 1 {\displaystyle A=PDP^{-1}} P {\displaystyle P} D {\displaystyle D} V {\displaystyle V} T : V → V {\displaystyle T:V\to V} V {\displaystyle V} T {\displaystyle T} T {\displaystyle T} A = P D P − 1 {\displaystyle A=PDP^{-1}} P {\displaystyle P} T {\displaystyle T} D {\displaystyle D} T {\displaystyle T} T {\displaystyle T} D {\displaystyle D}
対角化と は、上記の と を 求めるプロセスであり 、これにより後続の多くの計算が容易になります。 対角行列を べき乗するには、対角要素をそのべき乗するだけです。対角行列の 行列式 は、すべての対角要素の積です。このような計算は に簡単に一般化できます 。 P {\displaystyle P} D {\displaystyle D} D {\displaystyle D} A = P D P − 1 {\displaystyle A=PDP^{-1}}
対角化可能な行列で表される幾何学的変換は、 非同次拡大 （または 異方的スケーリング ）です。つまり、空間を異なる方向に異なる量で スケーリング できます。各固有ベクトルの方向は、対応する固有値によって与えられる係数でスケーリングされます。
対角化できない正方行列は 欠陥行列 と呼ばれます。実数 要素を持つ 行列が 実数上で欠陥行列となることがあります。これは、実数要素を持つ逆行列 と対角行列の いずれに対しても が不可能であることを意味します。しかし、 複素数 要素では が可能であり 、 複素数上で が対角化可能であることを意味します。例えば、一般的な 回転行列 がこれに該当します。 A {\displaystyle A} A = P D P − 1 {\displaystyle A=PDP^{-1}} P {\displaystyle P} D {\displaystyle D} A {\displaystyle A}
対角化可能行列に関する多くの結果は、 代数的に閉体 （複素数など）上でのみ成り立ちます。この場合、対角化可能行列は すべての行列の空間において 稠密であり、これは任意の欠陥行列を小さな 摂動 によって対角化可能行列に変形できることを意味します。また、 ジョルダン・シュヴァレー分解によれば、任意の行列は対角化可能行列とべき 零行列 の和として一意に決定されます 。代数的に閉体上では、対角化可能行列は 半単純行列 と等価です。
意味 体 に要素を持つ 正方 行列は、逆行列（つまり、 一般線型群 GL n ( F ) の要素） が存在し 、その行列が対角行列である場合、 対角化可能 または 非欠陥である と呼ばれ ます。 n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle A} F {\displaystyle F} n × n {\displaystyle n\times n} P {\displaystyle P} P − 1 A P {\displaystyle P^{-1}AP}
キャラクター設定 対角化可能な写像と行列に関する基本的な事実は次のように表現されます。
体上の 行列 が 対角化可能であるのは、その固有空間の 次元の和 が に等しい 場合であり 、これは の固有ベクトルからなる の 基底 が存在する場合のみである 。そのような基底が見つかれば、これらの 基底ベクトル を列として持つ行列 を形成することができ 、 は の固有値を対角要素とする対角行列となる 。この行列は の 様相行列 と呼ばれる 。 n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle A} F {\displaystyle F} n {\displaystyle n} F n {\displaystyle F^{n}} A {\displaystyle A} P {\displaystyle P} P − 1 A P {\displaystyle P^{-1}AP} A {\displaystyle A} P {\displaystyle P} A {\displaystyle A} 線型写像 が対角化可能であるのは、その固有空間の次元の和が に等しい場合であり 、 これは の 固有ベクトルからなる の基底が存在する場合である 。このような基底に関して、 は対角行列で表される。この行列の対角成分は の固有値である 。 T : V → V {\displaystyle T:V\to V} dim ( V ) {\displaystyle \dim(V)} V {\displaystyle V} T {\displaystyle T} T {\displaystyle T} T {\displaystyle T} 次の十分条件（ただし必要条件ではない）は、多くの場合役立ちます。
行列 が 体 上で対角化可能であるとは、 において異なる固有値を 持つ場合 、 すなわち、その 特性多項式が において異なる根を 持つ場合です 。 ただし、逆は成り立たない場合があります。 が固有値 1、2、2（すべてが異なるわけではない）を持ち、対角形式（ と同様）と基底行列 の変換によって対角化可能であるとします 。 が 1 より大きい 次元 の固有空間を持つ 場合、逆は成り立ちません。この例では、 固有値 2 に関連付けられた の固有空間は次元 2 です。 n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle A} F {\displaystyle F} n {\displaystyle n} F {\displaystyle F} n {\displaystyle n} F {\displaystyle F} [ − 1 3 − 1 − 3 5 − 1 − 3 3 1 ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{bmatrix}},} A {\displaystyle A} [ 1 0 0 0 2 0 0 0 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}} P {\displaystyle P} [ 1 1 − 1 1 1 0 1 0 3 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&0\\1&0&3\end{bmatrix}}.} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} を持つ 線型写像は 、異なる固有値を 持つ場合、つまりその特性多項式が において異なる根を持つ場合、対角化可能です 。 T : V → V {\displaystyle T:V\to V} n = dim ( V ) {\displaystyle n=\dim(V)} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} F {\displaystyle F} を 上の行列とします 。 が 対角化可能な場合 、 の任意のべき乗も対角化可能です。逆に、 が可逆で、 が代数的に閉じており 、 の標数の整数倍ではない に対して対角化可能な場合、 は 対角化可能です。証明: が対角化可能な場合、 は ある多項式 によって消滅します 。この多項式 は（ であるため ） 重根を持たず 、 の最小多項式で割り切れます 。 A {\displaystyle A} F {\displaystyle F} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} F {\displaystyle F} A n {\displaystyle A^{n}} n {\displaystyle n} F {\displaystyle F} A {\displaystyle A} A n {\displaystyle A^{n}} A {\displaystyle A} ( x n − λ 1 ) ⋯ ( x n − λ k ) {\displaystyle \left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)} λ j ≠ 0 {\displaystyle \lambda _{j}\neq 0} A {\displaystyle A}
複素数 上 、ほぼすべての行列は対角化可能です。より正確には、 上対角化 できない 複素行列の集合を の 部分 集合とみなすと 、 ルベーグ測度は ゼロになります。また 、対角化可能な行列は ザリスキー位相 に関して稠密な部分集合を形成するとも言えます 。つまり、対角化できない行列は 、特性多項式の 判別式 の 消失集合（ 超曲面）内に存在します。このことから、 ノルム によって与えられる 通常の（ 強い ）位相における密度も導かれます。 上では同じことは成り立ちません 。 C {\displaystyle \mathbb {C} } n × n {\displaystyle n\times n} C {\displaystyle \mathbb {C} } C n × n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}} R {\displaystyle \mathbb {R} }
ジョルダン ・シュヴァレー分解は、 作用素をその半単純（すなわち対角化可能な）部分とべき 零 部分の和として表現します。したがって、行列が対角化可能であるのは、そのべき零部分がゼロである場合のみです。言い換えれば、 ジョルダン形式 の各ブロックにべき零部分が存在しない場合、つまり各「ブロック」が1行1列の行列である場合、行列は対角化可能であると言えます。
対角化 次の2つの任意の基底とを考えます 。 基底Eに関して記述される 行列で表される線形変換が存在すると仮定します。また、次の固有方程式が存在すると仮定します。 E = { e i | ∀ i ∈ [ n ] } {\displaystyle E=\{{{\boldsymbol {e}}_{i}|\forall i\in [n]}\}} F = { α i | ∀ i ∈ [ n ] } {\displaystyle F=\{{{\boldsymbol {\alpha }}_{i}|\forall i\in [n]}\}} A E {\displaystyle A_{E}}
A E α E , i = λ i α E , i {\displaystyle A_{E}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}}
アルファ固有ベクトルは、E基底に関しても表されます。集合Fは行列Aの固有ベクトルの集合であり、任意のベクトル空間を張るので、 に 相似な対角行列である行列が存在すると言えます 。言い換えれば、行列が基底Fで表されている場合、 は対角化可能な行列です。基底変換計算は 、基底をEからFに変換する 遷移行列を用いて行います。 D F {\displaystyle D_{F}} A E {\displaystyle A_{E}} A E {\displaystyle A_{E}} S {\displaystyle S}
D F = S E F A E S E − 1 F {\displaystyle D_{F}=S_{E}^{F}\ A_{E}\ S_{E}^{-1F}} 、
ここで はE基底からF基底への遷移行列です。逆行列は、 基底をFからEに変更する新しい遷移行列と等しくすることができ、以下の関係が成り立ちます。 S E F {\displaystyle S_{E}^{F}} P {\displaystyle P}
S E − 1 F = P F E {\displaystyle S_{E}^{-1F}=P_{F}^{E}}
遷移行列と遷移行列は どちらも 逆行列です。したがって、これらの行列は次のように操作できます。 行列は と表記されますが 、これは依然としてE基底です。同様に、対角行列はF基底です。 S {\displaystyle S} P {\displaystyle P} D = S A E S − 1 D = P − 1 A E P {\displaystyle {\begin{aligned}D=S\ A_{E}\ S^{-1}\\D=P^{-1}\ A_{E}\ P\end{aligned}}} A E {\displaystyle A_{E}} A {\displaystyle A}
対称行列の対角化は、軸を回転させて固有ベクトルに合わせることとして解釈できます。 行列 が対角化できる場合、つまり、 A {\displaystyle A}
P − 1 A P = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] = D , {\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}=D,} それから：
A P = P [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . {\displaystyle AP=P{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.} 遷移行列 S には、基底 F に記述された列として E 基底ベクトルがあります。逆に、逆遷移行列 P には、 基底 E に記述された F 基底ベクトルがあるため、次のようにして P をブロック行列形式で表すことができます。 α i {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{i}}
P = [ α E , 1 α E , 2 ⋯ α E , n ] , {\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}},} 結果として次のように書けます。 A [ α E , 1 α E , 2 ⋯ α E , n ] = [ α E , 1 α E , 2 ⋯ α E , n ] D . {\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}D.\end{aligned}}}
ブロック行列形式では、A行列は1x1次元行列、P行列は1xn次元行列とみなすことができます。D行列は、すべての対角要素を含むnxn次元行列として完全形式で表記できます。
A [ α E , 1 α E , 2 ⋯ α E , n ] = [ α E , 1 α E , 2 ⋯ α E , n ] [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . {\displaystyle A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}
上記の行列乗算を実行すると、次のようになります。 ブロック行列の各要素を両側で個別に取ると、次のようになります。 A [ α 1 α 2 ⋯ α n ] = [ λ 1 α 1 λ 2 α 2 ⋯ λ n α n ] {\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&\lambda _{2}{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &\lambda _{n}{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
A α i = λ i α i ( i = 1 , 2 , … , n ) . {\displaystyle A{\boldsymbol {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\dots ,n).} したがって、 の列ベクトルは の 右固有ベクトル であり 、 対応する対角要素は の 固有値 です。 の可逆性は、 固有ベクトルが 線形独立で あり、 の基底を形成することも示唆しています 。 これは、対角化可能性と対角化の標準的なアプローチの必要十分条件です。 の 行ベクトル はの 左固有ベクトル です 。 P {\displaystyle P} A {\displaystyle A} P {\displaystyle P} F n {\displaystyle F^{n}} P − 1 {\displaystyle P^{-1}} A {\displaystyle A}
複素行列が エルミート行列 （またはより一般的には 正規行列 ）である場合 、 の固有ベクトルは の 直交基底 を形成するように選択でき 、 は ユニタリ行列 となるように選択できます 。さらに、 が実 対称行列 である場合、その固有ベクトルは の直交基底を形成するように選択でき 、 は 直交行列 となるように選択できます 。 A ∈ C n × n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} A {\displaystyle A} C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} P {\displaystyle P} A ∈ R n × n {\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} P {\displaystyle P}
実務においては、ほとんどの場合、行列はコンピュータソフトウェアを用いて数値的に対角化されます。これを実現するための アルゴリズムは数多く 存在します。
同時対角化 行列の集合が 同時対角化可能 であるとは、その集合の 任意の に対して が対角行列となる ような 可逆行列が一つだけ存在することを意味する。同時対角化可能な行列は、次の定理によって特徴付けられる。対角化可能な行列の集合が 可換である ことと、その集合が同時対角化可能であることは同じである。 [1] : p. 64 P {\displaystyle P} P − 1 A P {\displaystyle P^{-1}AP} A {\displaystyle A}
対角化可能な行列全体の集合 （ 上 ） は 同時に対角化可能ではない。例えば、 n × n {\displaystyle n\times n} C {\displaystyle \mathbb {C} } n > 1 {\displaystyle n>1}
[ 1 0 0 0 ] and [ 1 1 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}} は対角化可能だが、可換ではないため同時に対角化可能ではない。
集合が可換な 正規行列 から構成される場合、かつその集合が ユニタリ行列 によって同時に対角化できる場合に限ります。つまり、 集合内の 任意の に対して が対角となる ようなユニタリ行列が存在します。 U {\displaystyle U} U ∗ A U {\displaystyle U^{*}AU} A {\displaystyle A}
リー理論 の言語では 、同時に対角化可能な行列の集合は トーラル・リー代数 を生成します。
例
対角化可能な行列 反転は 実数体（そして特性が 2 でない任意の体）上で対角化可能であり、対角要素には ±1 が含まれます。 有限位数自己準 同型 は、（あるいは体の特性が自己準同型の位数を割り切れない任意の代数閉体） 上、対角線上に 単位根 を持つ対角化可能である。これは、単位根が互いに異なるため、最小多項式が 分離可能で あることから導かれる。 C {\displaystyle \mathbb {C} } 投影は 対角化可能であり、対角線上に 0 と 1 が存在します。 実 対称行列は 直交行列 によって対角化可能である 。つまり、実対称行列 が与えられたとき 、 何らかの直交行列 に対して は対角行列となる 。より一般的には、行列 が ユニタリ行列 によって対角化可能であるのは、それらが 正規行列 である場合に限る 。実対称行列の場合、 となるので 、 が成立することは明らかである 。正規行列の例としては、実対称行列（または 歪対称行列 ）（例えば共分散行列）や エルミート行列 （または歪エルミート行列）が挙げられる。 無限次元ベクトル空間への一般化については、 スペクトル定理を参照のこと。 A {\displaystyle A} Q T A Q {\displaystyle Q^{\mathrm {T} }AQ} Q {\displaystyle Q} A = A T {\displaystyle A=A^{\mathrm {T} }} A A T = A T A {\displaystyle AA^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }A}
対角化できない行列 一般に、 回転行列は 実数体上では対角化できませんが、すべての 回転行列は 複素体上では対角化可能です。行列が対角化できない場合でも、「できる限りのことをする」ことで、主対角成分に固有値、上対角成分に1または0を持つ、同じ性質を持つ行列を見つけることは常に可能です。これは ジョルダン正規形 として知られています。
いくつかの行列は、どの体上でも対角化できません。特に非零冪 零行列がこれに該当します。これはより一般的には、固有値の代数的 重複度と幾何的重複度 が一致しない場合に発生します 。例えば、
C = [ 0 1 0 0 ] . {\displaystyle C={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.} この行列は対角化できません。つまり、 が対角行列 となるような 行列は存在しません。実際、 は1つの固有値（つまり0）を持ち、この固有値は代数的重複度が2、幾何学的重複度が1です。 U {\displaystyle U} U − 1 C U {\displaystyle U^{-1}CU} C {\displaystyle C}
実数行列の中には、実数上で対角化できないものがある。例えば、次の行列を考えてみよう。
B = [ 0 1 − 1 0 ] . {\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\\!-1&0\end{array}}\right].} この行列は 実固有値を持たないため、対角行列 となるような 実行 列は存在しません。しかし、 複素数を許容すれば 対角化できます。実際、 B {\displaystyle B} Q {\displaystyle Q} Q − 1 B Q {\displaystyle Q^{-1}BQ} B {\displaystyle B}
Q = [ 1 i i 1 ] , {\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1&i\\i&1\end{bmatrix}},} は対角行列です。 反時計回りに角度だけ回転する回転行列である ことは簡単にわかります。 Q − 1 B Q {\displaystyle Q^{-1}BQ} B {\displaystyle B} θ = − π 2 {\textstyle \theta =-{\frac {\pi }{2}}}
上記の例は、対角化可能な行列の和は必ずしも対角化可能である必要はないことを示していることに注意してください。
行列を対角化する方法 行列の対角化は、固有ベクトルが基底を形成する場合、
その 固有値と固有ベクトルを 求めるのと同じ処理です。例えば、次の行列を考えます。
A = [ 0 1 − 2 0 1 0 1 − 1 3 ] . {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right].} 特性多項式 の根は 固有値 です 。 この線形連立方程式を解くと、 固有ベクトル と が得られ 、は と なります 。 つまり、 の 場合 となります 。 これらのベクトルは の基底を形成するため 、 基底変換 行列 の列ベクトルとして組み立てると、次の式 が得られます。 この式を変換で表すと、次のようになります。 は標準基底を固有基底 に変換するため 、 次の式が得られます。 したがって、 は 標準基底を固有ベクトルとして持ち、これが の定義特性となります 。 p ( λ ) = det ( λ I − A ) {\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I-A)} λ 1 = 1 , λ 2 = 1 , λ 3 = 2 {\displaystyle \lambda _{1}=1,\lambda _{2}=1,\lambda _{3}=2} ( 1 I − A ) v = 0 {\displaystyle \left(1I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} } v 1 = ( 1 , 1 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1,0)} v 2 = ( 0 , 2 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(0,2,1)} ( 2 I − A ) v = 0 {\displaystyle \left(2I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} } v 3 = ( 1 , 0 , − 1 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(1,0,-1)} A v i = λ i v i {\displaystyle A\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}} i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} V = R 3 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}} P {\displaystyle P} P − 1 A P = [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] − 1 [ 0 1 − 2 0 1 0 1 − 1 3 ] [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 2 ] = D . {\displaystyle P^{-1}AP=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}}=D.} P {\displaystyle P} P e i = v i {\displaystyle P\mathbf {e} _{i}=\mathbf {v} _{i}} P − 1 A P e i = P − 1 A v i = P − 1 ( λ i v i ) = λ i e i , {\displaystyle P^{-1}AP\mathbf {e} _{i}=P^{-1}A\mathbf {v} _{i}=P^{-1}(\lambda _{i}\mathbf {v} _{i})=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i},} P − 1 A P {\displaystyle P^{-1}AP} D {\displaystyle D}
の固有ベクトルには優先順序がないことに注意してください 。の 固有ベクトル の順序を変更すると、 の 対角化された形式における 固有値 の順序が変わるだけです 。 [2] P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} A {\displaystyle A}
行列関数への応用 対角化は行列の累乗を効率的に計算するために使用できます 。 A = P D P − 1 {\displaystyle A=PDP^{-1}}
A k = ( P D P − 1 ) k = ( P D P − 1 ) ( P D P − 1 ) ⋯ ( P D P − 1 ) = P D ( P − 1 P ) D ( P − 1 P ) ⋯ ( P − 1 P ) D P − 1 = P D k P − 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&=\left(PDP^{-1}\right)^{k}=\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1},\end{aligned}}} 後者は対角行列のべき乗のみを扱うため計算は容易です。例えば、 上記の例の 固有値を持つ行列の場合、以下のように計算します。 A {\displaystyle A} λ = 1 , 1 , 2 {\displaystyle \lambda =1,1,2}
A k = P D k P − 1 = [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] [ 1 k 0 0 0 1 k 0 0 0 2 k ] [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] − 1 = [ 2 − 2 k − 1 + 2 k 2 − 2 k + 1 0 1 0 − 1 + 2 k 1 − 2 k − 1 + 2 k + 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} このアプローチは、行列指数関数 や、 冪級数として定義できる他の 行列関数 にも一般化できます。例えば、 を定義すると 、 次のようになります。 exp ( A ) = I + A + 1 2 ! A 2 + 1 3 ! A 3 + ⋯ {\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }
exp ( A ) = P exp ( D ) P − 1 = [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] [ e 1 0 0 0 e 1 0 0 0 e 2 ] [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] − 1 = [ 2 e − e 2 − e + e 2 2 e − 2 e 2 0 e 0 − e + e 2 e − e 2 − e + 2 e 2 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)=P\exp(D)P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}e^{1}&0&0\\0&e^{1}&0\\0&0&e^{2}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2e-e^{2}&-e+e^{2}&2e-2e^{2}\\0&e&0\\-e+e^{2}&e-e^{2}&-e+2e^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} これは、フィボナッチ数列 などの 線形再帰シーケンス の項の閉じた形式の表現を見つけるときに特に役立ちます 。
特定の用途 たとえば、次の行列を考えてみましょう。
M = [ a b − a 0 b ] . {\displaystyle M={\begin{bmatrix}a&b-a\\0&b\end{bmatrix}}.} のさまざまな累乗を計算すると、 驚くべきパターンが明らかになります。 M {\displaystyle M}
M 2 = [ a 2 b 2 − a 2 0 b 2 ] , M 3 = [ a 3 b 3 − a 3 0 b 3 ] , M 4 = [ a 4 b 4 − a 4 0 b 4 ] , … {\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}&b^{2}-a^{2}\\0&b^{2}\end{bmatrix}},\quad M^{3}={\begin{bmatrix}a^{3}&b^{3}-a^{3}\\0&b^{3}\end{bmatrix}},\quad M^{4}={\begin{bmatrix}a^{4}&b^{4}-a^{4}\\0&b^{4}\end{bmatrix}},\quad \ldots } 上記の現象は を対角化することで説明できます 。 これを実現するには、の固有ベクトルからなる の基底が必要です 。 そのような固有ベクトル基底の1つは次のように与えられます。 M {\displaystyle M} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} M {\displaystyle M}
u = [ 1 0 ] = e 1 , v = [ 1 1 ] = e 1 + e 2 , {\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2},} ここで、 e i は R n の標準基底を表す 。基底の逆変換は次のように表される。
e 1 = u , e 2 = v − u . {\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\mathbf {u} ,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {v} -\mathbf {u} .} 単純な計算でわかるのは
M u = a u , M v = b v . {\displaystyle M\mathbf {u} =a\mathbf {u} ,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} .} したがって、 a と bはそれぞれ u と v に対応する固有値である 。行列の乗算の線形性により、
M n u = a n u , M n v = b n v . {\displaystyle M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {u} ,\qquad M^{n}\mathbf {v} =b^{n}\mathbf {v} .} 標準基準に戻ると、
M n e 1 = M n u = a n e 1 , M n e 2 = M n ( v − u ) = b n v − a n u = ( b n − a n ) e 1 + b n e 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}M^{n}\mathbf {e} _{1}&=M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {e} _{1},\\M^{n}\mathbf {e} _{2}&=M^{n}\left(\mathbf {v} -\mathbf {u} \right)=b^{n}\mathbf {v} -a^{n}\mathbf {u} =\left(b^{n}-a^{n}\right)\mathbf {e} _{1}+b^{n}\mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}} 前述の関係を行列形式で表すと、
M n = [ a n b n − a n 0 b n ] , {\displaystyle M^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&b^{n}-a^{n}\\0&b^{n}\end{bmatrix}},} それによって上記の現象が説明されます。
量子力学の応用 量子力学 および 量子化学 計算において 、行列の対角化は最も頻繁に用いられる数値処理の一つです。その基本的な理由は、時間に依存しない シュレーディンガー方程式が、無限次元 ヒルベルト空間 上のほとんどの物理的状況において、固有値方程式であるということです 。
非常に一般的な近似法は、ヒルベルト空間を有限次元に切り捨てる（または射影する）ことです。これにより、シュレーディンガー方程式は実対称行列、あるいは複素エルミート行列の固有値問題として定式化されます。この近似は、 下から有界となるハミルトニアンに対して有効な 変分原理に基づいています。
一次摂動論は 縮退状態の行列固有値問題にもつながります。
作用素理論 行列は線型演算子 に一般化できます 。対角行列はヒルベルト空間上の対角演算子に一般化できます。
をヒルベルト空間とする。演算子が 対角演算子であるためには、 ある に対して となるような の 直交 基底が存在する必要がある 。 H {\displaystyle H} D : H → H {\displaystyle D:H\to H} ( e n ) n {\displaystyle (e_{n})_{n}} H {\displaystyle H} D e n = λ n e n {\displaystyle De_{n}=\lambda _{n}e_{n}} λ n ∈ C {\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {C} }
任意の に対して 、 p-シャッテンノルムを 以下のように定義します。 を演算子とすると、 となり 、は トレース となります 。p-シャッテン類は、有限のp-シャッテンノルムを持つすべての演算子の集合です。 p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} T : H → H {\displaystyle T:H\to H} ‖ T ‖ p := Tr ( | T | p ) 1 / p {\displaystyle \|T\|_{p}:=\operatorname {Tr} (|T|^{p})^{1/p}} Tr {\displaystyle \operatorname {Tr} }
ワイル [3] 、 フォン・ノイマン [4] 、 黒田 [5] は以下を示した。
任意の、 ヒルベルト空間 上の 任意の自己随伴演算子 、および任意のに対して、 となる 対角演算子 が存在する 。 p > 1 {\displaystyle p>1} T {\displaystyle T} H {\displaystyle H} ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} D {\displaystyle D} ‖ T − D ‖ p ≤ ϵ {\displaystyle \|T-D\|_{p}\leq \epsilon }
言い換えれば、任意の自己随伴作用素は対角作用素からの無限小摂動である。ここで「無限小」とはp-シャッテンノルムの意味で用いられる。特に、ヒルベルト・シュミット作用素類は2-シャッテン類であるため、任意の自己随伴作用素は無限小ヒルベルト・シュミット作用素による摂動によって対角化可能であることを意味する。実際、上記の結果はさらに一般化できる。
トレース類ではない任意のノルムイデアル（ノルム、 ヒルベルト空間 上の 任意の自己随伴演算子 、 任意の ）に対して、 となる 対角演算子 が存在する 。 ‖ ⋅ ‖ J {\displaystyle \|\cdot \|_{J}} T {\displaystyle T} H {\displaystyle H} ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} D {\displaystyle D} ‖ T − D ‖ J ≤ ϵ {\displaystyle \|T-D\|_{J}\leq \epsilon }
結果は （ トレースクラス ）については偽である。これは、 が自己随伴であり、 がトレースクラスである場合、 スペクトル の絶対連続部が同じである という、Kato [6] –Rosenblum [7] [8] の定理XI.8 の単純な系である。しかし、 が絶対連続部を持たない場合、 は 無限小トレースクラス演算子による摂動後に対角化 できる という点で、結果は明確である。 [9] p = 1 {\displaystyle p=1} T {\displaystyle T} A {\displaystyle A} T , T + A {\displaystyle T,T+A} T {\displaystyle T}
同時対角化 について、 互いに可換な自己随伴作用素 の有限リストが与えられた場合、任意の に対して、 となるよう な対角作用素の列 が存在することが知られている。 ここで はn-シャッテンノルムである。 [10] T 1 , … , T n {\displaystyle T_{1},\dots ,T_{n}} ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} D 1 , … , D n {\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}} ‖ T 1 − D 1 ‖ n ≤ ϵ , … , ‖ T n − D n ‖ n ≤ ϵ {\displaystyle \|T_{1}-D_{1}\|_{n}\leq \epsilon ,\dots ,\|T_{n}-D_{n}\|_{n}\leq \epsilon } ‖ ⋅ ‖ n {\displaystyle \|\cdot \|_{n}} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}
参照
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![{\displaystyle E=\{{{\boldsymbol {e}}_{i}|\forall i\in [n]}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c713e2dfbd10285e2ad74bc1af00a7536a9616f0)
![{\displaystyle F=\{{{\boldsymbol {\alpha }}_{i}|\forall i\in [n]}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f257452f06ba7c5860fbc9c1bc6fd4fd30985ff5)
![{\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\\!-1&0\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4941e8021022600bd893174955fd7d0fda584c54)
![{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d4bf4a6225301829b5d901fde06b5d437666a4)
![{\displaystyle P^{-1}AP=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}}=D.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f9e3351d58c7861f8c69580f3cd14ac82ec7a3d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begi n{配列}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{配列}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75e9ac586b275dab0b07cfa8a76cf1fa56d759f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)=P\exp(D)P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}e^{1}&0&0\\0&e^{1}&0\\0&0&e^{2}\end{bmatrix}}\left[{\be gin{配列}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{配列}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix }2e-e^{2}&-e+e^{2}&2e-2e^{2}\\0&e&0\\-e+e^{2}&e-e^{2}&-e+2e^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10abb668f51f9306f9384119e09ee5d32c0df35f)
