Isomorphism of differentiable manifolds
数学 において 、 微分同相写像とは、 微分可能多様体 の 同型写像 である 。これは、ある微分可能多様体を別の微分可能多様体に写す 可逆関数 であり、その関数とその逆関数は両方とも 連続的に微分可能 である。
正方形からそれ自身への微分同相写像のもとでの正方形上の長方形グリッドの イメージ 。
意味 二つの微分可能多様体とが与えられたとき 、 連続微分可能写像 は、 それ が 全 単射であり、かつその逆写像も微分可能であるとき、 微分 同相写像と呼ばれる。これらの関数が回連続微分可能で あるとき、 は -微分同相写像と呼ばれる 。 M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} f : M → N {\displaystyle f\colon M\rightarrow N} f − 1 : N → M {\displaystyle f^{-1}\colon N\rightarrow M} r {\displaystyle r} f {\displaystyle f} C r {\displaystyle C^{r}}
2つの多様体 とが 微分同相写像 （通常 と表記 ） を持つとは、 から への微分同相写像が存在することを意味する 。2つの -微分可能多様 体の間に、その逆写像も連続的に -微分可能な、回連続 微分可能な全単射写像が存在することを意味する。 -微分 同相写像は 単に微分同相写像であり、 -微分同相写像は同相写像である。 M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} M ≃ N {\displaystyle M\simeq N} f {\displaystyle f} M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} C r {\displaystyle C^{r}} C r {\displaystyle C^{r}} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} C 1 {\displaystyle C^{1}} C 0 {\displaystyle C^{0}}
多様体の部分集合の微分同相写像 多様体 の 部分集合 と多様体 の 部分集合 が与えられたとき 、関数 が 滑らかであるとは、 のすべての に対して の近傍 と 、 制約 条件が 一致するよう な 滑らかな関数が存在することを言います（ は の拡張である ことに注意 ）。関数 が全単射で滑らかであり、その逆関数が滑らかである場合、関数は微分同相写像であるということになります。 X {\displaystyle X} M {\displaystyle M} Y {\displaystyle Y} N {\displaystyle N} f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} p {\displaystyle p} X {\displaystyle X} U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} p {\displaystyle p} g : U → N {\displaystyle g:U\to N} g | U ∩ X = f | U ∩ X {\displaystyle g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}} g {\displaystyle g} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f}
ローカル説明 微分可能写像が微分同相写像であるかどうかの検定は、ある程度の制約の下で局所的に行うことができる。これはアダマール＝カチョッポリ定理である： [1]
、が 単連結で ある ような の 連結開部分 集合で ある 場合 、微分可能写像が 微分同相写像であるとは、 が 真 であり、 の各点で 微分が 全単射である（したがって 線型同型 で ある）場合です 。 U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} V {\displaystyle V} f : U → V {\displaystyle f:U\to V} D f x : R n → R n {\displaystyle Df_{x}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} x {\displaystyle x} U {\displaystyle U}
いくつかのコメント:
関数が大域的に可逆であるためには、（各点におけるその導関数が全単射写像であるという唯一の条件のもとで） 単連結で あること が不可欠である。例えば、 複素 二乗関数 の「実現」を考えてみよう。 V {\displaystyle V} f {\displaystyle f}
{ f : R 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } → R 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } ( x , y ) ↦ ( x 2 − y 2 , 2 x y ) . {\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}} すると、は 射影的 と なり、 f {\displaystyle f}
det D f x = 4 ( x 2 + y 2 ) ≠ 0. {\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.} したがって、 は 各点で全単射ですが、 単射 ではないため逆変換できません (例 )。 D f x {\displaystyle Df_{x}} f {\displaystyle f} f ( 1 , 0 ) = ( 1 , 0 ) = f ( − 1 , 0 ) {\displaystyle f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)}
点における微分（微分可能関数の場合）
D f x : T x U → T f ( x ) V {\displaystyle Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V} は線型写像 であり 、その逆写像が明確に定義されているのは、 が 全単射である場合に限ります。の 行列 表現は、 行 列 目 の要素が であるよう な一階 偏微分 行列です 。このいわゆる ヤコビ行列は 、明示的な計算によく用いられます。 D f x {\displaystyle Df_{x}} D f x {\displaystyle Df_{x}} n × n {\displaystyle n\times n} i {\displaystyle i} j {\displaystyle j} ∂ f i / ∂ x j {\displaystyle \partial f_{i}/\partial x_{j}}
微分同相写像は必然的に同じ 次元 の多様体間に存在します。 次元 から 次元 へ移ることを想像してみてください 。 ならば は 決して射影的ではなく、 ならば は 決して単射的ではありません。したがって、どちらの場合も は 一対一ではありません。 f {\displaystyle f} n {\displaystyle n} k {\displaystyle k} n < k {\displaystyle n<k} D f x {\displaystyle Df_{x}} n > k {\displaystyle n>k} D f x {\displaystyle Df_{x}} D f x {\displaystyle Df_{x}}
が における 全単射である 場合、は 局所微分同相写像 であるといわれます (連続性により、は に十分近い すべての に対して全単射となるため )。 D f x {\displaystyle Df_{x}} x {\displaystyle x} f {\displaystyle f} D f y {\displaystyle Df_{y}} y {\displaystyle y} x {\displaystyle x}
次元 から次元 への 滑らかな写像が与えられている 場合、 (または、局所的には、 ) が射影的であれば、は 沈み込み (または、局所的には、「局所沈み込み」)であると言われます 。また 、 (または、局所的には、 ) が単射的であれば、は 浸み込み (または、局所的には、「局所浸み込み」) であると言われます。 n {\displaystyle n} k {\displaystyle k} D f {\displaystyle Df} D f x {\displaystyle Df_{x}} f {\displaystyle f} D f {\displaystyle Df} D f x {\displaystyle Df_{x}} f {\displaystyle f}
微分可能な一対一写像は必ずしも微分同相写像では ありません 。 例えば、 は から 自身への微分同相写像ではありません。なぜなら、その微分は 0 でゼロになるからです（したがって、その逆写像は 0 で微分可能ではありません）。これは、微分同相写像ではない 同相写像 の例です 。 f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}} R {\displaystyle \mathbb {R} }
が微分可能多様体間の写像である 場合、微分同相写像 は同相写像よりも強い条件です 。微分同相写像の場合、 その逆写像は 微分 可能である必要があります。同相写像の場合、 その逆写像は 連続で あれば十分です。すべての微分同相写像は同相写像ですが、すべての同相写像が微分同相写像であるとは限りません。 f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f}
f : M → N {\displaystyle f:M\to N} が微分同相写像であるとは、 座標チャート において上記の定義を満たす場合です。より正確には、 の任意の被覆を互換 座標チャート で選び 、 についても同様とします 。 と を それぞれ 上のチャートとし、 と をそれぞれ と の像とします 。 の とき は いつでも、 写像は 上記の定義と同様に微分同相写像となります 。 M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} ϕ {\displaystyle \phi } ψ {\displaystyle \psi } M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} ϕ {\displaystyle \phi } ψ {\displaystyle \psi } ψ f ϕ − 1 : U → V {\displaystyle \psi f\phi ^{-1}:U\to V} f ( ϕ − 1 ( U ) ) ⊆ ψ − 1 ( V ) {\displaystyle f(\phi ^{-1}(U))\subseteq \psi ^{-1}(V)}
例 任意の多様体は局所的にパラメータ化できるため、 から への明示的な写像を検討することができます 。 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
f ( x , y ) = ( x 2 + y 3 , x 2 − y 3 ) . {\displaystyle f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).} ヤコビ行列を計算できます。 J f = ( 2 x 3 y 2 2 x − 3 y 2 ) . {\displaystyle J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.} ヤコビ行列の 行列式 が零となるのは、 の場合のみである。 は -軸と-軸 から離れたところでのみ微分同相写像となり得ることが わかる 。しかし、 は であるため全単射ではない ため、微分同相写像にはなり得ない。 x y = 0 {\displaystyle xy=0} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} f {\displaystyle f} f ( x , y ) = f ( − x , y ) {\displaystyle f(x,y)=f(-x,y)} g ( x , y ) = ( a 0 + a 1 , 0 x + a 0 , 1 y + ⋯ , b 0 + b 1 , 0 x + b 0 , 1 y + ⋯ ) {\displaystyle g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)} ここで、 と は 任意の 実数であり、省略された項は x と y において少なくとも2次である 。0におけるヤコビ行列を計算すると、 次の ようになる。 a i , j {\displaystyle a_{i,j}} b i , j {\displaystyle b_{i,j}} J g ( 0 , 0 ) = ( a 1 , 0 a 0 , 1 b 1 , 0 b 0 , 1 ) . {\displaystyle J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.} gが 0 における局所微分同相写像となるのは 、 次の場合のみである。 a 1 , 0 b 0 , 1 − a 0 , 1 b 1 , 0 ≠ 0 , {\displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,} つまり、 g の要素の線形項は 多項式 として 線形独立 です 。 h ( x , y ) = ( sin ( x 2 + y 2 ) , cos ( x 2 + y 2 ) ) . {\displaystyle h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).} ヤコビ行列を計算できます。 J h = ( 2 x cos ( x 2 + y 2 ) 2 y cos ( x 2 + y 2 ) − 2 x sin ( x 2 + y 2 ) − 2 y sin ( x 2 + y 2 ) ) . {\displaystyle J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.} ヤコビ行列の行列式はどこでもゼロです！実際、 h の像は 単位円で あることがわかります 。
力学 において 、応力誘起変換は 変形 と呼ばれ、微分同相写像によって記述されることがあります。2 つの 曲面 との間の微分同相写像は、 可逆行列 である ヤコビ行列 を持ちます 。実際、 においてに対して、 ヤコビ行列 が 非特異と なるの 近傍 が存在することが要求されます 。曲面のチャートにおいて、 f : U → V {\displaystyle f:U\to V} U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} D f {\displaystyle Df} p {\displaystyle p} U {\displaystyle U} p {\displaystyle p} D f {\displaystyle Df} f ( x , y ) = ( u , v ) . {\displaystyle f(x,y)=(u,v).}
u の 全 微分 は
d u = ∂ u ∂ x d x + ∂ u ∂ y d y {\displaystyle du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy} 、 v についても同様です。 すると、像は原点を固定した 線型変換 となり 、特定のタイプの複素数の作用として表現できます。( dx , dy ) もそのタイプの複素数として解釈される場合、作用は適切な複素数平面における複素乗算となります。したがって、このような乗算では、保存される角度のタイプ（ ユークリッド角度 、 双曲角度 、または 傾き）が存在します。Df は 可逆であるため、複素数のタイプは曲面上で均一です。したがって、曲面の変形、つまり曲面の微分同相写像 は、（適切なタイプの）角度を保存するという 共形特性 を持ちます。 ( d u , d v ) = ( d x , d y ) D f {\displaystyle (du,dv)=(dx,dy)Df}
微分同相写像群 を第二可算 かつ ハウスドルフ である微分可能多様体とする 。 の 微分 同相群は 、 のそれ自身への すべての 微分同相写像の成す 群 であり、 または（ が理解される場合には） で表される。これは、 が零次元でなければ 局所コンパクト ではないという意味で「大きな」群である 。 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} C r {\displaystyle C^{r}} M {\displaystyle M} Diff r ( M ) {\displaystyle {\text{Diff}}^{r}(M)} r {\displaystyle r} Diff ( M ) {\displaystyle {\text{Diff}}(M)} M {\displaystyle M}
トポロジー 微分同相群には 、 弱位相 と 強位相という2つの自然な 位相 があります（Hirsch 1997）。多様体が コンパクトで ある場合、これら2つの位相は一致します。弱位相は常に 計量化可能 です。多様体がコンパクトでない場合、強位相は「無限遠」における関数の振る舞いを捉えるため、計量化できません。しかし、それでもなお、 Baire 位相です。
上の リーマン計量 を固定すると 、弱位相は計量族によって誘導される位相である。 M {\displaystyle M}
d K ( f , g ) = sup x ∈ K d ( f ( x ) , g ( x ) ) + ∑ 1 ≤ p ≤ r sup x ∈ K ‖ D p f ( x ) − D p g ( x ) ‖ {\displaystyle d_{K}(f,g)=\sup \nolimits _{x\in K}d(f(x),g(x))+\sum \nolimits _{1\leq p\leq r}\sup \nolimits _{x\in K}\left\|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)\right\|} は のコンパクト部分集合上で変化する ので、 は -コンパクトで ある ため、 の 和集合 となる コンパクト部分集合の列が存在する 。すると、 K {\displaystyle K} M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} σ {\displaystyle \sigma } K n {\displaystyle K_{n}} M {\displaystyle M}
d ( f , g ) = ∑ n 2 − n d K n ( f , g ) 1 + d K n ( f , g ) . {\displaystyle d(f,g)=\sum \nolimits _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}.} 微分同相群はその弱位相を備え、ベクトル場 の空間と局所的に同相である(Leslie 1967)。 のコンパクト部分集合上で 、 にリーマン計量を固定し、 その計量の 指数写像 を使用することで、このことが従う。 が有限で多様体がコンパクトである場合、ベクトル場の空間は バナッハ空間 である。さらに、この地図帳のある図から別の図への遷移写像は滑らかであり、微分同相群は滑らかな右平行移動を伴う バナッハ多様 体になる。左平行移動と反転は連続的である。 である場合 、ベクトル場の空間は フレシェ空間 である。さらに、遷移写像は滑らかであり、微分同相群は フレシェ多様体 になり、さらには 正則フレシェ リー群 になる。多様体が -コンパクトであり、コンパクトでない場合、完全な微分同相群は 2 つの位相のいずれに対しても局所的に縮約可能ではない。多様体である微分同相群を得るには、無限大付近での恒等式からの偏差を制御することによって群を制限する必要があります。(Michor & Mumford 2013) を参照してください。 C r {\displaystyle C^{r}} M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} r {\displaystyle r} r = ∞ {\displaystyle r=\infty } σ {\displaystyle \sigma }
リー代数 の微分同相群の リー 代数は 、ベクトル場 のリー括弧 を備えた 上のすべての ベクトル場 から構成されます。これは 、空間の各点における 座標を少し変更することで、ある程度形式的に確認できます。 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} x {\displaystyle x}
x μ ↦ x μ + ε h μ ( x ) {\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)} つまり、無限小生成元はベクトル場である。
L h = h μ ( x ) ∂ ∂ x μ . {\displaystyle L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.}
例 がリー群 である とき、 を自身の微分同相群に左平行移動により 自然に含めることができます。 の微分同相群を とすると、 の 分解 （は の 部分群 であり 、 の 単位元 を固定します）が存在します。 M = G {\displaystyle M=G} G {\displaystyle G} Diff ( G ) {\displaystyle {\text{Diff}}(G)} G {\displaystyle G} Diff ( G ) ≃ G × Diff ( G , e ) {\displaystyle {\text{Diff}}(G)\simeq G\times {\text{Diff}}(G,e)} Diff ( G , e ) {\displaystyle {\text{Diff}}(G,e)} Diff ( G ) {\displaystyle {\text{Diff}}(G)} ユークリッド空間の微分同相群は 、向きを保存する微分同相写像と向きを反転させる微分同相写像という2つの要素から成ります。実際、 一般線型群は 、写像 の下に原点を固定した微分同相写像の 部分群の 変形リトラクト です 。特に、一般線型群は、完全微分同相写像群の変形リトラクトでもあります。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} Diff ( R n , 0 ) {\displaystyle {\text{Diff}}(\mathbb {R} ^{n},0)} f ( x ) → f ( t x ) / t , t ∈ ( 0 , 1 ] {\displaystyle f(x)\to f(tx)/t,t\in (0,1]} 有限点 集合 に対して、微分同相群は単に 対称群 である。同様に、 が任意の多様体である場合 、群拡大 が存在する。ここで は のすべての成分を保存する の 部分群であり 、 は集合 （ の成分 ）の置換群である。さらに、写像 の像は、微分同相類を保存する の全単射である 。 M {\displaystyle M} 0 → Diff 0 ( M ) → Diff ( M ) → Σ ( π 0 ( M ) ) {\displaystyle 0\to {\text{Diff}}_{0}(M)\to {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))} Diff 0 ( M ) {\displaystyle {\text{Diff}}_{0}(M)} Diff ( M ) {\displaystyle {\text{Diff}}(M)} M {\displaystyle M} Σ ( π 0 ( M ) ) {\displaystyle \Sigma (\pi _{0}(M))} π 0 ( M ) {\displaystyle \pi _{0}(M)} M {\displaystyle M} Diff ( M ) → Σ ( π 0 ( M ) ) {\displaystyle {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))} π 0 ( M ) {\displaystyle \pi _{0}(M)}
推移性 連結多様体 に対して 、微分同相群 は に 推移的に 作用する 。より一般的には、微分同相群 は 配置空間 に推移的に作用する。 が 少なくとも2次元である場合、微分同相群 は配置空間 に推移的に作用し 、 への作用は 多重推移的 である (Banyaga 1997, p. 29)。 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} C k M {\displaystyle C_{k}M} M {\displaystyle M} F k M {\displaystyle F_{k}M} M {\displaystyle M}
微分同相写像の拡張 1926年、 ティボール・ラドは 、単位円の任意の同相写像または微分同相写像を 単位円板に調和 拡張すると 、開円板上の微分同相写像が得られるかどうかを問うた。その後まもなく、 ヘルムート・クネーザー によって簡潔な証明が示された。 1945年、 ギュスターヴ・ショケは 、この結果を知らなかったようで、全く異なる証明を提示した。
円の（向き保存）微分同相群は経路連結である。これは、任意のそのような微分同相写像が を 満たす実数の微分同相写像に持ち上げられることに着目すればわかる 。この空間は凸であり、したがって経路連結である。恒等写像への滑らかで、最終的に定数となる経路は、円から開単位円板への微分同相写像を拡張する、より基本的な2つ目の方法を与える（ アレクサンダートリックの特殊なケース）。さらに、円の微分同相写像群は 、直交群 のホモトピー型を持つ 。 f {\displaystyle f} [ f ( x + 1 ) = f ( x ) + 1 ] {\displaystyle [f(x+1)=f(x)+1]} O ( 2 ) {\displaystyle O(2)}
高次元球面の微分同相写像に対する対応する拡張問題は 、1950年代と1960年代に ルネ・トム 、 ジョン・ミルナー 、 スティーブン・スメール らの顕著な貢献により盛んに研究された。このような拡張の障害となるのが、有限 アーベル群 、すなわち「 ねじれた球面の群 」である。これは、微分同相写像群の アーベル 成分群を 球面の微分同相写像に拡張する類の部分群で 割ったもの として定義される。 S n − 1 {\displaystyle S^{n-1}} Γ n {\displaystyle \Gamma _{n}} B n {\displaystyle B^{n}}
つながり 多様体の場合、微分同相群は通常連結ではない。その成分群は写像類群 と呼ばれる 。次元2（すなわち 曲面 ）では、写像類群は デーンツイスト によって生成される 有限提示群である。これは マックス・デーン 、 WBRリコリッシュ 、 アレン・ハッチャー によって証明されている 。 [ 要出典 ] マックス・デーンと ヤコブ・ニールセンは 、それが曲面の 基本群 の 外部自己同型群 と同一視できることを示した。
ウィリアム・サーストンは、 写像類群の元を 3つのタイプに分類する ことでこの解析を洗練させた。すなわち、 周期 微分同相写像に等価なもの、単純な閉曲線不変量を残す微分同相写像に等価なもの、 擬アノソフ微分同相写像に等価なものの3つである。 トーラス の場合 、写像類群は単なる モジュラー群であり、分類は 楕円行列 、 放物線行列 、 双曲 行列に関して古典的になる。サーストンは、写像類群が タイヒミュラー空間 の コンパクト化 に自然に作用することを観察することで分類を完成した。 この拡大された空間は閉球に同相であるため、 ブラウワーの不動点定理が 適用可能になる。スメールは、 が向き付けられた 滑らかな閉多様体 である 場合、 向きを保つ微分同相写像群の 恒等成分は 単純であると 予想した 。これは、ミシェル・ヘルマンによって円の積について初めて証明され、サーストンによって完全に一般に証明された。 S 1 × S 1 = R 2 / Z 2 {\displaystyle S^{1}\times S^{1}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}} SL ( 2 , Z ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )} M {\displaystyle M}
ホモトピー型 の微分同相群は 部分群のホモトピー型を持つ 。これはスティーブ・スメールによって証明された。 [2] S 2 {\displaystyle S^{2}} O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {O} (3)} トーラスの微分同相群は、その線型自己同型のホモトピー型を 持ち ます 。 S 1 × S 1 × GL ( 2 , Z ) {\displaystyle S^{1}\times S^{1}\times {\text{GL}}(2,\mathbb {Z} )} 種数 の向き付け可能な面の微分同相群は、 その写像類群のホモトピー型を持ちます（つまり、成分は収縮可能です）。 g > 1 {\displaystyle g>1} 3 次元多様体の微分同相群のホモトピー型は、イワノフ、ハッチャー、ガバイ、ルービンシュタインの研究によりかなりよく理解されていますが、未解決の例もいくつかあります (主に有限 基本群 を持つ 3 次元多様体)。 -多様体の に対する微分同相 群のホモトピー型は 十分に理解されていない。例えば、 が2つ以上の成分を持つかどうかは未解決問題である。しかし、ミルナー、カーン、アントネッリによれば、 という条件の下では 、は有限 CW複素 のホモトピー型を持たないこと が知られている 。 n {\displaystyle n} n > 3 {\displaystyle n>3} D i f f ( S 4 ) {\displaystyle \mathrm {Diff} (S^{4})} n > 6 {\displaystyle n>6} D i f f ( S n ) {\displaystyle \mathrm {Diff} (S^{n})}
同相写像と微分同相写像 すべての微分同相写像は同相写像であるため、互いに微分同相な多様体のペアが与えられたとき、それらは特に 互いに 同相である。逆は一般には成り立たない。
微分同相でない同相写像を見つけるのは簡単ですが、微分同相でない同相多様体のペアを見つけるのは困難です。次元 1、2、3 では、同相な滑らかな多様体の任意のペアは微分同相です。次元 4 以上では、同相だが微分同相ではないペアの例が存在します。最初のそのような例は、 ジョン・ミルナー によって次元 7 で構築されました。彼は、標準的な 7 次元球面に同相だが微分同相ではない 7 次元の滑らかな多様体 (現在は ミルナーの球面 と呼ばれています) を構築しました。実際には、7 次元球面に同相な多様体の有向微分同相クラスが 28 個あります (それぞれが、 3 次元球面 をファイバーとする 4 次元球面上の ファイバー束 の全空間です)。
4次元多様 体 では、より異常な現象が発生する 。1980年代初頭、 サイモン・ドナルドソン と マイケル・フリードマンによる研究結果の組み合わせから、 エキゾチックな が発見された。すなわち、 の非微分同相な開部分集合が 無数に 存在し、 そのそれぞれが に同相である。また、 に同相で、かつ に滑らか に 埋め込ま れない 非微分同相な微分可能多様体が無数に存在している 。 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
参照
注記 ^ Steven G. Krantz; Harold R. Parks (2013). 暗黙関数定理：歴史、理論、そして応用 . Springer. p. 定理6.2.4. ISBN 978-1-4614-5980-4 。 ^ Smale (1959). 「2次元球面の微分同相写像」. Proc. Amer. Math. Soc . 10 (4): 621– 626. doi : 10.1090/s0002-9939-1959-0112149-8 .
参考文献 クランツ、スティーブン・G.、パークス、ハロルド・R. (2013). 暗黙関数定理：歴史、理論、そして応用 . モダン・ビルクハウザー・クラシックス. ボストン. ISBN 978-1-4614-5980-4 。 {{cite book }}: CS1 maint: location missing publisher (link )Chaudhuri, Shyamoli; Kawai, Hikaru; Tye, S.-H. Henry (1987-08-15). 「閉弦の経路積分定式化」 (PDF) . Physical Review D. 36 ( 4): 1148– 1168. Bibcode :1987PhRvD..36.1148C. doi :10.1103/physrevd.36.1148. ISSN 0556-2821. PMID 9958280. S2CID 41709882. 2018年7月21日時点のオリジナルよりアーカイブ (PDF) 。 Banyaga, Augustin (1997), 「古典微分同相群の構造」 , Mathematics and its Applications, vol. 400, Kluwer Academic, ISBN 0-7923-4475-8 デュレン、ピーター・L.（2004）『 平面における調和写像』 ケンブリッジ数学論文集、第156巻、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 0-521-64121-7 「微分同相写像」 数学百科事典 、 EMSプレス 、2001 [1994] ヒルシュ、モリス（1997年）、 微分位相幾何学 、ベルリン、ニューヨーク： シュプリンガー・フェアラーク 、 ISBN 978-0-387-90148-0 クリーグル、アンドレアス、ミコール、ピーター（1997）、 大域解析の便利な設定 、数学サーベイズ・アンド・モノグラフ、第53巻、アメリカ数学会、 ISBN 0-8218-0780-3 レスリー, JA (1967)、「微分同相写像群の微分構造について」、 トポロジー 、 6 (2): 263– 271、 doi : 10.1016/0040-9383(67)90038-9 、 ISSN 0040-9383、 MR 0210147 ミコール、ピーター・W.; マムフォード、デイヴィッド (2013)、「 R n 上の微分同相群の動物園 」、 Annals of Global Analysis and Geometry 、 44 (4): 529– 540、 arXiv : 1211.5704 、 doi :10.1007/s10455-013-9380-2、 S2CID 118624866 ミルナー、ジョン・W. （2007）、 全集第3巻、微分位相幾何学 、アメリカ数学会、 ISBN 978-0-8218-4230-0 大森秀樹 (1997) 「無限次元リー群」 、数学モノグラフ翻訳第158巻、アメリカ数学会、 ISBN 0-8218-4575-6 クネーザー、ヘルムート (1926)、「Lösung der Aufgabe 41.」、 Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (ドイツ語)、 35 (2): 123
![{\displaystyle f(x)\to f(tx)/t,t\in (0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df1b53ede4444cf142b36467b898ea98478b719)
![{\displaystyle [f(x+1)=f(x)+1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af8d5be6c9fe5a92356737c2bc549c34c59dc57)
