離散一様分布

Probability distribution on equally likely outcomes

離散均一
確率質量関数 n = 5 ただしn = b  −  a  + 1
累積分布関数
表記	${\displaystyle {\mathcal {U}}\{a,b\}}$ または ${\displaystyle \mathrm {unif} \{a,b\}}$
パラメータ	${\displaystyle a,b}$整数と ${\displaystyle b\geq a}$ ${\displaystyle n=b-a+1}$
サポート	${\displaystyle k\in \{a,a+1,\dots ,b-1,b\}}$
PMF	${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{n}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
中央値	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
モード	該当なし
分散	${\displaystyle {\frac {(b-a+1)^{2}-1}{12}}}$
歪度	${\displaystyle 0}$
過剰尖度	${\displaystyle -{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}}$
エントロピ	${\displaystyle \ln(n)}$
MGF	${\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}}$
CF	${\displaystyle {\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}}}$
PGF	${\displaystyle {\frac {z^{a}-z^{b+1}}{n(1-z)}}}$

確率論と統計学において、離散一様分布とは、有限の整数n個の結果値のそれぞれが等確率で観測される対称的な 確率分布です。したがって、 n個の結果値はすべて等確率1/ nを持ちます。直感的に言えば、離散一様分布とは「全て等確率で発生する、既知の有限個の結果」です。

離散一様分布の簡単な例として、6面サイコロを振る場合が挙げられます。サイコロの出目は1、2、3、4、5、6の4種類で、サイコロを振るたびに、それぞれの出目の確率は1/6です。2つのサイコロを振ってそれぞれの出目を足した場合、それぞれの出目の確率は等しくないため、2つのサイコロを振ったときの出目の和の分布は一様ではありません。

この六面サイコロの例のように、連続した整数の範囲にわたって離散一様分布を考えるのが一般的ですが、任意の有限集合にわたって離散一様分布を定義することもできます。例えば、六面サイコロの各面には数字ではなく抽象的な記号が描かれている場合があります。より簡単に言えば、ランダム順列とは、与えられた集合の順列から一様ランダムに生成される順列であり、グラフの一様全域木とは、グラフの全全域木から一様確率で選択される全域木です。

離散一様分布自体は非パラメトリックです。しかし、その可能な結果値が区間内の整数となる一般的なケースでは、aとbは分布のパラメータとなり、これらの場合、離散一様分布の累積分布関数（CDF）は任意のkに対して次のように表すことができます。 ${\textstyle [a,b]}$ ${\textstyle n=b-a+1.}$

$${\displaystyle F(k;a,b)=\min \left(\max \left({\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}},0\right),1\right),}$$

あるいは単に

$${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}$$

ディストリビューションのサポートについて ${\textstyle k\in [a,b].}$

最大値の推定

k個の観測値のサンプルから整数区間上の離散一様分布の最大値を求める問題は、第二次世界大戦中に連合軍がドイツの戦車生産量を推定しようとしたときにこの最大値推定問題を実際に適用したことから、一般にドイツ戦車問題として知られています。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [1,N]}$

分布の最大値に対する一様最小分散不偏（UMVU）推定量は、サンプル最大値mとサンプルサイズkに関して、 [ ^1]である。

$${\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1.}$$

これは、最大間隔推定の非常に単純なケースとして考えることができます。

これは分散が^[1]なので標準偏差はおよそ、つまりサンプル間の母集団平均ギャップサイズになります。 $${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N}$$ ${\displaystyle {\tfrac {N}{k}}}$

サンプル最大値自体は母集団最大値の最大尤度推定値ですが、偏りがあります。 ${\displaystyle m}$

離散均一分布からのサンプルが順番に番号付けされていないが、認識またはマークできる場合は、代わりにマークおよび再捕獲法を使用して個体群のサイズを推定できます。

ランダム順列

一様分布したランダム順列の固定点の数の確率分布の説明については、rencontres 番号を参照してください。

プロパティ

1 つまたは両方の境界が不明な整数の範囲にわたる均一離散分布の族には、有限次元の十分な統計量、つまりサンプルの最大値、サンプルの最小値、およびサンプル サイズの 3 つが存在します。

制限された整数範囲にわたる均一な離散分布は、そのサポートがパラメータによって変化するため、指数分布族を構成しません。

ピットマン・クープマン・ダルモワの定理は、台がパラメータに依存しない分布族に対して、指数分布族のみが、標本数の増加に伴って有界となる次元の十分統計量を持つことを述べています。したがって、一様分布は、この定理の条件の必要性を示す単純な例です。

参照

• ディラックのデルタ分布
• 連続均一分布

参考文献

1. ジョンソン、ロジャー（1994）、「人口規模の推定」、統計教育、16（2（夏期））：50–52、CiteSeerX  10.1.1.385.5463、doi：10.1111/j.1467-9639.1994.tb00688.x

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