離散評価環

Concept in abstract algebra

抽象代数学において、離散評価環( DVR ) は、ゼロ以外の最大イデアルを 1 つだけ持つ主イデアル領域(PID) です。

つまり、DVR は次の同等の条件をすべて満たす統合ドメインです。 ${\displaystyle R}$

1. ${\displaystyle R}$は局所環であり、主イデアル領域であり、体ではありません。
2. ${\displaystyle R}$は、加法に関して整数と同型な値群を持つ付値環です。
3. ${\displaystyle R}$は局所環であり、デデキント領域であり、体ではありません。
4. ${\displaystyle R}$はネーターであり、その唯一の最大イデアルが主体であり体ではない局所領域である。^[1]
5. ${\displaystyle R}$は整閉環、ネーター環、クルル次元が1 の局所環です。
6. ${\displaystyle R}$は、唯一の非ゼロの素イデアルを持つ主イデアル領域です。
7. ${\displaystyle R}$は、一意の既約元（単位の乗算まで）を持つ主イデアル領域です。
8. ${\displaystyle R}$は、一意の因数分解領域であり、一意の既約元（単位の乗算まで）を持ちます。
9. ${\displaystyle R}$はネーター体であり、体ではありません。また、Rのすべての非ゼロ分数イデアルは、それを適切に含む分数イデアルの有限交差として表すことができないという意味で既約です。
10. の分数体上にはとなるような離散値が 存在する。 ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=\{0\}\cup \{x\in K:\nu (x)\geq 0\}}$

例

代数的

デデキント環の局在

を2によって生成されたイデアルにおける局所化とします。正式には、 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}:=\{z/n:z,n\in \mathbb {Z} ,\,\,n{\text{ is odd}}\}}$。

の分数体はです。の任意の非零元について、の分子と分母に一意の因数分解を適用してと書き表すことができます。ここで、、 、 はそれぞれ と が奇数となる整数です。この場合、 と定義します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tfrac {2^{k}z}{n}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nu (r)=k}$

すると、は に対応する離散付値環となる。 の最大イデアルは2 によって生成される主イデアル、すなわち であり、単位まで「唯一の」既約元は 2 である（これは均一化パラメータとも呼ばれる）。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} _{(2)}}$

より一般的には、デデキント整域の非零素イデアルへの局所化は離散値環となる。実際、離散値環はこのようにして生じることが多い。特に、環を定義できる。

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}:=\{z/n:z,n\in \mathbb {Z} ,\,p\nmid n\}}$

任意の素数 に対して完全に類似しています。 ${\displaystyle p}$

p-進整数

p進整数環は、任意の 素数に対して DVR である。ここには既約元がある。評価は、各p 進整数に を割り切れる最大の整数を割り当てる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle x}$

形式冪級数

DVRのもう一つの重要な例は、ある体 上の一変数の形式的冪級数の環 である。「唯一の」既約元は であり、 の最大イデアルはによって生成される主イデアルであり、 の評価は各冪級数に最初の非零係数の指数（すなわち次数）を割り当てる。 ${\displaystyle R=k[[T]]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \nu }$

実数または複素数の係数に限定すれば、0の近傍に収束する一変数の冪級数の環を考えることができます（近傍は冪級数に依存します）。これは離散評価環です。これは、適切性の評価基準に関する直感を構築するのに役立ちます。

関数フィールドのリング

より幾何学的な例として、リングを考えてみましょう。

${\displaystyle R=\{f/g:f,g\in \mathbb {R} [x],\,g(0)\neq 0\}}$、

有理関数体の部分環として考えれば、実軸上の 0 の近傍（近傍は関数に依存する）で定義される（すなわち有限である）すべての実数値有理関数の環と同一視できる。これは離散付値環であり、「唯一の」既約元は であり、付値は各関数に0における の零点の位数（おそらく 0）を割り当てる。この例は、非特異点 の近傍における一般的な代数曲線を研究するためのテンプレートを提供する。この場合の代数曲線は実数直線である。 ${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

スキーム理論的

ヘンゼル特性

DVRでは、分数体 を 、剰余体 を と表記するのが一般的です。これらはの一般点 と閉点に対応します。例えば、 の閉点は、一般点は です。これは と表記されることもあります。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K={\text{Frac}}(R)}$ ${\displaystyle \kappa =R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle S={\text{Spec}}(R).}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

${\displaystyle \eta \to S\leftarrow s}$

ここでは一般点であり、は閉点です。 ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle s}$

曲線上の点の局在

代数曲線 が与えられたとき、滑らかな点 における局所環は主付値環であるため、離散付値環となる。点 が滑らかであるため、局所環の完備化は、ある点 におけるの局所化の完備化と同型となることに注意されたい。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

均一化パラメータ

DVR が与えられたとき、 の任意の既約元はの唯一の最大イデアルの生成元であり、その逆もまた成り立つ。このような元はの均一化パラメータ（あるいは均一化元、均一化元、素元）とも呼ばれる。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

均一化パラメータ を固定すると、 はの唯一の最大イデアルとなり、他のすべての非ゼロイデアルは のべき乗になります。つまり、 はいくつかの に対して の形を持ちます。 のすべてのべき乗は異なり、 のべき乗も異なります。のすべての非ゼロ元は、とに単位を持つ の形で表すことができ、どちらも によって一意に決まります。値は によって与えられます。したがって、環を完全に理解するには、 の単位群と、単位が のべき乗とどのように加算的に相互作用するかを知る必要があります。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(t)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle (t^{k})}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \alpha t^{k}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \nu (x)=k\nu (t)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle t}$

この関数は任意の離散評価環をユークリッド領域に変換する。^[要出典] ${\displaystyle \nu }$

トポロジー

離散付値環は局所環であるため、自然な位相を持ち、位相環である。また、 2つの元と間の距離が次のように測定できる計量空間構造も持つ。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle |x-y|=b^{-\nu (x-y)}}$、

ここで である。直感的に、ある元が「小さく」かつ「0に近い」とは、その付値が大きい場合のみである。上記の計量は、条件 とともに、離散付値環の分数体上に定義された絶対値の制約である。 ${\displaystyle b\in \mathbb {R} _{>1}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \nu (z)}$ ${\displaystyle |0|=0}$

最大イデアルを持つDVRがコンパクトであるためには、それが完全であり、その剰余体が有限体である必要があります。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

完全なDVRの例には、 - 進整数の環や任意の体上の形式的冪級数の環が含まれます。 ${\displaystyle p}$

与えられたDVRに対して、その完備化、つまり与えられた環を含む完全なDVR へと移行することがしばしばあり、これはしばしば研究が容易である。この完備化手続きは、幾何学的に言えば、有理関数から冪級数へ、あるいは有理数から実数へ移行する手続きと考えることができる。

実係数を持つ 1 変数のすべての形式的冪級数の環は、実数直線上の 0 の近傍で定義される有理関数の環の完備化です。また、0 の近くで収束するすべての実冪級数の環の完備化でもあります。（すべての有理数が - 進整数である集合として見ることができる）の完備化は、すべての- 進整数の環です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\mathbb {Q} \cap \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

参照

• カテゴリ: 局所化（数学）
• ローカルリング
• 局所場の分岐
• コーエンリング
• 評価リング

参考文献

1. 「ac.commutative algebra - 最大イデアルが主である局所環がノイザンであるための条件」MathOverflow。

• アティヤ、マイケル・フランシス；マクドナルド、IG（1969）、可換代数入門、ウェストビュー・プレス、ISBN 978-0-201-40751-8
• ダミット、デイビッド・S.; フット、リチャード・M. (2004) 『抽象代数（第3版）』、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-471-43334-7、MR  2286236
• 離散評価環、『数学百科事典』。

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