このページの目的は、 数論的 約数和、つまり自然数の約数に対する 算術 関数の和 、または 算術関数 と 1 と
の ディリクレ畳み込みと同等の、新しく興味深く有用な恒等式をカタログ化することです。 n {\displaystyle n} f ( n ) {\displaystyle f(n)}
g ( n ) := ∑ d ∣ n f ( d ) . {\displaystyle g(n):=\sum _{d\mid n}f(d).} これらの恒等式は、 の真素約数のみに対する算術関数の和への適用を含む。また、 最大公約数 関数に関するこれらの約数和の 周期的 変種を、 の形で 定義する。 n {\displaystyle n}
g m ( n ) := ∑ d ∣ ( m , n ) f ( d ) , 1 ≤ m ≤ n {\displaystyle g_{m}(n):=\sum _{d\mid (m,n)}f(d),\ 1\leq m\leq n} 関数 を で表すことを可能にするよく知られた反転関係は、 メビウスの反転公式 によって与えられます 。当然のことながら、このような恒等式の最も興味深い例のいくつかは、 別の算術関数 の約数和として定義された 算術関数 上の 平均位数加法関数を考えるときに生じます。特殊な 算術関数 や算術関数の特殊な ディリクレ畳み込み を含む約数和の具体的な例は 、次のページにあります： こちら 、 こちら 、こちら、 こちら 、 こちら 、そして こちら 。 f ( n ) {\displaystyle f(n)} g ( n ) {\displaystyle g(n)} f ( n ) {\displaystyle f(n)} g ( n ) {\displaystyle g(n)}
平均順序和の恒等式
和の恒等式の交換 以下の恒等式が、このトピックページを作成する主な動機です。これらの恒等式はあまり知られていないか、少なくとも十分に文書化されていないようですが、いくつかの用途では非常に便利なツールとなります。以下では、 が 任意の規定された 算術関数 であり、 が の和を求める関数を表すとします。以下の最初の和のより一般的な特殊ケースについては、 ここで を参照してください 。 [1] f , g , h , u , v : N → C {\displaystyle f,g,h,u,v:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} } G ( x ) := ∑ n ≤ x g ( n ) {\textstyle G(x):=\sum _{n\leq x}g(n)} g ( n ) {\displaystyle g(n)}
∑ n = 1 x v ( n ) ∑ d ∣ n h ( d ) u ( n d ) = ∑ n = 1 x h ( n ) ∑ k = 1 ⌊ x n ⌋ u ( k ) v ( n k ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{x}v(n)\sum _{d\mid n}h(d)u\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{n=1}^{x}h(n)\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor }u(k)v(nk)} ∑ n = 1 x ∑ d ∣ n f ( d ) g ( n d ) = ∑ n = 1 x f ( n ) G ( ⌊ x n ⌋ ) = ∑ i = 1 x ( ∑ ⌈ x + 1 i + 1 ⌉ ≤ n ≤ ⌊ x − 1 i ⌋ f ( n ) ) G ( i ) + ∑ d ∣ x G ( d ) f ( x d ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{x}\sum _{d\mid n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)&=\sum _{n=1}^{x}f(n)G\left(\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \right)=\sum _{i=1}^{x}\left(\sum _{\left\lceil {\frac {x+1}{i+1}}\right\rceil \leq n\leq \left\lfloor {\frac {x-1}{i}}\right\rfloor }f(n)\right)G(i)+\sum _{d\mid x}G(d)f\left({\frac {x}{d}}\right)\end{aligned}}} ∑ d = 1 x f ( d ) ( ∑ r ∣ ( d , x ) g ( r ) h ( d r ) ) = ∑ r ∣ x g ( r ) ( ∑ 1 ≤ d ≤ x / r h ( d ) f ( r d ) ) {\displaystyle \sum _{d=1}^{x}f(d)\left(\sum _{r\mid (d,x)}g(r)h\left({\frac {d}{r}}\right)\right)=\sum _{r\mid x}g(r)\left(\sum _{1\leq d\leq x/r}h(d)f(rd)\right)} ∑ m = 1 x ( ∑ d ∣ ( m , x ) f ( d ) g ( x d ) ) = ∑ d ∣ x f ( d ) g ( x d ) ⋅ x d {\displaystyle \sum _{m=1}^{x}\left(\sum _{d\mid (m,x)}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\right)=\sum _{d\mid x}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\cdot {\frac {x}{d}}} ∑ m = 1 x ( ∑ d ∣ ( m , x ) f ( d ) g ( x d ) ) t m = ( t x − 1 ) ⋅ ∑ d ∣ x t d f ( d ) t d − 1 g ( x d ) {\displaystyle \sum _{m=1}^{x}\left(\sum _{d\mid (m,x)}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\right)t^{m}=(t^{x}-1)\cdot \sum _{d\mid x}{\frac {t^{d}f(d)}{t^{d}-1}}g\left({\frac {x}{d}}\right)} 一般的に、これらの恒等式は、 よく知られたものからあまり知られていないものまで、 解析的数論のノートや技法、そして貢献者の論文や研究における、いわゆる「 珍しいものや裏技 」から集められたものです。恒等式自体は証明が難しくなく、級数の逆元や約数の和といった標準的な操作の練習問題です。したがって、ここでは証明を省略します。
畳み込み法 畳み込み 法は 、次の形式の平均次数和を推定する一般的な手法である。
∑ n ≤ x f ( n ) or ∑ q squarefree q ≤ x f ( q ) , {\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\qquad {\text{ or }}\qquad \sum _{\stackrel {q\leq x}{q{\text{ squarefree}}}}f(q),} ここで、乗法関数 f は、適切なアプリケーション定義の 算術関数 g と h の形式の畳み込みとして表すことができます 。この手法の簡単な概要は、こちらでご覧いただけます。 f ( n ) = ( g ∗ h ) ( n ) {\displaystyle f(n)=(g\ast h)(n)}
関連する技術として、次の式を使用する。
∑ k = 1 n f ( k ) = ∑ k = 1 n ∑ x y = k g ( x ) h ( y ) = ∑ x = 1 a ∑ y = 1 n / x g ( x ) h ( y ) + ∑ y = 1 b ∑ x = 1 n / y g ( x ) h ( y ) − ∑ x = 1 a ∑ y = 1 b g ( x ) h ( y ) ; {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{xy=k}^{}g(x)h(y)=\sum _{x=1}^{a}\sum _{y=1}^{n/x}g(x)h(y)+\sum _{y=1}^{b}\sum _{x=1}^{n/y}g(x)h(y)-\sum _{x=1}^{a}\sum _{y=1}^{b}g(x)h(y);} これはディリクレ双曲線法 として知られています 。
周期的除数和 算術 関数 は 周期的（mod k） 、あるいは 任意の に対して であるとき k 周期的である 。k 周期的数論関数の具体的な例としては 、 k を法とするディリクレ指標や最大公約数関数が挙げられる 。 すべて の k 周期 算術 関数 は、次の形式の 有限 離散 フーリエ級数 として表現できること が知られている。 f ( n + k ) = f ( n ) {\displaystyle f(n+k)=f(n)} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } f ( n ) = χ ( n ) {\displaystyle f(n)=\chi (n)} f ( n ) = ( n , k ) {\displaystyle f(n)=(n,k)}
f ( n ) = ∑ m = 1 k a k ( m ) e ( m n k ) , {\displaystyle f(n)=\sum _{m=1}^{k}a_{k}(m)e\left({\frac {mn}{k}}\right),} ここで、 次の式で定義される フーリエ係数も k 周期です。 a k ( m ) {\displaystyle a_{k}(m)}
a k ( m ) = 1 k ∑ n = 1 k f ( n ) e ( − m n k ) . {\displaystyle a_{k}(m)={\frac {1}{k}}\sum _{n=1}^{k}f(n)e\left(-{\frac {mn}{k}}\right).} 私たちが興味を持っているのは、次の k 周期の約数の合計です。
s k ( n ) := ∑ d ∣ ( n , k ) f ( d ) g ( k d ) = ∑ m = 1 k a k ( m ) e ( m n k ) . {\displaystyle s_{k}(n):=\sum _{d\mid (n,k)}f(d)g\left({\frac {k}{d}}\right)=\sum _{m=1}^{k}a_{k}(m)e\left({\frac {mn}{k}}\right).} これらの除数和変種のフーリエ係数は式 [2]で与えられることは事実である。
a k ( m ) = ∑ d ∣ ( m , k ) g ( d ) f ( k d ) d k . {\displaystyle a_{k}(m)=\sum _{d\mid (m,k)}g(d)f\left({\frac {k}{d}}\right){\frac {d}{k}}.}
上の式のフーリエ係数は、 任意の関数 hの フーリエ変換 を用いて、次の式で表すこともできる。ここで、 は ラマヌジャン和 である （ トーティエント関数のフーリエ変換を 参照）。 [3] gcd ( n , k ) {\displaystyle \operatorname {gcd} (n,k)} c q ( n ) {\displaystyle c_{q}(n)}
F h ( m , n ) = ∑ k = 1 n h ( ( k , n ) ) e ( − k m n ) = ( h ∗ c ∙ ( m ) ) ( n ) . {\displaystyle F_{h}(m,n)=\sum _{k=1}^{n}h((k,n))e\left(-{\frac {km}{n}}\right)=(h\ast c_{\bullet }(m))(n).} したがって、上記の結果を組み合わせると、
a k ( m ) = ∑ d ∣ ( m , k ) g ( d ) f ( k d ) d k = ∑ d ∣ k ∑ r ∣ d f ( r ) g ( d ) c d r ( m ) . {\displaystyle a_{k}(m)=\sum _{d\mid (m,k)}g(d)f\left({\frac {k}{d}}\right){\frac {d}{k}}=\sum _{d\mid k}\sum _{r\mid d}f(r)g(d)c_{\frac {d}{r}}(m).}
素因数の和 関数を 素数 の 特性 関数 、すなわちが素数で、そう でない場合 は 0 となるとき、かつその場合に限って となる。すると、上記の「和の恒等式の交換」の項における式(1)の最初の恒等式の特別な場合として、平均位数和を表すことができる。 a ( n ) {\displaystyle a(n)} a ( n ) = 1 {\displaystyle a(n)=1} n {\displaystyle n}
∑ n = 1 x ∑ p prime p ∣ n f ( p ) = ∑ p = 1 x a ( p ) f ( p ) ⌊ x p ⌋ = ∑ p prime p = 1 x f ( p ) ⌊ x p ⌋ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{x}\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}f(p)=\sum _{p=1}^{x}a(p)f(p)\left\lfloor {\frac {x}{p}}\right\rfloor =\sum _{\stackrel {p=1}{p{\text{ prime}}}}^{x}f(p)\left\lfloor {\frac {x}{p}}\right\rfloor .} また、アーベル和 に基づく積分公式は、次の形式の和に対しても 成り立つ。 [4]
∑ p prime p = 1 x f ( p ) = π ( x ) f ( x ) − ∫ 2 x π ( t ) f ′ ( t ) d t ≈ x f ( x ) log x − ∫ 2 x t log t f ′ ( t ) d t , {\displaystyle \sum _{\stackrel {p=1}{p{\text{ prime}}}}^{x}f(p)=\pi (x)f(x)-\int _{2}^{x}\pi (t)f^{\prime }(t)dt\approx {\frac {xf(x)}{\log x}}-\int _{2}^{x}{\frac {t}{\log t}}f^{\prime }(t)dt,} ここで、 は 素数関数 を表します。ここでは、関数 fは 連続 かつ 微分可能で ある という仮定を一般的に用います 。 π ( x ) ∼ x log x {\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}}
あまり知られていない約数の和の等式 任意の算術関数 fと 完全に乗法的な g に対して、次の除数和の公式があります。 ここで、 は オイラーのトーティエント関数 、は メビウス関数 です 。 [5] [6] φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)}
∑ d ∣ n f ( d ) φ ( n d ) = ∑ k = 1 n f ( gcd ( n , k ) ) {\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)\varphi \left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{k=1}^{n}f(\operatorname {gcd} (n,k))} ∑ d ∣ n μ ( d ) f ( d ) = ∏ p prime p ∣ n ( 1 − f ( p ) ) {\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)f(d)=\prod _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}(1-f(p))} f ( m ) f ( n ) = ∑ d ∣ ( m , n ) g ( d ) f ( m n d 2 ) . {\displaystyle f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}g(d)f\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right).} fが 完全に乗法 である 場合、 ディリクレ畳み込みによる 点ごとの乗算により が生成されます 。 ⋅ {\displaystyle \cdot } f ⋅ ( g ∗ h ) = ( f ⋅ g ) ∗ ( f ⋅ h ) {\displaystyle f\cdot (g\ast h)=(f\cdot g)\ast (f\cdot h)} ∑ d k ∣ n μ ( d ) = { 0 , if m k ∣ n for some m > 1 ; 1 , otherwise. {\displaystyle \sum _{d^{k}\mid n}\mu (d)={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}0,&{\text{ if }}m^{k}\mid n{\text{ for some }}m>1;\\1,&{\text{otherwise.}}\end{array}}} かつ n に m 個以上の 異なる素因数 がある場合、 m ≥ 1 {\displaystyle m\geq 1} ∑ d ∣ n μ ( d ) log m ( d ) = 0. {\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)\log ^{m}(d)=0.}
算術関数のディリクレ逆関数 ディリクレ畳み込みの乗法恒等式を表す 記法を採用し、任意の 算術関数 f およびに対して が成り立つ 。 関数 fの ディリクレ逆関数 は、すべての に対して が成り立つ。 関数 fの ディリクレ逆関数 を計算するためのよく知られた再帰畳み込み公式は、 [7] の形で帰納的に与えられている。 ε ( n ) = δ n , 1 {\displaystyle \varepsilon (n)=\delta _{n,1}} ( ε ∗ f ) ( n ) = ( f ∗ ε ) ( n ) = f ( n ) {\displaystyle (\varepsilon \ast f)(n)=(f\ast \varepsilon )(n)=f(n)} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} ( f ∗ f − 1 ) ( n ) = ( f − 1 ∗ f ) ( n ) = ε ( n ) {\displaystyle (f\ast f^{-1})(n)=(f^{-1}\ast f)(n)=\varepsilon (n)} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} f − 1 ( n ) {\displaystyle f^{-1}(n)}
f − 1 ( n ) = { 1 f ( 1 ) , if n = 1 ; − 1 f ( 1 ) ∑ d > 1 d ∣ n f ( d ) f − 1 ( n d ) , if n > 1. {\displaystyle f^{-1}(n)={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}{\frac {1}{f(1)}},&{\text{ if }}n=1;\\-{\frac {1}{f(1)}}\sum _{\stackrel {d\mid n}{d>1}}f(d)f^{-1}\left({\frac {n}{d}}\right),&{\text{ if }}n>1.\end{array}}} 固定された関数 f に対して、関数 f ± ( n ) := ( − 1 ) δ n , 1 f ( n ) = { − f ( 1 ) , if n = 1 ; f ( n ) , if n > 1 {\displaystyle f_{\pm }(n):=(-1)^{\delta _{n,1}}f(n)={\Biggl \{}{\begin{matrix}-f(1),&{\text{ if }}n=1;\\f(n),&{\text{ if }}n>1\end{matrix}}}
次に、任意の固定算術関数f に対して、次の 2 つの多重またはネストされた畳み込みの変種を定義します 。
ds ~ j , f ( n ) := ( f ± ∗ f ∗ ⋯ ∗ f ) ⏟ j times ( n ) ds j , f ( n ) := { f ± ( n ) , if j = 1 ; ∑ d > 1 d ∣ n f ( d ) ds j − 1 , f ( n / d ) , if j > 1. {\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\operatorname {ds} }}_{j,f}(n)&:=\underbrace {\left(f_{\pm }\ast f\ast \cdots \ast f\right)} _{j{\text{ times}}}(n)\\\operatorname {ds} _{j,f}(n)&:={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}f_{\pm }(n),&{\text{ if }}j=1;\\\sum \limits _{\stackrel {d\mid n}{d>1}}f(d)\operatorname {ds} _{j-1,f}(n/d),&{\text{ if }}j>1.\end{array}}\end{aligned}}} 次の式の等価な和公式のペアによる 関数は、 任意の関数 fの ディリクレ逆関数 と密接に関係している。 [8] D f ( n ) {\displaystyle D_{f}(n)}
D f ( n ) := ∑ j = 1 n ds 2 j , f ( n ) = ∑ m = 1 ⌊ n 2 ⌋ ∑ i = 0 2 m − 1 ( 2 m − 1 i ) ( − 1 ) i + 1 ds ~ i + 1 , f ( n ) {\displaystyle D_{f}(n):=\sum _{j=1}^{n}\operatorname {ds} _{2j,f}(n)=\sum _{m=1}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\sum _{i=0}^{2m-1}{\binom {2m-1}{i}}(-1)^{i+1}{\widetilde {\operatorname {ds} }}_{i+1,f}(n)} 特に、 [9]
f − 1 ( n ) = ( D + ε f ( 1 ) ) ( n ) . {\displaystyle f^{-1}(n)=\left(D+{\frac {\varepsilon }{f(1)}}\right)(n).} の値を以下に 表します。この表は 、関数 f とそれ自身と
の k 個の可能な多重畳み込みの符号付き和として、この関数が意図する意味と解釈を明確に示しています。 D f ( n ) {\displaystyle D_{f}(n)} 2 ≤ n ≤ 16 {\displaystyle 2\leq n\leq 16}
n D f ( n ) {\displaystyle D_{f}(n)} n D f ( n ) {\displaystyle D_{f}(n)} n D f ( n ) {\displaystyle D_{f}(n)} 2 − f ( 2 ) f ( 1 ) 2 {\displaystyle -{\frac {f(2)}{f(1)^{2}}}} 7 − f ( 7 ) f ( 1 ) 2 {\displaystyle -{\frac {f(7)}{f(1)^{2}}}} 12 2 f ( 3 ) f ( 4 ) + 2 f ( 2 ) f ( 6 ) − f ( 1 ) f ( 12 ) f ( 1 ) 3 − 3 f ( 2 ) 2 f ( 3 ) f ( 1 ) 4 {\displaystyle {\frac {2f(3)f(4)+2f(2)f(6)-f(1)f(12)}{f(1)^{3}}}-{\frac {3f(2)^{2}f(3)}{f(1)^{4}}}} 3 − f ( 3 ) f ( 1 ) 2 {\displaystyle -{\frac {f(3)}{f(1)^{2}}}} 8 2 f ( 2 ) f ( 4 ) − f ( 1 ) f ( 8 ) f ( 1 ) 3 − f ( 2 ) 3 f ( 1 ) 4 {\displaystyle {\frac {2f(2)f(4)-f(1)f(8)}{f(1)^{3}}}-{\frac {f(2)^{3}}{f(1)^{4}}}} 13 − f ( 13 ) f ( 1 ) 2 {\displaystyle -{\frac {f(13)}{f(1)^{2}}}} 4 f ( 2 ) 2 − f ( 1 ) f ( 4 ) f ( 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {f(2)^{2}-f(1)f(4)}{f(1)^{3}}}} 9 f ( 3 ) 2 − f ( 1 ) f ( 9 ) f ( 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {f(3)^{2}-f(1)f(9)}{f(1)^{3}}}} 14 2 f ( 2 ) f ( 7 ) − f ( 1 ) f ( 14 ) f ( 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {2f(2)f(7)-f(1)f(14)}{f(1)^{3}}}} 5 − f ( 5 ) f ( 1 ) 2 {\displaystyle -{\frac {f(5)}{f(1)^{2}}}} 10 2 f ( 2 ) f ( 5 ) − f ( 1 ) f ( 10 ) f ( 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {2f(2)f(5)-f(1)f(10)}{f(1)^{3}}}} 15 2 f ( 3 ) f ( 5 ) − f ( 1 ) f ( 15 ) f ( 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {2f(3)f(5)-f(1)f(15)}{f(1)^{3}}}} 6 2 f ( 2 ) f ( 3 ) − f ( 1 ) f ( 6 ) f ( 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {2f(2)f(3)-f(1)f(6)}{f(1)^{3}}}} 11 − f ( 11 ) f ( 1 ) 2 {\displaystyle -{\frac {f(11)}{f(1)^{2}}}} 16 f ( 2 ) 4 f ( 1 ) 5 − 3 f ( 4 ) f ( 2 ) 2 f ( 1 ) 4 + f ( 4 ) 2 + 2 f ( 2 ) f ( 8 ) f ( 1 ) 3 − f ( 16 ) f ( 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {f(2)^{4}}{f(1)^{5}}}-{\frac {3f(4)f(2)^{2}}{f(1)^{4}}}+{\frac {f(4)^{2}+2f(2)f(8)}{f(1)^{3}}}-{\frac {f(16)}{f(1)^{2}}}}
ここで pは 分割関数（数論） で ある 。すると、ディリクレ逆関数は上記の関数と q-ポッホハマー記号 の係数を用いて [8] で与えられる別の表現を持つ。 p k ( n ) := p ( n − k ) {\displaystyle p_{k}(n):=p(n-k)} n > 1 {\displaystyle n>1}
f − 1 ( n ) = ∑ k = 1 n [ ( p k ∗ μ ) ( n ) + ( p k ∗ D f ∗ μ ) ( n ) ] × [ q k − 1 ] ( q ; q ) ∞ 1 − q . {\displaystyle f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{n}\left[(p_{k}\ast \mu )(n)+(p_{k}\ast D_{f}\ast \mu )(n)\right]\times [q^{k-1}]{\frac {(q;q)_{\infty }}{1-q}}.}
算術関数の和の変形
参照
注記 ^ Apostolのセクション3.10も参照してください。 ^ NIST 数学関数ハンドブック (DLMF) のセクション 27.10 。 ^ Schramm, W. (2008). 「最大公約数の関数のフーリエ変換」. 整数 . 8 . ^ Villarino, MB (2005). "Mertens' Proof of Mertens' Theorem". arXiv : math/0504289 のセクション2.2を参照 。 ^ アポストルの本の順に：演習2.29、定理2.18、演習2.31-2.32 ^ 最初の恒等式は、Gould, Henry W.; Shonhiwa, Temba (2008). "A catalogue of interesting Dirichlet series". Miss. J. Math. Sci. 20 (1). に掲載されている形式のよく知ら れ たディリクレ級数を持つ。 2011 年 10 月 2 日時点のオリジナルよりアーカイブ。 ∑ n ≥ 1 1 n s ∑ k = 1 n f ( gcd ( n , k ) ) = ζ ( s − 1 ) ζ ( s ) ∑ n ≥ 1 f ( n ) n s {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}\sum _{k=1}^{n}f(\operatorname {gcd} (n,k))={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}} ^ 証明については、Apostol の本のセクション 2.7 を参照してください。 ^ ab M. Merca and MD Schmidt (2017). 「一般化ランバート級数の因数分解定理とその応用」pp. 13– 20. arXiv : 1712.00611 [math.NT]. ^ この同一性は、2018 年に ArXiv に掲載される予定の MD Schmidt による未発表の原稿で証明されています。
参考文献 アポストル, T. (1976). 解析的数論入門 . ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 0-387-90163-9 。 数学関数デジタルライブラリ（DLMF）. NIST. 2018年. 2018年 4月24日 閲覧 . タオ、テレンス. 「ディリクレ畳み込み：何が新しいのか？」 
![{\displaystyle f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{n}\left[(p_{k}\ast \mu )(n)+(p_{k}\ast D_{f}\ast \mu )(n)\right]\times [q^{k-1}]{\frac {(q;q)_{\infty }}{1-q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2dbc555dcc3cab82c5f673c063354281ea11b10)
