電磁四電位

電磁四元ポテンシャルは、電磁場を導出できる相対論的ベクトル関数である。これは、電気スカラーポテンシャルと磁気ベクトルポテンシャルの両方を単一の四元ベクトルに統合したものである。^[1]

与えられた基準系および与えられたゲージにおいて測定される電磁四元ポテンシャルの最初の成分は慣例的に電気スカラーポテンシャルとみなされ、他の3つの成分は磁気ベクトルポテンシャルを構成する。スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルはどちらも基準系に依存するが、電磁四元ポテンシャルはローレンツ共変である。

他のポテンシャルと同様に、ゲージの選択に応じて、多くの異なる電磁 4 元ポテンシャルが同じ電磁場に対応します。

この記事では、テンソルの添字表記とミンコフスキー計量符号規則 (+ − − −)を使用します。表記法の詳細については、ベクトルの共変性と反変性、および添字の上げ下げを参照してください。式は SI単位系とガウス-cgs単位で示されています。

意味

反変電磁気四元ポテンシャルは次のように定義される: ^[2]

SI単位	ガウス単位
$A^{\alpha }=\left({\frac {1}{c}}\phi ,\mathbf {A} \right)\,\!$	$A^{\alpha }=(\phi ,\mathbf {A} )$

ここで、ϕは電位、Aは磁気ポテンシャル（ベクトルポテンシャル）である。A αの単位はSIではV · s · m ⁻¹、Gaussian-CGSではMx · cm ⁻¹^である。

これらの4つの電位に関連する電場と磁場は以下のとおりです。^[3]

SI単位	ガウス単位
$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$	$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$
$\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}$	$\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}$

特殊相対論では、電場と磁場はローレンツ変換によって変換されます。これは階数2のテンソル、すなわち電磁テンソルで表すことができます。電磁テンソルの16個の反変成分は、ミンコフスキー計量規約(+ − − −)を用いると、電磁4元ポテンシャルと4元勾配を用いて次のように表されます。

F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}

前述の署名が(− + + +)の場合:

F'\,^{\mu \nu }=\partial '\,^{\mu }A^{\nu }-\partial '\,^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}

これは本質的に、物理的に観測可能な量の観点から 4 元ポテンシャルを定義するとともに、上記の定義に還元します。

ローレンツゲージでは

慣性系におけるローレンツゲージ条件は、マクスウェル方程式を次のように簡略化するためによく用いられる。^[2] $\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$

SI単位	ガウス単位
$\Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }$	$\Box A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}J^{\alpha }$

ここで、J ^αは4元電流の成分であり、

\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}=\partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }

はダランベルティアン演算子です。スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルの観点から見ると、この最後の式は次のようになります。

SI単位	ガウス単位
$\Box \phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$	$\Box \phi =4\pi \rho$
$\Box \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {j}$	$\Box \mathbf {A} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j}$

与えられた電荷と電流分布ρ ( r , t )とj ( r , t )に対して、SI単位でのこれらの方程式の解は次のようになる。^[3]

{\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}},\end{aligned}}

どこ

t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}

は遅れ時間です。これは次のように表現されることもあります。

\rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)=\left[\rho \left(\mathbf {r} ',t\right)\right],

ここで、角括弧は、遅延時間における時間を評価することを意味します。もちろん、上記の式は単に非同次微分方程式の解であるため、同次方程式の任意の解をこれらの式に加えて境界条件を満たすことができます。これらの同次解は一般に、境界外の音源から伝播する波を表します。

上記の積分を、例えば振動する電流（または電荷）などの典型的なケースについて評価すると、 r ⁻²に従って変化する磁場成分（誘導場）とr ⁻¹に従って減少する成分（放射場）の両方を与えることがわかります。^{[説明が必要]}

ゲージの自由度

1次元形式（テンソル表記では）に平坦化されると、4次元ポテンシャル（通常はベクトルまたはテンソル表記で表記される）は、ホッジ分解定理によって、正確な、共正確な、および調和形式の和として分解できる^[^{明確化が必要}^{] 。} $A_{\mu }$ $A$ $A^{\mu }$

A=d\alpha +\delta \beta +\gamma

。

$A$ にはゲージ自由度があり、この分解における3つの形式のうち、共形のみが電磁テンソルに影響を与える。

F=dA

。

正確な形式は閉じており、適切な領域上の調和形式も閉じているので、とは常に閉じている。したがって、とが何であるかに関わらず、単に $dd\alpha =0$ $d\gamma =0$ $\alpha$ $\gamma$

F=d\delta \beta

。

無限平坦ミンコフスキー空間では、すべての閉形式は完全である。したがって項は消滅する。したがって、のすべてのゲージ変換は次のように書ける。 $\gamma$ $A$

A\Rightarrow A+d\alpha

。

参照

参考文献

^ 重力、JAウィーラー、C.ミスナー、KSソーン、WHフリーマン＆カンパニー、1973年、ISBN 0-7167-0344-0
^ ab DJ Griffiths (2007). 『電気力学入門（第3版）』Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2。
^ ab IS Grant, WR Phillips (2008).電磁気学（第2版）. Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9。

リンドラー、ヴォルフガング (1991).特殊相対論入門（第2版） . オックスフォード: オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-853952-5。
ジャクソン, JD (1999). 『古典電気力学（第3版）』ニューヨーク: Wiley. ISBN 0-471-30932-X。

[1] 重力、JAウィーラー、C.ミスナー、KSソーン、WHフリーマン＆カンパニー、1973年、ISBN 0-7167-0344-0

[Griffiths-2] DJ Griffiths (2007). 『電気力学入門（第3版）』Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2。

[grant-3] IS Grant, WR Phillips (2008).電磁気学（第2版）. Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9。