Signal processing filter
楕円 フィルタ （ ヴィルヘルム・カウアー にちなんで カウアーフィルタとも呼ばれ、 エゴール・ゾロタレフ にちなんで ゾロタレフフィルタ とも呼ばれる ）は、 通過帯域 と 阻止帯域 の両方で等化 リップル （等リップル）動作を持つ 信号処理フィルタ です。各帯域のリップルの量は独立して調整可能であり、リップルの値が与えられた場合（リップルが等化されているかどうかに関係なく）、同じ次数のフィルタで 通過帯域 と 阻止帯域 間の ゲイン の遷移がこれより速いものはありません。 [ 要出典 ] あるいは、通過帯域と阻止帯域のリップルを独立して調整する機能を放棄し、代わりに部品の変動に対して最大限鈍感なフィルタを設計することもできます
阻止帯域のリップルがゼロに近づくと、フィルタはタイプI チェビシェフフィルタ になります。通過帯域のリップルがゼロに近づくと、フィルタはタイプII チェビシェフフィルタ になり、最終的に両方のリップル値がゼロに近づくと、フィルタは バターワースフィルタ になります。
角周波数ωの関数としての ローパス 楕円フィルタのゲインは次のように表されます。
G n ( ω ) = 1 1 + ϵ 2 R n 2 ( ξ , ω / ω 0 ) {\displaystyle G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0})}}}} ここで、R n は n 次の 楕円有理関数 （チェビシェフ有理関数とも呼ばれる）であり、
ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} カットオフ周波数 ϵ {\displaystyle \epsilon } 波及要因 ξ {\displaystyle \xi } 選択係数である リップル係数の値は通過帯域リップルを指定し、リップル係数と選択係数の組み合わせは阻止帯域リップルを指定します。
特性 ε = 0.5、 ξ = 1.05の4次楕円ローパスフィルタの周波数応答 。通過帯域の最小ゲインと阻止帯域の最大ゲイン、および正規化周波数1と ξの間の遷移領域も示されている。 上記のグラフの遷移領域のクローズアップ。 通過帯域において、楕円有理関数は0から1の間で変化します。したがって、通過帯域のゲインは1から の間で変化します 。 1 / 1 + ϵ 2 {\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}} ストップバンドでは、楕円有理関数は無限大と 次のように定義される識別係数の間で変化します。 L n {\displaystyle L_{n}} L n = R n ( ξ , ξ ) {\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )\,} したがって、ストップバンドのゲインは 0 から の間で変化します 。 1 / 1 + ϵ 2 L n 2 {\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2}}}} 楕円有理関数 の極限では チェビシェフ多項式 となり、したがってフィルタは リップル係数 εを持つ チェビシェフI型フィルタとなる。 ξ → ∞ {\displaystyle \xi \rightarrow \infty } バターワースフィルタはチェビシェフフィルタの極限形であるため、 の極限において 、 フィルタが バターワースフィルタ となることが 分かる。 ξ → ∞ {\displaystyle \xi \rightarrow \infty } ω 0 → 0 {\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0} ϵ → 0 {\displaystyle \epsilon \rightarrow 0} ϵ R n ( ξ , 1 / ω 0 ) = 1 {\displaystyle \epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1} の極限 、 および 、 および と なる場合、フィルタ は ゲイン ξ → ∞ {\displaystyle \xi \rightarrow \infty } ϵ → 0 {\displaystyle \epsilon \rightarrow 0} ω 0 → 0 {\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0} ξ ω 0 = 1 {\displaystyle \xi \omega _{0}=1} ϵ L n = α {\displaystyle \epsilon L_{n}=\alpha } G ( ω ) = 1 1 + 1 α 2 T n 2 ( 1 / ω ) {\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )}}}}}}
極と零点 複素周波数空間 （s = σ + jω） における8次楕円フィルタのゲインの絶対値の対数。ε = 0.5、ξ = 1.05、ω 0 = 1。白い点は極、黒い点は零点です。合計16個の極と8個の二重零点があります。遷移領域付近で1つの極と零点のように見えますが、実際には下の拡大図に示すように4つの極と2つの二重零点です。この画像では、黒はゲインが0.0001以下、白はゲインが10以上に対応しています 上の画像の遷移領域の拡大図。4 つの極と 2 つの二重ゼロが示されています。 楕円フィルタのゲインのゼロは、楕円有理関数 の記事で導出される楕円有理関数の極と一致します 。
楕円フィルタのゲインの極は、タイプIチェビシェフフィルタ のゲインの極の導出と非常によく似た方法で導出できます 。簡単のため、カットオフ周波数は1であると仮定します。 楕円フィルタのゲインの極は、ゲインの分母の零点になります。複素周波数を用いると、 これは次の式を意味します。 ( ω p m ) {\displaystyle (\omega _{pm})} s = σ + j ω {\displaystyle s=\sigma +j\omega }
1 + ϵ 2 R n 2 ( − j s , ξ ) = 0 {\displaystyle 1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0\,} cd() を Jacobi の楕円余弦関数 として定義し 、楕円有理関数の定義を使用すると次のようになります。 − j s = c d ( w , 1 / ξ ) {\displaystyle -js=\mathrm {cd} (w,1/\xi )}
1 + ϵ 2 c d 2 ( n w K n K , 1 L n ) = 0 {\displaystyle 1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n}}{K}},{\frac {1}{L_{n}}}\right)=0\,} ここで 、および 。w を解くと K = K ( 1 / ξ ) {\displaystyle K=K(1/\xi )} K n = K ( 1 / L n ) {\displaystyle K_{n}=K(1/L_{n})}
w = K n K n c d − 1 ( ± j ϵ , 1 L n ) + m K n {\displaystyle w={\frac {K}{nK_{n}}}\mathrm {cd} ^{-1}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }},{\frac {1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}}} ここで、逆 cd() 関数の複数の値は、整数インデックス m を使用して明示的に指定されます。
楕円ゲイン関数の極は次のようになります。
s p m = i c d ( w , 1 / ξ ) {\displaystyle s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi )\,} チェビシェフ多項式の場合と同様に、これは明示的に複素形式で表現することができる（Lutovac & et al. 2001, § 12.8）
s p m = a + j b c {\displaystyle s_{pm}={\frac {a+jb}{c}}} a = − ζ n 1 − ζ n 2 1 − x m 2 1 − x m 2 / ξ 2 {\displaystyle a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}/\xi ^{2}}}} b = x m 1 − ζ n 2 ( 1 − 1 / ξ 2 ) {\displaystyle b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}} c = 1 − ζ n 2 + x i 2 ζ n 2 / ξ 2 {\displaystyle c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2}} ここで は の関数であり 、 と は 楕円有理関数の零点である。はすべての n に対してヤコビ楕円関数で表現できる 。あるいは、特に 1、2、3 次では代数的に表現できる。 1 次と 2 次では ζ n {\displaystyle \zeta _{n}} n , ϵ {\displaystyle n,\,\epsilon } ξ {\displaystyle \xi } x m {\displaystyle x_{m}} ζ n {\displaystyle \zeta _{n}}
ζ 1 = 1 1 + ϵ 2 {\displaystyle \zeta _{1}={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}} ζ 2 = 2 ( 1 + t ) 1 + ϵ 2 + ( 1 − t ) 2 + ϵ 2 ( 1 + t ) 2 {\displaystyle \zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}} ここで
t = 1 − 1 / ξ 2 {\displaystyle t={\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}} の 代 数式 はかなり複雑です（Lutovac & et al. (2001, § 12.8.1)を参照）。 ζ 3 {\displaystyle \zeta _{3}}
楕円有理関数 のネスト特性を 利用して、次のような高階表現を構築することができます 。 ζ n {\displaystyle \zeta _{n}}
ζ m ⋅ n ( ξ , ϵ ) = ζ m ( ξ , 1 ζ n 2 ( L m , ϵ ) − 1 ) {\displaystyle \zeta _{m\cdot n}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt {{\frac {1}{\zeta _{n}^{2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\right)} どこ 。 L m = R m ( ξ , ξ ) {\displaystyle L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi )}
設計上の考慮事項 ξ = 1.1の8次楕円フィルタの極の正規化されたQ係数を、リップル係数 ε の関数として 示したものです。複素共役極対と正負極対は同じQ係数を持つため、各曲線は4つの極を表しています。（青とシアンの曲線はほぼ一致しています。）すべての極のQ係数は、 ε Qmin = 1 / √ L n = 0.02323で同時に最小化されます Lutovac & et al.を参照してください。 (2001、§ 12.11、13.14)。
楕円フィルタは一般に、通過帯域リップル、阻止帯域リップル、およびカットオフの鋭さを特定の値に設定することによって指定されます。これらは 、フィルタの動作を記述する 有理 楕円関数の最小次数 nを指定します。具体的には、 ω p 未満の周波数を通過させ、 ω s を超える周波数を阻止するフィルタを考え 、補助次数を定義します。 通過帯域ゲインを [1- G p 、 1] に、阻止帯域ゲインを [0、 1- G s ] に制限するには、次数 n が 次を満たしている必要があります [1] 。この式は、 完全な楕円積分 関数 Kの近似から生じます 。正確な定式化は [2] です。ここで、 もう 1 つの設計上の考慮事項は、フィルタの構築に使用する電子部品の値に対するゲイン関数の感度です。この感度は、フィルタ伝達関数の極の品質係数 ( Q 係数 ) に反比例します。極の Q 係数は次のように定義されます。 u = 1 2 ⋅ 1 − 1 − ( ω p ω s ) 2 4 1 + 1 − ( ω p ω s ) 2 4 {\displaystyle u={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-\left({\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\right)^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-\left({\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\right)^{2}}}}}} n ≥ log ( 16 G s G p ) − log ( u + 2 u 5 + 15 u 9 + 150 u 13 ) {\displaystyle n\geq {\frac {\log {\left(16{\frac {G_{s}}{G_{p}}}\right)}}{-\log(u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13})}}} n ≥ K ( 1 − τ 1 2 ) K ( τ 2 ) K ( τ 1 ) K ( 1 − τ 2 2 ) {\displaystyle n\geq {\frac {K\left({\sqrt {1-\tau _{1}^{2}}}\right)K(\tau _{2})}{K(\tau _{1})K\left({\sqrt {1-\tau _{2}^{2}}}\right)}}} τ 1 = G p G s τ 2 = ω p ω s {\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{1}&={\sqrt {\frac {G_{p}}{G_{s}}}}\\\tau _{2}&={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\end{aligned}}}
Q = − | s p m | 2 R e ( s p m ) = − 1 2 cos ( arg ( s p m ) ) {\displaystyle Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}} これは、極がゲイン関数に与える影響の尺度です。楕円フィルタの場合、与えられた次数において、リップル係数と選択係数の間に、伝達関数内のすべての極のQ値を同時に最小化する関係が存在します。
ϵ Q m i n = 1 L n ( ξ ) {\displaystyle \epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi )}}}} この結果、部品の変動に対する不感性が最大限に高まるフィルタが得られますが、通過帯域と阻止帯域のリップルを個別に指定する機能は失われます。このようなフィルタでは、次数が増加するにつれて、両帯域のリップルが減少し、遮断率が増加します。フィルタ帯域で特定の最小リップルと特定の遮断率を達成するために最小 Q 楕円フィルタを使用する場合は、必要な次数は一般に、最小 Q 制限がない場合に必要な次数よりも大きくなります。ゲインの絶対値の図は、極が楕円ではなく円内に配置されていることを除けば、前のセクションの図と非常によく似ています。極は等間隔ではなく、ω 軸上にゼロが存在します。これは、 極が等間隔の円内にゼロなしで配置されている Butterworth フィルタとは異なります。
他の線形フィルタとの比較 以下は、同じ数の係数で得られた他の一般的な種類のフィルターの横に楕円フィルターを示した画像です。
画像から明らかなように、楕円フィルターは他のすべてのフィルターよりもシャープですが、帯域幅全体にリップルが現れます。
チェビシェフ伝達零点からの構築 楕円フィルタの阻止帯域は、本質的には 透過零点を持つチェビシェフフィルタ であり、透過 零点は 等リップル阻止帯域を形成するように配置されている。これを踏まえると、 分子にチェビシェフ反射零点を含み、分母に透過零点を含まないチェビシェフフィルタの特性方程式を、 分子に楕円反射零点を含み、分母に楕円透過零点を含む楕円フィルタに変換することが可能である。これは、チェビシェフ反射零点のスケール逆数から透過零点を反復的に作成し、次に透過零点から等リップルチェビシェフ通過帯域を再構築し、反復によって に対する有意な変化が生じなくなるまで繰り返すことによって行われる 。 [3] 使用されるスケーリング係数 は、 阻止帯域と通過帯域のカットオフ周波数の比であり、「選択係数」の逆数としても知られている。 [1] 楕円設計は一般に阻止帯域減衰要件から指定されるため 、上記の最小次数nを確立する式から導くことができる。 K ( s ) {\displaystyle K(s)} K ( s ) {\displaystyle K(s)} K ( s ) {\displaystyle K(s)} Ω c {\displaystyle \Omega _{c}} Ω c {\displaystyle \Omega _{c}}
比 は、上記の 最小位数 n の問題を n から逆に解くことで求めることができる 。 [1] ω s / ω p {\displaystyle \omega _{s}/\omega _{p}} Ω c {\displaystyle \Omega _{c}} Ω c {\displaystyle \Omega _{c}}
n = number of poles (order of the filter) q = ( 16 D ) ( − 1 / n ) 0 = − q + u + 2 u 5 + 15 u 9 + 150 u 13 u = real root of above equation k = the selectivity factor = 1 − ( 1 − 2 u 1 + 2 u ) 4 Ω c = ω s ω p = 1 k = 1 1 − ( 1 − 2 u 1 + 2 u ) 4 {\displaystyle {\begin{aligned}n&={\text{ number of poles (order of the filter)}}\\q&=(16D)^{(-1/n)}\\0&=-q+u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\u&={\text{ real root of above equation}}\\k&={\text{ the selectivity factor }}={\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}\\\Omega _{c}&={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}={\frac {1}{k}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}}\\\end{aligned}}}
と減衰要件から計算される 特性多項式は、 古典的な変換によって 伝達関数多項式に変換することができます。 ここで 、と は 通過帯域リップルです。 [3] [4] K ( s ) {\displaystyle K(s)} Ω c {\displaystyle \Omega _{c}} G ( s ) {\displaystyle G(s)} G ( s ) = 1 / ( 1 + ε 2 K ( s ) K ( − s ) ) | LHP poles {\displaystyle G(s)={\sqrt {1/(1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s))}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}} ε 2 = 10 A p / 10. − 1. {\displaystyle \varepsilon ^{2}=10^{Ap/10.}-1.} A p {\displaystyle A_{p}}
簡単な例 0から1rad/秒までの通過帯域リップルが1dB、少なくとも1.25rad/秒から40dBまでの阻止帯域リップルを持つ楕円フィルタを設計して ください ∞ {\displaystyle \infty }
上記の計算をceil() 関数を適用する前の n の値に適用すると 、n は 4.83721900 となり、 ceil() 関数を適用することで次の整数 5 に切り上げられます。つまり、指定された設計要件を満たすには 5 極の楕円フィルタが必要であることを意味します。上記の計算を、 正確に 40 dB の減衰を持つ阻止帯域を設計するために必要な n に適用すると、 n は 1.2186824 となります。 Ω c {\displaystyle \Omega _{c}} Ω c {\displaystyle \Omega _{c}}
多項式スケール逆変換関数は、各根s を に 変換することによって実行できます。 これは、図に示すように、多項式を反転し、 でスケール変換することで簡単に実行できます 。 Ω c / s {\displaystyle \Omega _{c}/s} Ω c {\displaystyle \Omega _{c}}
a s n + b s n − 1 … c s 2 + d s 1 + e s 0 ⟹ ( e Ω c n ) s n + ( d Ω c n − 1 ) s n − 1 … ( c Ω c 2 ) s 2 + ( b Ω c 1 ) s 1 + ( a Ω c 0 ) s 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&as^{n}+bs^{n-1}\dots cs^{2}+ds^{1}+es^{0}\Longrightarrow ({\frac {e}{\Omega _{c}^{n}}})s^{n}+({\frac {d}{\Omega _{c}^{n-1}}})s^{n-1}\dots ({\frac {c}{\Omega _{c}^{2}}})s^{2}+({\frac {b}{\Omega _{c}^{1}}})s^{1}+({\frac {a}{\Omega _{c}^{0}}})s^{0}\\\end{aligned}}}
楕円の設計手順は次のようになります。 [3]
1 dB の通過帯域リップルを持つチェビシェフ フィルターを設計します。 反射ゼロをすべて反転して 透過ゼロを作成する Ω c {\displaystyle \Omega _{c}} チェビシェフ伝送零点 に概説されているプロセスを使用して、伝送零点から等リップル通過帯域を作成する。 通過帯域と阻止帯域の両方で顕著な変化がなくなるまで、手順2と3を繰り返します。通常、15～25回の反復で係数の差は1.e-15程度になります。 手順を説明するために、以下のK(s)方程式は標準的なチェビシェフK(s)から開始し、その後、プロセスを反復します。最初の3回の反復では目に見える違いが見られます。18回の反復に達すると、K(s)の差は無視できるようになります。K(s)係数の変化が設計精度要件を満たすほど十分に小さくなった時点で、反復を中止できます。以下のK(s)反復はすべて正規化されているため 、 となっていますが、必要に応じてこの手順を最後の反復まで延期できます。 | K ( j ) | = 1 {\displaystyle |K(j)|=1}
iteration 0: K ( s ) = 16 s 5 + 20 s 3 + 5 s 1 iteration 1: K ( s ) = 9.2965947 s 5 + 12.999133 s 3 + 4.0025668 s 0.14167325 s 4 + 0.84164496 s 2 + 1 iteration 2: K ( s ) = 8.6496472 s 5 + 12.270597 s 3 + 3.8746611 s 0.19518773 s 4 + 0.94147634 s 2 + 1 ⋮ iteration 17: K ( s ) = 8.550086786383502 s 5 + 12.157269873073034 s 3 + 3.854163602012615 s 0.2043607336740334 s 4 + 0.9573802183509494 s 2 + 1 iteration 18: K ( s ) = 8.550086786383422 s 5 + 12.157269873072942 s 3 + 3.854163602012599 s 0.2043607336740334 s 4 + 0.9573802183509494 s 2 + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{iteration 0: }}K(s)&={\frac {16s^{5}+20s^{3}+5s}{1}}\\{\text{iteration 1: }}K(s)&={\frac {9.2965947s^{5}+12.999133s^{3}+4.0025668s}{0.14167325s^{4}+0.84164496s^{2}+1}}\\{\text{iteration 2: }}K(s)&={\frac {8.6496472s^{5}+12.270597s^{3}+3.8746611s}{0.19518773s^{4}+0.94147634s^{2}+1}}\\&\vdots \\{\text{iteration 17: }}K(s)&={\frac {8.550086786383502s^{5}+12.157269873073034s^{3}+3.854163602012615s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\{\text{iteration 18: }}K(s)&={\frac {8.550086786383422s^{5}+12.157269873072942s^{3}+3.854163602012599s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\\end{aligned}}}
伝達関数を求めるには 、次のようにします。 [3] G ( s ) {\displaystyle G(s)}
ε 2 = 10 1 d B / 10. − 1. = .25892541 G ( s ) = G ( s ) G ( − s ) | LHP poles = 1 1 + ε 2 K ( s ) K ( − s ) | LHP poles = K ( s ) d e n K ( − s ) d e n K ( s ) d e n K ( − s ) d e n + ε 2 K ( s ) n u m K ( − s ) n u m | LHP poles = 0.20436073 s 4 + 0.95738022 s 2 + 1 − 18.928479 s 10 − 53.78661 s 8 − 54.942632 s 6 − 22.939175 s 4 − 1.931467 + 1 | LHP poles {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{{\sqrt {-18.928479s^{10}-53.78661s^{8}-54.942632s^{6}-22.939175s^{4}-1.931467+1}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}
左半平面からを求めるには、分子と分母を因数分解し 、求根アルゴリズム を用いて根を求めます 。分母の右半平面にあるすべての根と、分子の重複根の半分を破棄し、 残りの根で を再構築します。 [3] [4] 一般に、 では 1 に正規化します 。 G ( s ) {\displaystyle G(s)} G ( s ) {\displaystyle G(s)} | G ( s ) | {\displaystyle |G(s)|} s = 0 {\displaystyle s=0}
G ( s ) = 0.20436073 s 4 + 0.95738022 s 2 + 1 4.3506872 s 5 + 4.0174213 s 4 + 8.0362343 s 3 + 4.9129149 s 2 + 3.4288915 s + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{4.3506872s^{5}+4.0174213s^{4}+8.0362343s^{3}+4.9129149s^{2}+3.4288915s+1}}\\\end{aligned}}}
例が正しいことを確認するために、 通過帯域リップルが1 dB、カットオフ周波数が1 rad/sec、ストップバンド減衰が1.21868 rad/secから40 dBの場合のプロットを以下に示し ます 。 G ( s ) {\displaystyle G(s)} G ( s ) {\displaystyle G(s)} j ω {\displaystyle j\omega }
5極楕円シミュレーション
偶数次修正 受動素子（通常はインダクタ、コンデンサ、伝送線路）を用いて実装され、両側に等しい値の終端を持つ偶数次楕円フィルタは、結合コイルを使用せずに従来の楕円伝達関数で実装することはできません。これは望ましくない、あるいは実現不可能な場合があります。これは、偶数次チェビシェフ反射零点と 透過零点 を物理的に収容できないためです。これらの零点によって 散乱行列 S12値がS12値を超えること 、およびS12値が有限であることに つながります。通過帯域S12に対応するために終端の1つを増減させてフィルタを設計することが実現不可能な場合は、通過帯域と阻止帯域の等リップル応答を維持しながら、最低偶数次反射零点をに、 最高偶数次透過零点をに移動するように楕円伝達関数を変更する必要があります 。 [5] ω = 0 {\displaystyle \omega =0} ω = ∞ {\displaystyle \omega =\infty } ω = 0 {\displaystyle \omega =0} ω = ∞ {\displaystyle \omega =\infty }
必要な修正は、楕円伝達関数の各極と零点を、最も低い周波数の反射零点を零点に、最も高い周波数の透過零点を に 、そして残りの極と零点を等リプル通過帯域と阻止帯域を維持するために必要な値にマッピングすることです。最も低い周波数の反射零点は分子を因数分解することで見つけることができ 、最も高い周波数の透過零点は分母を因数分解することで見つけることができます 。 ∞ {\displaystyle \infty } K ( s ) {\displaystyle K(s)} K ( s ) {\displaystyle K(s)}
反射零点を変換する場合、次の式を のすべての極と零点に適用します 。 [5] 理論上は変換操作は または で実行できます が 、反射零点は から抽出する必要がある ため、 で変換操作を実行する方が通常は効率的です 。 K ( s ) {\displaystyle K(s)} K ( s ) {\displaystyle K(s)} G ( s ) {\displaystyle G(s)} K ( s ) {\displaystyle K(s)} K ( s ) {\displaystyle K(s)}
R i ′ = R i 2 + ω L O 2 1 − ω L O 2 {\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {R_{i}^{2}+\omega _{LO}^{2}}{1-\omega _{LO}^{2}}}}}
ここで、
R i {\displaystyle R_{i}} は元の楕円関数の零点または極です。
R i ′ {\displaystyle R_{i}'} は修正偶数次伝達関数のマッピングされた零点または極です
ω L O {\displaystyle \omega _{LO}} 通過帯域内の最も低い周波数の反射ゼロです。
の虚数部の符号は、 元の の符号によって決まります 。 R i ′ {\displaystyle R_{i}'} R i {\displaystyle R_{i}}
透過零点を変換する場合、次の式を のすべての極と零点に適用します 。 [5] 理論的には、変換操作は または のどちらでも実行できます が 、反射零点を から抽出する必要がある場合は 、 で変換操作を実行する方が効率的です 。 K ( s ) {\displaystyle K(s)} K ( s ) {\displaystyle K(s)} G ( s ) {\displaystyle G(s)} K ( s ) {\displaystyle K(s)} K ( s ) {\displaystyle K(s)}
R i ′ = ( ω H I 2 − 1 ) R i 2 ω H I 2 + R i 2 {\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {(\omega _{HI}^{2}-1)R_{i}^{2}}{\omega _{HI}^{2}+R_{i}^{2}}}}}
ここで、
R i {\displaystyle R_{i}} は元の楕円関数の零点または極です。
R i ′ {\displaystyle R_{i}'} は修正偶数次伝達関数のマッピングされた零点または極です
ω H I {\displaystyle \omega _{HI}} 通過帯域内の最も高い周波数の伝送ゼロです。
の虚数部の符号は 、元の の符号によって決まります 。 を操作する場合、 左半平面の要件を満たすために、 の実数部の符号は負でなければなりません。 R i ′ {\displaystyle R_{i}'} R i {\displaystyle R_{i}} G ( s ) {\displaystyle G(s)} R i ′ {\displaystyle R_{i}'}
すべてのアプリケーションにおいて、通過帯域と阻止帯域の両方の変換が必要であることに注意することが重要です。例えば、パッシブネットワークダイプレクサでは、偶数次の阻止帯域の変換のみが必要であり、通過帯域は変換せずに使用する方が効率的に動作します。 [5]
が完了すると、 における S12 の 散乱行列 値が 1および 0 である 等リプル伝達関数が作成されます 。これは、受動的な等終端ネットワークで実装できます。 G ( s ) {\displaystyle G(s)} ω = 0 {\displaystyle \omega =0} ω = ∞ {\displaystyle \omega =\infty }
下の図は、等リプル通過帯域と阻止帯域の 周波数応答を維持しながら、最低周波数反射ゼロを有限周波数から 0 に、最高周波数透過ゼロを に移動することにより、偶数次の均等終端受動ネットワーク をサポートするように変更された 8 次楕円フィルタを示しています 。 ∞ {\displaystyle \infty }
偶数次修正楕円の図 上記の楕円関数構築の段落における および 次数の計算は、修正されていない楕円関数のみを対象としています。偶数次数の変更は通過帯域または阻止帯域の減衰には影響しませんが、次数と計算には小さな誤差が生じることが予想されます 。 したがって、通過帯域および阻止帯域の減衰を維持したい場合は、すべての反復処理が完了した後に偶数次数の変更を適用することが重要です 。要件に基づいて偶数次数変更楕円関数を作成した場合 、実際の は 設計値よりもわずかに大きくなります 。同様に、次数 n の 計算では、実際に必要な次数よりも小さい値になる場合があります。 Ω c {\displaystyle \Omega _{c}} Ω c {\displaystyle \Omega _{c}} K ( s ) {\displaystyle K(s)} Ω c {\displaystyle \Omega _{c}} Ω c {\displaystyle \Omega _{c}} Ω c {\displaystyle \Omega _{c}}
砂時計の実装 砂時計フィルタは、反射零点が 1 rad/秒の3.01 dB正規化カットオフ減衰周波数の周りの 透過零点の逆数である特殊なフィルタであり、フィルタのすべての極が 単位円 上に存在する。 [6]楕円砂時計の実装は、通過帯域がより平坦である点で 逆チェビシェフ フィルタ よりも優れており、 グループ遅延 がカットオフ周波数でそれほど急峻ではない点 で従来の楕円フィルタよりも優れています。
7極砂時計型レシプロカルS11およびS12周波数応答
合成プロセス 砂時計フィルタを合成する最も簡単な方法は、指定された設計阻止帯域減衰量 As と、散乱パラメータ [7] を満たすロスレス 2ポートネットワーク 要件を満たす計算通過帯域減衰量を持つ楕円フィルタを設計することです 。 よく知られている振幅dBから算術変換と合わせて、 代数操作により、次の通過帯域減衰量の計算要件が得られます | S 11 | 2 + | S 12 | 2 = 1 {\displaystyle |S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1} ( S i j ) d B = 20 l o g 10 ( | S i j | a r i t h ) {\displaystyle (S_{ij})_{dB}=20log_{10}(|S_{ij}|_{arith})}
A p = − 10 log 10 ( 1. − 10 ( − A s / 10 ) ) {\displaystyle A_{p}=-10\log _{10}{(1.-10^{(-A_{s}/10)})}}
上記で定義したA p は 、まだ未知の3.01 dBのカットオフ周波数付近で、相互反射および透過零点を生成します。通過帯域周波数が1 rad/secの楕円フィルタを設計するには、3.01 dBの減衰周波数を決定し、その周波数を用いて楕円設計多項式を逆スケーリングする必要があります。その結果、正規化周波数1 rad/secで減衰量が3.01 dBとなる多項式が得られます。 ニュートン法、または 解探索アルゴリズム を用いて方程式を直接解くこと で、3.01 dBの減衰周波数を決定できます。
ニュートン法による周波数スケーリング が 砂時計伝達関数で3.01 dBの周波数を見つけ、が 3 dBの周波数を見つける場合、以下の手順で見つけることができます。 G ( s ) {\displaystyle G(s)} ω c {\displaystyle \omega _{c}} ω c {\displaystyle \omega _{c}}
がまだ利用できない 場合は、 を掛け て を取得します 。 G ( s ) G ( − s ) {\displaystyle G(s)G(-s)} G ( s ) {\displaystyle G(s)} G ( − s ) {\displaystyle G(-s)} G ( s ) G ( − s ) {\displaystyle G(s)G(-s)} が で割り切れる 場合 、 のすべての項を反転します 。つまり 、 、 、 などとなります。修正された関数は と呼ばれ 、この修正により、多項式とその導関数を評価する際に、複素数ではなく実数を使用できるようになります。 これで、複素数の代わりに実数が使用できるようになります。 s n {\displaystyle s^{n}} ( n + 2 ) {\displaystyle (n+2)} 4 {\displaystyle 4} s 2 {\displaystyle s^{2}} s 6 {\displaystyle s^{6}} s 10 {\displaystyle s^{10}} G 2 ( s ) G 2 ( − s ) {\displaystyle G_{2}(s)G_{2}(-s)} ω a {\displaystyle \omega _{a}} j ω a {\displaystyle j\omega _{a}} を用いて、 dB単位の所望の減衰量 を 二乗算術ゲイン値 に変換します 。例えば、3.010 dBは0.5に、1 dBは0.79432823に変換されます。 A d B {\displaystyle A_{dB}} B a r i t h 2 {\displaystyle B_{arith}^{2}} B a r i t h 2 = 10 A d B / 10 {\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}} 実数値 を用いてニュートン法で 修正 を計算します 。常に絶対値を取ります。 | G 2 ( s ) G 2 ( − s ) | {\displaystyle |G_{2}(s)G_{2}(-s)|} ω a {\displaystyle \omega _{a}} 実数値 に関して 修正された導関数を計算します 。導関数の絶対値は取らないでください。 G 2 ( ω a ) G 2 ( − ω a ) {\displaystyle G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})} ω a {\displaystyle \omega _{a}} 手順 1) から 4) が完了すると、ニュートン法を含む式は次のように表すことができます。
ω a = ω a − ( [ G 2 ( ω a ) G 2 ( − ω a ) | − B 2 ) / ( d [ G 2 ( ω a ) G 2 ( − ω a ) ] / d ω a ) {\displaystyle \omega _{a}=\omega _{a}-([G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})}
複雑な演算を必要とせず、実数値を用いて を計算でき ます。信頼性を高めるため、反復計算の初期段階で の動き が負にならないように制限する必要があります。収束が完了すると、 を に使用して、元の 伝達関数の分母 をスケーリングできます。修正された の減衰量 は、1 rad/sec でほぼ正確な目標値になります。適切に実行すれば、小次フィルタと非常に大次フィルタの両方において、広範囲にわたる目標減衰値を設定するのに数回の反復計算で済みます。 ω a {\displaystyle \omega _{a}} ω a {\displaystyle \omega _{a}} ω a {\displaystyle \omega _{a}} ω c {\displaystyle \omega _{c}} G ( s ) {\displaystyle G(s)} G ( s ) {\displaystyle G(s)}
根探索による周波数スケーリング には位相情報が含まれていない ため、伝達関数を直接因数分解しても有用な結果は得られません。しかし、伝達関数を で 乗じて の奇数乗をすべて消去することで修正できます 。これにより、 は すべての周波数において実数となり、その後、目的の注目度の2乗となる周波数を求めることができます。 | G ( j ω a ) | {\displaystyle |G(j\omega _{a})|} G ( − s ) {\displaystyle G(-s)} G ( j ω a ) {\displaystyle G(j\omega a)} G ( j ω a ) {\displaystyle G(j\omega a)}
がまだ利用できない 場合は、 を掛け て を取得します 。 G ( s ) G ( − s ) {\displaystyle G(s)G(-s)} G ( s ) {\displaystyle G(s)} G ( − s ) {\displaystyle G(-s)} G ( s ) G ( − s ) {\displaystyle G(s)G(-s)} を用いて、 dB単位の所望の減衰量 を 二乗算術ゲイン値 に変換します 。例えば、3.010 dBは0.5に、1 dBは0.79432823に変換されます。 A d B {\displaystyle A_{dB}} B a r i t h 2 {\displaystyle B_{arith}^{2}} B a r i t h 2 = 10 A d B / 10 {\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}} 求める P ( S ) = G n u m ( S ) G n u m ( − S ) − B a r i t h 2 G d e n ( S ) G d e n ( − S ) {\displaystyle P(S)=G_{num}(S)G_{num}(-S)-B_{arith}^{2}G_{den}(S)G_{den}(-S)} 根を求めるアルゴリズム を使ってP(S)の根を求めなさい 上記の根の集合から、すべての次数フィルタの正の虚数根と、偶数次フィルタの正の実数根を選択します 。 ω c {\displaystyle \omega _{c}}
伝達関数のスケーリング が決定された場合 、砂時計伝達関数多項式は次のようにスケーリングできます。 ω c {\displaystyle \omega _{c}}
G ( s ) orig = N n n s n n + ⋯ + N 2 s 2 + N 1 s + N 0 D n n s n d + ⋯ + D 2 s 2 + D 1 s + D 0 (original unscaled transfer function polynomials) G ( s ) scaled = N n n ( ω c s ) n n + ⋯ + N 2 ( ω c s ) 2 + N 1 ω c s + N 0 D n n ( ω c s ) n d + ⋯ + D 2 ( ω c s ) 2 + D 1 ω c s + D 0 ( 3.01 dB at 1 rad/sec scaled transfer function polynomials) ω c = | G ( s ) | 3.01 dB attenuation frequency n n , n d = order of numerator and denominator, respectively N , D = coefficients of numerator and denominator, respectively {\displaystyle {\begin{aligned}G(s)_{\text{orig}}&={\frac {N_{nn}s^{nn}+\dots +N_{2}s^{2}+N_{1}s+N_{0}}{D_{nn}s^{nd}+\dots +D_{2}s^{2}+D_{1}s+D_{0}}}{\text{ (original unscaled transfer function polynomials)}}\\G(s)_{\text{ scaled}}&={\frac {N_{nn}(\omega _{c}s)^{nn}+\dots +N_{2}(\omega _{c}s)^{2}+N_{1}\omega _{c}s+N_{0}}{D_{nn}(\omega _{c}s)^{nd}+\dots +D_{2}(\omega _{c}s)^{2}+D_{1}\omega _{c}s+D_{0}}}{\text{ (}}3.01{\text{ dB at 1 rad/sec scaled transfer function polynomials)}}\\\omega _{c}&=|G(s)|{\text{ 3.01 dB attenuation frequency }}\\nn,nd&={\text{ order of numerator and denominator, respectively}}\\N,D&={\text{ coefficients of numerator and denominator, respectively}}\\\end{aligned}}}
偶数次修正 偶数次砂時計フィルタは、他の楕円フィルタと同様に、等終端受動回路網に関して同じ制限があります。楕円フィルタの問題を解決するのと同じ偶数次修正が、砂時計フィルタの問題も解決します
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![{\displaystyle u={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-\left({\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\right)^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-\left({\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\right)^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e2030cb21e072db4b8b7a57b7959caa4b83bd6)
![{\displaystyle \omega_{a}=\omega_{a}-([G_{2}(\omega_{a})G_{2}(-\omega_{a})|-B^{2})/(d[G_{2}(\omega_{a})G_{2}(-\omega_{a})]/d\omega_{a})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c972378572335591a8f28cd442693bf39b271a)
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