単射オブジェクト

Mathematical object in category theory

数学、特に圏論の分野において、入射対象の概念^[1]は入射加群の概念の一般化である。この概念はコホモロジー、ホモトピー理論、そしてモデル圏の理論において重要である。双対概念は射影対象である。

意味

オブジェクトQが単射であるとは、単射f  : X → Yが与えられたとき、任意のg  : X → Q がYに拡張できる場合です。

カテゴリ内のオブジェクトが 単射であるとは、任意の単射と任意の射に対してに拡張する射、つまり となる射が存在するときを言う。^[2] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:X\to Q}$ ${\displaystyle h:Y\to Q}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h\circ f=g}$

つまり、すべての射影はすべての単射影を介して因数分解されます。 ${\displaystyle X\to Q}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$

上記の定義における射影は、およびによって一意に決定される必要はありません。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

局所的に小さなカテゴリでは、 hom 関数が 単射集合写像を持ち込むことを要求するのと同等です。 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(-,Q)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

アーベル圏では

単射性の概念は、アーベル圏に対して初めて定式化され、これは現在でもその主要な応用分野の一つです。 がアーベル圏であるとき、の対象Qが単射となるための必要十分条件は、そのホム関手Hom _C (–, Q ) が正確 となることです。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

が の正確なシーケンスで、 Qが単射である場合、シーケンスは を分割します。 ${\displaystyle 0\to Q\to U\to V\to 0}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

十分な単射と単射包

カテゴリには十分な単射があるとは、のあらゆるオブジェクトXに対して、 Xから単射オブジェクトへの 単射が存在する場合を言います。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

における単射gは、任意の射fに対して、 fが単射である 場合にのみ合成fgが単射となるとき、本質的な単射と呼ばれる。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$

g が領域Xと入射余域Gとの本質的単射であるとき、GはXの入射包と呼ばれる。このとき、この入射包は非標準同型を除いてXによって一意に決定される。 ^[2]

例

• アーベル群と群準同型の圏Abにおいて、入射的対象は必然的に可分群となる。選択公理を仮定すると、これらの概念は同値である。
• （左）加群と加群準同型のカテゴリであるR - Modにおいて、入射オブジェクトは入射加群である。R - Modは入射包を持つ（結果として、R - Modには十分な数の入射項を持つ）。
• 距離空間Metのカテゴリでは、入射オブジェクトは入射距離空間であり、距離空間の入射包はそのタイトスパンです。
• T ₀空間と連続写像のカテゴリでは、入射オブジェクトは常に連続格子上のスコット位相であり、したがって常に冷静かつ局所的にコンパクトです。

用途

アーベル圏に十分な単射があれば、単射的解決を形成することができる。つまり、与えられたオブジェクトXに対して、長い完全列を形成することができる。

${\displaystyle 0\to X\to Q^{0}\to Q^{1}\to Q^{2}\to \cdots }$

そして、与えられた関数Fの導来関数は、この列にFを適用し、結果として得られる（必ずしも正確ではない）列のホモロジーを計算することで定義できます。このアプローチは、 Ext 関数、Tor関数、および群論、代数位相幾何学、代数幾何学における様々なコホモロジー理論の定義に用いられます。ここで用いられるカテゴリは、典型的には関数カテゴリ、あるいはある環空間( X , O _X )上のO _X加群の層のカテゴリ、あるいはより一般的には任意のグロタンディークカテゴリです。

一般化

オブジェクトQがH単射であるとは、Hにh  : A → Bがある場合、任意のf  : A → Qがhを介して因数分解される場合です。

をカテゴリとし、をの射のクラスとします。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

のオブジェクトは、 のすべての射と のすべての射に対してを持つ射が存在するとき、 -単射であるといわれます。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle f:A\to Q}$ ${\displaystyle h:A\to B}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle g:B\to Q}$ ${\displaystyle g\circ h=f}$

が単射のクラスである場合、上で扱った入射オブジェクトに戻ります。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

カテゴリには十分な-単射があるとは、のあらゆるオブジェクトXに対して、 Xから-単射オブジェクトへの-射が存在する場合を指します。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

における-射gが-本質的であるとは、任意の射fに対して、合成射fgが に含まれるのは、 fが に含まれる場合のみである、ということを意味します。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

gが領域Xと-入射余域Gを持つ -本質的射である場合、GはXの-入射包と呼ばれる。^[2] ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

例H-単射オブジェクト

• 単体集合のカテゴリでは、アノダイン拡張のクラスに関する入射オブジェクトはカン複体です。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• 半順序集合と単調写像のカテゴリでは、完全格子は順序埋め込みのクラスの入射オブジェクトを形成し、半順序集合のデデキント・マクニール完備化はその-入射包です。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

参照

• 射影オブジェクト

注記

1. 「入射オブジェクト - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2025年7月28日閲覧。
2. Adamek, Jiri; Herrlich, Horst; Strecker, George (1990). 「第9節 入射的オブジェクトと本質的埋め込み」. 抽象範疇と具象範疇：猫の喜び(PDF) . 『範疇の理論と応用』第17号 (2006年) pp. 1-507の再録. 原著. John Wiley. pp.  147– 155.

参考文献

• イリ・アダメク、ホルスト・ヘルリッヒ、ジョージ・シュトレッカー著『抽象圏と具象圏：猫の喜び』第9章「単射的対象と本質的埋め込み」『カテゴリーの復刻と応用』第17号（2006年）pp. 1-507、Wiley（1990年）に再掲載。
• J. ロシツキー、単射性とアクセス可能なカテゴリー
• F. Cagliari と S. Montovani、「T ₀反射とファイバー空間の入射包」

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