エピグラフ（数学）

Region above a graph

関数のエピグラフ

関数（黒）が凸関数であるための必要十分条件は、そのグラフ（緑）の上側の領域が凸集合となることである。この領域は関数のエピグラフである。

数学において、拡張実数で評価される関数のエピグラフまたはスーパーグラフ^[1]は、関数のグラフ上またはその上にある直積のすべての点からなる集合です。^[2] 同様に、厳密なエピグラフは、そのグラフの厳密な上にある内の点の集合です。 ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ $${\displaystyle \operatorname {epi} f=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}}$$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {epi} _{S}f}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

重要なのは、グラフとは異なり、エピグラフは常に内の点のみで構成されることです（これは が実数値の場合のみグラフに当てはまります）。関数がを値として取る場合、 はエピグラフのサブセットにはなりません。 例えば、の場合、点はに属しますが、 には属しません 。それでもなお、グラフは常にエピグラフから再構築でき、またその逆も可能であるため、これら2つの集合は密接に関連しています。 ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f.}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=\infty }$ ${\displaystyle \left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)=\left(x_{0},\infty \right)}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f.}$

実解析における連続 実数値関数の研究は、伝統的に、これらの関数についての幾何学的情報（および直感）を提供する集合であるグラフの研究と密接に関連している。 ^{[2]エピグラフは、}凸解析と変分解析の分野でも同じ目的を果たし、主にベクトル空間で値がとられる連続関数（またはなど）ではなく、で値がとられる凸関数に焦点が当てられている。^[2]これは、一般に、このような関数の場合、幾何学的直感は関数のグラフよりもエピグラフからの方が容易に得られるためである。^[2]実解析でグラフが使用されるのと同様に、エピグラフは、凸関数の特性の幾何学的解釈を与えたり、仮説を定式化または証明したり、反例を構築したりするためによく使用される。 ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

意味

エピグラフの定義は関数のグラフの定義から着想を得たもので、のグラフは集合として定義される ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle \operatorname {graph} f:=\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\}.}$$

その碑文または拡張実数で評価される関数の スーパーグラフは 、最後の行で結合されるすべての集合が互いに素である集合^[2] ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} f&=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}\\&=\left[f^{-1}(-\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}(\{x\}\times [f(x),\infty ))\end{alignedat}}}$$

最後の行の右側に現れる の和集合は、その「真上」にあるすべての点と、その「真上」にあるすべての点からなる「垂直な直線」であると解釈できる。同様に、関数のグラフ上またはグラフ下の点の集合は、その関数のグラフ上またはグラフ下の点の集合である。 ${\displaystyle x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \{x\}\times [f(x),\infty )}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$地質図。

その厳密なエピグラフはグラフが削除されたエピグラフです。最後の行で結合されるすべてのセットはペアごとに素であり、いくつかは空である可能性があります。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} _{S}f&=\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r>f(x)\}\\&=\operatorname {epi} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}\left(\{x\}\times (f(x),\infty )\right)\end{alignedat}}}$$

他のセットとの関係

はの一方（または両方）を値として取る可能性がある（その場合、そのグラフはのサブセットではない）という事実にもかかわらず、 のエピグラフはのサブセットではなくのサブセットとして定義されます。これは意図的なものです。 がベクトル空間である場合、 も ですが、は決してベクトル空間ではないためです^[2]（拡張された実数直線はベクトル空間ではないため）。 のこの欠陥は、がベクトル空間ではなく、あるベクトル空間の空でないサブセットにすぎない場合でも残ります。 エピグラフがベクトル空間のサブセットであることにより、実解析や関数解析（およびその他の分野）に関連するツールをより簡単に適用できるようになります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ].}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle X}$

この定義では関数の定義域（共変域ではなく）は特に重要ではありません。定義域は任意の線形空間^[1]や、の代わりに任意の集合^[3]でも構いません。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

厳密なエピグラフとグラフは常に互いに素です。 ${\displaystyle \operatorname {epi} _{S}f}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$

関数のエピグラフは、そのグラフおよび厳密なエピグラフと、 によって関連付けられます。 ここで、集合の等式は、が実数値である 場合に限り成立します。ただし、 は常に成立します。 ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ $${\displaystyle \,\operatorname {epi} f\,\subseteq \,\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {epi} f=\left[\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f\right]\,\cap \,[X\times \mathbb {R} ]}$$

エピグラフから関数を再構築する

関数が無限大と完全に等しい場合のみ、 エピグラフは空になります。

任意の関数がそのグラフから再構成できるのと同様に、任意の拡張実数値関数もそのエピグラフから再構成できます（たとえが を値として取る場合でも）。 の値はと を通る「垂直線」の交点から次のように再構成できます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$

• ケース1:場合のみ ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )=\varnothing }$ ${\displaystyle f(x)=\infty ,}$
• ケース2:場合のみ ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )=\{x\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=-\infty ,}$
• ケース 3: それ以外の場合、 は、区間の最小値を取ることによって の値を取得できる形式である必要があります。 ${\displaystyle E\cap (\{x\}\times \mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \{x\}\times [f(x),\infty ),}$ ${\displaystyle f(x)}$

上記の観察を組み合わせると、 に関して単一の式が得られます。具体的に は、任意の に対して、定義により、この同じ式は、その厳密なエピグラフから 再構築するためにも使用できます。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} f.}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle f(x)=\inf _{}\{r\in \mathbb {R} ~:~(x,r)\in E\}}$$ ${\displaystyle \inf _{}\varnothing :=\infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E:=\operatorname {epi} _{S}f.}$

関数の特性とそのエピグラフの関係

関数が凸関数であるためには、そのエピグラフが凸集合となる必要がある。実アフィン関数 のエピグラフは、 ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$

関数が下半連続となるのは、その関数のエピグラフが閉じている場合に限ります。

参照

• 有効ドメイン
• ハイポグラフ（数学）  – グラフの下の領域
• 適切な凸関数

引用

1. Pekka Neittaanmäki; Sergey R. Repin (2004). コンピュータシミュレーションのための信頼性の高い手法：誤差制御と事後推定. Elsevier. p. 81. ISBN 978-0-08-054050-4。
2. Rockafellar & Wets 2009、1–37ページ。
3. Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2007). 『無限次元解析：ヒッチハイク・ガイド』（第3版）. Springer Science & Business Media. p. 8. ISBN 978-3-540-32696-0。

参考文献

• R・ティレル・ロッカフェラー;ウェッツ、ロジャー J.-B. (2009 年 6 月 26 日)。変分分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 317. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 9783642024313. OCLC  883392544。
• ロッカフェラー、ラルフ・ティレル（1996年）、凸解析、プリンストン大学出版、プリンストン、ニュージャージー州。ISBN 0-691-01586-4。

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