脱出速度

天体力学において、脱出速度または脱出速度とは、物体が主天体との接触または主天体の周回軌道から脱出するために必要な最小速度であり、次の条件を仮定します。

弾道軌道-推進力や摩擦力など、物体に作用する他の力はない
他に重力を生み出す物体は存在しません。

脱出速度という用語がよく使われますが、方向に依存しないため、速度というよりも速度と呼ぶ方が正確です。2つの物体間の重力はそれらの質量の合計に依存するため、脱出速度も質量に依存します。人工衛星や小さな自然物体の場合、物体の質量は質量の合計にほとんど影響を与えないため、しばしば無視されます。

脱出速度は主天体の中心からの距離によって変化し、主天体の重力の影響下を移動する物体の速度も変化します。物体が円軌道または楕円軌道上にある場合、その速度は常に現在の距離における脱出速度よりも遅くなります。対照的に、双曲線軌道上にある場合、その速度は常に現在の距離における脱出速度よりも速くなります。（物体は距離が離れるにつれて速度が低下しますが、漸近的に正の速度に近づきます。）放物線軌道上の物体は、常に現在の距離における脱出速度とまったく同じ速度で移動します。物体は正確に釣り合った正の運動エネルギーと負の重力位置エネルギーを持ちます。^[a]物体は常に速度が低下し、漸近的にゼロ速度に近づきますが、完全に停止することはありません。^[1]

脱出速度の計算は、通常、物体が特定の天体の重力圏内に留まるかどうかを判断するために使用されます。例えば、太陽系探査では、探査機が地球を周回し続けるか、それとも太陽中心軌道に脱出するかを知ることが有用です。また、探査機が目的の天体の重力に捕らわれるためにどれだけ減速する必要があるかを知ることも有用です。ロケットは一度の操作で脱出速度に達する必要はなく、物体は重力アシストを利用して大きな天体から運動エネルギーを吸い上げることもできます。

正確な軌道計算には、大気抵抗、放射圧、太陽風といった小さな力を考慮する必要があります。連続的または断続的な推力を受けているロケット（あるいは宇宙エレベーターを登る物体）は、ゼロ以外の速度で脱出を達成できますが、そのために必要な最小エネルギー量は常に同じです。

計算

質量Mの球対称な主天体（恒星や惑星など）の中心から距離dにおける脱出速度は、式^[2]^{[3]で与えられる。}

v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}={\sqrt {2gd\ }}

どこ：

Gは万有引力定数（G ≈6.67 × 10 ⁻¹¹ m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² ‍ [^4] )
g = GM / d ²は局所的な重力加速度（またはd = rのときは表面重力）です。

GM の値は標準重力パラメータ、またはμと呼ばれ、GまたはM を個別に知るよりも正確に知られていることがよくあります。

脱出速度v _eよりも大きな初期速度Vが与えられた場合、物体は漸近的に双曲過剰速度v _∞に近づき、次の式を満たす：^[5]

{v_{\infty }}^{2}=V^{2}-{v_{\text{e}}}^{2}.

例えば、標準重力の定義値が9.80665 m/s ² (32.1740 ft/s ² )の場合、^[6]地球からの脱出速度は11.186 km/s (40,270 km/h; 25,020 mph; 36,700 ft/s)となる。^[7]

必要なエネルギー

質量のある物体の場合、天体の重力場から脱出するために必要なエネルギーはGMm / rで、物体の質量の関数です（rは惑星の半径で、地球の場合は6,371キロメートル（3,959マイル）、Gは重力定数、Mは惑星の質量で、地球の場合はM = 5.9736 × 10 ²⁴ kgです）。関連する量として比軌道エネルギーがあり、これは基本的に運動エネルギーと位置エネルギーの合計を質量で割った値です。比軌道エネルギーがゼロ以上のとき、物体は脱出速度に達しています。 $m$

エネルギー保存則

脱出速度の存在は、エネルギー保存則と有限の深さを持つエネルギー場の帰結と考えることができます。与えられた全エネルギーを持ち、保存力（例えば静重力場）に従って運動する物体は、その全エネルギーを持つ位置と速度の組み合わせにしか到達できません。これよりも高い位置エネルギーを持つ場所には全く到達できません。物体に速度（運動エネルギー）を加えると、到達可能な場所の領域が拡大し、十分なエネルギーがあれば、無限遠に至るあらゆる場所に到達できるようになります。

脱出速度の式はエネルギー保存則から導くことができる。簡単のため、特に断りのない限り、物体は均一な球状の惑星の重力場から遠ざかることで脱出し、移動する物体に作用する唯一の重要な力は惑星の重力であると仮定する。質量mの宇宙船が、質量Mの惑星の重心から距離rのところにあり、初期速度が脱出速度v _eに等しいとしよう。最終状態では、宇宙船は惑星から無限遠方に位置し、速度は無視できるほど小さい。ここで扱うエネルギーの種類は運動エネルギーKと重力による位置エネルギーU _gのみである（大気の抗力は無視する）。したがって、エネルギー保存則により、

(K+U_{\text{g}})_{\text{initial}}=(K+U_{\text{g}})_{\text{final}}

最終速度は任意に小さいのでK _final = 0と設定でき、最終重力ポテンシャルエネルギーは惑星から遠く離れたところではゼロと定義されているのでU _g _{final = 0と設定できる。}

{\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}m{v_{\text{e}}}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\[3pt]\Rightarrow {}&v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}\end{aligned}}

相対論的

相対論的計算でも同じ結果が得られ、その場合、変数rはシュワルツシルト計量の半径座標または縮約円周を表します。^[9]^[10]

シナリオ

体の表面から

物体の表面で特に役立つ脱出速度v _{eの別の表現は次のとおりです。}

v_{\text{e}}={\sqrt {2gr}}

ここでrは物体の中心と脱出速度を計算している点との間の距離であり、 gはその距離における重力加速度（すなわち表面重力）である。^[11]

質量が球対称に分布している物体の場合、表面からの脱出速度v _{e は、密度が一定であると仮定すると半径に比例し、平均密度}ρの平方根に比例します。

v_{\text{e}}=Kr{\sqrt {\rho }}

どこ。 ${\textstyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\approx \mathrm {2.364\times 10^{-5}~m^{1.5}{\cdot }kg^{-0.5}{\cdot }s^{-1}} }$

この脱出速度は、以下で説明するように、惑星または月の移動表面に対するものではなく、回転しない参照フレームに対するものです。

回転体から

回転体の表面に対する脱出速度は、脱出する物体が移動する方向によって決まる。例えば、地球の自転速度は赤道で465m/sであるため、地球の赤道から東の接線方向に打ち上げられたロケットが脱出するには、打ち上げ地点の移動表面に対して約10.735km/sの初速度が必要となる。一方、地球の赤道から西の接線方向に打ち上げられたロケットは、その移動表面に対して約11.665km/sの初速度が必要となる。表面速度は地理的な緯度の余弦に比例して減少するため、宇宙打ち上げ施設は、アメリカのケープカナベラル（北緯28度28分）やフランス領ギアナ宇宙センター（北緯5度14分）のように、可能な限り赤道に近い場所に設置されることが多い。

実用的な考慮事項

ほとんどの場合、脱出速度にほぼ瞬時に到達することは非現実的である。これは、加速を伴うことと、大気がある場合には極超音速（地球上では 11.2 km/s、または 40,320 km/h）のため、ほとんどの物体は空力加熱によって燃え尽きるか、大気の抵抗によってバラバラになってしまうからである。実際の脱出軌道では、宇宙船は大気圏から着実に加速し、高度に応じた脱出速度（地表上の速度よりも低くなる）に達するまで続ける。多くの場合、宇宙船はまず駐機軌道（例えば160～2,000 km の低地球軌道）に配置され、その後その高度での脱出速度まで加速される。この速度は若干低くなる（200 km の低地球軌道で約 11.0 km/s）。しかし、宇宙船はすでにかなりの軌道速度を持っているため（低地球軌道では速度は約 7.8 km/s、または 28,080 km/h）、必要な追加の速度変更ははるかに少なくなります。

軌道上の天体から

特定の高度における脱出速度は、同じ高度における円軌道上の速度の倍数である（円軌道上の速度方程式と比較のこと）。これは、そのような軌道上の物体の無限遠に対する位置エネルギーがその運動エネルギーのマイナス2倍であるという事実に対応する。一方、脱出するには位置エネルギーと運動エネルギーの合計が少なくともゼロである必要がある。円軌道に対応する速度は第一宇宙速度と呼ばれることもあるが、この文脈では脱出速度は第二宇宙速度と呼ばれる。^[12]^[13]^[14] ${\sqrt {2}}$

楕円軌道上の物体が脱出軌道への加速を望む場合、必要な速度は変化し、物体が中心天体に最も近づく近点において最大となる。しかし、この時点で物体の軌道速度も最高となり、必要な速度変化は最小となる。これはオーベルト効果によって説明される。

重心脱出速度

脱出速度は、中心となる他の天体に対する相対速度、または天体系の質量中心もしくは重心に対する相対速度として測定できます。したがって、2天体系の場合、「脱出速度」という用語は曖昧になることがあります。しかし、通常は質量の小さい方の天体の重心脱出速度を指します。脱出速度は通常、質量ゼロの試験粒子の脱出速度を指します。質量ゼロの試験粒子の場合、「他の天体に対する相対速度」と「重心脱出速度」は同じ、つまりとなります。 $v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}$

しかし、より小さな質量 ( mとします) を無視できない場合は、若干異なる式になります。

系は運動量保存の法則に従わなければならないため、大きい方の質量と小さい方の質量の両方が重力場において加速されることがわかります。質量中心に対する大きい方の質量の速度（惑星の場合v _{p ）は、小さい方の質量の速度（ロケットの場合}v _r ）で表すことができます。つまり、となります。 $v_{p}=-{\frac {m}{M}}v_{r}$

「重心」脱出速度はとなり、「他方に対する相対的」脱出速度はとなります。 $v_{r}={\sqrt {\frac {2GM^{2}}{d(M+m)}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}$ $v_{r}-v_{p}={\sqrt {\frac {2G(m+M)}{d}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}$

低速度軌道の高さ

物体と物体の間の重力以外のすべての要因を無視すると、脱出速度v _eと半径Rを持つ球体の表面から速度vで垂直に投影された物体は、次の式を満たす最大高さhに達する^[15]。

v=v_{\text{e}}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,

これをhについて解くと、

h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,

ここで、x = v / v _eは元の速度vと脱出速度v _eの比です。

脱出速度とは異なり、最大高度を達成するには方向（垂直上）が重要です。

軌道

物体がちょうど脱出速度に達したが、惑星から一直線に離れない場合、その物体は曲線の経路または軌道をたどります。この軌道は閉じた形状を形成しませんが、軌道と呼ぶことができます。重力がシステムで唯一の重要な力であると仮定すると、軌道上のどの点でもこの物体の速度は、エネルギー保存則によりその点における脱出速度に等しくなり、その全エネルギーは常に 0 でなければならないため、常に脱出速度があることになります (上記の導出を参照)。軌道の形状は、焦点が惑星の質量中心にある放物線になります。実際の脱出には、惑星やその大気と交差しない軌道のコースが必要です。交差すると物体が衝突してしまうからです。発生源から離れるとき、この経路は脱出軌道と呼ばれます。脱出軌道はC ₃ = 0軌道として知られています。C _3は特性エネルギー、− GM /2 aであり、ここでaは半長軸の長さであり、放物線軌道の場合は無限大である。

物体の速度が脱出速度よりも大きい場合、その軌道は双曲線軌道を形成し、物体が持つ余剰エネルギーに相当する超過双曲線速度を持つことになります。脱出速度まで加速するために必要な速度に比較的小さな超過デルタvを加えることで、無限遠点における速度は比較的大きくなります。いくつかの軌道制御はこの事実を利用しています。例えば、脱出速度が11.2 km/sの場所では、0.4 km/sを加えることで3.02 km/sの超過双曲線速度が得られます。

v_{\infty }={\sqrt {V^{2}-{v_{\text{e}}}^{2}}}={\sqrt {(11.6{\text{ km/s}})^{2}-(11.2{\text{ km/s}})^{2}}}\approx 3.02{\text{ km/s}}.

円軌道（または楕円軌道の近点）にある物体が移動方向に沿って脱出速度まで加速すると、加速点が脱出軌道の近点となります。最終的な移動方向は、加速点の方向に対して90度の角度になります。物体が脱出速度を超えて加速すると、最終的な移動方向はより小さな角度になり、現在描いている双曲線軌道の漸近線のいずれかで示されます。つまり、特定の方向への脱出を意図している場合、加速のタイミングが非常に重要です。

近点速度が $v$ の場合、軌道の離心率は次のように表されます。

e=2(v/v_{\text{e}})^{2}-1

これは楕円軌道、放物線軌道、双曲軌道に当てはまります。軌道が双曲面または放物線軌道の場合、近点方向から漸近的に角度が近づき、 $\theta$

\sin \theta =1/e.

速度は漸近的に近づく

{\sqrt {v^{2}-{v_{\text{e}}}^{2}}}.

脱出速度のリスト

この表の左側は、可視表面（例えば木星のようにガス状の場合もある）からの脱出速度を、惑星または衛星の中心に対する相対速度（つまり、移動面に対する相対速度ではない）で示しています。右側のV _{e は}、中心天体（例えば太陽）に対する相対速度です。

位置	相対的に	V _e (km/s) ^[16]	位置	相対的に	V _e (km/s) ^[16]
太陽について	太陽の重力	617.5
水星について	水星の重力	4.25	水星で	太陽の重力	約67.7
金星について	金星の重力	10.36	金星で	太陽の重力	49.5
地球上	地球の重力	11.186	地球では	太陽の重力	42.1
月面で	月の重力	2.38	月で	地球の重力	1.4
火星で	火星の重力	5.03	火星で	太陽の重力	34.1
ケレスについて	ケレスの重力	0.51	セレスにて	太陽の重力	25.3
木星について	木星の重力	60.20	木星で	太陽の重力	18.5
イオで	イオの重力	2.558	イオにて	木星の重力	24.5
エウロパについて	エウロパの重力	2.025	エウロパにて	木星の重力	19.4
ガニメデについて	ガニメデの重力	2.741	ガニメデにて	木星の重力	15.4
カリストについて	カリストの重力	2.440	カリストにて	木星の重力	11.6
土星で	土星の重力	36.09	土星で	太陽の重力	13.6
タイタンにて	タイタンの重力	2.639	タイタンにて	土星の重力	7.8
天王星について	天王星の重力	21.38	天王星で	太陽の重力	9.6
海王星について	海王星の重力	23.56	ネプチューンにて	太陽の重力	7.7
トリトンにて	トリトンの重力	1.455	トリトンにて	海王星の重力	6.2
冥王星について	冥王星の重力	1.23	冥王星で	太陽の重力	約6.6
太陽から200 AU	太陽の重力	2.98 ^[17]
太陽から1774 AU	太陽の重力	1 ^[17]
太陽系銀河半径	天の川の重力	492–594 ^[18]^[19]
事象の地平線上で	ブラックホールの重力	>299,792.458 (光速)

最後の列は、軌道が正確に円形ではないため (特に水星と冥王星)、軌道上のどこで脱出速度に達するかによって正確に決まります。

微積分を用いた脱出速度の導出

Gを重力定数、Mを地球（または他の重力物体）の質量、 mを脱出する物体または発射体の質量とする。重力中心からrの距離にある物体は引力を感じる。

F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}.

したがって、この力に抗して物体を小さな距離drだけ移動させるのに必要な仕事は次のように表される。

dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.

物体を重力体の表面r _{0から無限遠まで移動させるのに必要な全仕事は}^[20]

W=\int _{r_{0}}^{\infty }G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=G{\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.

この仕事をして無限大に到達するためには、物体の出発時の最小運動エネルギーがこの仕事に一致する必要があるので、脱出速度v ₀は次式を満たす。

{\frac {1}{2}}m{v_{0}}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},

その結果

v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.

参照

ブラックホール– 光速を超える脱出速度を持つ物体
特性エネルギー（C ₃）
デルタv予算– 機動に必要な速度
重力アシスト- 軌道を変える技術
重力井戸
太陽中心軌道上の人工物体のリスト
太陽系を去った人工物のリスト
ニュートンの砲弾
オーベルト効果- 重力場の深部で推進剤を燃焼させると、運動エネルギーの変化がより大きくなる
二体問題

注記

^ 重力による位置エネルギーは無限距離ではゼロと定義されます。

参考文献

^ ジャンコリ、ダグラス・C. (2008). 『現代物理学を学べる科学者・エンジニアのための物理学』アディソン・ウェズレー. p. 199. ISBN 978-0-13-149508-1。
^ ジム・ブライトハウプト (2000). 『物理学入門上級編』（イラスト入り）ネルソン・ソーンズ. p. 231. ISBN 978-0-7487-4314-8。231ページの抜粋
^ キャサリン・ブランデル (2015). ブラックホール：超簡潔入門（イラスト入り）. オックスフォード大学出版局. p. 4. ISBN 978-0-19-960266-7。4ページの抜粋
^ 「2022 CODATA値：ニュートン重力定数」。定数、単位、不確かさに関するNISTリファレンス。NIST。2024年5月。 2024年5月18日閲覧。
^ ベイト, ロジャー・R.; ミューラー, ドナルド・D.; ホワイト, ジェリー・E. (1971). 『天体力学の基礎』（図解版）.クーリエ社. p. 39. ISBN 978-0-486-60061-1。
^ 国際経済局(1901)。「集団の統一とポイドの定義に関する相対的な宣言; 国際的な慣習に対する $宣言$ $」$ 。 Comptes Rendus des Séances de la Troisième Conférence · Générale des Poids et Mesures (フランス語)。パリ：ゴーティエ・ヴィラール。 p. 68. 980,665 cm/sec² の標準的な評価を取得するための国際サービスの採用権、立法上の認可権はありません。大衆統一とポイドの定義に関する相対的な宣言。価値あるコンベンション $ネルの$ $設計$ 。
^ ライ、シュウ・T. (2011). 宇宙船の帯電の基礎：宇宙船と宇宙プラズマの相互作用.プリンストン大学出版局. p. 240. ISBN 978-1-4008-3909-4。
^ “NASA – NSSDC – Spacecraft – Details”. 2019年6月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年8月21日閲覧。
^ テイラー, エドウィン・F.; ウィーラー, ジョン・アーチボルド; ベルトシンガー, エドマンド (2010). 『ブラックホールの探究：一般相対性理論入門』（改訂第2版）. アディソン・ウェスレー. pp. 2– 22. ISBN 978-0-321-51286-4。サンプル章、ページ2-22 2017年7月21日アーカイブ、Wayback Machine
^ ショケ＝ブリュア, イヴォンヌ (2015). 一般相対性理論、ブラックホール、宇宙論入門（イラスト入り）.オックスフォード大学出版局. pp. 116– 117. ISBN 978-0-19-966646-1。
^ ベイト、ミューラー、ホワイト、35ページ
^ Teodorescu, PP (2007). 機械システム、古典モデル. Springer, Japan. p. 580. ISBN 978-1-4020-5441-9。、セクション2.2.2、p.580
^ SJ Bauer (2012). 惑星電離層の物理学（イラスト入り）. Springer Science & Business Media. p. 28. ISBN 978-3-642-65555-5。28ページの抜粋
^ 森田修 (2022). 地球流体力学における古典力学（第2版、イラスト入り）. CRC Press. p. 195. ISBN 978-1-000-80250-4。195ページの抜粋
^ Bajaj, NK (2015). Complete Physics: JEE Main. McGraw-Hill Education . p. 6.12. ISBN 978-93-392-2032-7。例21、6.12ページ
^ ab 惑星について：「惑星と冥王星：物理的特性」NASA . 2017年1月18日閲覧。
^ ab 「ボイジャーズと太陽からの脱出」星間研究イニシアチブ、2015年2月25日。 2023年2月3日閲覧。
^ Smith, Martin C.; Ruchti, GR; Helmi, A.; Wyse, RFG (2007). 「RAVEサーベイ：局所銀河脱出速度の制約」. Proceedings of the International Astronomical Union . 2 (S235): 755– 772. arXiv : astro-ph/0611671 . Bibcode :2007IAUS..235..137S. doi :10.1017/S1743921306005692. S2CID 125255461.
^ Kafle, PR; Sharma, S.; Lewis, GF; Bland-Hawthorn, J. (2014). 「巨人の肩の上で：恒星ハローの特性と天の川銀河の質量分布」.アストロフィジカル・ジャーナル. 794 (1): 17. arXiv : 1408.1787 . Bibcode :2014ApJ...794...59K. doi :10.1088/0004-637X/794/1/59. S2CID 119040135.
^ マンカスター、ロジャー (1993). Aレベル物理学（イラスト入り）. ネルソン・ソーンズ. p. 103. ISBN 978-0-7487-1584-8。103ページの抜粋

外部リンク

脱出速度計算機
ウェブベースの数値脱出速度計算機

[1] 重力による位置エネルギーは無限距離ではゼロと定義されます。

[2] ジャンコリ、ダグラス・C. (2008). 『現代物理学を学べる科学者・エンジニアのための物理学』アディソン・ウェズレー. p. 199. ISBN 978-0-13-149508-1。

[3] ジム・ブライトハウプト (2000). 『物理学入門上級編』（イラスト入り）ネルソン・ソーンズ. p. 231. ISBN 978-0-7487-4314-8。231ページの抜粋

[4] キャサリン・ブランデル (2015). ブラックホール：超簡潔入門（イラスト入り）. オックスフォード大学出版局. p. 4. ISBN 978-0-19-960266-7。4ページの抜粋

[physconst-G-5] 「2022 CODATA値：ニュートン重力定数」。定数、単位、不確かさに関するNISTリファレンス。NIST。2024年5月。 2024年5月18日閲覧。

[6] ベイト, ロジャー・R.; ミューラー, ドナルド・D.; ホワイト, ジェリー・E. (1971). 『天体力学の基礎』（図解版）.クーリエ社. p. 39. ISBN 978-0-486-60061-1。

[7] 国際経済局(1901)。「集団の統一とポイドの定義に関する相対的な宣言; 国際的な慣習に対する $宣言$ $」$ 。 Comptes Rendus des Séances de la Troisième Conférence · Générale des Poids et Mesures (フランス語)。パリ：ゴーティエ・ヴィラール。 p. 68. 980,665 cm/sec² の標準的な評価を取得するための国際サービスの採用権、立法上の認可権はありません。大衆統一とポイドの定義に関する相対的な宣言。価値あるコンベンション $ネルの$ $設計$ 。

[8] ライ、シュウ・T. (2011). 宇宙船の帯電の基礎：宇宙船と宇宙プラズマの相互作用.プリンストン大学出版局. p. 240. ISBN 978-1-4008-3909-4。

[9] “NASA – NSSDC – Spacecraft – Details”. 2019年6月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年8月21日閲覧。

[10] テイラー, エドウィン・F.; ウィーラー, ジョン・アーチボルド; ベルトシンガー, エドマンド (2010). 『ブラックホールの探究：一般相対性理論入門』（改訂第2版）. アディソン・ウェスレー. pp. 2– 22. ISBN 978-0-321-51286-4。サンプル章、ページ2-22 2017年7月21日アーカイブ、Wayback Machine

[11] ショケ＝ブリュア, イヴォンヌ (2015). 一般相対性理論、ブラックホール、宇宙論入門（イラスト入り）.オックスフォード大学出版局. pp. 116– 117. ISBN 978-0-19-966646-1。

[12] ベイト、ミューラー、ホワイト、35ページ

[13] Teodorescu, PP (2007). 機械システム、古典モデル. Springer, Japan. p. 580. ISBN 978-1-4020-5441-9。、セクション2.2.2、p.580

[14] SJ Bauer (2012). 惑星電離層の物理学（イラスト入り）. Springer Science & Business Media. p. 28. ISBN 978-3-642-65555-5。28ページの抜粋

[15] 森田修 (2022). 地球流体力学における古典力学（第2版、イラスト入り）. CRC Press. p. 195. ISBN 978-1-000-80250-4。195ページの抜粋

[16] Bajaj, NK (2015). Complete Physics: JEE Main. McGraw-Hill Education . p. 6.12. ISBN 978-93-392-2032-7。例21、6.12ページ

[EscapeVelocityData-17] 惑星について：「惑星と冥王星：物理的特性」NASA . 2017年1月18日閲覧。

[i4is-18] 「ボイジャーズと太陽からの脱出」星間研究イニシアチブ、2015年2月25日。 2023年2月3日閲覧。

[19] Smith, Martin C.; Ruchti, GR; Helmi, A.; Wyse, RFG (2007). 「RAVEサーベイ：局所銀河脱出速度の制約」. Proceedings of the International Astronomical Union . 2 (S235): 755– 772. arXiv : astro-ph/0611671 . Bibcode :2007IAUS..235..137S. doi :10.1017/S1743921306005692. S2CID 125255461.

[Kafle2014-20] Kafle, PR; Sharma, S.; Lewis, GF; Bland-Hawthorn, J. (2014). 「巨人の肩の上で：恒星ハローの特性と天の川銀河の質量分布」.アストロフィジカル・ジャーナル. 794 (1): 17. arXiv : 1408.1787 . Bibcode :2014ApJ...794...59K. doi :10.1088/0004-637X/794/1/59. S2CID 119040135.

[21] マンカスター、ロジャー (1993). Aレベル物理学（イラスト入り）. ネルソン・ソーンズ. p. 103. ISBN 978-0-7487-1584-8。103ページの抜粋