偶関数と奇関数

Functions such that f(–x) equals f(x) or –f(x)

正弦関数とそのすべてのテイラー多項式は奇関数です。

余弦関数とそのすべてのテイラー多項式は偶関数です。

数学において、偶関数とは、その定義域の任意の に対してとなる実関数です。同様に、奇関数とは、その定義域の任意の に対してとなる関数です ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ ${\displaystyle x}$

これらは、各条件を満たすべき関数のべき乗の偶奇性にちなんで名付けられています。nが偶数の整数の場合、関数は偶関数であり、nが奇数の整数の場合、関数は奇関数です。 ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

偶関数とは、グラフがy軸に関して自己対称な実関数であり、奇関数とは、グラフが原点に関して自己対称な実関数です。

実関数の定義域が原点に関して自己対称である場合、関数は偶関数と奇関数の和として一意に分解できます。

初期の歴史

偶関数と奇関数の概念は18世紀初頭にまで遡り、レオンハルト・オイラーがその定式化に重要な役割を果たしました。オイラーは1727年の著書『Traiectoriarum Reciprocum Solutio』の中で、偶関数と奇関数（ラテン語のparesとimparesを使用）の概念を導入しました。しかし、オイラー以前に、アイザック・ニュートンは『プリンキピア』 （1687年）を執筆する際に、冪級数の係数を導く幾何学的手段をすでに開発しており、『曲線の求積法』の初期の草稿には代数的手法を含めていましたが、1706年の出版前に削除しました。ニュートンが偶奇分解を明示的に命名したり、焦点を当てたりしなかったことも注目に値します。彼の冪級数に関する研究は、偶数と奇数の冪に関連する性質の理解を伴っていたでしょう。

定義と例

偶関数と奇関数は、一般的に実関数、つまり実変数の実数値関数について考慮されます。しかし、定義域と余域の両方に加法逆関数の概念を持つ関数に対しては、これらの概念をより一般的に定義できます。これには、アーベル群、すべての環、すべての体、およびすべてのベクトル空間が含まれます。したがって、例えば、実関数は奇関数または偶関数（あるいはどちらでもない）である可能性があり、ベクトル変数の複素数値関数も同様です。

示されている例は、グラフの対称性を示すために実関数です。

偶関数

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$は偶関数の例です

実関数 fが偶関数であるとは、その定義域の任意のxに対して、− x もその定義域に存在し、^{[1] : p. 11}またはそれと同値であるとき です。 $${\displaystyle f(-x)=f(x)}$$ $${\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}$$

幾何学的には、偶関数のグラフはy軸に関して対称であり、 y軸を中心に反転した後もグラフは変化しません。

偶関数の例は以下のとおりです。

• 絶対値 ${\displaystyle x\mapsto |x|,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$任意の偶整数に対して ${\displaystyle n,}$
• 余弦 ${\displaystyle \cos ,}$
• 双曲線余弦 ${\displaystyle \cosh ,}$
• ガウス関数 ${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}).}$

奇関数

${\displaystyle f(x)=x^{3}}$は奇関数の例です。

実関数fが奇関数であるとは、その定義域の任意のxに対して、− x もその定義域に存在し、^{[1] : p. 72}またはそれと同値で あるときです。 $${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$$ $${\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}$$

幾何学的には、奇関数のグラフは原点に関して回転対称であり、原点を中心に180度回転した後もグラフは変化しません。

が奇関数の定義域にある場合、です。 ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

奇関数の例は以下のとおりです。

• 符号関数 ${\displaystyle x\mapsto \operatorname {sgn}(x),}$
• 恒等関数 ${\displaystyle x\mapsto x,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$任意の奇整数に対して ${\displaystyle n,}$
• ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$任意の奇数の正の整数に対して ${\displaystyle n,}$
• 正弦 ${\displaystyle \sin ,}$
• 双曲線正弦 ${\displaystyle \sinh ,}$
• 誤差関数 ${\displaystyle \operatorname {erf} .}$

${\displaystyle f(x)=x^{3}+1}$は偶関数でも奇関数でもありません。

基本的な性質

一意性

• 関数が偶関数かつ奇関数である場合、定義されているすべての場所で0になります。
• 関数が奇関数である場合、その関数の絶対値は偶関数です。

加算と減算

• 2つの偶関数の和は偶関数です。
• 2つの奇関数の和は奇関数です。
• 2つの奇関数の差は奇関数です。
• 偶関数と奇関数の和は、与えられた定義域でどちらかの関数が0にならない限り、偶関数でも奇関数でもありません。

乗算と除算

• 2つの偶関数の積と商は偶関数です。
  • これは、任意の数の偶関数の積も偶関数であることを意味します
  • これは、偶関数の逆数も偶関数であることを意味します。
• 2つの奇関数の積と商は偶関数です。
• 偶関数と奇関数の積と両方の商は奇関数です。
  • これは、奇関数の逆数が奇関数であることを意味します。

合成

• 2つの偶関数の合成は偶関数です。
• 偶関数と奇関数の合成は偶関数です。
• 任意の関数と偶関数の合成は偶関数です（逆は成り立ちません）。

逆関数

• 奇関数が逆関数である場合、その逆関数も奇関数です。

偶奇分解

実関数が原点に関して自己対称な定義域を持つ場合、関数は偶関数と奇関数の和として一意に分解できます。これらの関数はそれぞれ関数の偶数部（または偶数成分）と奇数部（または奇数成分）と呼ばれ、 およびによって定義されます。 $${\displaystyle f_{\text{even}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},}$$ $${\displaystyle f_{\text{odd}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.}$$

が偶数であること、が奇数であること、そしてであることは簡単に確認できます。 ${\displaystyle f_{\text{even}}}$ ${\displaystyle f_{\text{odd}}}$ ${\displaystyle f=f_{\text{even}}+f_{\text{odd}}.}$

この分解は、もし

${\displaystyle f(x)=g(x)+h(x),}$

ここでgが偶数でhが奇数である場合、そして ${\displaystyle g=f_{\text{even}}}$ ${\displaystyle h=f_{\text{odd}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2f_{\text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h(-x)=2g(x),\\2f_{\text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x)-h(-x)=2h(x).\end{aligned}}}$

、双曲線余弦と双曲線正弦は、指数関数の偶数部と奇数部と見なすことができます。最初の関数は偶関数、2番目の関数は奇関数であり、そして

${\displaystyle e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{even}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{odd}}(x)}}$。

フーリエの正弦変換と余弦変換も、関数の奇数部を正弦波（奇関数）で、関数の偶数部を余弦波（偶関数）で表すことによって、偶奇分解を行います。

その他の代数的性質

• 偶関数の任意の線形結合は偶関数であり、偶関数は実数上のベクトル空間を形成します。同様に、奇関数の任意の線形結合は奇関数であり、奇関数も実数上のベクトル空間を形成します。実際、すべての実関数のベクトル空間は、偶関数と奇関数の部分空間の直和です。これは、前のセクションの性質をより抽象的に表現したものです。
  • この性質、および上記の性質のいくつかにより、関数の空間は実数上の次数付き代数と見なすことができます。

• 偶関数は実数上の可換代数を形成します。しかし、奇関数は乗法に関して閉じていないため、実数上の代数を形成しません。

解析的性質

関数が奇数または偶数であることは、微分可能性や連続性を意味するものではありません。例えば、ディリクレ関数は偶関数ですが、どこでも連続ではありません

以下では、微分、フーリエ級数、テイラー級数に関する性質を考慮し、これらの概念は考慮する関数に対して定義されているものとします。

基本的な解析的性質

• 偶関数の微分は奇関数です。
• 奇関数の微分は偶関数です
• 奇関数が有界対称区間で積分可能な場合、その区間での積分は0です。つまり^[2]です。 ${\displaystyle [-A,A]}$

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0}$。

  • これは、実数直線全体にわたる奇関数のコーシー主値がゼロであることを意味します。
• 偶関数が有界対称区間 で積分可能な場合、その区間での積分は0からAまでの積分の2倍です。つまり^[3]です。 ${\displaystyle [-A,A]}$

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx}$。

  • この性質は、0からAまでの積分が収束する限り、 のときの仮積分にも当てはまります。 ${\displaystyle A=\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

級数

• 偶関数のマクローリン級数には、偶数べき乗のみが含まれます。
• 奇関数のマクローリン級数には、奇数べき乗のみが含まれます。
• 周期的偶関数のフーリエ級数には、余弦項のみが含まれます。
• 周期的奇関数のフーリエ級数には、正弦項のみが含まれます。
• 純実数値の偶関数のフーリエ変換は、実数かつ偶数です。（フーリエ解析 § 対称性の性質を参照）
• 純実数値の奇関数のフーリエ変換は、虚数かつ奇数です。（フーリエ解析 § 対称性を参照）

高調波

信号処理において、高調波歪みは、正弦波信号がメモリレス非線形システム、つまり時刻tにおける出力が時刻tにおける入力のみに依存し、それ以前の入力には依存しないシステムを通過するときに発生します。このようなシステムは応答関数によって記述されます。生成される高調波の種類は、応答関数fに依存します。^[4] ${\displaystyle V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))}$

• 応答関数が偶数の場合、結果として得られる信号は入力正弦波の偶数次高調波のみで構成されます。 ${\displaystyle 0f,2f,4f,6f,\dots }$
  • 基本波も奇数次高調波であるため、存在しません。
  • 簡単な例としては、全波整流器があります。
  • この成分は、偶数対称伝達関数の片側性によるDCオフセットを表します ${\displaystyle 0f}$
• 奇数の場合、結果として得られる信号は入力正弦波の奇数次高調波のみで構成されます。 ${\displaystyle 1f,3f,5f,\dots }$
  • 出力信号は半波対称になります。
  • 簡単な例としては、対称プッシュプル増幅器におけるクリッピングが挙げられます。
• 非対称の場合、結果として得られる信号には偶数次高調波または奇数次高調波のいずれかが含まれる可能性があります ${\displaystyle 1f,2f,3f,\dots }$
  • 簡単な例としては、半波整流器と非対称A級アンプにおけるクリッピングが挙げられます。

これは、より複雑な波形には当てはまりません。例えば、のこぎり波には偶数次と奇数次の高調波の両方が含まれています。偶数対称全波整流後、三角波になり、DCオフセットを除いて奇数次高調波のみが含まれます。

一般化

多変数関数

偶対称性：

関数が偶対称と呼ばれるのは、次の場合です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

奇対称性：

関数が奇対称と呼ばれるのは、次の場合です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

複素数値関数

実引数の複素数値関数の偶対称性と奇対称性の定義は、実数の場合と同様です。信号処理では、同様の対称性が考慮されることがあり、これには複素共役が含まれます。^{[5] [6]}

共役対称性：

実引数の複素数値関数が共役対称と呼ばれるのは、次の場合です ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

複素関数が共役対称関数である場合、かつその実部が偶関数で虚部が奇関数である場合に限ります。

共役対称関数の典型的な例はシス関数です。

${\displaystyle x\to e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

共役反対称性：

実引数の複素関数が共役反対称関数と呼ばれるのは、以下の場合です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

複素関数が共役反対称関数である場合、かつその実部が奇関数で虚部が偶関数である場合に限ります。

有限長数列

奇対称性と偶対称性の定義は、次のようにN点数列（つまり、 の形の関数）に拡張されます。 ^{[6] : p. 411} ${\displaystyle f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R} }$

偶対称性：

N点数列が共役対称関数と呼ばれるのは、以下 の場合です。

${\displaystyle f(n)=f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

このような数列は、しばしば回文数列と呼ばれます。回文多項式も参照してください。

奇対称性：

N点数列が共役反対称関数と呼ばれるのは、以下の場合です

${\displaystyle f(n)=-f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

このような数列は、逆回文数列と呼ばれることもあります。逆回文多項式も参照してください。

参照

• 複素数における一般化のためのエルミート関数
• テイラー級数
• フーリエ級数
• ホルスタイン・ヘリング法
• パリティ（物理学）

注釈

1. Gel'Fand, IM ; Glagoleva, EG ; Shnol, EE (1990). Functions and Graphs . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3532-7。
2. W., Weisstein, Eric. 「奇関数」. mathworld.wolfram.com .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. W., Weisstein, Eric. 「偶関数」. mathworld.wolfram.com .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Berners, Dave (2005年10月). 「医師に聞く：真空管 vs. ソリッドステートの高調波」. UA WebZine . Universal Audio . 2016年9月22日閲覧.要約すると、関数f(x)が奇数の場合、コサイン入力は偶数次高調波を生成しません。関数f(x)が偶数の場合、コサイン入力は奇数次高調波を生成しません（ただし、DC成分を含む場合があります）。関数が奇数でも偶数でもない場合は、すべての高調波が出力に存在する可能性があります
5. Oppenheim, Alan V. ; Schafer, Ronald W. ; Buck, John R. (1999).離散時間信号処理（第2版）. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. p. 55. ISBN 0-13-754920-2。
6. Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (3 ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall International, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ

参考文献

• Gelfand, IM ; Glagoleva, EG; Shnol, EE (2002) [1969], Functions and Graphs, Mineola, NY: Dover Publications

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