予想される不足額

Measure of financial risk

期待ショートフォール（ES）は、金融リスク測定の分野でポートフォリオの市場リスクまたは信用リスクを評価するために使用される概念であるリスク指標です。「q%水準における期待ショートフォール」とは、最悪のケースにおけるポートフォリオの期待収益率です。ESは、損失分布の裾の形状により敏感な、 バリュー・アット・リスク（VaR）の代替指標です。 ${\displaystyle q\%}$

期待ショートフォールは、条件付きリスク値（CVaR）^{[1] 、} 平均リスク値（AVaR）、期待テール損失（ETL）、スーパークォンタイルとも呼ばれます。^[2]

ESは投資リスクを保守的に推定し、利益の少ない結果に焦点を当てます。ESの値が高い場合、最も利益は大きいものの起こりそうにない可能性は無視されますが、ESの値が小さい場合、ESは最悪の損失に焦点を当てます。一方、割引最大損失とは異なり、ESが低い値であっても、期待損失は最も壊滅的な単一の結果のみを考慮するわけではありません。ESの値は実際には5%がよく使用されます。^[要出典] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

期待ショートフォールは、金融ポートフォリオのリスクを一貫した スペクトル尺度で表すため、VaRよりも有用なリスク指標と考えられています。これは、特定の四分位レベルについて計算され、損失が当該四分位レベル以下で発生している場合のポートフォリオ価値の平均損失として定義されます。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

正式な定義

もし（an L ^p）が将来のある時点におけるポートフォリオのペイオフであるとすると、期待不足額は次のように定義される。 ${\displaystyle X\in L^{p}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma }$

ここで、リスク値 は次のように書ける。 ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\gamma }}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\left(\operatorname {E} [X\ 1_{\{X\leq x_{\alpha }\}}]+x_{\alpha }(\alpha -P[X\leq x_{\alpha }])\right)}$

ここで、 は下限値、は指標関数である。^[3]連続分布関数を持つ確率変数の場合、第2項は消える点に注意する 。 ${\displaystyle x_{\alpha }=\inf\{x\in \mathbb {R} :P(X\leq x)\geq \alpha \}=-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

二重表現は

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=\inf _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }}E^{Q}[X]}$

ここでは物理的測度に絶対連続な確率測度の集合であり、ほぼ確実にとなる。^[4]はの に関するラドン・ニコディム微分であることに注意すること。 ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha ^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

期待ショートフォールは、対応する双対空間における対応する双対特性を持つ空間（Lp空間）上のコヒーレントリスク尺度の一般的なクラスに一般化できる。この定義域は、より一般的なオルリツ・ハーツに拡張することができる。^[5] ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{q}}$

の基礎分布が連続分布である場合、期待不足はによって定義される裾の条件付き期待値に等しい。^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {TCE} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]}$

非公式かつ非厳密ではありますが、この式は「損失が非常に大きく、アルファ パーセントの時間しか発生しない場合、平均損失はいくらか」ということを言っていることになります。

期待不足は、歪み関数によって与えられる歪みリスク尺度として表すこともできる。

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha ,\\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1.\end{cases}}\quad }$^{[7] [8]}

例

例 1: ポートフォリオの起こりうる結果のうち最悪の 5% での平均損失が 1,000 ユーロであると考えられる場合、5% の末尾で予想される不足額は 1,000 ユーロであると言えます。

例 2. 期間の終わりに次の値を持つポートフォリオを検討します。

出来事の確率	ポートフォリオの最終価値
10%	0
30%	80
40%	100
20%	150

ここで、このポートフォリオの期首に100を支払ったと仮定します。この場合の利益は（期末値- 100）または以下のようになります。

出来事の確率	利益
10%	−100
30%	−20
40%	0
20%	50

この表から、いくつかの値に対する期待不足を計算してみましょう。 ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle q}$	予想される不足 ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$
5%	100
10%	100
20%	60
30%	46. 6
40%	40
50%	32
60%	26. 6
80%	20
90%	12. 2
100%	6

これらの値がどのように計算されたかを確認するために、最悪の5%のケースにおける期待値の計算を考えてみましょう。これらのケースは利益表の1行目（のサブセット）に属し、利益は-100（投資額100に対する総損失）です。これらのケースの期待利益は-100です。 ${\displaystyle \operatorname {ES} _{0.05}}$

ここで、100ケース中最悪の20ケースの期待値を計算することを考えてみましょう。これらのケースは以下のとおりです。1行目から10ケース、2行目から10ケースです（10+10が望ましい20ケースに等しいことに注意してください）。1行目では利益は-100、2行目では利益は-20です。期待値の式を用いると、 ${\displaystyle \operatorname {ES} _{0.20}}$

${\displaystyle {\frac {{\frac {10}{100}}(-100)+{\frac {10}{100}}(-20)}{\frac {20}{100}}}=-60.}$

の任意の値についても同様です。上から順に、 の累積確率を求めるのに必要な数の行を選択し、それらのケースの期待値を計算します。一般に、最後に選択した行は必ずしもすべて使用されるとは限りません（例えば、計算では行2に示されている100分の30のケースのうち10のみを使用しました）。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle -\operatorname {ES} _{0.20}}$

最後の例として、 を計算します。これはすべてのケースにおける期待値、つまり ${\displaystyle -\operatorname {ES} _{1}}$

${\displaystyle 0.1(-100)+0.3(-20)+0.4\cdot 0+0.2\cdot 50=-6.\,}$

比較のために、リスク値( VaR) を以下に示します。

${\displaystyle q}$	${\displaystyle \operatorname {VaR} _{q}}$
${\displaystyle 0\%\leq q<10\%}$	100
${\displaystyle 10\%\leq q<40\%}$	20
${\displaystyle 40\%\leq q<80\%}$	0
${\displaystyle 80\%\leq q\leq 100\%}$	-50

プロパティ

が減少するにつれて、予想される不足額は増加します。 ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$ ${\displaystyle q}$

100% 分位期待不足は、ポートフォリオの期待値のマイナスに等しくなります。 ${\displaystyle \operatorname {ES} _{1}}$

特定のポートフォリオの場合、予想される不足額は、同じレベルにおけるリスク値以上になります。 ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$ ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{q}}$ ${\displaystyle q}$

期待不足の最適化

期待ショートフォールは、標準的な形式では、一般的に非凸最適化問題につながることが知られています。しかし、この問題を線形計画問題に変換し、大域解を求めることは可能です。^{[9]この性質により、期待ショートフォールは、収益分布の高次モーメント（例えば、歪度や}尖度）を考慮する平均分散 ポートフォリオ最適化の代替手法の基礎となっています。

ポートフォリオの期待ショートフォールを最小化したいとします。Rockafellar と Uryasev が 2000 年の論文で貢献したのは、期待ショートフォールの補助関数を導入したことです。ここで、 とは、リターンに適用されるポートフォリオのウェイトのセットに関する損失関数です。Rockafellar/Uryasev は、 がについて凸であり、 が最小点での期待ショートフォールと同等であることを証明しました。一連のポートフォリオ リターンの期待ショートフォールを数値的に計算するには、ポートフォリオの構成要素のシミュレーションを生成する必要があります。これは、多くの場合、コピュラ を使用して行われます。これらのシミュレーションを使用すると、補助関数は次のように近似できます。これは、次の定式化と同等です。最後に、線形損失関数を選択すると、最適化問題が線形計画法になります。標準的な方法を使用すると、期待ショートフォールを最小化するポートフォリオを簡単に見つけることができます。 ${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$ $${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {1-\alpha }}\int _{\ell (w,x)\geq \gamma }\left[\ell (w,x)-\gamma \right]_{+}p(x)\,dx}$$ ${\displaystyle \gamma =\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$ ${\displaystyle \ell (w,x)}$ ${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle {\widetilde {F}}_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}[\ell (w,x_{j})-\gamma ]_{+}}$$ $${\displaystyle \min _{\gamma ,z,w}\;\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}z_{j},\quad {\text{s.t. }}z_{j}\geq \ell (w,x_{j})-\gamma ,\;z_{j}\geq 0}$$ ${\displaystyle \ell (w,x_{j})=-w^{T}x_{j}}$

連続確率分布の公式

ポートフォリオのペイオフまたはそれに対応する損失が特定の連続分布に従う場合、期待ショートフォールを計算するための閉形式の公式が存在します。前者の場合、期待ショートフォールは、以下の左裾の条件付き期待値の逆数に相当します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L=-X}$ ${\displaystyle -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}xf(x)\,dx.}$

この場合の の典型的な値は 5% と 1% です。 ${\textstyle \alpha }$

工学や保険数理の分野では、損失の分布を考慮するのが一般的です。この場合の期待される不足額は、上記の右側の条件付き期待値に対応し、 の典型的な値は95% と 99% です。 ${\displaystyle L=-X}$ ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\operatorname {E} [L\mid L\geq \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)]={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}\operatorname {VaR} _{\gamma }(L)\,d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}^{+\infty }yf(y)\,dy.}$

以下のいくつかの式は左尾の場合に導出され、いくつかは右尾の場合に導出されたため、次の調整が役立ちます。

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\operatorname {E} [X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L){\text{ and }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {E} [L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(X).}$

正規分布

ポートフォリオのペイオフがpdfの正規分布（ガウス分布）に従う場合、期待不足額は に等しくなります。ここでは標準正規pdf、は標準正規cdf、 は標準正規分位数です。^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$ ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

ポートフォリオの損失が正規分布に従う場合、期待損失はに等しい。^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$

一般化スチューデントt分布

ポートフォリオのペイオフがpdfの一般化スチューデントt分布に従う場合、期待不足額は に等しくなります。ここでは標準t分布のpdf、は標準t分布のcdf、 は標準t分布の分位数です。^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$ ${\displaystyle \tau (x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}}}{\Bigl (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Bigr )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (x)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} ^{-1}(\alpha )}$

ポートフォリオの損失が一般化スチューデントのt分布に従う場合、期待損失はに等しい。^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$

ラプラス分布

ポートフォリオのペイオフがラプラス分布に従う場合、 pdf ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-|x-\mu |/b}}$

そしてCDF

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-(x-\mu )/b}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\[4pt]{\frac {1}{2}}e^{(x-\mu )/b}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}}$

の期待不足額は となる。[ ^10] ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \leq 0.5}$

ポートフォリオの損失がラプラス分布に従う場合、期待損失は^{[11]に等しい。} ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[4pt]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}}$

ロジスティック分布

ポートフォリオのペイオフがpdfとcdfを持つロジスティック分布に従う場合、期待不足額はに等しくなります。^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}$ ${\displaystyle F(x)=\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}}$

ポートフォリオの損失がロジスティック分布に従う 場合、期待損失は に等しくなります。^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}}$

指数分布

ポートフォリオの損失がpdfとcdfの指数分布に従う 場合、期待損失はに等しくなります。^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}}$

パレート分布

ポートフォリオの損失がpdfとcdfを持つパレート分布に従う場合、期待損失はに等しくなります。^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$ ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/a}(a-1)}}}$

一般化パレート分布（GPD）

ポートフォリオの損失がGPDに続く場合 ${\displaystyle L}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}$

そしてCDF

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{-1/\xi }&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{s}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$

期待不足額は

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s\left[{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s\left[1-\ln(1-\alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0,\end{cases}}}$

VaRは^{[11]に等しい。}

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$

ワイブル分布

ポートフォリオの損失が確率密度関数（pdf）と累積分布関数（cdf）のワイブル分布に従う場合、期待不足額は （上側不完全ガンマ関数）に等しくなります。[ 11 ^] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha )\right)}$ ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

一般化極値分布（GEV）

ポートフォリオのペイオフがPDFとCDFでGEVに従う場合、期待ショートフォールは に等しく、VaRは に等しくなります。ここでは上側不完全ガンマ関数、は対数積分関数です。^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp \left[-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\exp \left(-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right)&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp \left(-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}{\big [}\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha {\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}{\big [}{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}\left[(-\ln \alpha )^{-\xi }-1\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ ${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}}$

ポートフォリオの損失がGEVに従う 場合、期待不足額は に等しくなります。ここでは下側不完全ガンマ関数、はオイラー・マスケロニ定数です。^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}{\bigl [}\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}{\bigl [}y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$ ${\displaystyle \gamma (s,x)}$ ${\displaystyle y}$

一般化双曲正割（GHS）分布

ポートフォリオのペイオフがGHS分布に従い、pdfとcdfがの場合、期待不足額は に等しくなります。ここでは二重対数、は虚数単位です。^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$ ${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan \left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln \left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i\left[\operatorname {Li} _{2}\left(-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

ジョンソンのSU分布

ポートフォリオのペイオフがcdfを持つジョンソンのSU分布に従う場合、期待不足額は に等しくなります。ここでは標準正規分布のcdfです。^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(x)=\Phi \left[\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}\left[\exp \left({\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}\right)-\exp \left({\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}\right)\right]}$ ${\displaystyle \Phi }$

バール型XII分布

ポートフォリオのペイオフがバールXII型分布に従う場合、確率密度 関数（PDF）と累積分布関数（CDF）は、期待ショートフォールは （は超幾何関数）に等しい。あるいは、となる。^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$ ${\displaystyle F(x)=1-\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1/c}\left[\alpha -1+{_{2}F_{1}}\left({\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)\right]}$ ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)}$

ダグム分布

ポートフォリオのペイオフが確率密度関数（pdf）と累積分布関数（cdf）のダガム分布に従う場合、期待不足額は（は超幾何関数）に等しくなります。^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{ck-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$ ${\displaystyle F(x)=\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{-c}\right]^{-k}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}\left(\alpha ^{-1/k}-1\right)^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}\right)}$ ${\displaystyle _{2}F_{1}}$

対数正規分布

ポートフォリオのペイオフが対数正規分布に従う場合、つまりランダム変数がpdf の正規分布に従う場合、期待不足額は に等しくなります。ここでは標準正規cdfであり、 もです。^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\frac {\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma \right)}{\alpha }}}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

対数ロジスティック分布

ポートフォリオのペイオフが対数ロジスティック分布に従う場合、つまりランダム変数が pdf のロジスティック分布に従う場合、期待不足額は に等しくなります。ここで、は正規化された不完全ベータ関数、です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}}}$ ${\displaystyle I_{\alpha }}$ ${\displaystyle I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}}$

不完全ベータ関数は正の引数に対してのみ定義されるため、より一般的なケースでは期待不足量は超幾何関数で表すことができる。[ 14 ^] ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha )}$

ポートフォリオの損失がpdfとcdfを持つ対数ロジスティック分布に従う場合、期待不足額は （不完全ベータ関数 ）に等しくなります。 [ 11 ^] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}}$ ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {a}{1-\alpha }}\left[{\frac {\pi }{b}}\csc \left({\frac {\pi }{b}}\right)-\mathrm {B} _{\alpha }\left({\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}\right)\right]}$ ${\displaystyle B_{\alpha }}$

対数ラプラス分布

ポートフォリオのペイオフが対数ラプラス分布に従う場合、つまり確率変数がラプラス分布のpdfに従う場合、期待不足額は次の式に等しくなります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}\left[(1-\alpha )^{(1-b)}-1\right]&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}}$^[14]

対数一般化双曲正割分布（log-GHS）

ポートフォリオのペイオフが対数GHS分布に従う場合、つまり確率変数がpdfのGHS分布に従う場合、期待不足額は次の式に等しくなります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}\left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}\right)^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}\left(1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{2}\right),}$

ここでは超幾何関数である。^[14] ${\displaystyle _{2}F_{1}}$

動的期待不足

時刻tにおける期待不足額の条件付きバージョンは次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

ここで。^{[15] [16]} ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q=P\,\vert _{{\mathcal {F}}_{t}}:{\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha _{t}^{-1}{\text{ a.s.}}\right\}}$

これは時間的に整合したリスク指標ではありません。時間的に整合したバージョンは次のように与えられます。

${\displaystyle \rho _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

そのため^[17]

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q\ll P:\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau +1}\right]\leq \alpha _{t}^{-1}\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau }\right]\;\forall \tau \geq t{\text{ a.s.}}\right\}.}$

参照

• 一貫したリスク測定
• 確率計画法のためのEMP - ESとVaRを含む最適化問題の解決技術
• エントロピー値が危険にさらされている
• リスクのある価値

^{VaRとESの統計的推定法については、Embrechtsら[18]}やNovak ^[19]が参考になる。VaRとESを予測したり、テールリスクを最小化するためにポートフォリオを最適化したりする際には、自己回帰、非対称ボラティリティ、歪度、尖度など、株式リターンの分布における非対称依存性や非正規性を考慮することが重要である。^[20]

参考文献

1. Rockafellar, R. Tyrrell; Uryasev, Stanislav (2000). 「条件付きバリュー・アット・リスクの最適化」(PDF) . Journal of Risk . 2 (3): 21– 42. doi :10.21314/JOR.2000.038. S2CID  854622.
2. Rockafellar, R. Tyrrell; Royset, Johannes (2010). 「構造物の設計と最適化における緩衝故障確率について」(PDF) .信頼性工学とシステム安全性. 95 (5): 499– 510. doi :10.1016/j.ress.2010.01.001. S2CID  1653873.
3. Carlo Acerbi; Dirk Tasche (2002). 「期待ショートフォール：バリュー・アット・リスクに代わる自然で一貫性のある代替案」（PDF） . Economic Notes . 31 (2): 379– 388. arXiv : cond-mat/0105191 . doi :10.1111/1468-0300.00091. S2CID  10772757. 2012年4月25日閲覧。
4. Föllmer, H.; Schied, A. (2008). 「凸型かつ一貫性のあるリスク尺度」(PDF) . 2011年10月4日閲覧。 {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）が必要です
5. Patrick Cheridito; Tianhui Li (2008). 「Orlicz heartsにおけるリスク尺度特性の双対的特徴付け」.数学と金融経済学. 2 : 2– 29. doi :10.1007/s11579-008-0013-7. S2CID  121880657.
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7. Julia L. Wirch、Mary R. Hardy. 「歪みリスク尺度：コヒーレンスと確率的優位性」（PDF） 。 2016年7月5日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2012年3月10日閲覧。
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9. Rockafellar, R. Tyrrell; Uryasev, Stanislav (2000). 「条件付きバリュー・アット・リスクの最適化」(PDF) . Journal of Risk . 2 (3): 21– 42. doi :10.21314/JOR.2000.038. S2CID  854622.
10. ホフロフ、ヴァレンティン (2016). 「楕円分布の条件付きバリューアットリスク」。エヴロプスキー・チャソピス・エコノミキー・ア・マネージメント。2 (6)：70～ 79。
11. Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2018-11-27). 「共通確率分布のCVaRとbPOEの計算とポートフォリオ最適化および密度推定への応用」arXiv : 1811.11301 [q-fin.RM].
12. Khokhlov, Valentyn (2018-06-21). 「非一般的分布に対する条件付きバリュー・アット・リスク」. doi : 10.2139/ssrn.3200629 . S2CID  219371851. SSRN  3200629. {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）が必要です
13. ストゥッキ、パトリツィア (2011-05-31)。 「モーメントベースの CVaR 推定: 準閉じた式」。土井：10.2139/ssrn.1855986。S2CID  124145569。SSRN 1855986  。 {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）が必要です
14. Khokhlov, Valentyn (2018-06-17). 「対数分布の条件付きバリュー・アット・リスク」. SSRN  3197929.
15. デトレフセン、カイ;スカンドーロ、ジャコモ (2005)。 「条件付きおよび動的コンベックスリスク対策」(PDF)。財務ストック。9 (4): 539–561 . CiteSeerX 10.1.1.453.4944。土井：10.1007/s00780-005-0159-6。S2CID  10579202 。2011 年10 月 11 日に取得。 ^{[リンク切れ]}
16. Acciaio, Beatrice; Penner, Irina (2011). 「Dynamic convex risk measure」(PDF) . 2011年9月2日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2011年10月11日閲覧。 {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）が必要です
17. Cheridito, Patrick; Kupper, Michael (2010年5月). 「離散時間における時間整合的な動的金融リスク指標の構成」(PDF) . International Journal of Theoretical and Applied Finance . 2011年7月19日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2011年2月4日閲覧。
18. Embrechts P.、Kluppelberg C.、Mikosch T.、「保険と金融のための極限事象のモデリング」Springer (1997)。
19. Novak SY, 極値法とファイナンスへの応用. Chapman & Hall/CRC Press (2011). ISBN 978-1-4398-3574-6。
20. Low, RKY; Alcock, J.; Faff, R.; Brailsford, T. (2013). 「現代ポートフォリオ管理における標準的ブドウコピュラ：その価値はあるのか？」(PDF) . Journal of Banking & Finance . 37 (8): 3085– 3099. doi :10.1016/j.jbankfin.2013.02.036. S2CID  154138333.

外部リンク

• Rockafellar、Uryasev: 条件付き Value-at-Risk の最適化、2000 年。
• C. Acerbi と D. Tasche：「期待される不足の一貫性について」、2002 年。
• Rockafellar、Uryasev: 一般損失分布の条件付きバリュー・アット・リスク、2002 年。
• アチェルビ：リスクのスペクトル測定、2005年
• ファイアルファ最適ポートフォリオと極限リスク管理、ベスト・オブ・ウィルモット、2003年
• 「リスクの一貫した測定」、フィリップ・アルツナー、フレディ・デルバン、ジャン＝マルク・エバー、デイヴィッド・ヒース

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