Probability distribution
確率論 と 統計学 において 、 指数分布 または 負の指数分布は、 ポアソン点過程 、すなわち、事象が一定の平均率で連続的かつ独立して発生する過程における事象間の距離の 確率分布 である 。距離パラメータは、製造エラー間の時間や織物製造過程における織物ロールに沿った長さなど、過程の意味のある一次元尺度であればよい。 [1]これは ガンマ分布 の特殊なケースである。これは 幾何分布 の連続的な類似体であり 、 記憶がない という重要な特性を持つ。 [2] ポアソン点過程の解析に使用されることに加えて、他のさまざまな文脈でも見られる。 [3]
指数分布は、分布の指数族 のクラスとは異なります 。これは、指数分布をそのメンバーの一つとして含む確率分布の大きなクラスですが、 正規 分布、 二項分布 、 ガンマ分布 、 ポアソン 分布など、他の多くの分布も含みます。 [3]
定義
確率密度関数 指数分布の確率密度関数（pdf ） は
f ( x ; λ ) = { λ e − λ x x ≥ 0 , 0 x < 0. {\displaystyle f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}} ここで λ > 0 は分布のパラメータであり、しばしば 速度パラメータ と呼ばれます。この分布は区間 [0, ∞) でサポートされます。 確率変数 Xがこの分布に従う場合、 X ~ Exp( λ ) と書きます 。
指数分布は 無限に割り切れる性質 を示す。
累積分布関数 累積 分布関数 は次のように与えられる。
F ( x ; λ ) = { 1 − e − λ x x ≥ 0 , 0 x < 0. {\displaystyle F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}
代替パラメータ化 指数分布は、尺度パラメータ β = 1/ λ （平均でもある
） でパラメータ化されることがあります。 f ( x ; β ) = { 1 β e − x / β x ≥ 0 , 0 x < 0. F ( x ; β ) = { 1 − e − x / β x ≥ 0 , 0 x < 0. {\displaystyle f(x;\beta )={\begin{cases}{\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}\qquad \qquad F(x;\beta )={\begin{cases}1-e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}
プロパティ
平均は確率質量中心、つまり 最初のモーメント です。 中央値は 原像 F −1 (1/2)である。 指数分布に従う確率変数 X の平均または 期待値は 、速度パラメータ λ で与えられ、 E [ X ] = 1 λ . {\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}.}
以下の例に照らし合わせると、これは理にかなっています。1 時間あたり平均 2 回の電話を受ける人は、連続した電話の間隔が 0.5 時間、つまり 30 分になると予想できます。
X の 分散 は で与えられる ため、 標準偏差 は平均と等しくなります。 Var [ X ] = 1 λ 2 , {\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}},}
X の モーメント は 次のように与えられる 。 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } E [ X n ] = n ! λ n . {\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}.}
X の 中心 モーメント は次 のように与えられる 。ここで、! n は n の サブファクタリングである。 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } μ n = ! n λ n = n ! λ n ∑ k = 0 n ( − 1 ) k k ! . {\displaystyle \mu _{n}={\frac {!n}{\lambda ^{n}}}={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}
X の 中央 値 は次のように与えられます。 ここで lnは 自然対数 を表します 。したがって、 平均値と中央値の 絶対差は m [ X ] = ln ( 2 ) λ < E [ X ] , {\displaystyle \operatorname {m} [X]={\frac {\ln(2)}{\lambda }}<\operatorname {E} [X],} | E [ X ] − m [ X ] | = 1 − ln ( 2 ) λ < 1 λ = σ [ X ] , {\displaystyle \left|\operatorname {E} \left[X\right]-\operatorname {m} \left[X\right]\right|={\frac {1-\ln(2)}{\lambda }}<{\frac {1}{\lambda }}=\operatorname {\sigma } [X],}
中央値-平均値不等式 に従って 。
指数確率変数の無記憶性 指数分布に従う確率変数 T は次の関係に従う。 Pr ( T > s + t ∣ T > s ) = Pr ( T > t ) , ∀ s , t ≥ 0. {\displaystyle \Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)=\Pr(T>t),\qquad \forall s,t\geq 0.}
これは、相補累積分布関数 を考慮するとわかります 。 Pr ( T > s + t ∣ T > s ) = Pr ( T > s + t ∩ T > s ) Pr ( T > s ) = Pr ( T > s + t ) Pr ( T > s ) = e − λ ( s + t ) e − λ s = e − λ t = Pr ( T > t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)&={\frac {\Pr \left(T>s+t\cap T>s\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {\Pr \left(T>s+t\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}}\\[4pt]&=e^{-\lambda t}\\[4pt]&=\Pr(T>t).\end{aligned}}}
T を ある初期時刻に対するイベント発生の待機時間として解釈する 場合、この関係は、 T が 初期時間 s にわたってイベントを観測できないことを条件としている場合、残りの待機時間の分布は元の無条件分布と同じになることを意味します。例えば、イベントが30秒経過しても発生していない場合、発生までに少なくとも10秒かかる 条件付き確率 は、イベントが初期時刻から10秒以上経過した後に観測される無条件確率に等しくなります。
指数分布と 幾何分布は、 記憶のない唯一の確率分布 です 。
したがって、指数分布は必然的に、一定の 故障率 を持つ唯一の連続確率分布でもあります。
四分位数 異常に対するTukey基準。 [ 要出典 ] Exp( λ )の 分位関数 （逆累積分布関数） は F − 1 ( p ; λ ) = − ln ( 1 − p ) λ , 0 ≤ p < 1 {\displaystyle F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1}
したがって、四 分位数 は次のようになります。
第一四分位数: ln(4/3)/ λ 中央値 ：ln(2)/ λ 第三四分位数: ln(4)/ λ その結果、 四分位範囲 はln(3)/ λ となる。
条件付きリスク値（期待不足額） Exp( λ )の 期待不足額 または超分位値としても知られる条件付きリスク値（CVaR） は次のように導出される： [4]
q ¯ α ( X ) = 1 1 − α ∫ α 1 q p ( X ) d p = 1 ( 1 − α ) ∫ α 1 − ln ( 1 − p ) λ d p = − 1 λ ( 1 − α ) ∫ 1 − α 0 − ln ( y ) d y = − 1 λ ( 1 − α ) ∫ 0 1 − α ln ( y ) d y = − 1 λ ( 1 − α ) [ ( 1 − α ) ln ( 1 − α ) − ( 1 − α ) ] = − ln ( 1 − α ) + 1 λ {\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {q}}_{\alpha }(X)&={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}q_{p}(X)dp\\&={\frac {1}{(1-\alpha )}}\int _{\alpha }^{1}{\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}dp\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{1-\alpha }^{0}-\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{0}^{1-\alpha }\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}[(1-\alpha )\ln(1-\alpha )-(1-\alpha )]\\&={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}\\\end{aligned}}}
緩衝超過確率（bPOE） 緩衝超過確率は、CVaRが閾値と等しくなる確率レベルから1を引いた値である 。これは以下のように導出される。 [4] x {\displaystyle x}
p ¯ x ( X ) = { 1 − α | q ¯ α ( X ) = x } = { 1 − α | − ln ( 1 − α ) + 1 λ = x } = { 1 − α | ln ( 1 − α ) = 1 − λ x } = { 1 − α | e ln ( 1 − α ) = e 1 − λ x } = { 1 − α | 1 − α = e 1 − λ x } = e 1 − λ x {\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {p}}_{x}(X)&=\{1-\alpha |{\bar {q}}_{\alpha }(X)=x\}\\&=\{1-\alpha |{\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}=x\}\\&=\{1-\alpha |\ln(1-\alpha )=1-\lambda x\}\\&=\{1-\alpha |e^{\ln(1-\alpha )}=e^{1-\lambda x}\}=\{1-\alpha |1-\alpha =e^{1-\lambda x}\}=e^{1-\lambda x}\end{aligned}}}
カルバック・ライブラー距離 （「近似」分布）と（「真の」分布） の NATS における 有向 カルバック・ライブラー分布は 次のように与えられる。 e λ {\displaystyle e^{\lambda }} e λ 0 {\displaystyle e^{\lambda _{0}}} Δ ( λ 0 ∥ λ ) = E λ 0 ( log p λ 0 ( x ) p λ ( x ) ) = E λ 0 ( log λ 0 e λ 0 x λ e λ x ) = log ( λ 0 ) − log ( λ ) − ( λ 0 − λ ) E λ 0 ( x ) = log ( λ 0 ) − log ( λ ) + λ λ 0 − 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\lambda _{0}\parallel \lambda )&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {p_{\lambda _{0}}(x)}{p_{\lambda }(x)}}\right)\\&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {\lambda _{0}e^{\lambda _{0}x}}{\lambda e^{\lambda x}}}\right)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )-(\lambda _{0}-\lambda )E_{\lambda _{0}}(x)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1.\end{aligned}}}
最大エントロピー分布 支持 [0, ∞) と平均 μ を持つすべての連続確率分布の中で、 λ = 1/ μ の指数分布は 最大の 微分エントロピー を持つ。言い換えれば、これは、 ゼロ以上の 確率変量 X に対して、E[ X ]が固定されたとき の最大エントロピー確率分布 である。 [5]
指数確率変数の最小値の分布 X 1 , ..., X n を 、それぞれ速度パラメータλ 1 , ..., λ n を持つ独立した 指数分布に従う確率変数 と する 。この場合、 もまた指数分布に従う。 min { X 1 , … , X n } {\displaystyle \min \left\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\right\}} λ = λ 1 + ⋯ + λ n . {\displaystyle \lambda =\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}.}
これは、相補累積分布関数 を考慮するとわかります 。 Pr ( min { X 1 , … , X n } > x ) = Pr ( X 1 > x , … , X n > x ) = ∏ i = 1 n Pr ( X i > x ) = ∏ i = 1 n exp ( − x λ i ) = exp ( − x ∑ i = 1 n λ i ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\Pr \left(\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}>x\right)\\={}&\Pr \left(X_{1}>x,\dotsc ,X_{n}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\Pr \left(X_{i}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\exp \left(-x\lambda _{i}\right)=\exp \left(-x\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).\end{aligned}}}
最小値を達成する変数のインデックスは、カテゴリ分布に従って分布する。 Pr ( X k = min { X 1 , … , X n } ) = λ k λ 1 + ⋯ + λ n . {\displaystyle \Pr \left(X_{k}=\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}\right)={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.}
証明は とすればわかる 。すると、 I = argmin i ∈ { 1 , ⋯ , n } { X 1 , … , X n } {\displaystyle I=\operatorname {argmin} _{i\in \{1,\dotsb ,n\}}\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}} Pr ( I = k ) = ∫ 0 ∞ Pr ( X k = x ) Pr ( ∀ i ≠ k X i > x ) d x = ∫ 0 ∞ λ k e − λ k x ( ∏ i = 1 , i ≠ k n e − λ i x ) d x = λ k ∫ 0 ∞ e − ( λ 1 + ⋯ + λ n ) x d x = λ k λ 1 + ⋯ + λ n . {\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(I=k)&=\int _{0}^{\infty }\Pr(X_{k}=x)\Pr(\forall _{i\neq k}X_{i}>x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\lambda _{k}e^{-\lambda _{k}x}\left(\prod _{i=1,i\neq k}^{n}e^{-\lambda _{i}x}\right)dx\\&=\lambda _{k}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}\right)x}dx\\&={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.\end{aligned}}}
X 1 , ..., X n が すべてパラメータ0を持たない 場合、指数分布ではない ことに注意してください
。 [6] max { X 1 , … , X n } {\displaystyle \max\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}
IID指数順序統計量の結合モーメント を 独立かつ同一分布する 指数確率変数とし、速度パラメータλとする 。 対応 する順序統計量を と する 。 の場合、 順序統計量と の 結合モーメント は 次のように与えられる
。 X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}} n {\displaystyle n} X ( 1 ) , … , X ( n ) {\displaystyle X_{(1)},\dotsc ,X_{(n)}} i < j {\displaystyle i<j} E [ X ( i ) X ( j ) ] {\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]} X ( i ) {\displaystyle X_{(i)}} X ( j ) {\displaystyle X_{(j)}} E [ X ( i ) X ( j ) ] = ∑ k = 0 j − 1 1 ( n − k ) λ E [ X ( i ) ] + E [ X ( i ) 2 ] = ∑ k = 0 j − 1 1 ( n − k ) λ ∑ k = 0 i − 1 1 ( n − k ) λ + ∑ k = 0 i − 1 1 ( ( n − k ) λ ) 2 + ( ∑ k = 0 i − 1 1 ( n − k ) λ ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right]\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}+\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{((n-k)\lambda )^{2}}}+\left(\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\right)^{2}.\end{aligned}}}
これは、総期待値の法則 と記憶なしの性質 を適用することで確認できます。 E [ X ( i ) X ( j ) ] = ∫ 0 ∞ E [ X ( i ) X ( j ) ∣ X ( i ) = x ] f X ( i ) ( x ) d x = ∫ x = 0 ∞ x E [ X ( j ) ∣ X ( j ) ≥ x ] f X ( i ) ( x ) d x ( since X ( i ) = x ⟹ X ( j ) ≥ x ) = ∫ x = 0 ∞ x [ E [ X ( j ) ] + x ] f X ( i ) ( x ) d x ( by the memoryless property ) = ∑ k = 0 j − 1 1 ( n − k ) λ E [ X ( i ) ] + E [ X ( i ) 2 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\mid X_{(i)}=x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\textrm {since}}~X_{(i)}=x\implies X_{(j)}\geq x\right)\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\left[\operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\text{by the memoryless property}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right].\end{aligned}}}
最初の式は、 全期待値 の法則 から導かれます。2番目の式は、 を条件とすると が必ず成り立つ という事実を利用しています。3番目の式は、 を に 置き換えるために、無記憶性を利用しています 。 X ( i ) = x {\displaystyle X_{(i)}=x} X ( j ) ≥ x {\displaystyle X_{(j)}\geq x} E [ X ( j ) ∣ X ( j ) ≥ x ] {\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]} E [ X ( j ) ] + x {\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x}
2つの独立した指数確率変数の合計 2つの独立した確率変数の和の確率分布関数（PDF）は、 それぞれのPDFの畳み込み です。 とが それぞれ速度パラメータを持つ独立した指数確率変数である場合 、 の確率密度は次のよう に与えられます 。この分布のエントロピーは閉じた形で得られます。 （一般性を失うことなく）と仮定すると、次の
ようになります。 ここで、 は オイラー・マスケロニ定数 、は ディガンマ関数 です 。 [7] X 1 {\displaystyle X_{1}} X 2 {\displaystyle X_{2}} λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} λ 2 , {\displaystyle \lambda _{2},} Z = X 1 + X 2 {\displaystyle Z=X_{1}+X_{2}} f Z ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f X 1 ( x 1 ) f X 2 ( z − x 1 ) d x 1 = ∫ 0 z λ 1 e − λ 1 x 1 λ 2 e − λ 2 ( z − x 1 ) d x 1 = λ 1 λ 2 e − λ 2 z ∫ 0 z e ( λ 2 − λ 1 ) x 1 d x 1 = { λ 1 λ 2 λ 2 − λ 1 ( e − λ 1 z − e − λ 2 z ) if λ 1 ≠ λ 2 λ 2 z e − λ z if λ 1 = λ 2 = λ . {\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(z-x_{1})\,dx_{1}\\&=\int _{0}^{z}\lambda _{1}e^{-\lambda _{1}x_{1}}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}(z-x_{1})}\,dx_{1}\\&=\lambda _{1}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}z}\int _{0}^{z}e^{(\lambda _{2}-\lambda _{1})x_{1}}\,dx_{1}\\&={\begin{cases}{\dfrac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\left(e^{-\lambda _{1}z}-e^{-\lambda _{2}z}\right)&{\text{ if }}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\\[4pt]\lambda ^{2}ze^{-\lambda z}&{\text{ if }}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda .\end{cases}}\end{aligned}}} λ 1 > λ 2 {\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}} H ( Z ) = 1 + γ + ln ( λ 1 − λ 2 λ 1 λ 2 ) + ψ ( λ 1 λ 1 − λ 2 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}H(Z)&=1+\gamma +\ln \left({\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)+\psi \left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\right),\end{aligned}}} γ {\displaystyle \gamma } ψ ( ⋅ ) {\displaystyle \psi (\cdot )}
等レートパラメータの場合、結果は 形状 2 でパラメータ を持つアーラン分布 となり、これは ガンマ分布 の特殊なケースになります。 λ , {\displaystyle \lambda ,}
n個の独立したExp( λ) 指数確率変数 の合計はGamma(n, λ) 分布に従います。
X ~ Laplace(μ, β −1 ) の場合 、 | X − μ| ～経験値(β)。 [8] X ~ U (0, 1) ならば −log( X ) ~ Exp(1)となる。 X ~ Pareto(1, λ) ならば log( X ) ~ Exp(λ)となる。 [8] X ~ SkewLogistic(θ) の場合 、 。 log ( 1 + e − X ) ∼ Exp ( θ ) {\displaystyle \log \left(1+e^{-X}\right)\sim \operatorname {Exp} (\theta )} X i ~ U (0, 1 ) ならば lim n → ∞ n min ( X 1 , … , X n ) ∼ Exp ( 1 ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\min \left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)\sim \operatorname {Exp} (1)} 指数分布は、スケールされたベータ分布 の極限です 。 lim n → ∞ n Beta ( 1 , n ) = Exp ( 1 ) . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\operatorname {Beta} (1,n)=\operatorname {Exp} (1).} 指数分布は、タイプ 3 ピアソン分布 の特殊なケースです。 指数分布は、 形状パラメータが1である ガンマ分布の特殊なケースである 。[8] X ~ Exp(λ)かつ X i ~ Exp(λ i )の場合 : k X ∼ Exp ( λ k ) {\displaystyle kX\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {\lambda }{k}}\right)} 、正の係数によるスケーリングの下での閉鎖。 1 + X ~ BenktanderWeibull (λ, 1) となり、これは切り捨て指数分布に近づきます。 ke X ~ パレート ( k ,λ) [8] e −λX ~ U (0, 1) 。 e −X ~ ベータ (λ, 1)。 [8] 1 / け e X ~ べき乗法則 ( k , λ) X ∼ Rayleigh ( 1 2 λ ) {\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \operatorname {Rayleigh} \left({\frac {1}{\sqrt {2\lambda }}}\right)} レイリー 分布 [8] X ∼ Weibull ( 1 λ , 1 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Weibull} \left({\frac {1}{\lambda }},1\right)} ワイブル 分布 [8] X 2 ∼ Weibull ( 1 λ 2 , 1 2 ) {\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {Weibull} \left({\frac {1}{\lambda ^{2}}},{\frac {1}{2}}\right)} [8] μ − β log(λ X ) 〜 ガンベル (μ, β) 。 ⌊ X ⌋ ∼ Geometric ( 1 − e − λ ) {\displaystyle \lfloor X\rfloor \sim \operatorname {Geometric} \left(1-e^{-\lambda }\right)} 、 0、1、2、3、... の 幾何分布 ⌈ X ⌉ ∼ Geometric ( 1 − e − λ ) {\displaystyle \lceil X\rceil \sim \operatorname {Geometric} \left(1-e^{-\lambda }\right)} 、 1、2、3、4、... 上の 幾何分布 Y ~ Erlang( n , λ) の場合、 あるいは Y ∼ Γ ( n , 1 λ ) {\displaystyle Y\sim \Gamma \left(n,{\frac {1}{\lambda }}\right)} X Y + 1 ∼ Pareto ( 1 , n ) {\displaystyle {\frac {X}{Y}}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)} λ ~ガンマ ( k , θ) (形状、スケールパラメータ化)の場合、 X の周辺分布は ガンマ 混合物である Lomax ( k , 1/θ)になります。 λ 1 X 1 − λ 2 Y 2 ~ ラプラス(0, 1) 。 min{ X 1 , ..., X n } ~ Exp(λ 1 + ... + λ n )。 またλ i = λの場合： X 1 + ⋯ + X k = ∑ i X i ∼ {\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{k}=\sum _{i}X_{i}\sim } Erlang ( k ,λ) = Gamma ( k ,λ) で、形状パラメータ k は整数、速度パラメータλは整数である。 [9] もし なら 、 。 T = ( X 1 + ⋯ + X n ) = ∑ i = 1 n X i {\displaystyle T=(X_{1}+\cdots +X_{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}} 2 λ T ∼ χ 2 n 2 {\displaystyle 2\lambda T\sim \chi _{2n}^{2}} X i − X j ~ ラプラス(0, λ −1 )。 X i も独立している場合 は次のようになります。 X i X i + X j {\displaystyle {\frac {X_{i}}{X_{i}+X_{j}}}} ~ U (0, 1) Z = λ i X i λ j X j {\displaystyle Z={\frac {\lambda _{i}X_{i}}{\lambda _{j}X_{j}}}} は確率密度関数 を持ちます 。これを使用して の 信頼区間 を得ることができます。 f Z ( z ) = 1 ( z + 1 ) 2 {\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {1}{(z+1)^{2}}}} λ i λ j {\displaystyle {\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{j}}}} λ = 1の場合: μ − β log ( e − X 1 − e − X ) ∼ Logistic ( μ , β ) {\displaystyle \mu -\beta \log \left({\frac {e^{-X}}{1-e^{-X}}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )} ロジスティック 分布 μ − β log ( X i X j ) ∼ Logistic ( μ , β ) {\displaystyle \mu -\beta \log \left({\frac {X_{i}}{X_{j}}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )} μ − σ log( X ) ~ GEV(μ, σ, 0) 。 さらに、 （ K 分布 ） Y ∼ Γ ( α , β α ) {\displaystyle Y\sim \Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{\alpha }}\right)} X Y ∼ K ( α , β ) {\displaystyle {\sqrt {XY}}\sim \operatorname {K} (\alpha ,\beta )} λ = 1/2 の場合も X ∼ χ 2 2 つまり、 Xは 自由度 2の カイ2乗分布 に従う 。したがって、 Exp ( λ ) = 1 2 λ Exp ( 1 2 ) ∼ 1 2 λ χ 2 2 ⇒ ∑ i = 1 n Exp ( λ ) ∼ 1 2 λ χ 2 n 2 {\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\operatorname {Exp} \left({\frac {1}{2}}\right)\sim {\frac {1}{2\lambda }}\chi _{2}^{2}\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Exp} (\lambda )\sim {\frac {1}{2\lambda }}\chi _{2n}^{2}} および ~ ポアソン( X ) の 場合 ( 幾何分布 ) X ∼ Exp ( 1 λ ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {1}{\lambda }}\right)} Y ∣ X {\displaystyle Y\mid X} Y ∼ Geometric ( 1 1 + λ ) {\displaystyle Y\sim \operatorname {Geometric} \left({\frac {1}{1+\lambda }}\right)} ホイト 分布は指数分布と 逆正弦分布 から得られる。 この場合、指数分布は κ 指数分布 の極限となります 。 κ = 0 {\displaystyle \kappa =0} 指数分布は、およびの場合 の κ-一般化ガンマ分布の極限です 。 α = 1 {\displaystyle \alpha =1} ν = 1 {\displaystyle \nu =1} lim ( α , ν ) → ( 0 , 1 ) p κ ( x ) = ( 1 + κ ν ) ( 2 κ ) ν Γ ( 1 2 κ + ν 2 ) Γ ( 1 2 κ − ν 2 ) α λ ν Γ ( ν ) x α ν − 1 exp κ ( − λ x α ) = λ e − λ x {\displaystyle \lim _{(\alpha ,\nu )\to (0,1)}p_{\kappa }(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}{\frac {\alpha \lambda ^{\nu }}{\Gamma (\nu )}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\lambda x^{\alpha })=\lambda e^{-\lambda x}} その他の関連ディストリビューション:
統計的推論 以下では、確率変数 X が速度パラメータ λ で指数分布し、 Xから n 個 の独立したサンプル があり 、サンプル平均が であると仮定します 。 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}} x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}}
パラメータ推定 λ の最大尤度推定値は次のように構築され ます 。
変数から抽出された 独立かつ同一に分布する サンプル x = ( x 1 , ..., x n )が与えられた場合のλの 尤度 関数は次のようになります。 L ( λ ) = ∏ i = 1 n λ exp ( − λ x i ) = λ n exp ( − λ ∑ i = 1 n x i ) = λ n exp ( − λ n x ¯ ) , {\displaystyle L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right),}
ここで: はサンプル平均です。 x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}
尤度関数の対数の導関数は次のようになります。 d d λ ln L ( λ ) = d d λ ( n ln λ − λ n x ¯ ) = n λ − n x ¯ { > 0 , 0 < λ < 1 x ¯ , = 0 , λ = 1 x ¯ , < 0 , λ > 1 x ¯ . {\displaystyle {\frac {d}{d\lambda }}\ln L(\lambda )={\frac {d}{d\lambda }}\left(n\ln \lambda -\lambda n{\overline {x}}\right)={\frac {n}{\lambda }}-n{\overline {x}}\ {\begin{cases}>0,&0<\lambda <{\frac {1}{\overline {x}}},\\[8pt]=0,&\lambda ={\frac {1}{\overline {x}}},\\[8pt]<0,&\lambda >{\frac {1}{\overline {x}}}.\end{cases}}}
したがって、 レートパラメータの 最大尤度推定値は次のようになります。 λ ^ mle = 1 x ¯ = n ∑ i x i {\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}={\frac {1}{\overline {x}}}={\frac {n}{\sum _{i}x_{i}}}}
これは の 不偏 推定値では ないが 、 および分布平均 の 不偏 [10] MLE [11]推定値 である。 λ , {\displaystyle \lambda ,} x ¯ {\displaystyle {\overline {x}}} 1 / λ {\displaystyle 1/\lambda }
のバイアス は に等しく、 バイアス補正された最大尤度推定値を 与える。 λ ^ mle {\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}} B ≡ E [ ( λ ^ mle − λ ) ] = λ n − 1 {\displaystyle B\equiv \operatorname {E} \left[\left({\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}-\lambda \right)\right]={\frac {\lambda }{n-1}}} λ ^ mle ∗ = λ ^ mle − B . {\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}^{*}={\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}-B.}
平均二乗誤差（ バイアスと分散のトレードオフ も参照） のおおよその最小値は 、サンプルサイズが2より大きいと仮定し、MLEに補正係数をかけて求めることができる。 これは 逆ガンマ分布 の平均と分散から導かれる 。 [12] λ ^ = ( n − 2 n ) ( 1 x ¯ ) = n − 2 ∑ i x i {\displaystyle {\widehat {\lambda }}=\left({\frac {n-2}{n}}\right)\left({\frac {1}{\bar {x}}}\right)={\frac {n-2}{\sum _{i}x_{i}}}} Inv-Gamma ( n , λ ) {\textstyle {\mbox{Inv-Gamma}}(n,\lambda )}
速度パラメータの推定値に対する フィッシャー情報 量 （ ） は次のように与えられます。 I ( λ ) {\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )} λ {\displaystyle \lambda } I ( λ ) = E [ ( ∂ ∂ λ log f ( x ; λ ) ) 2 | λ ] = ∫ ( ∂ ∂ λ log f ( x ; λ ) ) 2 f ( x ; λ ) d x {\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}\right|\lambda \right]=\int \left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}f(x;\lambda )\,dx}
分布を入力して解くと次のようになります。 I ( λ ) = ∫ 0 ∞ ( ∂ ∂ λ log λ e − λ x ) 2 λ e − λ x d x = ∫ 0 ∞ ( 1 λ − x ) 2 λ e − λ x d x = λ − 2 . {\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log \lambda e^{-\lambda x}\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{\lambda }}-x\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\lambda ^{-2}.}
これは、指数分布の各独立サンプルが未知の速度パラメータについて持つ情報量を決定します 。 λ {\displaystyle \lambda }
信頼区間 指数分布の速度パラメータの正確な100(1 − α)%信頼区間は次式で与えられる: [13] これは
次式 にも等しく、 χ 2 n λ ^ mle χ α 2 , 2 n 2 < 1 λ < 2 n λ ^ mle χ 1 − α 2 , 2 n 2 , {\displaystyle {\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}_{\textrm {mle}}\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}_{\textrm {mle}}\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}\,,} 2 n x ¯ χ α 2 , 2 n 2 < 1 λ < 2 n x ¯ χ 1 − α 2 , 2 n 2 , {\displaystyle {\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}\,,} 2 p 、 v は 自由度 v の カイ二乗分布 の 100( p ) パーセンタイル、nは観測値の数、xバーは標本平均である。正確な区間の端点への単純な近似は、 χ の正規近似を用いて導出することができる。 2 p 、 v 分布。この近似により、95%信頼区間は次の値になります。 λ lower = λ ^ ( 1 − 1.96 n ) λ upper = λ ^ ( 1 + 1.96 n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{\text{lower}}&={\widehat {\lambda }}\left(1-{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\\\lambda _{\text{upper}}&={\widehat {\lambda }}\left(1+{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\end{aligned}}}
この近似値は、少なくとも15～20個の元素を含むサンプルには許容できる可能性がある。 [14]
共役事前分布を用いたベイズ推論 指数分布の 共役事前 分布は ガンマ分布 です（指数分布はその特殊ケースです）。ガンマ確率密度関数の以下のパラメータ化は有用です。
Gamma ( λ ; α , β ) = β α Γ ( α ) λ α − 1 exp ( − λ β ) . {\displaystyle \operatorname {Gamma} (\lambda ;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta ).}
事後 分布 pは 、上で定義した尤度関数とガンマ事前分布を使って次のように表すことができます。
p ( λ ) ∝ L ( λ ) Γ ( λ ; α , β ) = λ n exp ( − λ n x ¯ ) β α Γ ( α ) λ α − 1 exp ( − λ β ) ∝ λ ( α + n ) − 1 exp ( − λ ( β + n x ¯ ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}p(\lambda )&\propto L(\lambda )\Gamma (\lambda ;\alpha ,\beta )\\&=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right){\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta )\\&\propto \lambda ^{(\alpha +n)-1}\exp(-\lambda \left(\beta +n{\overline {x}}\right)).\end{aligned}}}
事後密度 p は 、欠落している正規化定数を除いて指定されました。これはガンマ確率密度関数の形をしているので、簡単に埋めることができ、以下の式が得られます。
p ( λ ) = Gamma ( λ ; α + n , β + n x ¯ ) . {\displaystyle p(\lambda )=\operatorname {Gamma} (\lambda ;\alpha +n,\beta +n{\overline {x}}).}
ここで、 ハイパーパラメータ α は事前観測値の数、 βは 事前観測値の合計として解釈できます。ここでの事後平均は以下です。 α + n β + n x ¯ . {\displaystyle {\frac {\alpha +n}{\beta +n{\overline {x}}}}.}
較正事前分布を用いたベイズ推論 指数分布は、群 構造を持つ統計分布の一つである 。群構造の結果として、指数分布には ハール測度 が関連付けられる。これは、ベイズ予測において ハール測度を 事前 分布（ハール事前分布として知られる） として 使用すると、任意の真のパラメータ値に対して完全に較正された確率が得られる。 [15] [16] [17] 完全に較正された確率は、予測される確率がサンプル外イベントの頻度と正確に一致するという性質を持つ。指数分布の場合、ハール事前分布を用いて生成されたベイズ予測の正確な式が次式で与えられる。 1 / λ . {\displaystyle 1/\lambda .}
p H a a r − p r i o r ( x n + 1 ∣ x 1 , … , x n ) = n n + 1 ( x ¯ ) n ( n x ¯ + x n + 1 ) n + 1 . {\displaystyle p_{\rm {Haar-prior}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n^{n+1}\left({\overline {x}}\right)^{n}}{\left(n{\overline {x}}+x_{n+1}\right)^{n+1}}}.}
これは事前予測の較正の例であり、事前予測は較正を改善する（そしてこの場合は較正を完璧にする）ように選択される。Haar事前分布を用いた指数関数の事前予測の較正は、 R ソフトウェアパッケージfitdistcp[1]に実装されている。
以下の予測セクションで説明するように、他のさまざまな観点からも同じ予測を導き出すことができます。
発生と応用
イベントの発生 指数分布は、均質なポアソン過程 における到着間隔の長さを記述するときに自然に発生します 。
指数分布は、 離散 過程の状態変化に必要な ベルヌーイ試行 回数を表す幾何 分布 の連続版と見なすことができます。これに対し、指数分布は連続過程の状態変化にかかる時間を表します。
現実世界のシナリオでは、一定率（または単位時間あたりの確率）という仮定が満たされることはほとんどありません。例えば、電話の着信率は時間帯によって異なります。しかし、平日の午後2時から4時のように、着信率がほぼ一定である時間帯に焦点を当てると、指数分布は次の電話がかかってくるまでの時間の近似モデルとして適しています。同様の注意事項は、近似的に指数分布に従う変数を生成する以下の例にも当てはまります。
放射性粒子が崩壊する までの時間、または ガイガーカウンター のクリック間の時間 1回の電話を受けてから次の電話を受けるまでの時間 縮約形信用リスクモデルにおける債務不履行（企業債権者への支払い）までの時間 指数変数は、 DNA 鎖上の 変異 間の距離や、特定の道路上の 轢き殺傷者 間の距離など、特定のイベントが単位長さあたり一定の確率で発生する状況をモデル化するためにも使用 できます。
待ち行列理論 では 、システム内のエージェントのサービス時間（例えば、銀行の窓口係などが顧客にサービスを提供するのにかかる時間）は、しばしば指数分布変数としてモデル化されます。（例えば、顧客の到着も、到着が独立しており、かつ同一の分布を示す場合、 ポアソン分布 によってモデル化されます。）複数の独立したタスクのシーケンスとして考えられるプロセスの長さは、 アーラン分布 （複数の独立した指数分布変数の合計の分布）に従います。
信頼性理論 と 信頼性工学 においても、指数分布は広く用いられています。この分布はメモリレス特性を持つため、信頼性理論で使用される バスタブ曲線の一定 ハザード率 部分をモデル化するのに適しています。また、信頼性モデルに 故障率を 簡単に追加できるため、非常に便利です 。しかし、指数分布は生物や技術機器の寿命全体をモデル化するには適していません。なぜなら、ここでの「故障率」は一定ではないからです。非常に新しいシステムや非常に古いシステムでは、故障が多く発生します。
CumFreq [18] を使用して年間最大1日降雨量に近似した累積指数分布 物理学 では、 一定の 温度 と 圧力 のもとで均一な 重力場に ある気体を 観測すると 、様々な分子の高さも近似的に指数分布に従います。これは 気圧の公式 として知られています。これは、後述するエントロピーの性質によるものです。
水文学 では 、指数分布は日降水量や河川流量の月間および年間の最大値などの変数の極端な値を分析するために使用されます。 [19]
青い図は、年間最大日降水量の順位付けに指数分布を当てはめた例を示しており、 二項分布 に基づく90% 信頼区間も表示しています。降水量データは、 累積頻度分析 の一環として プロットされた位置 によって表されています 。 手術室管理において、典型的な作業内容がない 手術のカテゴリ（すべての種類の手術を網羅する緊急治療室など） の手術時間の分布。
予測 未知の指数分布からn個 のデータ点の標本を観測した後、 これらの標本を用いて同じ情報源からの将来のデータについて予測を行うのが一般的な課題である。将来の標本に対する一般的な予測分布は、いわゆるプラグイン分布であり、指数密度関数に速度パラメータ λ の適切な推定値を代入することによって形成される。推定値としては、最大尤度の原理によって与えられるものが一般的に選択され、これを用いることで、 観測標本 x = ( x 1 , ..., x n )を
条件とする将来の標本 x n +1に対する予測密度は以下のように与えられる。 p M L ( x n + 1 ∣ x 1 , … , x n ) = ( 1 x ¯ ) exp ( − x n + 1 x ¯ ) . {\displaystyle p_{\rm {ML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {1}{\overline {x}}}\right)\exp \left(-{\frac {x_{n+1}}{\overline {x}}}\right).}
ベイズアプローチは、推定パラメータの不確実性を考慮した予測分布を提供しますが、これは事前分布の選択に大きく依存する可能性があります。
主観的ベイズアプローチで生じる事前分布の選択の問題を回避した予測分布は
p C N M L ( x n + 1 ∣ x 1 , … , x n ) = n n + 1 ( x ¯ ) n ( n x ¯ + x n + 1 ) n + 1 , {\displaystyle p_{\rm {CNML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n^{n+1}\left({\overline {x}}\right)^{n}}{\left(n{\overline {x}}+x_{n+1}\right)^{n+1}}},}
これは次のように考えることができる
頻度主義的 信頼分布は 、重要な量の分布から得られる 。 [20] x n + 1 / x ¯ {\displaystyle {x_{n+1}}/{\overline {x}}} プロファイル予測尤度は、 x n +1 と λ の結合尤度から パラメータ λを 最大化によって除去することによって得られる。 [21] 客観的ベイズ予測事後分布。これは、情報を持たない ジェフリーズ事前分布 1/ λを用いて得られる。 これはこの場合、右ハール事前分布に等しい。右ハール事前分布を用いて生成された予測は、完全に較正された確率を与えることが保証されている。 [22] [23] 情報理論的考察に基づく条件付き正規化最大尤度（CNML）予測分布。 [24] 予測分布の精度は、真の指数分布（速度パラメータ λ 0 ）と、標本 x に基づく予測分布との間の距離または乖離によって測定できる。 カルバック・ライブラー・ダイバージェンスは、 2つの分布間の差を測る、パラメータ化を必要としない一般的な指標である。Δ( λ 0 || p )を、速度パラメータ λ 0 を持つ指数分布 と予測分布 p との間のカルバック・ライブラー・ダイバージェンスとすると、次式が成り立つ。
E λ 0 [ Δ ( λ 0 ∥ p M L ) ] = ψ ( n ) + 1 n − 1 − log ( n ) E λ 0 [ Δ ( λ 0 ∥ p C N M L ) ] = ψ ( n ) + 1 n − log ( n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {ML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n-1}}-\log(n)\\\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {CNML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n}}-\log(n)\end{aligned}}}
ここで、期待値は速度パラメータλ 0 ∈ (0, ∞) を持つ指数分布に対するものであり 、 ψ( · )はディガンマ関数である。すべてのサンプルサイズ n > 0 において、CNML予測分布は平均カルバック・ライブラー・ダイバージェンスに関して最大尤度プラグイン分布よりも明らかに優れていることは明らかである 。
ランダム変数生成 指数変量 を生成する概念的に非常に単純な方法は、 逆変換サンプリング に基づいています。 単位区間 （0, 1）上の 一様分布 から抽出された ランダム変量 U が与えられた場合、変量
T = F − 1 ( U ) {\displaystyle T=F^{-1}(U)}
指数分布に従う。ここで F −1 は分位関数 であり 、次のように定義される。
F − 1 ( p ) = − ln ( 1 − p ) λ . {\displaystyle F^{-1}(p)={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}.}
さらに、 U が (0, 1) 上で一様であれば、 1 − U も一様です。これは、次のように指数変数を生成できることを意味します。
T = − ln ( U ) λ . {\displaystyle T={\frac {-\ln(U)}{\lambda }}.}
指数変数を生成するための他の方法については、Knuth [25] と Devroye [26]によって議論されています。
ソートルーチンを使用せずに、順序付けされた指数変数のセットを高速に生成する方法も利用可能です。 [26]
参照
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外部リンク ウィキブック 確率には 指数分布 に関するページがあります。
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9efa3ce3c964c59532609b3d6b8f01ce88f6221)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c450db5013b1cfdaf5ea71106c9d13834e02d61)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5d3a82fbcff5a294e5360fb05b1e5f2166ec09)
![{\displaystyle \operatorname {m} [X]={\frac {\ln(2)}{\lambda }\operatorname {E} [X],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f19becbfbc702d8c33a9698c779384fe3f4dca1)
![{\displaystyle \left|\operatorname {E} \left[X\right]-\operatorname {m} \left[X\right]\right|={\frac {1-\ln(2)}{\lambda }{\frac {1}{\lambda }}=\operatorname {\sigma } [X],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48a50d7c835e2c16f59682fe49712aa41a54d8a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)&={\frac {\Pr \left(T>s+t\cap T>s\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {\Pr \left(T>s+t\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}}\\[4pt]&=e^{-\lambda t}\\[4pt]&=\Pr(T>t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126da1213459cde98ae372eae857a18183675f5a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {q}}_{\alpha }(X)&={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}q_{p}(X)dp\\&={\frac {1}{(1-\alpha )}}\int _{\alpha }^{1}{\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}dp\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{1-\alpha }^{0}-\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{0}^{1-\alpha }\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}[(1-\alpha )\ln(1-\alpha )-(1-\alpha )]\\&={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb6c9508565c42978ca1153dc0f6bfd0199a45c)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d350557a602c2566c092558fff0aefb0049c7c9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(nk)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right]\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(nk)\lambda }}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(nk)\lambda }}+\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{((nk)\lambda )^{2}}}+\left(\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(nk)\lambda }}\right)^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0135f144a56c4b7565f7faa61cc3abb42afe9c0d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\mid X_{(i)}=x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\textrm {since}}~X_{(i)}=x\implies X_{(j)}\geq x\right)\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\left[\operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\text{メモリレス特性により}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(nk)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be5949313f3639a86ac81484ac8ca7f4f9edb4d4)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00169b33907d379235fd4561c63c13d4c51a619a)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775aa6cfd6c5d2b1e4b70ce3108a17f93f7b0224)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(z-x_{1})\,dx_{1}\\&=\int _{0}^{z}\lambda _{1}e^{-\lambda _{1}x_{1}}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}(z-x_{1})}\,dx_{1}\\&=\lambda _{1}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}z}\int _{0}^{z}e^{(\lambda _{2}-\lambda _{1})x_{1}}\,dx_{1}\\&={\begin{cases}{\dfrac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\left(e^{-\lambda _{1}z}-e^{-\lambda _{2}z}\right)&{\text{ if }}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\\[4pt]\lambda ^{2}ze^{-\lambda z}&{\text{ if }}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda .\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2db15dda49fe8482485a68c9d7c9b1c1d46ee95)
![{\displaystyle {\frac {d}{d\lambda }}\ln L(\lambda )={\frac {d}{d\lambda }}\left(n\ln \lambda -\lambda n{\overline {x}}\right)={\frac {n}{\lambda }}-n{\overline {x}}\ {\begin{cases}>0,&0<\lambda <{\frac {1}{\overline {x}}},\\[8pt]=0,&\lambda ={\frac {1}{\overline {x}}},\\[8pt]<0,&\lambda >{\frac {1}{\overline {x}}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ec59bc9ccff1952291621e3eccc741ee1341a2)
![{\displaystyle B\equiv \operatorname {E} \left[\left({\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}-\lambda \right)\right]={\frac {\lambda }{n-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6df9c9d7b6d1a8ffc31748e7cdf0cc750b442e4)
![{\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}\right|\lambda \right]=\int \left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}f(x;\lambda )\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c70bd835b54bb1b7f344dbf1f04d170bd1d4852)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {ML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n-1}}-\log(n)\\\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {CNML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n}}-\log(n)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02702bfd262096d01f27b67eab961ff7ccb512a9)
