行列指数

Matrix operation generalizing exponentiation of scalar numbers

数学において、指数行列は、通常の指数関数に類似した正方行列上の行列関数である。これは、線形微分方程式系を解く際に用いられる。リー群の理論において、指数行列は、行列リー代数と対応するリー群との間の指数写像を与える。

X をn × n の実数 または複素行列 と する。Xの指数関数はe ^Xまたはexp( X )で表され、次のべき級数で与えられるn × n行列である。

$${\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}}$$

ここで、は、およびと同じ次元の単位行列として定義されます。^{[1]この級数は常に収束するため、} Xの指数は明確に定義されます。 ${\displaystyle X^{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{k}=XX^{k-1}}$

同様に、 $${\displaystyle e^{X}=\lim _{k\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {X}{k}}\right)^{k}}$$

整数値のkの場合、Iはn × n 単位行列です。

同様に、行列指数関数は（行列）微分方程式の解によって与えられる。 ${\displaystyle Y(t)=e^{Xt}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Y(t)=X\,\,Y(t),\quad Y(0)=I.}$$

Xがn × n 対角行列の場合、 exp( X )はn × n対角行列になり、各対角要素はXの対応する対角要素に適用された通常の指数に等しくなります。

プロパティ

基本的な性質

XとYをn × n複素行列とし、 aとbを任意の複素数とする。n×n単位行列をI、零行列を0で表す。指数行列 は以下の性質を満たす。^[2]

まず、べき級数としての定義から直接得られる特性から始めます。

• e ⁰ =私
• exp( X ^T ) = (exp X ) ^T、ここでX ^TはXの転置を表します。
• exp( X ^∗ ) = (exp X ) ^∗、ここでX ^{∗ は}Xの共役転置を表します。
• Yが逆関数の場合、 e ^{YXY −1} = Ye ^X Y ⁻¹となります。

次の重要な結果は次のとおりです。

• もしそうなら。 ${\displaystyle XY=YX}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}$

この恒等式の証明は、実数の指数関数の対応する恒等式を求める標準的な冪級数の議論と同じです。つまり、と が可換である限り ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$、と が数であるか行列であるかは議論に何ら影響を与えません。ただし、 と が可換でない場合、この恒等式は一般に成立しないことに注意することが重要です（下記のゴールデン・トンプソン不等式を参照）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

前述のアイデンティティの結果は次のとおりです。

• e ^aX e ^bX = e ^{( a + b ) X}
• e ^X e ^{− X} = I

上記の結果を用いることで、以下の主張を容易に検証できる。Xが対称ならばe Xも対称^であり、Xが歪対称ならばe ^Xは直交である。Xがエルミートならばe Xもエルミート^であり、Xが歪エルミートならばe ^Xはユニタリである。

最後に、行列指数のラプラス変換は、 sの十分に大きい正の値すべてに対して、解決子に相当します。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ts}e^{tX}\,dt=(sI-X)^{-1}}$$

線形微分方程式系

行列指数関数が重要な理由の一つは、線形常微分方程式系を解くのに使えることです。Aを定数行列、yを列ベクトルとすると、の解は 次のように与えられます。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0},}$$ $${\displaystyle y(t)=e^{At}y_{0}.}$$

行列指数は不同次方程式を解くのにも使用できます。例については、以下の応用のセクションを参照してください。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}.}$$

Aが定数ではない 形式の微分方程式には閉じた形の解は存在しませんが、マグヌス級数は解を無限和として与えます。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0},}$$

行列指数の行列式

ヤコビの公式によれば、任意の複素正方行列に対して次のトレース恒等式が成り立つ：^[3]

${\displaystyle \det \left(e^{A}\right)=e^{\operatorname {tr} (A)}~.}$

この式は計算ツールを提供するだけでなく、指数行列が常に逆行列であることを示しています。これは、上式の右辺が常に非ゼロであり、したがってdet( e ^A ) ≠ 0 であるという事実から導かれ、e ^{A は}必ず逆行列であることを意味します。

実数値の場合、前述の複素数の場合とは対照的に、この式は写像が射影的でないことも示しています。これは、実数値行列の場合、式の右辺は常に正であるのに対し、負の行列式を持つ逆行列が存在するという事実から導き出されます。 $${\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$$

実対称行列

実対称行列の指数行列は正定値行列である。n × nの実対称行列と列ベクトルをそれぞれとする。指数行列と対称行列の基本的な性質を用いると、以下の式が得られる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle x^{T}e^{S}x=x^{T}e^{S/2}e^{S/2}x=x^{T}(e^{S/2})^{T}e^{S/2}x=(e^{S/2}x)^{T}e^{S/2}x=\lVert e^{S/2}x\rVert ^{2}\geq 0.}$$

は可逆なので、等式は に対してのみ成立し、すべての非ゼロ に対して が成立します。したがって、は正定値です。 ${\displaystyle e^{S/2}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x^{T}e^{S}x>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{S}}$

和の指数

任意の実数（スカラー）xとyに対して、指数関数はe ^{x + y} = e ^x e ^yを満たすことが知られています。これは可換行列についても当てはまります。行列XとY が可換（つまりXY = YX）である場合、 $${\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}.}$$

ただし、交換されない行列の場合、上記の等式は必ずしも成立しません。

リー積の公式

XとYが交換可能でなくても、指数関数e ^{X + Y}はリー積の公式^[4]によって計算できる。 $${\displaystyle e^{X+Y}=\lim _{k\to \infty }\left(e^{{\frac {1}{k}}X}e^{{\frac {1}{k}}Y}\right)^{k}.}$$

上記を近似するために大きな有限kを使用することは、数値時間発展でよく使用される鈴木-トロッター展開の基礎です。

ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの式

逆に、XとYが十分に小さい（ただし必ずしも可換である必要はない）行列であれば、次式が成り立ちます。ここでZは、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式を用いて、XとYの交換子の級数として計算できます。 ^{[5]ここで、残りの項はすべて}XとYを含む繰り返し交換子です。XとYが可換であれば、すべての交換子はゼロとなり、Z = X + Yとなります。 $${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z},}$$ $${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,}$$

エルミート行列の指数関数の不等式

エルミート行列の場合、行列指数のトレースに関連した注目すべき定理があります。

AとBがエルミート行列である場合、 ^[6] $${\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \left[\exp(A)\exp(B)\right].}$$

交換可能性は要求されない。ゴールデン・トンプソン不等式は3つの行列には拡張できないことを示す反例があり、いずれにせよ、tr(exp( A )exp( B )exp( C ))がエルミート行列A、B、Cに対して実数であるとは保証されない。しかし、リープは^{[7] [8]} 、式を次のように変形すれば3つの行列に一般化できることを証明した。 $${\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\operatorname {tr} \left[e^{A}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}e^{C}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}\right].}$$

指数マップ

行列の指数は常に可逆行列です。 e ^Xの逆行列はe ^{− X}で与えられます。これは、複素数の指数が常に非ゼロであるという事実に類似しています。したがって、行列指数は、 すべてのn × n行列の空間からn 次一般線型群、つまりすべてのn × n可逆行列の群への写像を与えます。実際、この写像は射影的であり、つまりすべての可逆行列は他の行列の指数として表すことができます^[9] （このためには、複素数の体Cを考慮し、 R を考慮することが不可欠です）。 $${\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$$

任意の2つの行列XとYについて、 $${\displaystyle \left\|e^{X+Y}-e^{X}\right\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|},}$$

ここで‖ · ‖は任意の行列ノルムを表す。したがって、指数写像はM _n ( C )のコンパクト部分集合上で連続かつリプシッツ連続となる。

この写像は 、一般線型群においてt = 0で単位元を通過する滑らかな曲線 を定義します。 $${\displaystyle t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R} }$$

実際、これは一般線型群の1パラメータ部分群を与える。 $${\displaystyle e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}.}$$

この曲線（または接線ベクトル）の点tにおける微分は次のように与えられる。

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{tX}=Xe^{tX}=e^{tX}X.}$$

1

t = 0における導関数は行列Xそのもので、つまりX はこの 1 パラメータ サブグループを生成します。

より一般的には、^[10]一般的なt依存指数X ( t )に対して、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{\alpha X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{(1-\alpha )X(t)}\,d\alpha ~.}$

上記の式e ^{X ( t )}を積分符号の外側に置き、アダマールの補題を用いて積分関数を展開すると、行列指数の導関数を表す次の便利な式が得られる。^[11] $${\displaystyle e^{-X(t)}\left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)={\frac {d}{dt}}X(t)-{\frac {1}{2!}}\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3!}}\left[X(t),\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]\right]-\cdots }$$

上記の式の係数は指数関数に現れる係数とは異なります。閉じた形式については、指数関数写像の微分を参照してください。

エルミート行列に限定した場合の方向微分

を異なる固有値を持つエルミート行列とする。をその固有分解とする。ここではユニタリ行列で、その列は の固有ベクトル、はその共役転置、 は対応する固有値のベクトルである。すると、任意のエルミート行列 に対して、方向におけるの方向微分は^{[12] [13]}となる 。ここで、演算子はアダマール積を表し、すべての に対して、行列は と定義される。さらに、任意のエルミート行列に対して、 方向および方向の2次方向微分は ^[13]となる。ここで、行列値関数は、すべての に対して、 次のように定義される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle X=E{\textrm {diag}}(\Lambda )E^{*}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda =\left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\right)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \exp :X\to e^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle D\exp(X)[V]\triangleq \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon V}-e^{X}\right)=E(G\odot {\bar {V}})E^{*}}$$ ${\displaystyle {\bar {V}}=E^{*}VE}$ ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle G_{i,j}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {e^{\lambda _{i}}-e^{\lambda _{j}}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&e^{\lambda _{i}}&{\text{ otherwise}}.\\\end{aligned}}\right.}$$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle D^{2}\exp(X)[U,V]\triangleq \lim _{\epsilon _{u}\to 0}\lim _{\epsilon _{v}\to 0}{\frac {1}{4\epsilon _{u}\epsilon _{v}}}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X-\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X+\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}+e^{X-\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}\right)=EF(U,V)E^{*}}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ $${\displaystyle F(U,V)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}\phi _{i,j,k}({\bar {U}}_{ik}{\bar {V}}_{jk}^{*}+{\bar {V}}_{ik}{\bar {U}}_{jk}^{*})}$$ $${\displaystyle \phi _{i,j,k}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {G_{ik}-G_{jk}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&{\frac {G_{ii}-G_{ik}}{\lambda _{i}-\lambda _{k}}}&{\text{ if }}i=j{\text{ and }}k\neq i,\\&{\frac {G_{ii}}{2}}&{\text{ if }}i=j=k.\\\end{aligned}}\right.}$$

行列指数の計算

行列指数を計算するための信頼性が高く正確な方法を見つけることは困難であり、これは数学と数値解析の分野で現在も盛んに研究されているテーマです。Matlab 、 GNU Octave、R、SciPyはすべてパデ近似を使用します。^{[14] [15] [16] [17]}このセクションでは、原理的には任意の行列に適用でき、小さな行列に対しても明示的に実行できる方法について説明します。^[18]以降のセクションでは、大きな行列の数値評価に適した方法について説明します。

対角化可能な場合

行列が対角行列の場合、その指数は主対角線上の各要素を指数化することで得られます。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\cdots &0\\0&e^{a_{2}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.}$$

この結果から、対角化可能な行列を指数化することもできる。

A = UDU ⁻¹

それから

e ^A = Ue ^D U ⁻¹、

これは、 Dが対角の場合に特に簡単に計算できます。

シルベスターの公式を適用しても同じ結果が得られます。（これを理解するには、対角行列の加算と乗算、つまり累乗は、要素ごとの加算と乗算、つまり累乗と同等であることに注意してください。特に、対角行列の場合、「1次元」の累乗は要素ごとに行われます。）

例: 対角化可能

例えば、行列は次のように対角化できる。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&4\\1&1\\\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}.}$$

したがって、 $${\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{e}}&0\\0&e^{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {e^{4}+1}{2e}}&{\frac {e^{4}-1}{e}}\\{\frac {e^{4}-1}{4e}}&{\frac {e^{4}+1}{2e}}\\\end{bmatrix}}.}$$

べき乗ケース

行列N がべき零であるとは、ある整数qに対してN ^q = 0 となる場合である。この場合、級数は有限個の項で終了するため、級数展開から直接行列指数e ^Nを計算することができる。

$${\displaystyle e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}~.}$$

この級数は有限個のステップを持つため、効率的に計算できる行列多項式です。

一般的なケース

ジョルダン・シュヴァレー分解を用いる

ジョルダン・シュヴァレー分解により、任意の複素要素を持つ行列Xは次のように表される。ここで ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle X=A+N}$$

• Aは対角化可能
• Nはべき乗である
• Aは Nと通勤する

これは、前の 2 つのケースに還元することでXの指数を計算できることを意味します。 $${\displaystyle e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}.}$$

最後のステップが機能するには、 AとNの可換性が必要であることに注意してください。

ジョルダン標準形の使用

これによく似た方法として、体が代数的に閉じている場合、 Xのジョルダン形式を扱う方法がある。X = PJP ⁻¹と仮定し、 JはXのジョルダン形式であるとする。すると、 $${\displaystyle e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.}$$

また、 $${\displaystyle {\begin{aligned}J&=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),\\e^{J}&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}.\end{aligned}}}$$

したがって、ジョルダンブロックの指数行列を計算する方法さえ知っていればよい。しかし、各ジョルダンブロックは次のような形式である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&&J_{a}(\lambda )&=\lambda I+N\\&\Rightarrow &e^{J_{a}(\lambda )}&=e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}.\end{aligned}}}$$

ここでNは特殊冪零行列である。Jの行列指数は次のように与えられる。 $${\displaystyle e^{J}=e^{\lambda _{1}}e^{N_{a_{1}}}\oplus e^{\lambda _{2}}e^{N_{a_{2}}}\oplus \cdots \oplus e^{\lambda _{n}}e^{N_{a_{n}}}}$$

投影ケース

Pが射影行列（つまりべき等：P ² = P ）の場合、その行列指数は次のようになります。

eP = I + ( e −1) P^です。

これを指数関数の展開によって導くと、Pの各べき乗はPに減算され、これが合計の共通因数になります。 $${\displaystyle e^{P}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P^{k}}{k!}}=I+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\right)P=I+(e-1)P~.}$$

回転ケース

直交する単位ベクトルaとbが平面を指定する単純な回転の場合、 ^[19]回転行列 Rは、生成元 Gと角度θを含む同様の指数関数で表すことができます。^{[20] [21]} $${\displaystyle {\begin{aligned}G&=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}&P&=-G^{2}=\mathbf {aa} ^{\mathsf {T}}+\mathbf {bb} ^{\mathsf {T}}\\P^{2}&=P&PG&=G=GP~,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}R\left(\theta \right)=e^{G\theta }&=I+G\sin(\theta )+G^{2}(1-\cos(\theta ))\\&=I-P+P\cos(\theta )+G\sin(\theta )~.\\\end{aligned}}}$$

指数関数の公式は、級数展開におけるGのべき乗を簡約し、 G ²とGのそれぞれの級数係数をそれぞれ−cos( θ )とsin( θ )と同一視することで得られる。ここでのe ^Gθの2番目の式は、生成子の導出を含む論文のR ( θ )の式、R ( θ ) = e ^Gθと同じである。

2 次元では、およびの場合、、、は平面回転の標準行列に簡約されます。 ${\displaystyle a=\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle b=\left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle G=\left[{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle G^{2}=\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]}$ $${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}=I\cos(\theta )+G\sin(\theta )}$$

行列P = − G ² はベクトルをab平面に投影し、回転はベクトルのこの部分にのみ影響します。これを示す例として、aとbが張る平面における30° = π/6の回転が挙げられます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}&\mathbf {b} &={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{bmatrix}0\\1\\2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}G={\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\begin{bmatrix}0&-1&-2\\1&0&0\\2&0&0\\\end{bmatrix}}&P=-G^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}5&0&0\\0&1&2\\0&2&4\\\end{bmatrix}}\\P{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}&{\begin{bmatrix}5\\8\\16\\\end{bmatrix}}=\mathbf {a} +{\frac {8}{\sqrt {5}}}\mathbf {b} &R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}5{\sqrt {3}}&-{\sqrt {5}}&-2{\sqrt {5}}\\{\sqrt {5}}&8+{\sqrt {3}}&-4+2{\sqrt {3}}\\2{\sqrt {5}}&-4+2{\sqrt {3}}&2+4{\sqrt {3}}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

N = I - Pとすると、N ² = Nとなり、 PおよびGとの積はゼロになります。これにより、 Rのべき乗を評価できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&=N+P{\frac {\sqrt {3}}{2}}+G{\frac {1}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{2}&=N+P{\frac {1}{2}}+G{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{3}&=N+G\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{6}&=N-P\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{12}&=N+P=I\\\end{aligned}}}$$

ローラン級数による評価

ケーリー・ハミルトン定理により、行列指数はn −1次多項式として表現できます。

PとQ _{t が}1 変数の非ゼロ多項式で、 P ( A ) = 0 であり、有理型関数が完全である場合、これを証明するには、上記の 2 つの等式の最初のものにP ( z )を掛け、z をAに置き換えます。 $${\displaystyle f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}}$$ $${\displaystyle e^{tA}=Q_{t}(A).}$$

このような多項式Q _t ( z ) は次のようにして求められます（シルベスターの公式を参照）。a をPの根とすると、Q _a,t ( z )は、 aにおけるfのローラン級数の主部分とPの積から解かれます。これは、関連するフロベニウス共変量に比例します。次に、 Q _a,tの合計S _{t （} aがPのすべての根にわたる）を、特定のQ _tとして取ることができます。その他すべてのQ _{t は}、 Pの倍数をS _t ( z )に追加することで得られます。特に、ラグランジュ・シルベスター多項式S _t ( z )は、次数がPの次数よりも小さい唯一のQ _tです。

例:任意の2×2行列の場合を考えます。 $${\displaystyle A:={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.}$$

指数行列e ^{tA は}、ケーリー・ハミルトン定理により、次の形式となる。 $${\displaystyle e^{tA}=s_{0}(t)\,I+s_{1}(t)\,A.}$$

（任意の複素数zと任意のC代数Bについて、 zと単位Bの積を再びzで表します。）

αとβをAの特性多項式の根とすると、 $${\displaystyle P(z)=z^{2}-(a+d)\ z+ad-bc=(z-\alpha )(z-\beta )~.}$$

すると、 $${\displaystyle S_{t}(z)=e^{\alpha t}{\frac {z-\beta }{\alpha -\beta }}+e^{\beta t}{\frac {z-\alpha }{\beta -\alpha }}~,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&={\frac {\alpha \,e^{\beta t}-\beta \,e^{\alpha t}}{\alpha -\beta }},&s_{1}(t)&={\frac {e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{\alpha -\beta }}\end{aligned}}}$$

α ≠ βの場合;一方、α = βの場合、 $${\displaystyle S_{t}(z)=e^{\alpha t}(1+t(z-\alpha ))~,}$$

となることによって $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&=(1-\alpha \,t)\,e^{\alpha t},&s_{1}(t)&=t\,e^{\alpha t}~.\end{aligned}}}$$

定義 $${\displaystyle {\begin{aligned}s&\equiv {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\operatorname {tr} A}{2}}~,&q&\equiv {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\pm {\sqrt {-\det \left(A-sI\right)}},\end{aligned}}}$$

我々は持っています $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&=e^{st}\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right),&s_{1}(t)&=e^{st}{\frac {\sinh(qt)}{q}},\end{aligned}}}$$

ここでsin( qt )/ qは、 t = 0の場合には 0 、q = 0の場合にはt になります。

したがって、

${\displaystyle e^{tA}=e^{st}\left(\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right)~I~+{\frac {\sinh(qt)}{q}}A\right)~.}$

したがって、上で示したように、行列Aは互いに可換な2つの部分、すなわちトレース部分とトレースなし部分の和に分解され、 $${\displaystyle A=sI+(A-sI)~,}$$

行列指数関数は、それぞれの2つの部分の指数関数の単純な積に簡約されます。これは物理学でよく用いられる公式で、パウリスピン行列に対するオイラーの公式、つまりSU(2)群の二重項表現の回転に相当するため、よく用いられます。

多項式S _{t に}は、次の「補間」特性を与えることもできます。e _t ( z ) ≡ e ^tz、n ≡ deg Pと定義します。すると、S _t ( z )は、kが P の根としてのaの重複度より小さいときに必ずS _t ^{( k )} ( a ) = e _t ^{( k )} ( a )を満たす唯一の次数 < n の多項式です。当然のことですが、PはAの最小多項式であると仮定します。さらに、 Aは対角化可能な行列であると仮定します。特に、 Pの根は単純であり、「補間」特性からS _tはラグランジュの補間式で与えられ、したがってラグランジュ−シルベスター多項式であることが示されます。

一方、P = ( z - a ) ⁿの場合には、 $${\displaystyle S_{t}=e^{at}\ \sum _{k=0}^{n-1}\ {\frac {t^{k}}{k!}}\ (z-a)^{k}~.}$$

上記の観察でカバーされていない最も単純なケースは、a ≠ bのときであり、これは次の式を与える。 ${\displaystyle P=(z-a)^{2}\,(z-b)}$ $${\displaystyle S_{t}=e^{at}\ {\frac {z-b}{a-b}}\ \left(1+\left(t+{\frac {1}{b-a}}\right)(z-a)\right)+e^{bt}\ {\frac {(z-a)^{2}}{(b-a)^{2}}}.}$$

実施による評価シルベスターの式

上記の実用的かつ迅速な計算は、以下の迅速な手順に簡略化されます。前述のように、n × n行列exp( tA )は、ケーリー・ハミルトン定理により、 Aの最初のn −1 乗の線形結合に相当します。対角化可能な行列の場合、例えば2 × 2の場合、シルベスターの公式はexp( tA ) = B _α exp( tα ) + B _β exp( tβ )となります。ここで、BはAのフロベニウス共変量です。

ただし、この式とt = 0でのその 1 次導関数をAとIについて評価して、これらのBを直接解くだけで、上記と同じ答えが得られるのが最も簡単です。

しかし、この単純な手順は、ブッフハイムによる一般化により、欠陥のある行列にも適用できます。 ^[22]ここでは、対角化できず、Bが射影行列ではない4×4行列の例でこれを示します。

固有値λ ₁ = 3/4とλ ₂ = 1（それぞれ重複度2） を考えます 。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}~,}$$

各固有値の指数関数tをexp( λ _i t )で表す。指数関数で表された各固有値に、対応する未定係数行列B _iを乗じる。固有値の代数的重複度が1より大きい場合は、この処理を繰り返し、各繰り返しごとにtを乗じて線形独立性を確保する。

(1 つの固有値の重複度が 3 の場合、 という 3 つの項があります。対照的に、すべての固有値が異なる場合、Bはフロベニウス共変量にすぎず、以下のようにそれらを解くことは、これら 4 つの固有値のヴァンデルモンド行列の逆行列を求めることに相当します。) ${\displaystyle B_{i_{1}}e^{\lambda _{i}t},~B_{i_{2}}te^{\lambda _{i}t},~B_{i_{3}}t^{2}e^{\lambda _{i}t}}$

そのような項をすべて合計します。ここでは4つの項です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{At}&=B_{1_{1}}e^{\lambda _{1}t}+B_{1_{2}}te^{\lambda _{1}t}+B_{2_{1}}e^{\lambda _{2}t}+B_{2_{2}}te^{\lambda _{2}t},\\e^{At}&=B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{1_{2}}te^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+B_{2_{2}}te^{1t}~.\end{aligned}}}$$

未知の行列BのすべてをAの最初の3つのべき乗と恒等式で解くには4つの方程式が必要であり、上記の方程式はt = 0における方程式の1つである。さらにこれをtについて微分すると、 $${\displaystyle Ae^{At}={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left({\frac {3}{4}}t+1\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+1B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1t+1\right)B_{2_{2}}e^{1t}~,}$$

そしてまた、 $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{2}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+\left({\frac {3}{4}}+1\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{2}t+(1+1\cdot 1)\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+{\frac {3}{2}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{t}+\left(t+2\right)B_{2_{2}}e^{t}~,\end{aligned}}}$$

そしてもう一度、 $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{3}t+(1+2)\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t\!+{\frac {27}{16}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+B_{2_{1}}e^{t}\!+\left(t+3\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{t}~.\end{aligned}}}$$

（一般的なケースでは、n −1 回の導関数を取る必要があります。）

これらの4つの方程式でt = 0と設定すると、4つの係数行列B sは次のように解ける。 $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=B_{1_{1}}+B_{2_{1}}\\A&={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}+B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+B_{2_{2}}\\A^{2}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}+{\frac {3}{2}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+2B_{2_{2}}\\A^{3}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}+{\frac {27}{16}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+3B_{2_{2}}~,\end{aligned}}}$$

譲る $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{1_{1}}&=128A^{3}-366A^{2}+288A-80I\\B_{1_{2}}&=16A^{3}-44A^{2}+40A-12I\\B_{2_{1}}&=-128A^{3}+366A^{2}-288A+80I\\B_{2_{2}}&=16A^{3}-40A^{2}+33A-9I~.\end{aligned}}}$$

Aの値を代入すると係数行列が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{1_{1}}&={\begin{bmatrix}0&0&48&-16\\0&0&-8&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\\B_{1_{2}}&={\begin{bmatrix}0&0&4&-2\\0&0&-1&{\frac {1}{2}}\\0&0&{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}\\B_{2_{1}}&={\begin{bmatrix}1&0&-48&16\\0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\\B_{2_{2}}&={\begin{bmatrix}0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

最終的な答えは $${\displaystyle e^{tA}={\begin{bmatrix}e^{t}&te^{t}&\left(8t-48\right)e^{t}\!+\left(4t+48\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&\left(16-2\,t\right)e^{t}\!+\left(-2t-16\right)e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&e^{t}&8e^{t}\!+\left(-t-8\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&-2e^{t}+{\frac {t+4}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t+4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t}{8}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t-4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}~.\end{bmatrix}}}$$

この手順は、このような場合に時々使用されるPutzer のアルゴリズムよりもはるかに短くなります。

イラスト

の指数を計算したいとします。 $${\displaystyle B={\begin{bmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{bmatrix}}.}$$

そのジョルダン形式は行列Pが次のように与えられる。 $${\displaystyle J=P^{-1}BP={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&2&{\frac {5}{4}}\\{\frac {1}{4}}&-2&-{\frac {1}{4}}\\0&4&0\end{bmatrix}}.}$$

まずexp( J )を計算してみましょう。 $${\displaystyle J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)}$$

1×1行列の指数関数は、行列の1つの要素の指数関数に等しいので、_exp ( J ₁ (4)) = [ e ⁴ ]となる。J 2 (16)の指数関数は、前述の式e ^{(λ I + N )} = e ^λ e ^Nで計算でき、次の式が得られる^[23]。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots {}\right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

したがって、元の行列Bの指数は $${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

アプリケーション

線形微分方程式

行列指数関数は線形微分方程式系に応用できます。（行列微分方程式も参照してください。）この記事の前半で述べたように、形式の同次微分方程式 は解e ^At y (0)を持ちます。 $${\displaystyle \mathbf {y} '=A\mathbf {y} }$$

ベクトルを考えると、非同次連立線形微分方程式は次のように表すことができます。e − ^Atの積分係数を使用するという仮定を立て、全体に掛け合わせると、 $${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix}}~,}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} (t).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&&e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &e^{-At}\mathbf {y} '-Ae^{-At}\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &{\frac {d}{dt}}\left(e^{-At}\mathbf {y} \right)&=e^{-At}\mathbf {b} ~.\end{aligned}}}$$

2番目のステップは、 AB = BAならばe ^At B = Be ^Atとなるという事実によって可能になります。したがって、e ^Atを計算すると、3番目のステップをtに関して単純に積分することで、系の解が得られます。

この解は、 を積分し、 を掛けて左辺の指数を消すことで得られます。は行列ですが、行列指数関数型であるため、 と表現できることに注意してください。言い換えると、 です。 ${\displaystyle e^{{\textbf {A}}t}}$ ${\displaystyle e^{{\textbf {A}}t}}$ ${\displaystyle e^{{\textbf {A}}t}e^{-{\textbf {A}}t}=I}$ ${\displaystyle \exp {{\textbf {A}}t}=\exp {{(-{\textbf {A}}t)}^{-1}}}$

例（均質）

システムを検討する $${\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z\end{matrix}}~.}$$

関連する欠陥マトリックスは $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.}$$

行列指数は $${\displaystyle e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)&-2te^{2t}&e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)&2te^{2t}&e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,}$$

したがって、同次系の一般解は $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,}$$

相当する $${\displaystyle {\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~.\end{aligned}}}$$

例（不均質）

不均質なシステムを考えてみましょう $${\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}~.}$$

私たちはまた $${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,}$$

そして $${\displaystyle \mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}.}$$

既に同次方程式の一般解は得られています。同次解と特殊解を足し合わせると非同次問題の一般解が得られるので、あとは特殊解を求めるだけです。

上記により、パラメータを変化させることで必要な特殊解が得られるため、これをさらに簡略化することができます。c = y p (0) に注意してください。より厳密_な一般化については、以下の一般化を参照してください。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\left(2e^{u}-2ue^{2u}\right)\\e^{2u}\left(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,\end{aligned}}}$$

不均質なケースの一般化：パラメータの変化

非同次な場合には、積分係数（パラメータの変化に似た手法）を用いることができる。y p ( t ) = exp( tA ) z ( t )_という形の特異解を求める。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=\left(e^{tA}\right)'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}}$$

y _pが解となるためには、 $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=\left(e^{tA}\right)^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}}$$

したがって、 cは問題の初期条件によって決まります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} ~,\end{aligned}}}$$

より正確には、次の式を考えてみましょう $${\displaystyle Y'-A\ Y=F(t)}$$

初期条件はY ( t ₀ ) = Y ₀であり、

• Aはn行n列の複素行列であり、
• Fは、ある開区間IからC ⁿまでの連続関数であり、
• ${\displaystyle t_{0}}$はIの点であり、
• ${\displaystyle Y_{0}}$はC ⁿのベクトルです。

上記の等式をe ^−tAで左乗すると次の式が得られる。 $${\displaystyle Y(t)=e^{(t-t_{0})A}\ Y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{(t-x)A}\ F(x)\ dx~.}$$

我々は、方程式の解は $${\displaystyle P(d/dt)\ y=f(t)}$$

0 ≤ k < nの初期条件は ${\displaystyle y^{(k)}(t_{0})=y_{k}}$ $${\displaystyle y(t)=\sum _{k=0}^{n-1}\ y_{k}\ s_{k}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{n-1}(t-x)\ f(x)\ dx~,}$$

ここでの表記は次のようになります。

• ${\displaystyle P\in \mathbb {C} [X]}$は次数n > 0の単項多項式であり、
• fは、ある開区間I上で定義された連続複素数値関数であり、
• ${\displaystyle t_{0}}$はIの点です、
• ${\displaystyle y_{k}}$は複素数であり、

s _k ( t )は、上記のローラン級数による評価の項で で表される多項式 の係数です ${\displaystyle X^{k}}$ ${\displaystyle S_{t}\in \mathbb {C} [X]}$

この主張を正当化するために、通常の一次方程式への簡約によって、 n次スカラー方程式を 1 次ベクトル方程式に変換します。ベクトル方程式は、 AがPの転置行列である形をとります。この方程式を上記のように解き、上記のシルベスターの公式を適用することで、サブセクション「評価」で観察された点に基づいて行列指数を計算します。 $${\displaystyle {\frac {dY}{dt}}-A\ Y=F(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0},}$$

n = 2の場合、次の式が得られます。 $${\displaystyle y''-(\alpha +\beta )\ y'+\alpha \,\beta \ y=f(t),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=y_{1}}$$

は $${\displaystyle y(t)=y_{0}\ s_{0}(t-t_{0})+y_{1}\ s_{1}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{1}(t-x)\,f(x)\ dx,}$$

ここで関数s ₀ とs ₁は上記のローラン級数によるサブセクションの評価と同じです。

参照

• 行列関数
• 行列対数
• C ₀半群
• 指数関数
• 指数写像（リー理論）
• マグナス拡張
• 指数写像の微分
• ベクトルフロー
• ゴールデン・トンプソン不等式
• 位相型分布
• リー積の公式
• ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ式
• フロベニウス共変
• シルベスターの式
• 行列の三角関数

参考文献

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2. ホール 2015 命題 2.3
3. ホール 2015 定理 2.12
4. ホール 2015 定理 2.11
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外部リンク

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