Algebra associated to any vector space
実外積代数における n 次元要素の幾何学的解釈。n = 0 （符号付き点）、1（有向線分またはベクトル）、2（有向平面要素）、3（有向体積）。nベクトルの外積は、任意の n 次元 形状（例えば 、n 次元 平行四辺形 、 n 次元 楕円体 ）として視覚化できる 。その大きさ（ 超体積 ）と 方向は 、その （ n − 1） 次元境界の大きさと内部がどちら側にあるかによって定義される。 [1] [2] 数学において、 ベクトル空間 の 外積代数 または グラスマン代数 は、 外積 または 楔積 と呼ばれる積を持ち 、 と表記される 結合代数 であり、 内の任意の ベクトルに対して となる。外積代数 は ヘルマン・グラスマン にちなんで名付けられ 、 [3] 、積の名前は「楔」記号との2つの元の積が 「外側」にある という事実に由来している。 V {\displaystyle V} V , {\displaystyle V,} ∧ {\displaystyle \wedge } v ∧ v = 0 {\displaystyle v\wedge v=0} v {\displaystyle v} V . {\displaystyle V.} ∧ {\displaystyle \wedge } V {\displaystyle V} V . {\displaystyle V.}
ベクトル のウェッジ積は、 次数ブレード または - ブレード と呼ばれます 。ウェッジ積は、もともと幾何学において面積、体積、およびそれらの高次元類似体を研究するための代数的構成として導入されました 。2 - ブレード の 大き さ は 、 と で 定義 される 平行四辺形 の面積であり 、より一般的には、 -ブレードの大きさは、 構成ベクトルによって定義される 平行四辺形 の（超）体積です。 交代性 は 、歪対称性を意味します。 より一般的には、任意のブレードは、その構成ベクトルの2つが交換されるたびに符号が反転し、反対方向の平行四辺形に対応します。 k {\displaystyle k} v 1 ∧ v 2 ∧ ⋯ ∧ v k {\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \dots \wedge v_{k}} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} v ∧ w {\displaystyle v\wedge w} v {\displaystyle v} w , {\displaystyle w,} k {\displaystyle k} v ∧ v = 0 {\displaystyle v\wedge v=0} v ∧ w = − w ∧ v , {\displaystyle v\wedge w=-w\wedge v,}
完全な外代数には、ブレードそのものではなく、ブレードの線形結合であるオブジェクトが含まれます 。同次ブレードの和は k ベクトル と 呼ば れ 、 より 一般的な任意次数のブレードの和は 多重ベクトル と呼ばれます。 [4] ブレードの 線形 スパン は の- 次外乗 と呼ばれます 。外代数 はの - 次 外乗の 直和 であり、これにより外代数は 次数付き代数 になります。 k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} V . {\displaystyle V.} k {\displaystyle k} V , {\displaystyle V,}
外積代数は、 外積代数の要素を関連付けるすべての方程式が、 を含み 、 のすべての要素の平方がゼロであるすべての結合代数でも有効である という意味で 普遍的 です。 V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} V {\displaystyle V}
外積代数の定義は、 ベクトル場 やベクトル空間を 定義 域とする 関数など、ベクトル空間から構成される空間に対して拡張できる。さらに、 スカラー 体は任意の体とすることができる。より一般に、外積代数は 可換環 上の 加群 に対して定義できる 。特に、変数 の 微分形式 の代数は、変数の 滑らかな関数 の環上の外積代数である 。 k {\displaystyle k} k {\displaystyle k}
動機付けの例
平面上の領域 平行四辺形の面積は、その 2 つの頂点の座標行列の行列式によって表されます。 2次元 ユークリッドベクトル空間は 、直交 単位ベクトルの対からなる 基底を備えた 実 ベクトル空間 である。 R 2 {\displaystyle \mathbf {R} ^{2}} e 1 = [ 1 0 ] , e 2 = [ 0 1 ] . {\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}
内の与えられたベクトルのペアが 成分で表記されている とします
。2 辺に と を持つ平行四辺形が1つだけ存在します。この平行四辺形の 面積は、標準的な 行列 式の公式によって与えられます 。 v = [ a b ] = a e 1 + b e 2 , w = [ c d ] = c e 1 + d e 2 {\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a\,\mathbf {e} _{1}+b\,\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c\,\mathbf {e} _{1}+d\,\mathbf {e} _{2}} R 2 {\displaystyle \mathbf {R} ^{2}} v {\displaystyle \mathbf {v} } w {\displaystyle \mathbf {w} } Area = | det [ v w ] | = | det [ a c b d ] | = | a d − b c | . {\displaystyle {\text{Area}}=\left|\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\right|=\left|ad-bc\right|.}
ここで、と の外積を考えます 。 最初のステップでは、外積の分配法則を使用します。2 つ目のステップでは、外積が 交代写像 、つまり であるという事実を使用します。交代であることは、 反可換で あることも意味し 、 最後の行が得られます。この最後の式の係数は、まさに行列 [ v w ] の行列式であることに注意してください。これが正または負になる可能性があるという事実は、 v と w が、 それらが定義する平行四辺形の頂点として反時計回りまたは時計回りの方向に向けられる可能性があるという直感的な意味を持ちます。このような領域は、 平行四辺形の 符号付き領域と呼ばれます。符号付き領域の 絶対値が 通常の領域であり、符号がその方向を決定します。 v {\displaystyle \mathbf {v} } w {\displaystyle \mathbf {w} } v ∧ w = ( a e 1 + b e 2 ) ∧ ( c e 1 + d e 2 ) = a c e 1 ∧ e 1 + a d e 1 ∧ e 2 + b c e 2 ∧ e 1 + b d e 2 ∧ e 2 = a d e 1 ∧ e 2 + b c e 2 ∧ e 1 = ( a d − b c ) e 1 ∧ e 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=(a\,\mathbf {e} _{1}+b\,\mathbf {e} _{2})\wedge (c\,\mathbf {e} _{1}+d\,\mathbf {e} _{2})\\&=ac\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\,\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\,\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&=ad\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\,\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}\\&=\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2},\end{aligned}}} e 1 ∧ e 1 = e 2 ∧ e 2 = 0. {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0.} e 2 ∧ e 1 = − ( e 1 ∧ e 2 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}=-(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})}
この係数が符号付き面積であるという事実は偶然ではありません。実際、この面積を代数的構成として公理化しようとすると、外積が符号付き面積と関連していることは比較的容易に分かります。詳細には、ベクトル v と w のペアが隣接する2辺を形成する平行四辺形の符号付き面積を A( v , w ) とすると、A は以下の性質を満たさなければなりません。
任意の実数 r および sについて、 A( r v , s w ) = rs A( v , w ) となります。これは、いずれかの辺のスケールを変更すると、面積が同じ量だけ変更されるためです (また、いずれかの辺の方向を反転すると、平行四辺形の向きが反転します)。 A( v , v ) = 0 、 v によって決まる 退化した 平行四辺形（つまり 線分 ）の面積は ゼロであるため。 A( w , v ) = −A( v , w ) 、 v と w の役割を入れ替えると 平行四辺形の向きが逆になるので。 任意の実数 rに対して A( v + r w , w ) = A( v , w )となります。これは、 v に w の倍数を加えても 平行四辺形の底辺も高さも影響を受けず、結果として面積が維持されるためです。 A( e 1 , e 2 ) = 1 、 単位正方形 の面積は 1であるため。 外積（ 青い ベクトル）と外積（ 薄い青色の 平行四辺形）の関係。外積の長さは平行単位ベクトル（ 赤色 ）の長さに等しく、外積の大きさは基準平行四辺形（ 薄い赤色 ）の大きさに等しい。 最後の性質を除けば、2つのベクトルの外積は面積と同じ性質を満たす。ある意味では、外積は平行四辺形の面積を、平行平面（ここでは辺が e 1 と e 2 であるもの）上の任意の平行四辺形の面積と比較できるようにすることで、最後の性質を一般化している。言い換えれば、外積は 基底に依存しない 面積の定式化を提供する。 [5]
クロス積とトリプル積 2次元ベクトルの基底分解 のベクトルの場合 、外積代数は 外積 および 三重積 と密接に関連しています。標準基底 を用いると 、ベクトルのペアとの外積は と なります
。 ここで 、 は3次元空間 の自然な基底です。上記の係数は、3次元におけるベクトルの 外積 の通常の定義における係数と同じです が、唯一の違いは、外積が通常のベクトルではなく、 双ベクトル であることです。 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} { e 1 , e 2 , e 3 } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}} u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 {\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}} v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 {\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}} u ∧ v = ( u 1 v 2 − u 2 v 1 ) ( e 1 ∧ e 2 ) + ( u 3 v 1 − u 1 v 3 ) ( e 3 ∧ e 1 ) + ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) ( e 2 ∧ e 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \,&=(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})\\&+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})\\&+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})\end{aligned}}} { e 1 ∧ e 2 , e 3 ∧ e 1 , e 2 ∧ e 3 } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\}} Λ 2 ( R 3 ) {\displaystyle \Lambda ^{2}(\mathbb {R} ^{3})}
3つ目のベクトルを導入すると、 3つのベクトルの外積は となります
。 ここで は1次元空間 の基底ベクトルです 。スカラー係数は、 3つのベクトルの 三重積です。 w = w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 , {\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},} u ∧ v ∧ w = ( u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 − u 1 v 3 w 2 − u 2 v 1 w 3 − u 3 v 2 w 1 ) ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})} e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}} Λ 3 ( R 3 ) {\displaystyle \Lambda ^{3}(\mathbb {R} ^{3})}
3 次元の外積と三重積は、それぞれ幾何学的解釈と代数的解釈の両方が可能です。外積は 、と の両方に垂直で、その大きさが 2 つのベクトルによって決まる平行四辺形の面積に等しいベクトルとして解釈できます。また、列 および を持つ行列の 小 行列式から成るベクトルとして解釈することもできます。 、、および の三重積は 、幾何学的には (符号付き) 体積です。代数的には、これは列 、、 および を 持つ行列の行列式です。3 次元の外積でも同様の解釈が可能です。実際、正の向きの 直交基底 がある場合 、外積によってこれらの概念がより高い次元に一般化されます。 u × v {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} } u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } w {\displaystyle \mathbf {w} } u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } w {\displaystyle \mathbf {w} }
体 上の ベクトル空間の 外代数は、 テンソル代数 T ( V ) の 商代数 として定義される。ここで、 ⋀ ( V ) {\displaystyle \bigwedge (V)} V {\displaystyle V} K {\displaystyle K}
T ( V ) = ⨁ k = 0 ∞ T k V = K ⊕ V ⊕ ( V ⊗ V ) ⊕ ( V ⊗ V ⊗ V ) ⊕ ⋯ , {\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots ,} となる 形式のすべての要素によって生成される 両側 イデアル によって表される。 [6] 記号的に言えば、 I {\displaystyle I} x ⊗ x {\displaystyle x\otimes x} x ∈ V {\displaystyle x\in V}
⋀ ( V ) := T ( V ) / I . {\displaystyle \bigwedge (V):=T(V)/I.\,} の2つの要素の 外積 は次のように定義される。 ∧ {\displaystyle \wedge } ⋀ ( V ) {\displaystyle \bigwedge (V)}
α ∧ β = α ⊗ β ( mod I ) . {\displaystyle \alpha \wedge \beta =\alpha \otimes \beta {\pmod {I}}.}
代数的性質
交互製品 外積は の元で 交替的 に構成され、これは 上記の構成により すべての に対してとなることを意味する。したがって、 の元でも 反可換と なる。なぜなら、 と仮定すると、 V {\displaystyle V} x ∧ x = 0 {\displaystyle x\wedge x=0} x ∈ V , {\displaystyle x\in V,} V {\displaystyle V} x , y ∈ V {\displaystyle x,y\in V}
0 = ( x + y ) ∧ ( x + y ) = x ∧ x + x ∧ y + y ∧ x + y ∧ y = x ∧ y + y ∧ x {\displaystyle 0=(x+y)\wedge (x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x} したがって
x ∧ y = − ( y ∧ x ) . {\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).} より一般的には、 が 整数 の 順列 であり 、 、 、...、 が の要素で ある
場合 、 σ {\displaystyle \sigma } [ 1 , … , k ] {\displaystyle [1,\dots ,k]} x 1 {\displaystyle x_{1}} x 2 {\displaystyle x_{2}} x k {\displaystyle x_{k}} V {\displaystyle V}
x σ ( 1 ) ∧ x σ ( 2 ) ∧ ⋯ ∧ x σ ( k ) = sgn ( σ ) x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x k , {\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}=\operatorname {sgn}(\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},} ここで、 は順列の符号 である 。 [7] sgn ( σ ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )} σ {\displaystyle \sigma }
特に、 ある に対して、交代性の次の一般化も成り立ちます。 x i = x j {\displaystyle x_{i}=x_{j}} i ≠ j {\displaystyle i\neq j}
x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x k = 0. {\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.} 外積の分配法則と合わせて、 ベクトルの線型従属集合となるための必要十分条件は、 { x 1 , x 2 , … , x k } {\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\}}
x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x k = 0. {\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}
外部電源 の k 番目の 外冪は と表記され 、 次の形式の要素によって 張られる の ベクトル部分空間である 。 V {\displaystyle V} ⋀ k ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}
x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x k , x i ∈ V , i = 1 , 2 , … , k . {\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\dots ,k.} α ∈ ⋀ k ( V ) {\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} の場合 、 は k ベクトル であると言われます 。さらに、 が の元 の外積として表せる場合 、 は 分解可能 （または 単純 、または ブレード と呼ぶ人もいます） と言われます。分解可能な ベクトルは を張りますが 、 のすべての要素 が分解可能であるわけではありません。例えば、 と基底 が与えられている場合、次の 2 ベクトルは分解できません。 α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha } k {\displaystyle k} V {\displaystyle V} α {\displaystyle \alpha } k {\displaystyle k} ⋀ k ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} ⋀ k ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} R 4 {\displaystyle \mathbf {R} ^{4}} { e 1 , e 2 , e 3 , e 4 } {\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}}
α = e 1 ∧ e 2 + e 3 ∧ e 4 . {\displaystyle \alpha =e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}.}
基礎と次元 の 次元 が で が の 基底 である 場合 、集合 V {\displaystyle V} n {\displaystyle n} { e 1 , … , e n } {\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}} V {\displaystyle V}
{ e i 1 ∧ e i 2 ∧ ⋯ ∧ e i k | 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n } {\displaystyle \{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}} は ⋀ k ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} の基底である 。その理由は次の通りである。
v 1 ∧ ⋯ ∧ v k , {\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},} すべてのベクトルは、 基底ベクトル の 線形結合 として表すことができます 。外積の双線型性を利用して、これをこれらの基底ベクトルの外積の線形結合に拡張できます。同じ基底ベクトルが複数回出現する外積はゼロになります。基底ベクトルが適切な順序で出現しない外積は、2つの基底ベクトルの位置が入れ替わるたびに符号を変更して並べ替えることができます。一般に、結果として得られる基底 kベクトルの係数は、基底 に関して ベクトルを記述する 行列 の 小 行列式として計算できます 。 v j {\displaystyle v_{j}} e i {\displaystyle e_{i}} v j {\displaystyle v_{j}} e i {\displaystyle e_{i}}
基底要素を数えると、 の次元は 二項係数 に等しくなります 。 ⋀ k ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}
dim ⋀ k ( V ) = ( n k ) , {\displaystyle \dim {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)={\binom {n}{k}},} ここで 、 は n {\displaystyle n} ベクトル の次元 、 k {\displaystyle k} は積に含まれるベクトルの数です。二項係数は、例外的な場合でも、特に の場合にも正しい結果を生成します 。 ⋀ k ( V ) = { 0 } {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)=\{0\}} k > n {\displaystyle k>n}
外積代数の任意の元は k ベクトル の和として表すことができる。したがって、ベクトル空間として、外積代数は 直和である。
⋀ ( V ) = ⋀ 0 ( V ) ⊕ ⋀ 1 ( V ) ⊕ ⋀ 2 ( V ) ⊕ ⋯ ⊕ ⋀ n ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)} （慣例により、 ⋀ 0 ( V ) = K {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K} 、 の 基礎となる 体、 V {\displaystyle V} ⋀ 1 ( V ) = V {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V} ）であり、したがってその次元は二項係数の合計、つまり 2 n {\displaystyle 2^{n}} に等しくなります。
ランク け -ベクター α ∈ ⋀ k ( V ) {\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} の場合、分解可能な k ベクトル の線形結合として 表現できます 。 α {\displaystyle \alpha }
α = α ( 1 ) + α ( 2 ) + ⋯ + α ( s ) {\displaystyle \alpha =\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}} ここで、それぞれ は分解可能であり、 α ( i ) {\displaystyle \alpha ^{(i)}}
α ( i ) = α 1 ( i ) ∧ ⋯ ∧ α k ( i ) , i = 1 , 2 , … , s . {\displaystyle \alpha ^{(i)}=\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)},\quad i=1,2,\ldots ,s.} k ベクトル の 階数 は、 のそのような展開において分解可能な k ベクトルの最小数です。これは テンソルの階数 の概念に似ています 。 α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha }
階数は2次元ベクトルの研究において特に重要である（Sternberg 1964, §III.6）（Bryant et al. 1991）。2次元ベクトルの階数は、 基底 の係数 行列の階数の 半分と同一視できる。したがって、が の基底である場合 、は 次のように一意に表される。 α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha } e i {\displaystyle e_{i}} V {\displaystyle V} α {\displaystyle \alpha }
α = ∑ i , j a i j e i ∧ e j {\displaystyle \alpha =\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}} ここで （係数行列は 歪対称で ある）。したがって、行列の階数は 偶数であり、形式 の階数の2倍となる 。 a i j = − a j i {\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}} a i j {\displaystyle a_{ij}} α {\displaystyle \alpha }
特性0において、2次元ベクトル が階数を持つの は、 α {\displaystyle \alpha } p {\displaystyle p}
α ∧ ⋯ ∧ α ⏟ p ≠ 0 {\displaystyle {\underset {p}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}\neq 0\ } そして α ∧ ⋯ ∧ α ⏟ p + 1 = 0. {\displaystyle \ {\underset {p+1}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}=0.}
段階的構造 k ベクトルと p ベクトルの外積はベクトル であり 、ここでも双線型性が成立する。結果として、前節の直和分解は ( k + p ) {\displaystyle (k+p)}
⋀ ( V ) = ⋀ 0 ( V ) ⊕ ⋀ 1 ( V ) ⊕ ⋀ 2 ( V ) ⊕ ⋯ ⊕ ⋀ n ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)} 外積代数に 次数代数 という追加の構造を与える。つまり、
⋀ k ( V ) ∧ ⋀ p ( V ) ⊂ ⋀ k + p ( V ) . {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)\subset {\textstyle \bigwedge }^{\!k+p}(V).} さらに、 K が基底体であれば、
⋀ 0 ( V ) = K {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K} そして ⋀ 1 ( V ) = V . {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V.} 外積は次数反可換であり、つまり、 および ならば、 α ∈ ⋀ k ( V ) {\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} β ∈ ⋀ p ( V ) {\displaystyle \beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)}
α ∧ β = ( − 1 ) k p β ∧ α . {\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha .} 外在代数上の次数構造の研究に加えて、Bourbaki (1989) は、 次数付きモジュール (すでに独自の次数を持つモジュール) の外在代数上の次数構造など、外在代数上の追加の次数構造を研究しています。
普遍的な財産 V を 体 K 上のベクトル空間とする 。非公式には、 における乗算は、記号を操作し、 分配法則 、 結合法則、および v ∈ V の 恒等式を用いること で実行される 。公式には、はこれらの規則が乗算に成り立つ「最も一般的な」代数であり、これは、 V を含む任意の単位結合 K 代数で V 上の交代乗法は の準同型像を必ず含む という意味である 。言い換えれば、外積代数は次のような 普遍的性質 を持つ： [8] ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)} v ∧ v = 0 {\displaystyle v\wedge v=0} ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)} ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}
外積代数の普遍的性質 Vを含み、その乗法が V 上で交代する 最も一般的な代数を構築するには、 V を含む最も一般的な結合代数 、すなわち テンソル代数 T ( V )から始め、適切な 商 をとることで交代性を強制するのが自然である。そこで、 V 内の v に対して v ⊗ v の形式をとるすべての元によって生成される T ( V ) 内の 両側 イデアル I をとり、 商として
定義する。 ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}
⋀ ( V ) = T ( V ) / I {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)\,/\,I} （そして、 における乗算の記号として ∧を使用します）。すると、 が V を含み 、上記の普遍的性質を満たすこと が簡単に示せます。 ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)} ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}
この構成の結果として、ベクトル空間V にその外積代数 を割り当てる操作は、ベクトル空間の カテゴリ から 代数のカテゴリへの 関数 です。 ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}
最初に外冪 を定義してから特定の部分空間として特定するのではなく 、最初に空間を定義して からそれらを組み合わせて代数 を形成することもできます。このアプローチは微分幾何学でよく使用され、次のセクションで説明します。 ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)} ⋀ k ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} ⋀ k ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}
一般化 可換環 と - 加群 が与えられれば 、上と同様に外積代数を テンソル代数の適切な商として 定義できます 。 これは同様の普遍性を満たします。 の性質の多くは、 が 射影加群 である ことも必要とします 。有限次元が用いられる場合、これらの性質はさらに、 が 有限生成 かつ射影的であることを必要とします 。最も一般的な状況への一般化は、Bourbaki (1989) に示されています。 R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} M {\displaystyle M} ⋀ ( M ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(M)} T ( M ) {\displaystyle \mathrm {T} (M)} ⋀ ( M ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(M)} M {\displaystyle M} M {\displaystyle M}
ベクトル束 の外代数は 幾何学と位相幾何学において頻繁に考察される。 セール・スワン定理によれば、有限次元ベクトル束の外代数の代数的性質と有限生成射影加群の外代数の代数的性質の間には本質的な違いはない。加群の 層 に対しては、より一般的な外代数を定義することができる 。
交代テンソル代数 特性が2でない体の場合、 [9] 上の ベクトル空間の外積代数は、 反対称テンソル からなる のベクトル部分空間と標準的に同一視できます。特性が0（または よりも高い）の場合 、 -線型反対称テンソルのベクトル空間は イデアル に横断的であるため、商を表すのに適しています。しかし、特性が0でない場合には、 - 線型反対称テンソルのベクトル空間はイデアルに横断的ではない可能性があります（実際には、 の場合、 - 線型反対称テンソルのベクトル空間 は に含まれています ）。それでも、横断的かどうかに関わらず、この空間上で結果の代数が外積代数と同型になるような積を定義できます。最初のケースでは、積の自然な選択は（利用可能な射影を使用して）商積だけです。2番目のケースでは、この積は以下に示すように（アーノルド設定に沿って）わずかに変更する必要がありますが、代数は外積代数と同型のままです。つまり、 の形式 の要素によって生成されるイデアルによる の商です 。もちろん、特性 （またはベクトル空間の次元よりも高い）の場合、2つの代数は同型であるため、積のいずれかの定義を使用できます（VI ArnoldまたはKobayashi-Nomizuを参照）。 V {\displaystyle V} K {\displaystyle K} T ( V ) {\displaystyle \mathrm {T} (V)} dim V {\displaystyle \dim V} k {\displaystyle k} I {\displaystyle I} K {\displaystyle K} k ≥ char K {\displaystyle k\geq \operatorname {char} K} K {\displaystyle K} I {\displaystyle I} T ( V ) {\displaystyle \mathrm {T} (V)} I {\displaystyle I} x ⊗ x {\displaystyle x\otimes x} 0 {\displaystyle 0}
を次数 の同次テンソルの成す空間とする 。 これは分解可能なテンソルによって張られる。 T r ( V ) {\displaystyle \mathrm {T} ^{r}(V)} r {\displaystyle r}
v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v r , v i ∈ V . {\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r},\quad v_{i}\in V.} 分解可能なテンソルの 反対称化 （ または 歪対称化とも呼ばれる）は次のように定義される。
A ( r ) ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v r ) = ∑ σ ∈ S r sgn ( σ ) v σ ( 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ v σ ( r ) {\displaystyle \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (r)}} そして、 （非ゼロ特性フィールドの場合 は0になる可能性がある） r ! ≠ 0 {\displaystyle r!\neq 0} r ! {\displaystyle r!}
Alt ( r ) ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v r ) = 1 r ! A ( r ) ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v r ) {\displaystyle \operatorname {Alt} ^{(r)}(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})={\frac {1}{r!}}\operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})} ここで、和は 記号 上の対称 置換群 にわたって取られます。これは線型性と同次性により、完全なテンソル代数 上の演算（ および とも表記）に拡張され ます 。 { 1 , … , r } {\displaystyle \{1,\dots ,r\}} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A l t {\displaystyle {\rm {Alt}}} T ( V ) {\displaystyle \mathrm {T} (V)}
ご了承ください
A ( r ) A ( r ) = r ! A ( r ) . {\displaystyle \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} =r!\operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} .} が定義されている場合、 は r-同次交代テンソル部分空間への外積（商）代数の射影です。一方、像は 常に と表記される 交代テンソル次数付き部分空間 （積がまだ定義されていないため、まだ代数ではありません）です。これは のベクトル部分空間であり、 上の次数付き ベクトル空間 の構造を継承します 。さらに、 の核は まさに 、つまり イデアル の同次部分集合、または の核 です 。 が定義されている場合、 は（ウェッジ積と同じ）で定義される 結合次数付き積を持ちます。 Alt ( r ) {\displaystyle \operatorname {Alt} ^{(r)}} A ( T ( V ) ) {\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathrm {T} (V))} A ( V ) {\displaystyle A(V)} T ( V ) {\displaystyle \mathrm {T} (V)} T ( V ) {\displaystyle \mathrm {T} (V)} A ( r ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{(r)}} I ( r ) {\displaystyle I^{(r)}} I {\displaystyle I} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} I {\displaystyle I} Alt {\displaystyle \operatorname {Alt} } A ( V ) {\displaystyle A(V)} ⊗ ^ {\displaystyle {\widehat {\otimes }}}
t ∧ s = t ⊗ ^ s = Alt ( t ⊗ s ) . {\displaystyle t\wedge s=t~{\widehat {\otimes }}~s=\operatorname {Alt} (t\otimes s).} が特性0を持ち、が の 補題であると 仮定すると 、上記の積と、標準同型が存在する。 K {\displaystyle K} A ( V ) {\displaystyle A(V)} I {\displaystyle I} T ( V ) {\displaystyle \mathrm {T} (V)}
A ( V ) ≅ ⋀ ( V ) . {\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V).} 体の標数が非零の場合、は前述と 同じ動作をします が、積は上記のように定義できません。このような場合、 イデアル の補集合ではないにもかかわらず、同型性は依然として成立します が、その場合、積は以下のように修正する必要があります（ 積、アーノルド設定）。 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A l t {\displaystyle {\rm {Alt}}} A ( V ) ≅ ⋀ ( V ) {\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)} A ( V ) {\displaystyle A(V)} I {\displaystyle I} ∧ ˙ {\displaystyle {\dot {\wedge }}}
最後に、 A ( V ) {\displaystyle A(V)} は常に と同型です が 、 ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)} 積 は2通り（あるいは1通りのみ）で選択できます（または選択すべきです）。実際には、積は様々な方法で選択でき、体上の 任意の列に対して同質空間上で再スケーリングする ことで、除算が意味を成す限り（つまり、再定義された積が結合的である、つまり 上の代数を定義する限り）、選択できます。また、歪微分性を維持するために、内積の定義も適宜変更する必要があることに注意してください。 c ( r + p ) / c ( r ) c ( p ) {\displaystyle c(r+p)/c(r)c(p)} c ( r ) {\displaystyle c(r)} A ( V ) {\displaystyle A(V)}
インデックス表記 V が 有限次元 nを持ち、 V の 基底 e 1 , ..., e n が与えられているとする。すると、任意の交代テンソル t ∈ A r ( V ) ⊂ T r ( V )は、 アインシュタインの総和法の慣例 に従って、 次のように 指数表記 で表すことができる。
t = t i 1 i 2 ⋯ i r e i 1 ⊗ e i 2 ⊗ ⋯ ⊗ e i r , {\displaystyle t=t^{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}\,{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r}},} ここで、 t i 1 ⋅⋅⋅ i r はそのインデックスにおいて 完全に反対称 です。
階数 r と pの交代テンソル t と s の外積は 次のように与えられる。
t ⊗ ^ s = 1 ( r + p ) ! ∑ σ ∈ S r + p sgn ( σ ) t i σ ( 1 ) ⋯ i σ ( r ) s i σ ( r + 1 ) ⋯ i σ ( r + p ) e i 1 ⊗ e i 2 ⊗ ⋯ ⊗ e i r + p . {\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s={\frac {1}{(r+p)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r+p}}\operatorname {sgn} (\sigma )t^{i_{\sigma (1)}\cdots i_{\sigma (r)}}s^{i_{\sigma (r+1)}\cdots i_{\sigma (r+p)}}{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r+p}}.} このテンソルの成分は、テンソル積s ⊗ t の成分の歪んだ部分であり 、添え字の角括弧で表されます。
( t ⊗ ^ s ) i 1 ⋯ i r + p = t [ i 1 ⋯ i r s i r + 1 ⋯ i r + p ] . {\displaystyle (t~{\widehat {\otimes }}~s)^{i_{1}\cdots i_{r+p}}=t^{[i_{1}\cdots i_{r}}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}.} 内積は、次のようにインデックス記法で記述することもできる。階数 の反対称テンソルとする 。すると、 α ∈ V ∗ に対して、階数 の交代テンソル は、次のように表される。 t = t i 0 i 1 ⋯ i r − 1 {\displaystyle t=t^{i_{0}i_{1}\cdots i_{r-1}}} r {\displaystyle r} ι α t {\displaystyle \iota _{\alpha }t} r − 1 {\displaystyle r-1}
( ι α t ) i 1 ⋯ i r − 1 = r ∑ j = 0 n α j t j i 1 ⋯ i r − 1 . {\displaystyle (\iota _{\alpha }t)^{i_{1}\cdots i_{r-1}}=r\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}t^{ji_{1}\cdots i_{r-1}}.} ここで、 nは V の次元です 。
二重性
交代演算子 2つのベクトル空間 V と X と自然数 k が与えられたとき、 V k から X への 交代作用素は 多重線型写像 である。
f : V k → X {\displaystyle f:V^{k}\to X} つまり、 v 1 , ..., v k がVの 線型従属 ベクトル であるときは 、
f ( v 1 , … , v k ) = 0. {\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{k})=0.} 地図
w : V k → ⋀ k ( V ) , {\displaystyle w:V^{k}\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V),} 外積、すなわち対応する -ベクトル からベクトル に付随する写像 も交代作用素である。実際、この写像は 上で定義される「最も一般的な」交代作用素であり、 他の任意の交代作用素が与えられた場合、 を持つ 唯一の 線型写像 が存在する。 この 普遍的性質は 上の交代作用素の空間を特徴づけ 、その定義として用いることができる。 k {\displaystyle k} V {\displaystyle V} k {\displaystyle k} V k ; {\displaystyle V^{k};} f : V k → X , {\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X,} ϕ : ⋀ k ( V ) → X {\displaystyle \phi :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow X} f = ϕ ∘ w . {\displaystyle f=\phi \circ w.} V k {\displaystyle V^{k}}
n 1-形式 （ ε 、 η 、 ω ）の 外積 に対する幾何学的解釈から n -形式（ 座標面 の「メッシュ」 （ここでは平面）） を得る （ [1] 、 n = 1、2、3） 。「循環」は 方向を 示す 。 [10] [11] 上記の議論は、基底体 X = K {\displaystyle X=K} の場合に特化しています 。この場合、交代多重線型関数
f : V k → K {\displaystyle f:V^{k}\to K} は交代多重線型形式 と呼ばれる。すべての 交代 多重線型形式 の集合は ベクトル空間である。なぜなら、そのような写像２つの和、またはそのような写像とスカラーの積は、やはり交代だからである。外冪の普遍的性質により、 上の次数の交代形式の空間は、 双対ベクトル空間 と 自然に 同型で ある 。 が有限次元の場合、後者は と自然に 同型である [ 明確化が必要 ] 。特に、 が -次元の場合 、から へ の交代写像の空間の次元は、 二項係数 である 。 k {\displaystyle k} V {\displaystyle V} ( ⋀ k ( V ) ) ∗ {\displaystyle {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V){\bigr )}^{*}} V {\displaystyle V} ⋀ k ( V ∗ ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}\left(V^{*}\right)} V {\displaystyle V} n {\displaystyle n} V k {\displaystyle V^{k}} K {\displaystyle K} ( n k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}
このような同一視のもとでは、外積は具体的な形をとる。すなわち、与えられた2つの反対称写像から新たな反対称写像を生成する。ω : V k → K と η : V m → K が 2つの反対称写像であるとする。多重線型写像のテンソル積 の場合と同様に 、それらの外積の変数の数は、それらの変数の数の和である。外冪の元と多重線型形式の同一視の選択に応じて、外積は次のように定義される。
ω ∧ η = Alt ( ω ⊗ η ) {\displaystyle \omega \wedge \eta =\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta )} または
ω ∧ ˙ η = ( k + m ) ! k ! m ! Alt ( ω ⊗ η ) , {\displaystyle \omega {\dot {\wedge }}\eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta ),} ここで、基本フィールドの特性が 0 の場合、多重線形マップの交代 Alt は、 その変数の
すべての 順列 にわたる符号調整された値の平均として定義されます。 K {\displaystyle K}
Alt ( ω ) ( x 1 , … , x k ) = 1 k ! ∑ σ ∈ S k sgn ( σ ) ω ( x σ ( 1 ) , … , x σ ( k ) ) . {\displaystyle \operatorname {Alt} (\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)}).} 体が 有限特性 を持つ とき 、階乗や定数を含まない 2 番目の式の同等のバージョンが明確に定義されます。 K {\displaystyle K}
ω ∧ ˙ η ( x 1 , … , x k + m ) = ∑ σ ∈ S h k , m sgn ( σ ) ω ( x σ ( 1 ) , … , x σ ( k ) ) η ( x σ ( k + 1 ) , … , x σ ( k + m ) ) , {\displaystyle {\omega {\dot {\wedge }}\eta (x_{1},\ldots ,x_{k+m})}=\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{k,m}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})\,\eta (x_{\sigma (k+1)},\ldots ,x_{\sigma (k+m)}),} ここで、 Sh k , m ⊂ S k + m は( k , m ) シャッフル のサブセットです 。シャッフル とは、 {1, 2, ..., k + m } の 順列 σで、 σ (1) < σ (2) < ⋯ < σ ( k ) 、かつ σ ( k + 1) < σ ( k + 2) < ... < σ ( k + m )が成り立つようなものです。これは非常に具体的で微調整されているように見えるかもしれませんが、同等の生のバージョンは、上記の式を S k + m / ( S k × S m ) の左剰余類の順列にわたって合計することです 。
インテリア製品 が有限次元である と仮定する。 が ベクトル空間 への 双対空間 を表す場合、各 に対して、 代数 上の 反微分を 定義することが可能である 。 V {\displaystyle V} V ∗ {\displaystyle V^{*}} V {\displaystyle V} α ∈ V ∗ {\displaystyle \alpha \in V^{*}} ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}
ι α : ⋀ k ( V ) → ⋀ k − 1 ( V ) . {\displaystyle \iota _{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V).} この微分は、 との 内積 、または 挿入演算子 、あるいは による 縮約 と呼ばれることもあります。 α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha }
w ∈ ⋀ k ( V ) {\displaystyle w\in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} と仮定する 。すると は へ の多重線型写像となるので、 k 重直積 における その値によって定義される。u 1 , u 2 , ..., u k −1が の要素 で ある場合 、次のように定義する 。 w {\displaystyle w} V ∗ {\displaystyle V^{*}} K {\displaystyle K} V ∗ × V ∗ × ⋯ × V ∗ {\displaystyle V^{*}\times V^{*}\times \dots \times V^{*}} k − 1 {\displaystyle k-1} V ∗ {\displaystyle V^{*}}
( ι α w ) ( u 1 , u 2 , … , u k − 1 ) = w ( α , u 1 , u 2 , … , u k − 1 ) . {\displaystyle (\iota _{\alpha }w)(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})=w(\alpha ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}).} さらに、 が純粋なスカラー（つまり、 に属する）である場合とします 。 ι α f = 0 {\displaystyle \iota _{\alpha }f=0} f {\displaystyle f} ⋀ 0 ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)}
公理的な特徴付けと性質 内部積は次の特性を満たします。
各 k {\displaystyle k} および各 α ∈ V ∗ {\displaystyle \alpha \in V^{*}} （慣例により ） について、 Λ − 1 ( V ) = { 0 } {\displaystyle \Lambda ^{-1}(V)=\{0\}} ι α : ⋀ k ( V ) → ⋀ k − 1 ( V ) . {\displaystyle \iota _{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V).} が( )の要素である 場合 、 は の要素と の要素 間の双対ペアです 。 v {\displaystyle v} V {\displaystyle V} = ⋀ 1 ( V ) {\displaystyle ={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)} ι α v = α ( v ) {\displaystyle \iota _{\alpha }v=\alpha (v)} V {\displaystyle V} V ∗ {\displaystyle V^{*}} 各 α ∈ V ∗ {\displaystyle \alpha \in V^{*}} に対して、は 次数 −1 の 次数付き微分 です。 ι α {\displaystyle \iota _{\alpha }} ι α ( a ∧ b ) = ( ι α a ) ∧ b + ( − 1 ) deg a a ∧ ( ι α b ) . {\displaystyle \iota _{\alpha }(a\wedge b)=(\iota _{\alpha }a)\wedge b+(-1)^{\deg a}a\wedge (\iota _{\alpha }b).} これら 3 つの特性は、一般的な無限次元の場合に内積を定義するだけでなく、内積を特徴付けるのにも十分です。
インテリア製品のその他の特性は次のとおりです。
ι α ∘ ι α = 0. {\displaystyle \iota _{\alpha }\circ \iota _{\alpha }=0.} ι α ∘ ι β = − ι β ∘ ι α . {\displaystyle \iota _{\alpha }\circ \iota _{\beta }=-\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.}
ホッジ双対性 が有限次元である と仮定する 。 すると、内積はベクトル空間の標準同型を誘導する 。 V {\displaystyle V} n {\displaystyle n}
⋀ k ( V ∗ ) ⊗ ⋀ n ( V ) → ⋀ n − k ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V^{*})\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V)} 再帰的な定義によって
ι α ∧ β = ι β ∘ ι α . {\displaystyle \iota _{\alpha \wedge \beta }=\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.} 幾何学的な設定では、上外冪 （1次元ベクトル空間）の非零元は 体積形式 （または 向き形式 と呼ばれるが、この用語は時に曖昧さを招くことがある）と呼ばれることがある。向き形式という名称は、好ましい上元を選択することで外代数全体の向きが決まるという事実に由来する。なぜなら、それはベクトル空間の順序付き基底を固定することと同値だからである。好ましい体積形式 に対して、同型性は明示的に次のように与えられる。 ⋀ n ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)} σ {\displaystyle \sigma }
⋀ k ( V ∗ ) → ⋀ n − k ( V ) : α ↦ ι α σ . {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V^{*})\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V):\alpha \mapsto \iota _{\alpha }\sigma .} 体積形式に加えて、ベクトル空間 Vに と 同一視する 内積 が備わっている場合、結果として得られる同型は ホッジスター演算子 と呼ばれ 、元をその ホッジ双対 に写像します。 V {\displaystyle V} V ∗ {\displaystyle V^{*}}
⋆ : ⋀ k ( V ) → ⋀ n − k ( V ) . {\displaystyle \star :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V).} を自身と 合成すると、常に恒等写像のスカラー倍となる。ほとんどの応用において、体積形は の 直交基底 の外積という意味で内積と両立する 。この場合、 ⋆ {\displaystyle \star } ⋀ k ( V ) → ⋀ k ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} V {\displaystyle V}
⋆ ∘ ⋆ : ⋀ k ( V ) → ⋀ k ( V ) = ( − 1 ) k ( n − k ) + q i d {\displaystyle \star \circ \star :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)=(-1)^{k(n-k)+q}\mathrm {id} } ここで、 id は恒等写像であり、内積は メトリック シグネチャ ( p 、 q ) ( p 個のプラスと q 個の マイナス) を持ちます。
内積 有限次元空間 V {\displaystyle V} に対して、 上の内積 （または 擬ユークリッド 内積）は と の同型を定義し 、したがって との同型も定義します 。これら2つの空間の対応も内積の形をとります。分解可能な -ベクトルでは、 V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} V ∗ {\displaystyle V^{*}} ⋀ k ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} ( ⋀ k V ) ∗ {\displaystyle {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V{\bigr )}^{*}} k {\displaystyle k}
⟨ v 1 ∧ ⋯ ∧ v k , w 1 ∧ ⋯ ∧ w k ⟩ = det ( ⟨ v i , w j ⟩ ) , {\displaystyle \left\langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\right\rangle =\det {\bigl (}\langle v_{i},w_{j}\rangle {\bigr )},} 内積行列の行列式。特別な場合、 v i = w i では、内積は kベクトルの2乗ノルムであり、 グラミアン行列 (⟨ v i , v j ⟩) の行列式で与えられる 。これは、双線型（複素数の場合は2乗線型）に拡張されて、 の非退化内積となる。 もし e i , i = 1, 2, ..., n が の 直交基底 を形成するならば 、次の形式のベクトルは ⋀ k ( V ) . {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V).} V {\displaystyle V}
e i 1 ∧ ⋯ ∧ e i k , i 1 < ⋯ < i k , {\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\quad i_{1}<\cdots <i_{k},} は ⋀ k ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} の直交基底を構成し、これ はコーシー・ビネの公式 と同等の記述です 。
内積に関しては、外積と内積は互いに随伴である。具体的には、 v ∈ ⋀ k − 1 ( V ) {\displaystyle \mathbf {v} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V)} 、 w ∈ ⋀ k ( V ) {\displaystyle \mathbf {w} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} 、および x ∈ V {\displaystyle x\in V} の場合、
⟨ x ∧ v , w ⟩ = ⟨ v , ι x ♭ w ⟩ {\displaystyle \langle x\wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\iota _{x^{\flat }}\mathbf {w} \rangle } ここで 、x ♭ ∈ V ∗ は音楽同型 であり 、線形関数は次のように定義される。
x ♭ ( y ) = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle x^{\flat }(y)=\langle x,y\rangle } すべての y ∈ V {\displaystyle y\in V} に対して 。この性質は外積代数上の内積を完全に特徴付ける。
実際、より一般的には、 v ∈ ⋀ k − l ( V ) {\displaystyle \mathbf {v} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k-l}(V)} 、 w ∈ ⋀ k ( V ) {\displaystyle \mathbf {w} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} 、および x ∈ ⋀ l ( V ) {\displaystyle \mathbf {x} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V)} に対して、上記の随伴特性の反復により、
⟨ x ∧ v , w ⟩ = ⟨ v , ι x ♭ w ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {x} \wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\iota _{\mathbf {x} ^{\flat }}\mathbf {w} \rangle } ここで、 -ベクトル は次のように定義されます。 x ♭ ∈ ⋀ l ( V ∗ ) ≃ ( ⋀ l ( V ) ) ∗ {\displaystyle \mathbf {x} ^{\flat }\in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}\left(V^{*}\right)\simeq {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V){\bigr )}^{*}} l {\displaystyle l}
x ♭ ( y ) = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \mathbf {x} ^{\flat }(\mathbf {y} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle } すべての y ∈ ⋀ l ( V ) {\displaystyle \mathbf {y} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V)} のために。
双代数構造 次数代数の次数双対と 上の交代多重線型形式との間には対応関係がある 。外積代数（および 対称代数）は、 テンソル代数 から双代数構造、さらには ホップ代数 構造を継承する。 このトピックの詳細な扱いについては、 テンソル代数 に関する記事を参照のこと。 ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)} V {\displaystyle V}
上で定義した多重線型形式の外積は、 上で定義される 余積と双対であり、 余代数 の構造を与える 。 余積は 線型関数 であり、次のように与えられる。 ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)} Δ : ⋀ ( V ) → ⋀ ( V ) ⊗ ⋀ ( V ) {\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}
Δ ( v ) = 1 ⊗ v + v ⊗ 1 {\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1} v ∈ V {\displaystyle v\in V} の 元について 。記号は体 の単位元を表す 。 なので、上式は実際には に含まれることを思い出してほしい 。 この 余 積 の定義は、（線型）準同型によって全空間に持ち上げられる。この準同型の正しい形は、素朴に書くようなものではなく、 余代数の 論文で注意深く定義されたものでなければならない 。この場合、 1 {\displaystyle 1} K {\displaystyle K} K ≃ ⋀ 0 ( V ) ⊆ ⋀ ( V ) {\displaystyle K\simeq {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\subseteq {\textstyle \bigwedge }(V)} ⋀ ( V ) ⊗ ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)} ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}
Δ ( v ∧ w ) = 1 ⊗ ( v ∧ w ) + v ⊗ w − w ⊗ v + ( v ∧ w ) ⊗ 1. {\displaystyle \Delta (v\wedge w)=1\otimes (v\wedge w)+v\otimes w-w\otimes v+(v\wedge w)\otimes 1.} これを詳細に展開すると、分解可能な要素に関する次の表現が得られます。
Δ ( x 1 ∧ ⋯ ∧ x k ) = ∑ p = 0 k ∑ σ ∈ S h ( p , k − p ) sgn ( σ ) ( x σ ( 1 ) ∧ ⋯ ∧ x σ ( p ) ) ⊗ ( x σ ( p + 1 ) ∧ ⋯ ∧ x σ ( k ) ) . {\displaystyle \Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=\sum _{p=0}^{k}\;\sum _{\sigma \in Sh(p,k-p)}\;\operatorname {sgn} (\sigma )(x_{\sigma (1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (p)})\otimes (x_{\sigma (p+1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}).} ここで、2 番目の合計は、すべての ( p 、 k − p ) シャッフル に対して行われます。慣例により、 Sh( k, 0) と Sh(0, k ) は {id: {1, ..., k } → {1, ..., k }} に等しいとします。また、 p = 0 および p = k の純粋なウェッジ積を取り、 をそれぞれ 1 に等しくする ことも便利です ( の空積)。シャッフルは、 コ 代数 の最初の公理から直接従います。つまり、要素の相対的な順序 はリフル シャッフルで 保存され ます。リフル シャッフルは、順序付けられたシーケンスを、1 つは左側、もう 1 つは右側の 2 つの順序付けられたシーケンスに分割するだけです。 v σ ( 1 ) ∧ ⋯ ∧ v σ ( p ) {\displaystyle v_{\sigma (1)}\wedge \dots \wedge v_{\sigma (p)}} v σ ( p + 1 ) ∧ ⋯ ∧ v σ ( k ) {\displaystyle v_{\sigma (p+1)}\wedge \dots \wedge v_{\sigma (k)}} ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)} x k {\displaystyle x_{k}}
余積は代数の次数性を保存することに注意する。全空間に拡張すると 、 ⋀ ( V ) , {\textstyle {\textstyle \bigwedge }(V),}
Δ : ⋀ k ( V ) → ⨁ p = 0 k ⋀ p ( V ) ⊗ ⋀ k − p ( V ) {\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to \bigoplus _{p=0}^{k}{\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{k-p}(V)} このセクションで使用されているテンソル記号 ⊗ は、交代積の定義で使用されているテンソル記号とは 異なる ため、注意して理解する必要があります。直感的には、これを別の、しかし異なるテンソル積と考えるのが最も簡単かもしれません。テンソル積がそうあるべきように、これは依然として (双) 線形ですが、双代数の定義、つまりオブジェクト ⋀ ( V ) ⊗ ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)} を作成するのに適した積です。残っている疑問は、テンソル記号とウェッジ記号を含む単純な操作ではなく、コアルジェブラの定義から導かれる等式 ( 1 ⊗ v ) ∧ ( 1 ⊗ w ) = 1 ⊗ ( v ∧ w )と ( v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ w ) = v ⊗ w について考えることで払拭できます。この区別については、 テンソル代数 に関する記事でより詳しく説明します。ここでは、交代積が 外積代数における乗算に明らかに対応し、記号を双代数の定義で自由に使用できる という点で、問題は はるかに少なくなります。実際には、 の交代和をくさび記号に置き換えるという致命的な罠を避ければ、特に問題は発生しませんが、 1つの例外があります。 から交代積を構築できますが 、これは別の空間で機能することを理解する必要があります。すぐ下に例を示します。 双対空間 の交代積は余積で与えることができます。ここでの双代数の構築は、外積代数の交代符号を正しく追跡する必要があることを除けば、 テンソル代数の 記事での構築とほぼ正確に
平行しています。 ∧ {\displaystyle \wedge } ⊗ {\displaystyle \otimes } ⊗ {\displaystyle \otimes } ⊗ {\displaystyle \otimes }
余積の観点から見ると、双対空間上の外積は余積の次数付き双対にすぎません。
( α ∧ β ) ( x 1 ∧ ⋯ ∧ x k ) = ( α ⊗ β ) ( Δ ( x 1 ∧ ⋯ ∧ x k ) ) {\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=(\alpha \otimes \beta )\left(\Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})\right)} ここで、右側のテンソル積は多重線型写像（非互換同次次数の元にゼロで拡張：より正確には、 α ∧ β = ε ∘ ( α ⊗ β ) ∘ Δ 、ここで は現在定義されているコユニット）である。 ε {\displaystyle \varepsilon }
余積 単位元 は、その引数の0次成分を返す準同型写像です 。余積と余積単位元は、外積とともに、 外積代数上の 双代数の構造を定義します。 ε : ⋀ ( V ) → K {\displaystyle \varepsilon :{\textstyle \bigwedge }(V)\to K}
同次元上に 対掌体が S ( x ) = ( − 1 ) ( deg x + 1 2 ) x {\displaystyle S(x)=(-1)^{\binom {{\text{deg}}\,x\,+1}{2}}x} によって定義されると 、外積代数は ホップ代数 となる。 [12]
関数性 と が ベクトル空間のペアであり、が 線型写像 であるとする 。すると、普遍性により、次数代数の唯一の準同型写像が存在する。 V {\displaystyle V} W {\displaystyle W} f : V → W {\displaystyle f:V\to W}
⋀ ( f ) : ⋀ ( V ) → ⋀ ( W ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f):{\textstyle \bigwedge }(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }(W)} そういう
⋀ ( f ) | ⋀ 1 ( V ) = f : V = ⋀ 1 ( V ) → W = ⋀ 1 ( W ) . {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)}\right.=f:V={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\rightarrow W={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(W).} 特に、 同次次数を保存する。の k 次成分は 分解可能な元上で次のように与えられる。 ⋀ ( f ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)} ⋀ ( f ) {\textstyle \bigwedge \left(f\right)}
⋀ ( f ) ( x 1 ∧ ⋯ ∧ x k ) = f ( x 1 ) ∧ ⋯ ∧ f ( x k ) . {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=f(x_{1})\wedge \cdots \wedge f(x_{k}).} させて
⋀ k ( f ) = ⋀ ( f ) | ⋀ k ( V ) : ⋀ k ( V ) → ⋀ k ( W ) . {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(f)={\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}\right.:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(W).} および の基底に対する 変換 の成分は ⋀ k ( f ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(f)} の小 行列式です 。特に、 および が有限次元 の場合、は 1次元ベクトル空間からそれ自身への写像であり、したがってスカラー、つまり の 行列 式によって与えられます 。 V {\displaystyle V} W {\displaystyle W} k × k {\displaystyle k\times k} f {\displaystyle f} V = W {\displaystyle V=W} V {\displaystyle V} n {\displaystyle n} ⋀ n ( f ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(f)} ⋀ n ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)} f {\displaystyle f}
正確 がベクトル空間の 短完全列 である 場合、 0 → U → V → W → 0 {\displaystyle 0\to U\to V\to W\to 0}
0 → ⋀ 1 ( U ) ∧ ⋀ ( V ) → ⋀ ( V ) → ⋀ ( W ) → 0 {\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(U)\wedge {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(W)\to 0} は次数付きベクトル空間の正確な列であり、 [ 13]
0 → ⋀ ( U ) → ⋀ ( V ) . {\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }(U)\to {\textstyle \bigwedge }(V).} [14]
直和 特に、直和の外積代数は外積代数のテンソル積と同型である。
⋀ ( V ⊕ W ) ≅ ⋀ ( V ) ⊗ ⋀ ( W ) . {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V\oplus W)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(W).} これは次数同型である。すなわち、
⋀ k ( V ⊕ W ) ≅ ⨁ p + q = k ⋀ p ( V ) ⊗ ⋀ q ( W ) . {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V\oplus W)\cong \bigoplus _{p+q=k}{\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!q}(W).} より一般的には、ベクトル空間の短い正確な列に対しては、自然な 濾過 が存在する。 0 → U → f V → g W → 0 , {\textstyle 0\to U\mathrel {\overset {f}{\to }} V\mathrel {\overset {g}{\to }} W\to 0,}
0 = F 0 ⊆ F 1 ⊆ ⋯ ⊆ F k ⊆ F k + 1 = ⋀ k ( V ) {\displaystyle 0=F^{0}\subseteq F^{1}\subseteq \cdots \subseteq F^{k}\subseteq F^{k+1}={\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} ここで 、 は の 形の要素によって張られ 、 対応する商は自然同型性を持つ。 F p {\displaystyle F^{p}} p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} u 1 ∧ … ∧ u k + 1 − p ∧ v 1 ∧ … v p − 1 {\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k+1-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots v_{p-1}} u i ∈ U {\displaystyle u_{i}\in U} v i ∈ V . {\displaystyle v_{i}\in V.}
F p + 1 / F p ≅ ⋀ k − p ( U ) ⊗ ⋀ p ( W ) {\displaystyle F^{p+1}/F^{p}\cong {\textstyle \bigwedge }^{\!k-p}(U)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(W)} 与えられた u 1 ∧ … ∧ u k − p ∧ v 1 ∧ … ∧ v p ↦ u 1 ∧ … ∧ u k − p ⊗ g ( v 1 ) ∧ … ∧ g ( v p ) . {\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{p}\mapsto u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-p}\otimes g(v_{1})\wedge \ldots \wedge g(v_{p}).} 特に、 U が1次元の
場合、
0 → U ⊗ ⋀ k − 1 ( W ) → ⋀ k ( V ) → ⋀ k ( W ) → 0 {\displaystyle 0\to U\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(W)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(W)\to 0} は正確であり、 W が1次元であれば
0 → ⋀ k ( U ) → ⋀ k ( V ) → ⋀ k − 1 ( U ) ⊗ W → 0 {\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(U)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(U)\otimes W\to 0} 正確です。 [15]
アプリケーション
アフィン空間における有向体積 (向き付けられた)次元体積と外積代数 の自然な設定は、 アフィン空間 です。これは、外積代数と 微分形式 との密接な関係でもあります。 を積分するには、無限小の体積を測定するための「微分」オブジェクトが必要になるからです。 が ベクトル空間 上のアフィン空間で、順序付けられた 点の ( 単体 ) 集合である場合 、その向き付けられた 次元 体積をベクトルの外積として定義できます (連結を使用して、 点 から への 変位ベクトル を意味します )。点の順序が変更されると、向き付けられた体積は、順列の偶奇に応じて符号が変わります。 次元空間では、任意の 次元単体の体積は、 他の任意の 次元単体のスカラー倍です。 k {\displaystyle k} A {\displaystyle \mathbb {A} } V {\displaystyle V} k + 1 {\displaystyle k+1} A 0 , A 1 , . . . , A k {\displaystyle A_{0},A_{1},...,A_{k}} k {\displaystyle k} A 0 A 1 ∧ A 0 A 2 ∧ ⋯ ∧ A 0 A k = {\displaystyle A_{0}A_{1}\wedge A_{0}A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{0}A_{k}={}} ( − 1 ) j A j A 0 ∧ A j A 1 ∧ A j A 2 ∧ ⋯ ∧ A j A k {\displaystyle (-1)^{j}A_{j}A_{0}\wedge A_{j}A_{1}\wedge A_{j}A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{j}A_{k}} P Q {\displaystyle PQ} P {\displaystyle P} Q {\displaystyle Q} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
次元単体の境界単体の -次元有向面積の 合計は、 前のセクションで説明した三角形または四面体を囲む有向三角形の周りのベクトルの合計と同様に、ゼロになります。 ( k − 1 ) {\displaystyle (k-1)} k {\displaystyle k}
上のベクトル空間構造は、 におけるベクトルの加算を一般化します 。つまり、 となり 、同様に k ブレード は各因子で線形です。 ⋀ ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)} V {\displaystyle V} ( u 1 + u 2 ) ∧ v = u 1 ∧ v + u 2 ∧ v {\displaystyle (u_{1}+u_{2})\wedge v=u_{1}\wedge v+u_{2}\wedge v} v 1 ∧ ⋯ ∧ v k {\displaystyle v_{1}\wedge \dots \wedge v_{k}}
線形代数 線型代数 への応用において 、外積は 行列 の 行列式 と 小行列式 を記述するための抽象的な代数的手法を提供します。たとえば、正方行列の行列式は、行列の列を側面とする平行四辺形の体積（向きを追跡するための符号付き）に等しいことはよく知られています。これは、行列式を 列ベクトルの外積で 定義できることを示唆しています。同様に、行列の k × k 小行列式は、一度に k 個 選択した列ベクトルの外積を見ることで定義できます。これらの考え方は、行列だけでなく 線型変換 にも拡張できます。線型変換の行列式は、任意の参照平行四辺形の向き付けられた体積をスケーリングする係数です。したがって、線型変換の行列式は、変換が最大の外乗に及ぼす影響で定義できます。変換がより小さな外乗に及ぼす作用は、 基底 に依存しない方法で変換の小行列式について述べる方法を提供します。
物理 物理学では、多くの量が交代作用素によって自然に表現されます。例えば、荷電粒子の運動が4次元時空における速度ベクトルと加速度ベクトルで記述される場合、速度ベクトルを正規化するためには、電磁力は速度に対する交代作用素でなければなりません。電磁力の6つの自由度は、電場と磁場と同一視されます。
電磁場 アインシュタインの相対性理論 では 、 電磁場は一般に 4次元空間 の 微分2次元形式 、あるいはそれと等価な 交代テンソル場 である 電磁テンソル として与えられます 。そして 、あるいはそれと等価なビアンキ恒等式が 成り立ちます。これらはいずれも計量を必要としません。 F = d A {\displaystyle F=dA} F i j = A [ i , j ] = A [ i ; j ] , {\displaystyle F_{ij}=A_{[i,j]}=A_{[i;j]},} d F = d d A = 0 {\displaystyle dF=ddA=0} F [ i j , k ] = F [ i j ; k ] = 0. {\displaystyle F_{[ij,k]}=F_{[ij;k]}=0.}
ローレンツ計量 と 方向 を加えると ホッジスター演算子 が得られ、それによって 等価なテンソル 発散 を定義することができる 。 ⋆ {\displaystyle \star } J = ⋆ d ⋆ F {\displaystyle J={\star }d{\star }F} J i = F , j i j = F ; j i j {\displaystyle J^{i}=F_{,j}^{ij}=F_{;j}^{ij}} F i j = g i k g j l F k l . {\displaystyle F^{ij}=g^{ik}g^{jl}F_{kl}.}
線形幾何学 分解可能な k ベクトルには幾何学的な解釈があります。2次元ベクトルは、 辺が と である向き付けられた 平行四辺形 の面積で与えられる数値で「重み付け」された、ベクトルが張る平面を表します 。同様に、3 次元ベクトルは、 辺が 、 、 である向き付けられた平行 六面体 の体積で重み付けされた、張られる 3 次元空間を表します 。 u ∧ v {\displaystyle u\wedge v} u {\displaystyle u} v {\displaystyle v} u ∧ v ∧ w {\displaystyle u\wedge v\wedge w} u {\displaystyle u} v {\displaystyle v} w {\displaystyle w}
射影幾何学 における分解可能な k ベクトルは、 の重み付き k 次元 線形部分空間 に対応する 。特に、 の k 次元部分空間の グラスマン多様体（ と表記） は、 射影空間 の 代数的部分多様体 と自然に同一視できる 。これは プルッカー埋め込みと呼ばれ、埋め込みの像は プルッカー関係 によって特徴付けられる 。 ⋀ k ( V ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)} V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} Gr k ( V ) {\displaystyle \operatorname {Gr} _{k}(V)} P ( ⋀ k ( V ) ) {\textstyle \mathbf {P} {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V){\bigr )}}
微分幾何学 外積代数は 微分幾何学において顕著な応用があり、 微分形式 を定義するのに用いられている 。 [16] 微分形式はベクトルの長さ、平行四辺形の面積、 高次元体の体積を評価する数学的対象であり、微積分の 線積分 や 面積分を 一般化する方法で 曲線、曲面、高次元 多様体上で 積分する ことができる 。 微分可能多様体 のある点における 微分形式は、その点における 接空間 上の交代多重線型形式である。同様に、 k 次微分形式は接空間の k 番目の外積上の 線型汎関数 である 。結果として、多重線型形式の外積は微分形式の自然な外積を定義する。微分形式は微分幾何学のさまざまな分野で重要な役割を果たしている。
別 のアプローチでは、 関数の芽の 観点から微分形式を定義します 。
特に、 外微分は 多様体上の微分形式の外代数に、微分次数代数 の構造を与える 。外微分は多様体間の滑らかな写像に沿って 引き戻し と可換であるため、 自然な 微分作用素 である。外微分を備えた微分形式の外代数は、 コチェーン複体であり、そのコホモロジーは基底多様体の ド・ラーム・コホモロジー と呼ばれ、微分可能多様体の 代数的位相 において重要な役割を果たす 。
表現論 表現論 において 、外積代数は ベクトル空間の圏における2つの基本的な シュール関手のうちの1つであり、もう1つは 対称代数である。これらの構成は、 一般線型群 の 既約表現を 生成するために用いられる （ 「基本表現 」を参照）。
超空間 複素数上の外積代数は 超代数の典型的な例であり、 フェルミオン や 超対称性 に関する物理理論で基本的な役割を果たします 。外積代数の単一の要素は 超数 [17] または グラスマン数 と呼ばれます。外積代数自体は1次元の 超空間 であり、外積代数のすべての点の集合にすぎません。この空間上の位相は本質的に 弱位相 であり、 開集合は 円筒集合 です 。n 次元 超空間は外積の n {\displaystyle n} 積 です。
リー代数ホモロジー を体 上のリー代数とすると 、 の外積代数上の 鎖複体 の構造を定義することができる 。これは 線型写像
である。 L {\displaystyle L} K {\displaystyle K} L {\displaystyle L} K {\displaystyle K}
∂ : ⋀ p + 1 ( L ) → ⋀ p ( L ) {\displaystyle \partial :{\textstyle \bigwedge }^{\!p+1}(L)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(L)} 分解可能な要素によって定義される
∂ ( x 1 ∧ ⋯ ∧ x p + 1 ) = 1 p + 1 ∑ j < ℓ ( − 1 ) j + ℓ + 1 [ x j , x ℓ ] ∧ x 1 ∧ ⋯ ∧ x ^ j ∧ ⋯ ∧ x ^ ℓ ∧ ⋯ ∧ x p + 1 . {\displaystyle \partial (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{p+1})={\frac {1}{p+1}}\sum _{j<\ell }(-1)^{j+\ell +1}[x_{j},x_{\ell }]\wedge x_{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{j}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{\ell }\wedge \cdots \wedge x_{p+1}.} ヤコビ 恒等式は 1 {\displaystyle {1}} の場合にのみ成立し 、したがってこれは反可換非結合的代数が リー代数となるための必要十分条件である。さらに、その場合、は 境界演算子 を持つ 鎖複体 である 。 この複体に関連する ホモロジーは リー代数ホモロジー である。 L {\displaystyle L} ⋀ ( L ) {\textstyle {\textstyle \bigwedge }(L)} ∂ {\displaystyle \partial }
ホモロジー代数 外積代数は、ホモロジー代数 における基本オブジェクトである Koszul 複体 の構築における主要な要素です 。
歴史 外積代数は、 1844年に ヘルマン・グラスマンによって「 外積理論（ Ausdehnungslehre ）」という 包括的な用語で初めて導入されました 。 [18]これはより一般的には、拡張された量の代数的（あるいは公理的）理論を指し、現代の ベクトル空間 の概念の先駆者の一つでした 。 サン＝ヴナン も同様の外積分学のアイデアを発表し、グラスマンに先んじてその優先権を主張しました。 [19]
代数自体は、ケイリーとシルベスターの多重ベクトル理論の形式的な側面を捉えた一連の規則、すなわち公理から構築された。したがって、それは 命題計算 によく似た 計算学 であったが、幾何学的な用語による形式的推論という課題にのみ焦点を当てていた。 [20] 特に、この新たな発展により、 これまで座標の観点からのみ考察されていた次元という特性を 公理的に特徴づけることが可能になった。
ベクトルと多重ベクトル のこの新しい理論の重要性は、 19世紀半ばの数学者には理解されていませんでしたが、 [21] 1888年に ジュゼッペ・ペアノ によって徹底的に検証されました。 ペアノの研究も世紀の変わり目まではあまり知られていませんでしたが、この分野はフランス幾何学学派のメンバー（特に アンリ・ポアンカレ 、 エリー・カルタン 、 ガストン・ダルブー）によって統一され、グラスマンのアイデアが 微分形式 の計算に適用されました 。
その後間もなく、 アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは 、ペアノとグラスマンの考えを借用し、 普遍代数学 を提唱しました。これは、代数体系という公理的概念を確固たる論理的基盤の上に置き、 20世紀における 抽象代数学 の発展への道を開きました。
参照
注記 ^ ab ペンローズ, R. (2007). 『現実への道』 ヴィンテージブックス. ISBN 978-0-679-77631-4 。 ^ ウィーラー、ミスナー、ソーン 1973年、83ページ ^ グラスマン（1844）はこれらを 拡張 代数として導入した（クリフォード1878を参照）。 ^ k-ベクトル という用語は 、 4-ベクトル などの類似の用語とは同義ではなく、混同すべきではありません。4-ベクトル は、文脈によっては4次元ベクトル空間の元を意味する場合もあります。少数の著者は、 この混乱を避けるために、-ベクトル ではなく-多重ベクトルという用語を使用しています。 k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} ^この領域の公理化は、 レオポルド・クロネッカー と カール・ワイエルシュトラス によるものである 。Bourbaki (1989b, Historical Note) を参照のこと。現代的な扱いについては、Mac Lane & Birkhoff (1999, Theorem IX.2.2) を参照のこと。初等的な扱いについては、Strang (1993, Chapter 5) を参照のこと。 ^ この定義は標準的なものです。例えば、Mac Lane & Birkhoff (1999) を参照してください。 ^ このことのより一般的な証明は、Bourbaki (1989) に示されています。 ^ Bourbaki (1989, §III.7.1) および Mac Lane & Birkhoff (1999, Theorem XVI.6.8) を参照。普遍性に関する一般的な詳細は、Mac Lane & Birkhoff (1999, Chapter VI) および Bourbaki の著作全体に記載されている。 ^ 一般化についてはBourbaki（1989、§III.7.5）を参照。 ^ 注: ここで示されている方向は正しくありません。この図は、すべての k 形式に対して方向が定義されているという印象を与えるだけです 。 ^ Wheeler, JA; Misner, C.; Thorne, KS (1973). Gravitation . WH Freeman & Co. pp. 58– 60, 83, 100– 9, 115– 9. ISBN 0-7167-0344-0 。 ^ 実際、 の外在代数 は、 上のアーベル リー超代数 構造 の包絡代数 です 。 V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} ^ この部分は、可換環上の加群とに対しても 、より一般的に成り立つ 。これは、 エピモーフィズムをエピモーフィズムに変換する。Bourbaki (1989, Proposition 3, §III.7.2) を参照。 V {\displaystyle V} W {\displaystyle W} ⋀ {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }} ^この命題は、 V と W が 可換環上の射影加群である場合にのみ一般化される 。それ以外の場合、単射を単射に変換することは一般には成立しない 。Bourbaki (1989, 命題 12 の系, §III.7.9) を参照。 ⋀ {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }} ^ このような濾過は ベクトル束、および可換環上の射影加群にも成り立つ。したがって、これは直和について上記で引用した結果よりも一般性が高い。なぜなら、他の アーベル圏 では必ずしも短完全列が分岐するわけではないからである 。 ^ James, AT (1983). 「ウェッジ積について」. カーリン, サミュエル; 雨宮, 武; グッドマン, レオ A. (編). 『計量経済学、時系列、多変量統計の研究 』. アカデミック・プレス. pp. 455– 464. ISBN 0-12-398750-4 。 ^ デウィット、ブライス (1984). 「第1章」. 超多様体 . ケンブリッジ大学出版局. p. 1. ISBN 0-521-42377-5 。 ^ Kannenberg (2000) はグラスマンの著作の英語翻訳を出版した。彼は Ausdehnungslehre を Extension Theory と翻訳した 。 ^ J Itard、『科学伝記辞典』（ニューヨーク、1970-1990年）の伝記。 ^ 過去に著者らはこの計算法を 拡張計算法 （Whitehead 1898、Forder 1941）、 拡張代数 （Clifford 1878）、最近では 拡張ベクトル代数 （Browne 2007）などと呼んできた。 ^ ブルバキ 1989年、661ページ。
参考文献
数学的参考文献 ビショップ、R. ; ゴールドバーグ、SI (1980)、 「多様体上のテンソル解析」 、ドーバー、 ISBN 0-486-64039-6 交代テンソルと交代形式の扱い、およびこの記事で採用された観点からのホッジ双対性の詳細な説明が含まれています。 ブルバキ、ニコラ （1989）、 数学原論、代数I 、シュプリンガー・フェアラーク、 ISBN 3-540-64243-9 本稿の主要な数学的参考文献 です 。可換環上の加群の外積代数（ただし、本稿では主に環が体の場合に特化しています）について解説し、普遍性、関数性、双対性、双代数構造についても論じています。§III.7および§III.11を参照してください。 Bryant, RL ; Chern, SS ; Gardner, RB; Goldschmidt, HL; Griffiths, PA (1991), Exterior Differential Systems , Springer-Verlag 本書は、 偏微分方程式 の問題への外積代数の応用を扱っています。序盤の章では、階数と関連概念が展開されています。 Mac Lane, S. ; Birkhoff, G. (1999), Algebra , AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2 第 16 章のセクション 6 ～ 10 では、双対性、行列式とマイナー、交代形式など、外積代数のより基本的な説明が行われます。 シュロモ・スターンバーグ （1964年） 『微分幾何学講義 』プレンティス・ホール 交代テンソルとしての外積代数の古典的な扱いと微分幾何学への応用が含まれています。
歴史的参照 ブルバキ（1989年、第2章と第3章の歴史的注釈） クリフォード, W. (1878)、「グラスマンの拡張代数の応用」、 アメリカ数学ジャーナル 、 1 (4)、ジョンズ・ホプキンス大学出版局: 350– 358、 doi :10.2307/2369379、 JSTOR 2369379 フォーダー、HG （1941）『拡張の微積分』 インターネットアーカイブ グラスマン、ヘルマン (1844)、Die Lineale Ausdehnungslehre – Ein neuer Zweig der Mathematik (ドイツ語) （線型拡張理論 - 数学の新しい分野）代替参考文献 カンネンバーグ、ロイド（2000）、拡張理論（グラスマンの Ausdehnungslehre の翻訳 ） 、アメリカ数学会、 ISBN 0-8218-2031-1 Peano、Giuseppe (1888)、 Calcolo Geometrico Secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dall Operazioni della Logica Deduttiva ; Kannenberg、Lloyd (1999)、 幾何学計算: H. Grassmann の Ausdehnungslehre による 、Birkhäuser、 ISBN 978-0-8176-4126-9 。 ホワイトヘッド、アルフレッド・ノース （1898）、「普遍代数学とその応用に関する論文」、 ネイチャー 、 58 （1504）、ケンブリッジ：385、 書誌コード ：1898Natur..58..385G、 doi ：10.1038/058385a0、 S2CID 3985954
その他の参考文献と参考文献 Browne, JM (2007), グラスマン代数 – Mathematicaによる拡張ベクトル代数の応用の探究、2009年2月19日アーカイブ、 2007年5月9日 取得 外積代数と幾何代数 の入門書 。応用に重点を置いています。歴史と参考文献も収録されています。 スピヴァック、マイケル （1965）、 多様体上の微積分 、アディソン・ウェスレー、 ISBN 978-0-8053-9021-6 外積代数の微分形式への応用、特に 積分 と ストークスの定理 に焦点を当てています。本文中の 表記法は、 V上の交代 k 形式の空間を意味します 。つまり、Spivak にとって は、 この記事で言うところのものです。Spivak は補遺4でこの点について論じています。 ⋀ k V {\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V} ⋀ k V {\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V} ⋀ k V ∗ . {\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V^{*}.} Strang, G. (1993) 『 線形代数入門』 Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-0-9614088-5-5 符号付き面積、体積、高次元体積としての行列式の公理化の基本的な処理が含まれます。 Onishchik, AL (2001) [1994]、「外積代数」、 数学百科事典 、 EMS Press ウェンデル、フレミング (2012) [1977]、「7. 外積代数と微分積分」、 関数論 （第2版）、シュプリンガー、pp. 275– 320、 ISBN 978-1-4684-9461-7 この 多変数微積分 の教科書は、大学の微積分学の講義に微分形式の外積代数を巧みに取り入れています。 Shafarevich, IR ; Remizov, AO (2012). 線形代数と幾何学. Springer . ISBN 978-3-642-30993-9 。 第10章 外積と外積代数 「射影幾何学におけるグラスマン法」外積代数の射影幾何学への応用に関するチェーザレ・ブラーリ＝フォルティによる3つのノートの英訳集 C. Burali-Forti著「H. Grassmannの方法による微分幾何学入門」外積代数の幾何学的応用に関する初期の書籍の英訳 「拡大理論の原理による力学」外積代数の応用に関するグラスマンの論文の英訳
![{\displaystyle [1,\dots ,k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60710fea4ba764d784a1cfee13f73f633e65e8e3)
![{\displaystyle (t~{\widehat {\otimes }}~s)^{i_{1}\cdots i_{r+p}}=t^{[i_{1}\cdots i_{r}}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a6e1f0d329e0d2883efe13d67dc45065142bba)
![{\displaystyle F_{ij}=A_{[i,j]}=A_{[i;j]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4158dbf3e9425d402c1c7350c68a73ac96a0176f)
![{\displaystyle F_{[ij,k]}=F_{[ij;k]}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39498c21115979961e612d1ea550016064bc6659)
![{\displaystyle \partial (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{p+1})={\frac {1}{p+1}}\sum _{j<\ell }(-1)^{j+\ell +1}[x_{j},x_{\ell }]\wedge x_{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{j}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{\ell }\wedge \cdots \wedge x_{p+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a74a56321a71b4e71d78158149d5c833f7a56e)
