テッセラクト

Tesseract
8セル
（4キューブ）
Tesseract ; 8セル; （4キューブ）
タイプ	凸正4次元多面体
シュレーフリ記号	{4,3,3} ; t 0,3 {4,3,2} または {4,3}×{ } ; t 0,2 {4,2,4} または {4}×{4} ; t 0,2,3 {4,2,2} または {4}×{ }×{ } ; t 0,1,2,3 {2,2,2} または { }×{ }×{ }×{ }
コクセター図	; ; ; ;
細胞	8 {4,3}
顔	24 {4}
エッジ	32
頂点	16
頂点図形	; 四面体
ペトリー多角形	八角形
コクセターグループ	B 4 , [3,3,4]
デュアル	16セル
プロパティ	凸面、等角面、等等面体、等面体、ハンナー多面体
均一インデックス	10

幾何学において、テッセラクト（四次元立方体）または四次元立方体は、2次元の正方形や3次元の立方体に相当する 4次元の超立方体です。^[1]正方形の周囲が4辺で構成され、立方体の表面が6つの正方形の面で構成されているのと同様に、テッセラクト（四次元立方体）の超曲面は、互いに直角に交わる8つの立方体セルで構成されています。テッセラクトは、6つの凸正多面体のうちの1つです。

テッセラクトは、 8セル、C ₈、（正）オクタクロロン、または立方柱とも呼ばれます。これは、超体積の単位として用いられる4次元測度多面体です。 ^[2] コクセターはこれを $γ 4$ 多面体と名付けました。^{[3]次元の参照がない}「超立方体」 という用語は、この特定の多面体の同義語として扱われることがよくあります。

オックスフォード英語辞典によると、テッセラクト（tesseract）という語は、チャールズ・ハワード・ヒントンの1888年の著書『思想の新時代』に由来する。この語はギリシャ語の テッサラ（τέσσαρα「4」）とアクティス（ἀκτίς「光線」）に由来し、各頂点から他の頂点へと伸びる4本の辺を指す。ヒントンは当初、この語をテッサラクトと綴っていた。^[4]

幾何学

すべての辺を3 つの立方体が折り重なった正多面体であるため、シュレーフリ記号は{4,3,3} で表され、超八面体対称性の位数は 384 です。2 つの平行な立方体でできた 4D超プリズムとして構築されると、対称性位数が 96 の合成シュレーフリ記号 {4,3} × { } と名付けられます。2つの正方形の直積である 4-4 デュオプリズムとしては、対称性位数が 64 の合成シュレーフリ記号 {4}×{4} と名付けられます。直交多面体としては、対称性位数が 16の合成シュレーフリ記号 { } × { } × { } × { } または { } ⁴で表すことができます。

テッセラクトの各頂点は4つの辺に隣接しているため、テッセラクトの頂点図形は正四面体です。テッセラクトの双対多面体は、シュレーフリ記号{3,3,4}を持つ 16セルであり、これと組み合わせることで、テッセラクトと16セルの複合体を形成できます。

正則四次元方陣の各辺は同じ長さです。これは、並列計算において複数のプロセッサを接続するネットワークトポロジの基盤として四次元方陣を用いる際に重要です。2つのノード間の距離は最大4であり、重みのバランスをとるための様々なパスが存在します。

テッセラクト（四次元方陣）は、8つの三次元超平面によって囲まれます。平行でない超平面の各ペアは交差して24個の正方形を形成します。各辺には、3つの立方体と3つの正方形が交差します。各頂点には、4つの立方体、6つの正方形、4つの辺が交差しています。全体として、テッセラクトは8つの立方体、24個の正方形、32の辺、16個の頂点で構成されます。

座標

単位四次元方位は辺の長さが $1$ であり、通常、4次元空間における超体積の基本単位とされる。4次元空間の直交座標系における単位四次元方位は、座標 $[0, 0, 0, 0]$ と $[1, 1, 1, 1]に対向する2つの頂点を持ち、その他の頂点は$ $0$ と $1$ のあらゆる組み合わせの座標を持つ。これは、各軸における閉単位区間 $[0, 1]の$ 直交積である。

場合によっては、単位四次元方陣は原点を中心として、座標がより対称的になります。これは、各軸の閉区間の直積です。 ${\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.$ ${\bigl [}{-{\tfrac {1}{2}}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr ]}$

もう一つの便利な四次元方陣は、各軸における閉区間 $[-1, 1]の直積で、頂点座標が$ $(\pm1, \pm1, \pm1, \pm1)$ である。この四次元方陣の辺の長さは 2 、超体積は $24 = 16$ である。

ネット

多面体の展開はネットと呼ばれます。テッセラクトには261種類のネットがあります。^[5]テッセラクト展開は、ネットをペアになった木（補集合に完全マッチングを持つ木）にマッピングすることで数えることができます。

261個のネットのそれぞれは3マスを敷き詰めることができる。^[6]

工事

ハイパーキューブの構築は次のように考えることができます。

1 次元: 2 つの点 A と B を接続して直線にすることができ、新しい線分 AB が作成されます。
2 次元: AB の距離で隔てられた 2 つの平行線分 AB と CD を接続すると正方形になり、その角は ABCD としてマークされます。
3 次元: AB の距離で隔てられた 2 つの平行な正方形 ABCD と EFGH を接続すると立方体になり、その角は ABCDEFGH としてマークされます。
4次元： 2つの平行な立方体ABCDEFGHとIJKLMNOPをABの距離で繋げると、四次元立方体（テッセラクト）になります。この場合、各頂点はABCDEFGHIJKLMNOPで示されます。しかし、2つの立方体を、対応する8つの頂点のペアがそれぞれABの距離で離れるように平行に配置することは、4次元以上の空間でのみ可能です。

テッセラクト（四次元立方体）の8つのセルは、4つの立方体が2つ連結したリングとして（3つの異なる方法で）考えることができます。^[7]

四次元方陣は、より小さな4次元多面体に分解できます。これは、2つの半四次元方陣（16セル）の合成物の凸包です。また、四次元方陣と頂点を共有する4次元単体（不規則な5セル）に三角形分割することもできます。このような三角形分割は92,487,256個あり^[8]、その中で4次元単体が最も少ないのは16個である^[9]。

四次元方陣をその特徴的な単体のインスタンスに分解する（コクセター図を含む特定のオルソスキーム））は、四次元立方体の最も基本的な直接構成法である。四次元立方体の特性5セルは、四次元立方体を定義する対称群の基本領域であり、この群はB ₄ 多面体を生成する。四次元立方体の特性単体は、その境界面（鏡面壁）に自身を映し出すことで、群の作用を通じて四次元立方体を直接生成する。

放射状正対称

正多面体に外接する超球面の半径は、多面体の中心から頂点の 1 つまでの距離であり、四次元立方体の場合、この半径はその辺の長さに等しくなります。球面の直径、つまり四次元立方体の反対の頂点間の対角線の長さは、辺の長さの 2 倍です。この特性を持つ均一多面体は、4 次元の四次元立方体と24 セル、3 次元の立方八面体、2 次元の六角形など、ごく少数に限られます。特に、四次元立方体は、放射状に正三角形となる唯一の超立方体です (0 次元の点を除く)。次元超立方体の単位辺の長さの頂点間の最長の対角線はで、正方形の場合は、立方体の場合は、四次元立方体の場合のみ、辺の長さはです。 $n$ ${\sqrt {n{\vphantom {t}}}},$ ${\sqrt {2}},$ ${\sqrt {3}},$ ${\sqrt {4}}=2$

単位半径3次元球面に内接する軸に沿った四次元方陣の頂点の座標は次の通りである。 ${\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.$

プロパティ

$辺の長さがs$ の四次元方位体の場合:

ハイパーボリューム（4D）： $H=s^{4}$
表面の「ボリューム」（3D）: $SV=8s^{3}$
顔の対角線： $d_{\mathrm {2} }={\sqrt {2}}s$
セル対角線: $d_{\mathrm {3} }={\sqrt {3}}s$
4 スペース対角線: $d_{\mathrm {4} }=2s$

構成として

この配置行列は四次元方陣を表します。行と列は頂点、辺、面、セルに対応します。対角線上の数字は、各要素が四次元方陣全体にいくつ出現するかを表します。対角線はfベクトル(16,32,24,8)に簡約されます。

非対角数は、列の要素が行の要素にいくつ出現するかを示します。^[10]たとえば、2行目の最初の列の2は、各辺に（つまり、端に）2つの頂点があることを示し、1行目の最初の列の4は、各頂点で4つの辺が交わることを示します。

一番下の行は面（ここでは立方体）を定義し、fベクトルは(8,12,6)です。対角線の左隣の行は稜線要素（立方体の面）で、ここでは正方形（4,4）です。

上の行は頂点図形（ここでは四面体、(4,6,4)）のfベクトルです。次の行は頂点図形の稜線（ここでは三角形、(3,3)）です。

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

予測

立方体を 2 次元空間に投影するのと同様に、四次元立方体を 3 次元および 2 次元空間に投影することが可能です。

テッセラクトを3次元空間にセル優先平行投影すると、立方体の外殻が形成されます。最も近いセルと最も遠いセルが立方体に投影され、残りの6つのセルが立方体の6つの正方形の面に投影されます。

テッセラクトを面から平行投影して三次元空間に投影すると、直方体の外殻が形成されます。2組のセルはこの外殻の上半分と下半分に投影され、残りの4つのセルは側面に投影されます。

テッセラクトを3次元空間に辺優先平行投影すると、六角柱状の包絡線が形成されます。6つのセルは六角柱に配列された菱形プリズムに投影されます。これは、3次元立方体の面が頂点優先投影による六角形の包絡線内の6つの菱形に投影されるのと類似しています。残りの2つのセルはプリズムの底面に投影されます。

テッセラクトを3次元空間に頂点優先平行投影すると、菱形十二面体の包絡線が形成されます。テッセラクトの2つの頂点は原点に投影されます。菱形十二面体を4つの合同な菱形面体に分割する方法は正確に2つあり、合計8つの菱形面体が得られます。これらの菱形面体はテッセラクトを投影した立方体です。この投影は体積が最大となる投影ベクトルでもあります。投影ベクトルの組は、 u = (1,1,−1,−1)、v = (−1,1,−1,1)、w = (1,−1,−1,1)です。

正投影図
コクセター飛行機	B4	B ₄ --> A ₃	A3
グラフ
二面対称性	[8]	[4]	[4]
コクセター飛行機	他の	B ₃ / D ₄ / A ₂	B ₂ / D ₃
グラフ
二面対称性	[2]	[6]	[4]

隠線を破線として示した正投影コクセター平面 B ₄グラフと、隠線のない四次元方位図。

4次元空間において、平面を軸に単純な回転を行うテッセラクト（四次元立方体）の3D投影図。平面は、図形を左前方から右後方、そして上から下に二等分します。	4 次元空間内の 2 つの直交平面を中心に二重回転を実行するテッセラクト (四次元立方体) の 3D 投影。

面のある四次元立方体と面のない四次元立方体の3D投影	隠れたボリュームを消去した遠近法。赤い角は4Dで最も近い角であり、その周囲に4つの立方体セルが集まっています。

四面体は、四次元立方体の頂点中心中心投影の凸包を形成します。8つの立方体セルのうち4つが表示されています。16番目の頂点は無限遠に投影されており、その4辺は表示されていません。	立体投影（辺は3次元球面に投影される）

テッセラクト立体3D投影（平行投影）
立体3D無武装ハイパーキューブ

テッセレーション

四次元立方体は、他の超立方体と同様に、ユークリッド空間をモザイク状に敷き詰める。各面の周りに4つの四次元立方体から成る自己双対なハニカム状の四次元立方体は、シュレーフリ記号{4,3,3,4}で表される。したがって、この四次元立方体の二面角は90°である。^[11]

テッセラクト (Tesseract) の放射状正三角形対称性により、そのモザイク模様は、任意の次元数において、等しい大きさの球体から成る唯一の規則的な体心立方格子になります。

大衆文化において

四次元超立方体は発見以来、芸術、建築、SFの分野で人気のテーマとなっています。注目すべき例としては、以下のようなものがあります。

ロバート・A・ハインラインの1940年のSF小説「そして彼は歪んだ家を建てた」には、四次元の超立方体の形をした建物が登場する。 ^[13]この作品と、1946年に出版されたマーティン・ガードナーの「ノーサイド教授」は、読者にメビウスの帯、クラインの壺、超立方体（テッセラクト）を紹介した最初のSF小説の一つである。
磔刑（Corpus Hypercubus）は、サルバドール・ダリが1954年に制作した油絵で、4次元の超立方体が3次元のラテン十字架に展開されている様子が描かれている。^[14]
グランダルシュは、フランスのパリ近郊にある記念碑兼建物で、1989年に完成しました。記念碑のエンジニアであるエリック・ライツェルによると、グランダルシュはハイパーキューブの投影に似せて設計されました。^[15]
Fezは、他のキャラクターが見ることができる2次元を超えて見ることができるキャラクターを操作し、その能力を使ってプラットフォームパズルを解くビデオゲームです。プレイヤーが世界を移動し、能力の使い方を教えてくれるテッセラクト「ドット」が登場し、人間の認識を超えた次元空間を見るというテーマにぴったりです。^[16]

テッセラクトという語は、サイエンスフィクションの作品のプロット装置など、大衆文化のさまざまな場面で採用されていますが、4 次元超立方体とはほとんどまたは全く関係がありません。「テッセラクト (曖昧さ回避)」を参照してください。

注記

^ 「テッセラクト - 4次元立方体」www.cut-the-knot.org . 2020年11月9日閲覧。
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^ コトル、リチャード W. (1982)、「4次元立方体の最小三角分割」、離散数学、40 : 25–29、doi : 10.1016/0012-365X(82)90185-6、MR 0676709
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参考文献

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ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、ハイム・グッドマン＝ストラウス（2008）『The Symmetries of Things』、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章 409ページ: ヘミキューブ: 1 _n1）
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ホール、T. プロクター(1893). 「四面体図形の三平面への射影」.アメリカ数学ジャーナル. 15 (2): 179– 189. doi :10.2307/2369565. JSTOR 2369565.
ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
- NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、Ph.D.（1966）
Victor Schlegel（1886）Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-Dimensionen Körper、Waren。

外部リンク

Klitzing, Richard. 「4D 均一多面体 (ポリコラ) x4o3o3o - tes」。
ケン・パーリンのホームページケン・パーリンによるハイパーキューブの視覚化の方法
ダヴィデ・P・セルヴォーネ著『第四次元に関するノート』には、テッセラクトに関するさまざまな側面についてのアニメーションチュートリアルが含まれています。
隠れボリュームを除去したTesseractアニメーション

ペトリー多角形正投影

線分	四角	キューブ	4キューブ	5キューブ	6キューブ	7キューブ	8キューブ	9キューブ	10キューブ

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	$アン $	$B n$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 ₂₂ • 2 ₂₁
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

[1] 「テッセラクト - 4次元立方体」www.cut-the-knot.org . 2020年11月9日閲覧。

[2] エルテ、エルサレム(2005)。超空間の半規則的な多面体。フローニンゲン: フローニンゲン大学。ISBN 1-4181-7968-X。

[FOOTNOTECoxeter1973122–123§7.2._illustration_Fig_7.2<small>C</small>-3] Coxeter 1973, pp. 122–123, §7.2 .図7.2 C。

[4] "tesseract" .オックスフォード英語辞典（オンライン版）. オックスフォード大学出版局. 199669. (サブスクリプションまたは参加機関のメンバーシップが必要です。)

[5] 「8セルの展開」Unfolding.apperceptual.com . 2018年1月21日閲覧。

[6] パーカー、マット. Which Hypercube Unfoldings Tile Space? 2025年5月11日閲覧。

[FOOTNOTECoxeter197018-7] コクセター 1970、18ページ。

[8] Pournin, Lionel (2013)、「4次元立方体のフリップグラフは連結されている」、Discrete & Computational Geometry、49 (3): 511– 530、arXiv : 1201.6543、doi :10.1007/s00454-013-9488-y、MR 3038527、S2CID 30946324

[9] コトル、リチャード W. (1982)、「4次元立方体の最小三角分割」、離散数学、40 : 25–29、doi : 10.1016/0012-365X(82)90185-6、MR 0676709

[FOOTNOTECoxeter197312§1.8_Configurations-10] Coxeter 1973、p.12、§1.8 構成。

[FOOTNOTECoxeter1973293-11] コクセター 1973、293ページ。

[12] Coxeter, HSM、「Regular Complex Polytopes」、第2版、Cambridge University Press、(1991)。

[13] ファウラー、デイヴィッド（2010）「サイエンスフィクションにおける数学：サイエンスフィクションとしての数学」、ワールド・リテラチャー・トゥデイ、84（3）：48-52、doi：10.1353/wlt.2010.0188、JSTOR 27871086、S2CID 115769478

[14] ケンプ、マーティン（1998年1月1日）「ダリの次元」、ネイチャー、391（27）：27、Bibcode：1998Natur.391...27K、doi：10.1038/34063、S2CID 5317132

[15] Ursyn, Anna (2016)、「科学教育における知識の視覚化と視覚リテラシー」、科学教育における知識の視覚化と視覚リテラシー、Information Science Reference、p. 91、ISBN 9781522504818

[16] 「ドット（キャラクター） - ジャイアントボム」ジャイアントボム. 2018年1月21日閲覧。

正凸4次元多面体
対称群	A4	B4		F4	H4
名前	5セル超四面体 5点	16セル超八面体 8点	8セルハイパーキューブ 16ポイント	24セル 24ポイント	600セル超二十面体 120点	120セル超十二面体 600ポイント
シュレーフリ記号	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
コクセターミラー
鏡面二面角	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
グラフ
頂点	5つの四面体	8面体	16 四面体	24立方体	120面体	600四面体
エッジ	10個の三角形	24平方	32 三角形	96三角形	720五角形	1200 三角形
顔	10個の三角形	32個の三角形	24個の正方形	96個の三角形	1200個の三角形	720個の五角形
細胞	5つの四面体	16個の四面体	8個のキューブ	24個の八面体	600個の四面体	120面体
トリ	1 5面体	2 8面体	2 4キューブ	4 6面体	20 30四面体	12 10面体
内接	120セルで120個	120セルで675	2 16セル	3 8セル	25 24セル	10 600セル
素晴らしいポリゴン		2つの正方形×3	長方形4つ×4	4つの六角形×4	12角形×6	不規則な六角形100 個x 4
ペトリー多角形	五角形1個×2	八角形1個×3	八角形2個×4	十二角形2個×4	30角形4個×6	20 30角形x 4
長半径	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
エッジの長さ	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
短い半径	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
エリア	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
音量	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-コンテンツ	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

直交	視点

₄ {4} ₂、16個の頂点と8個の4辺を持ち、8個の4辺はここでは4個の赤い正方形と4個の青い正方形として示されている。