ファジー集合

Sets whose elements have degrees of membership

数学において、ファジー集合（不確実集合とも呼ばれる）は、要素が帰属度を持つ集合である。ファジー集合は、1965年にロトフィ・A・ザデーが集合の古典的な概念の拡張として独立に導入した。^{[1] [2]}同時に、サリー（1965）は「L関係」と呼ばれるより一般的な種類の構造を定義し、抽象代数の文脈で研究した。ファジー関係は、 Lが単位区間[0, 1]のときのL関係の特殊なケースである。これらは現在、ファジー数学全体で使用されており、言語学（デ・コック、ボーデンホファー＆ケレ2000）、意思決定（クズミン1982）、クラスタリング（ベズデック1978）などの分野に応用されている。

古典的集合論では、集合内の要素の所属は、二値条件（要素が集合に属するか属さないか）に従って二項で評価される。対照的に、ファジー集合論では、集合内の要素の所属を段階的に評価することができる。これは、実数単位区間 [0, 1]で値を取る所属関数を用いて記述される。ファジー集合は古典的集合を一般化する。なぜなら、古典的集合の指示関数（特性関数ともいう）は、ファジー集合の所属関数の特殊なケースであり、後者は 0 か 1 の値しか取らないからである。 ^{[3]ファジー集合論では、古典的二価集合は通常、}クリスプ集合と呼ばれる。ファジー集合論は、バイオインフォマティクスなど、情報が不完全または不正確な幅広い分野で用いることができる。^[4]

意味

ファジー集合とは、集合（多くの場合、空でないことが求められる）とメンバーシップ関数のペアである。参照集合（またはで表されることもある）は談話領域と呼ばれ、それぞれの値はにおけるのメンバーシップ度と呼ばれる。関数はファジー集合 のメンバーシップ関数と呼ばれる。 ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle m\colon U\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in U,}$ ${\displaystyle m(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle m=\mu _{A}}$ ${\displaystyle A=(U,m)}$

有限集合の場合、ファジィ集合は次のように表記されることが多い。 ${\displaystyle U=\{x_{1},\dots ,x_{n}\},}$ ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle \{m(x_{1})/x_{1},\dots ,m(x_{n})/x_{n}\}.}$

とする。すると、と呼ばれる 。 ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle x}$

• （メンバーなし）の場合、ファジー集合に含まれない。 ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle m(x)=0}$
• 完全に含まれる場合（正会員）、 ${\displaystyle m(x)=1}$
• （ファジーメンバー）の場合、部分的に含まれる。 ^[5] ${\displaystyle 0<m(x)<1}$

宇宙上のすべてのファジー集合の（クリスプ）集合は（または単に）で表されます。^[要出典] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle SF(U)}$ ${\displaystyle F(U)}$

ファジィ集合に関連するクリスプ集合

任意のファジー集合に対して、次のクリスプ集合が定義されます。 ${\displaystyle A=(U,m)}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

• ${\displaystyle A^{\geq \alpha }=A_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)\geq \alpha \}}$αカット（別名αレベルセット）と呼ばれる
• ${\displaystyle A^{>\alpha }=A'_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)>\alpha \}}$は強いαカット（または強いαレベルセット）と呼ばれる
• ${\displaystyle S(A)=\operatorname {Supp} (A)=A^{>0}=\{x\in U\mid m(x)>0\}}$そのサポートと呼ばれる
• ${\displaystyle C(A)=\operatorname {Core} (A)=A^{=1}=\{x\in U\mid m(x)=1\}}$コア（またはカーネル とも呼ばれます）と呼ばれます。 ${\displaystyle \operatorname {Kern} (A)}$

一部の著者は「カーネル」を異なる意味で理解していることに注意してください。以下を参照してください。

その他の定義

• ファジィ集合が空集合である（）場合、次の式を満たす（場合のみ） ${\displaystyle A=(U,m)}$ ${\displaystyle A=\varnothing }$

${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)=m(x)=0}$

• 2つのファジィ集合とが等しい場合（） ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)}$

• ファジィ集合がファジィ集合（）に含まれる場合、その場合のみ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)}$

• 任意のファジィ集合に対して、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle \mu _{A}(x)=0.5}$

クロスオーバーポイントと呼ばれます。

• ファジー集合 が与えられた場合、が空でない任意の はA のレベルと呼ばれます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ ${\displaystyle A^{=\alpha }=\{x\in U\mid \mu _{A}(x)=\alpha \}}$
• A の水準集合は、異なるカットを表現するすべての水準の集合である。これは以下の像である。 ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ ${\displaystyle \mu _{A}}$

${\displaystyle \Lambda _{A}=\{\alpha \in [0,1]:A^{=\alpha }\neq \varnothing \}=\{\alpha \in [0,1]:{}}$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle x\in U(\mu _{A}(x)=\alpha )\}=\mu _{A}(U)}$

• ファジィ集合の場合、その高さは次のように与えられる。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=\sup\{\mu _{A}(x)\mid x\in U\}=\sup(\mu _{A}(U))}$

ここで、は上限を表します。これは、が空でなく、1 によって上方に有界であるため存在します。Uが有限である場合、上限を最大値に置き換えることができます。 ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \mu _{A}(U)}$

• ファジィ集合が正規化されているとは次の場合に限られる。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=1}$

有限の場合、つまり上限が最大値である場合、これはファジー集合の少なくとも1つの要素が完全なメンバーシップを持つことを意味します。空でないファジー集合は、ファジー集合のメンバーシップ関数をその高さで割ることで正規化できます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\tilde {A}}(x)=\mu _{A}(x)/\operatorname {Hgt} (A)}$

類似点に加えて、正規化定数が合計ではないという点で、通常の正規化とは異なります。

• 有界サポートを持つ実数のファジィ集合の場合、幅は次のように定義される。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (U\subseteq \mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\sup(\operatorname {Supp} (A))-\inf(\operatorname {Supp} (A))}$

が有限集合、またはより一般的には閉集合である場合、幅はちょうど ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\max(\operatorname {Supp} (A))-\min(\operatorname {Supp} (A))}$

n次元の場合、上記は のn次元体積に置き換えることができます。 ${\displaystyle (U\subseteq \mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

一般に、これはU上の任意の測度が与えられれば、たとえば の積分（たとえばルベーグ積分）によって定義できます。 ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

• 実ファジィ集合は凸集合であると言われる（ファジィな意味で、クリスプ凸集合と混同しないように）。その場合、 ${\displaystyle A(U\subseteq \mathbb {R} )}$

${\displaystyle \forall x,y\in U,\forall \lambda \in [0,1]:\mu _{A}(\lambda {x}+(1-\lambda )y)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$。

一般性を失うことなく、x ≤ yとすれば、次の式と等価な式が得られる。

${\displaystyle \forall z\in [x,y]:\mu _{A}(z)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$。

この定義は、一般位相空間 Uに対しても拡張できる。つまり、Uの任意の部分集合Zに対して、条件 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall z\in Z:\mu _{A}(z)\geq \inf(\mu _{A}(\partial Z))}$

が成り立ち、ここで はZの境界を表し、 は関数f (ここでは ) による集合X (ここでは ) の像を表します。 ${\displaystyle \partial Z}$ ${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$ ${\displaystyle \partial Z}$ ${\displaystyle \mu _{A}}$

ファジー集合演算

ファジー集合の補集合には最も一般的な定義が 1 つありますが、その他の主な演算である和集合と積集合には、多少のあいまいさがあります。

• 与えられたファジー集合 に対して、その補集合（ または と表記されることもある）は次のメンバーシップ関数によって定義されます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \neg {A}}$ ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle cA}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)}$。

• t をt-ノルム、s を対応する s-ノルム（別名 t-コノルム）とします。ファジー集合のペアが与えられたとき、それらの交差は次のように定義されます。 ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\cap {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cap {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$、

そしてそれらの和集合 は次のように定義されます。 ${\displaystyle A\cup {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=s(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$。

t-ノルムの定義により、和集合と積集合は可換、単調、結合的であり、ヌル元と単位元の両方を持つことがわかります。積集合の場合、これらはそれぞれ ∅ とUですが、和集合の場合は逆になります。ただし、ファジー集合とその補集合の和集合は完全な宇宙Uにならない可能性があり、それらの積集合は空集合 ∅ にならない可能性があります。積集合と和集合は結合的であるため、ファジー集合の有限族の積集合と和集合を再帰的に定義するのが自然です。ファジー集合の和集合と積集合に対して一般に受け入れられている標準演算子は、最大演算子と最小演算子であることは注目に値します。

• ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$そして[ ^6] ${\displaystyle \mu _{A\cap {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$
• 標準否定子を別の強い否定子に置き換えると、ファジィ集合の差（以下で定義）は次のように一般化できる。 ${\displaystyle n(\alpha )=1-\alpha ,\alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=n(\mu _{A}(x)).}$

• 曖昧な積集合、和集合、補集合の三つ組はド・モルガンの三つ組を形成します。つまり、ド・モルガンの法則はこの三つ組にも適用されます。

標準否定子を使用したあいまい交差/結合ペアの例は、 t ノルムに関する記事で提供されているサンプルから導き出すことができます。

ファジー交差は一般に冪等ではありません。なぜなら、この性質を持つのは標準的なtノルムの最小値だけだからです。実際、算術乗算をtノルムとして用いると、結果として得られるファジー交差演算は冪等ではありません。つまり、ファジー集合とそれ自身との交差を反復的に取ることは自明ではありません。その代わりに、ファジー集合のm乗を定義し、これは次のように非整数指数に対して正準的に一般化できます。

• 任意のファジィ集合のν乗はメンバーシップ関数によって定義されます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A^{\nu }}(x)=\mu _{A}(x)^{\nu }.}$

指数 2 のケースは、名前を付けるほど特殊です。

• 任意のファジィ集合の濃度は次のように定義される。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle CON(A)=A^{2}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{CON(A)}(x)=\mu _{A^{2}}(x)=\mu _{A}(x)^{2}.}$

をとると、次の式が得られます。 ${\displaystyle 0^{0}=1}$ ${\displaystyle A^{0}=U}$ ${\displaystyle A^{1}=A.}$

• ファジー集合 が与えられると、とも表記されるファジー集合差 は、メンバーシップ関数を介して直接定義できます。 ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\setminus B}$ ${\displaystyle A-B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),n(\mu _{B}(x))),}$

つまり、例えば： ${\displaystyle A\setminus B=A\cap \neg {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)).}$^[7]

差集合の別の提案は次のようになります。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A-{B}}(x)=\mu _{A}(x)-t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)).}$^[7]

• 対称ファジィ集合差分の提案は、デュボアとプラード（1980）によってなされており、絶対値をとるか、

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|,}$

または、 max、min、および標準否定の組み合わせを使用して、次のようにします。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=\max(\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)),\min(\mu _{B}(x),1-\mu _{A}(x))).}$^[7]

t-ノルム、t-コノルム、否定子の定義公理と同様の一般化対称差分の定義公理は、Vemur et al. (2014) によって提案されており、その先行例としてはAlsina et al. (2005) とBedregal et al. (2009) がある。^[7]

• クリスプ セットとは対照的に、ファジー セットに対しても平均化操作を定義できます。

分離したファジー集合

交差と和の演算の一般的な曖昧性とは対照的に、互いに素なファジー集合については明確である。2つのファジー集合が互いに素である場合、その場合のみ、 ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=0\lor \mu _{B}(x)=0}$

これは次の式と同等である。

${\displaystyle \nexists }$ ${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)>0\land \mu _{B}(x)>0}$

また、以下と同等である

${\displaystyle \forall x\in U:\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))=0}$

min / maxは at/s-norm のペアであり、他の値もここでは同様に機能することを念頭に置いてください。

ファジー集合は、そのサポートがクリスプ集合の標準定義に従って分離されている場合にのみ、分離されます。

互いに素なファジィ集合の場合、いかなる共通部分も∅を与え、いかなる和集合でも同じ結果を与える。これは次のように表される。 ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle A\,{\dot {\cup }}\,B=A\cup B}$

メンバーシップ関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A{\dot {\cup }}B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)}$

両方の加数のうち 1 つだけが 0 より大きいことに注意してください。

分離したファジー集合の場合、次のことが当てはまります。 ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle \operatorname {Supp} (A\,{\dot {\cup }}\,B)=\operatorname {Supp} (A)\cup \operatorname {Supp} (B)}$

これは、次のようにファジィ集合の有限族に一般化できる。インデックス集合I（例えばI = {1,2,3,..., n }）を持つファジィ集合の族が与えられる。この族は、次の場合に限り、（ペアワイズ）互いに素である 。 ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle {\text{for all }}x\in U{\text{ there exists at most one }}i\in I{\text{ such that }}\mu _{A_{i}}(x)>0.}$

ファジー集合の族が素である場合、それは基礎となるサポートの族がクリスプ集合の族の標準的な意味で素である場合に限ります。 ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} \circ A=(\operatorname {Supp} (A_{i}))_{i\in I}}$

t/sノルムのペアとは独立して、ファジィ集合の互いに素な族の交差は再び∅を与えるが、和集合には曖昧さがない。

${\displaystyle {\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}=\bigcup _{i\in I}A_{i}}$

メンバーシップ関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{{\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}A_{i}}(x)=\sum _{i\in I}\mu _{A_{i}}(x)}$

この場合も、加数のうち 1 つだけが 0 より大きくなります。

ファジー集合の互いに素なファミリーについては、次のことが当てはまります。 ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle \operatorname {Supp} \left({\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {Supp} (A_{i})}$

スカラー基数

有限サポートのファジィ集合（つまり「有限ファジィ集合」）の場合、その濃度（スカラー濃度またはシグマカウントとも呼ばれる）は次のように与えられる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Card} (A)=\operatorname {sc} (A)=|A|=\sum _{x\in U}\mu _{A}(x)}$。

U自体が有限集合である場合、相対濃度は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A)=\|A\|=\operatorname {sc} (A)/|U|=|A|/|U|}$。

これは、除数が空でないファジー集合になるように一般化できます。G ≠ ∅ のファジー集合の場合、相対的な濃度を次のように定義できます。 ${\displaystyle A,G}$

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A,G)=\operatorname {sc} (A|G)=\operatorname {sc} (A\cap {G})/\operatorname {sc} (G)}$、

これは条件付き確率の式と非常によく似ています。注:

• ${\displaystyle \operatorname {sc} (G)>0}$ここ。
• 結果は、選択された特定の交差 (t ノルム) によって異なる場合があります。
• 結果は明確であり、以前の定義に似ています。 ${\displaystyle G=U}$

距離と類似性

任意のファジィ集合のメンバーシップ関数は族とみなすことができる。後者は複数の計量が既知である計量空間である。計量はノルム（ベクトルノルム）から次のように導出できる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{A}:U\to [0,1]}$ ${\displaystyle \mu _{A}=(\mu _{A}(x))_{x\in U}\in [0,1]^{U}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \|\,\|}$

${\displaystyle d(\alpha ,\beta )=\|\alpha -\beta \|}$。

たとえば、が有限である場合、つまり の場合、そのようなメトリックは次のように定義されます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}}$

${\displaystyle d(\alpha ,\beta ):=\max\{|\alpha (x_{i})-\beta (x_{i})|:i=1,...,n\}}$ここで、およびは 0 から 1 までの実数の列です。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

無限大の場合、最大値は上限値に置き換えることができます。ファジー集合はメンバーシップ関数によって明確に定義されるため、この指標は同一母集団内のファジー集合間の距離を測定するために使用できます。 ${\displaystyle U}$

${\displaystyle d(A,B):=d(\mu _{A},\mu _{B})}$、

上記のサンプルでは次のようになります。

${\displaystyle d(A,B)=\max\{|\mu _{A}(x_{i})-\mu _{B}(x_{i})|:i=1,...,n\}}$。

無限の場合も、最大値は上限値に置き換える必要があります。他の距離（標準的な2ノルムなど）は、無限ファジー集合があまりにも異なる場合、例えばと のように発散する可能性があります。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle U}$

類似度尺度（ここでは と表記）は、例えばKoczyの提案に従って、距離から導出することができる。 ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=1/(1+d(A,B))}$有限の場合、そうでない場合、 ${\displaystyle d(A,B)}$ ${\displaystyle 0}$

あるいはウィリアムズとスティールに倣って:

${\displaystyle S=\exp(-\alpha {d(A,B)})}$有限の場合、そうでない場合 ${\displaystyle d(A,B)}$ ${\displaystyle 0}$

ここで、は傾きパラメータであり、である。^[要出典] ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$

L-ファジー集合

時には、ファジー集合の概念のより一般的な変形が使用され、メンバーシップ関数は特定の種類の（固定または可変の）代数または構造 で値を取ります。通常、少なくともposetまたはlattice である必要があります。これらは通常L -ファジー集合と呼ばれ、単位区間で値を取るものと区別します。[0, 1] に値を持つ通常のメンバーシップ関数は、[0, 1] 値メンバーシップ関数と呼ばれます。これらの種類の一般化は、1967 年にZadeh の学生であったJoseph Goguenによって初めて検討されました。 ^[8]古典的な系では、真理値とメンバーシップ値を {0, 1} ではなく {f, t} で示すことになります。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

ファジー集合の拡張はアタナソフによって提案された。直観主義ファジー集合（IFS）は、以下の2つの機能によって特徴付けられる。 ${\displaystyle A}$

1. – xのメンバーシップ度 ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

2. – xの非所属度 ${\displaystyle \nu _{A}(x)}$

関数付き。 ${\displaystyle \mu _{A},\nu _{A}:U\to [0,1]}$ ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$

これは、投票 によって示された人物のような状況に似ています ${\displaystyle x}$

• 提案：（）、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)=1,\nu _{A}(x)=0}$
• 反対：（）、 ${\displaystyle \mu _{A}(x)=0,\nu _{A}(x)=1}$
• または投票を棄権する：（）。 ${\displaystyle \mu _{A}(x)=\nu _{A}(x)=0}$

結局のところ、承認率、否認率、棄権率があるのです。

このような状況では、特別な「直感的なファジー」否定関数、t-ノルムとs-ノルムを定義できます。この状況に両方の関数を組み合わせ、特別な種類のL-ファジー集合に似たものになります。 ${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta )\in [0,1]^{2}:\alpha +\beta =1\}}$ ${\displaystyle (\mu _{A},\nu _{A}):U\to D^{*}}$

さらに、これはピクチャファジーセット(PFS) を次のように定義することで拡張されました。PFS A は、U を[0, 1] にマッピングする 3 つの関数、それぞれ「肯定的なメンバーシップの度合い」、「中立的なメンバーシップの度合い」、および「否定的なメンバーシップの度合い」、および追加条件によって特徴付けられます。これにより、上記の投票サンプルが「投票拒否」という追加の可能性によって拡張されます。 ${\displaystyle \mu _{A},\eta _{A},\nu _{A}}$ ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\eta _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$

および特別な「ピクチャーファジー」否定子、t-ノルム、s-ノルムを用いると、これはL-ファジー集合の別のタイプに似ている。^[9] ${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta ,\gamma )\in [0,1]^{3}:\alpha +\beta +\gamma =1\}}$

ピタゴラスのファジィ集合

IFSの拡張の一つに、ピタゴラス・ファジー集合と呼ばれるものがあります。このような集合は、ピタゴラスの定理を彷彿とさせる制約 を満たします。^{[10] [11] [12]}ピタゴラス・ファジー集合は、前述の の条件が成立しない実世界の応用にも適用可能です。しかし、 の条件はより緩やかなので、より多くの分野では適している可能性があります。^{[13] [14]} ${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$

ファジー論理

多値論理のケースの拡張として、命題変数（）のメンバーシップ度（）の集合への評価（）は、述語をファジー集合（より正式には、ファジー関係と呼ばれるファジーペアの順序付き集合）にマッピングするメンバーシップ関数と考えることができる。これらの評価により、多値論理は、段階的な結論を導き出すためのファジー前提を許容するように拡張することができる。 ^[15] ${\displaystyle \mu :{\mathit {V}}_{o}\to {\mathit {W}}}$ ${\displaystyle {\mathit {V}}_{o}}$ ${\displaystyle {\mathit {W}}}$

この拡張は、自動制御や知識工学の工学分野から生まれ、ファジー集合や「近似推論」を含む多くのトピックを網羅する「広義のファジー論理」とは対照的に、「狭義のファジー論理」と呼ばれることもあります。^[16]

「広義のファジー ロジック」の文脈におけるファジー セットの産業用途については、ファジー ロジックを参照してください。

ファジー数

ファジィ数^[17]とは、以下の条件をすべて満たすファジィ集合である。

• A は正規化されます。
• A は凸集合である。
• メンバーシップ関数は少なくとも 1 回は値 1 を達成します。 ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$
• メンバーシップ関数は少なくともセグメント的に連続しています。 ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

これらの条件が満たされない場合、A はファジィ数ではありません。このファジィ数の核はシングルトンであり、その位置は次のとおりです。

${\displaystyle \,C(A)=x^{*}:\mu _{A}(x^{*})=1}$

ファジー数は、遊園地の「体重を当てよう」というゲームに例えることができます。このゲームでは、誰かが出場者の体重を推測し、推測値に近いほど正確性が高まり、推測値が出場者の体重に十分近い場合、推測者が「勝ち」、実際の体重は完全に正確です (メンバーシップ関数によって 1 にマッピングされます)。

ファジー区間のカーネルは、メンバーシップ値が無限に一定となる「外側」の部分を除いた「内側」部分として定義されます。言い換えれば、外側で一定となる最小の部分集合がカーネルとして定義されます。 ${\displaystyle K(A)=\operatorname {Kern} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

ただし、凸性を重視しない著者もいるため、ファジー数とファジー間隔の他の概念も存在します。

あいまいカテゴリ

圏論の重要な要素として集合の帰属関係を用いることは、ファジィ集合にも一般化できる。このアプローチは、ファジィ集合論の導入直後の1968年に始まり^[18] 、 21世紀におけるゴーゲン圏^{[19] [20]}の発展につながった。これらの圏では、2つの値を持つ集合の帰属関係を用いるのではなく、より一般的な区間が用いられ、L-ファジィ集合のように格子となる場合もある^{[20] [21] 。}

ファジィ集合に類似した、あるいはより一般的な数学的拡張は数多く存在します。1965年にザデーによってファジィ集合が提唱されて以来、不正確さ、不正確さ、曖昧さ、不確実性、脆弱性を扱う多くの新しい数学的構成と理論が開発されてきました。これらの構成と理論の中には、ファジィ集合論の拡張であるものもあれば、不正確さ／曖昧さ、そして不確実性を別の方法で数学的にモデル化しようとするものもあります。こうした構成と対応する理論の多様性には、以下のようなものがあります。

• ファジィ集合（ザデー、1965年）
• 間隔集合（ムーア、1966年）、
• L-ファジー集合（ゴーゲン、1967年）、
• flou セット (Gentilhomme、1968)、
• タイプ2ファジー集合とタイプnファジー集合（Zadeh, 1975）
• 区間値ファジィ集合（Grattan-Guinness, 1975; Jahn, 1975; Sambuc, 1975; Zadeh, 1975）
• レベルファジー集合（ラデッキ、1977）
• ラフセット（Pawlak, 1982）
• 直観主義ファジィ集合（アタナソフ、1983）
• ファジィ多重集合（Yager, 1986）
• 直観主義L-ファジー集合（アタナソフ、1986）
• 粗い多重集合（Grzymala-Busse, 1987）
• ファジィ粗集合（中村、1988）
• 実数値ファジィ集合（Blizard, 1989）
• 曖昧集合（Wen-Lung GauとBuehrer、1993）、
• αレベルセット（Yao, 1997）、
• シャドウセット（Pedrycz, 1998）
• ニュートロソフィックセット（NS）（Smarandache, 1998）
• 双極性ファジィ集合（Wen-Ran Zhang, 1998）
• 本物のセット（Demirci、1999）、
• ソフトセット（Molodtsov, 1999）
• 複雑ファジィ集合（2002）
• 直観主義ファジィ粗集合（Cornelis、De Cock、Kerre、2003）
• L-ファジィラフ集合（Radzikowska and Kerre, 2004）
• マルチファジィ集合（サブ・セバスチャン、2009年）
• 一般化ラフファジィ集合（Feng, 2010）
• 粗直観的ファジィ集合（Thomas and Nair, 2011）
• ソフトラフファジィ集合（Meng、Zhang、Qin、2011）
• ソフトファジィラフ集合（Meng、Zhang、Qin、2011）
• ソフトマルチセット（Alkhazaleh、Salleh、Hassan、2011）
• ファジーソフトマルチセット（AlkhazalehとSalleh、2012）
• ピタゴラスのファジィ集合（Yager, 2013）
• 画像ファジーセット（Cuong, 2013）
• 球面ファジー集合（Mahmood、2018）。

ファジー関係方程式

ファジー関係方程式は、 A · R = Bという形式の方程式です。ここで、AとBはファジー集合、​​Rはファジー関係、A · RはAと Rの合成を表します^{[引用が必要]}。

エントロピ

宇宙のあいまい集合のあいまいさの尺度dは、すべてに対して次の条件を満たす必要があります。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U}$

1. ${\displaystyle d(A)=0}$がクリスプセットの場合: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)\in \{0,\,1\}}$
2. ${\displaystyle d(A)}$唯一の最大値を持つ場合、 ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=0.5}$
3. ${\displaystyle \forall x\in U:(\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)\leq 0.5)\lor (\mu _{A}(x)\geq \mu _{B}(x)\geq 0.5)}$ ${\displaystyle \Rightarrow d(A)\leq d(B)}$つまり、AはBよりも「カリカリ」していることになります。
4. ${\displaystyle d(\neg {A})=d(A)}$

この場合はファジー集合Aのエントロピーと呼ばれます。 ${\displaystyle d(A)}$

有限 の場合、ファジィ集合のエントロピーは次のように与えられる。 ${\displaystyle U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle d(A)=H(A)+H(\neg {A})}$、

${\displaystyle H(A)=-k\sum _{i=1}^{n}\mu _{A}(x_{i})\ln \mu _{A}(x_{i})}$

あるいは単に

${\displaystyle d(A)=-k\sum _{i=1}^{n}S(\mu _{A}(x_{i}))}$

シャノン関数（自然エントロピー関数） はどこにありますか？ ${\displaystyle S(x)=H_{e}(x)}$

${\displaystyle S(\alpha )=-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha ),\ \alpha \in [0,1]}$

は、測定単位と対数の底（ここでは自然底e ）に依存する定数です。k の物理的な解釈は、ボルツマン定数k ^Bです。 ${\displaystyle k}$

連続的なメンバーシップ関数（ファジー変数） を持つファジー集合とする。すると、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle H(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace \ln \operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace \,dt}$

そしてそのエントロピーは

${\displaystyle d(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty }S(\operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace )\,dt.}$^{[22] [23]}

拡張機能

ファジィ集合に類似した、あるいはより一般的な数学的構成は数多く存在します。1965年にファジィ集合が導入されて以来、不正確性、不正確さ、曖昧性、不確実性を扱う多くの新しい数学的構成や理論が開発されてきました。これらの構成や理論の中には、ファジィ集合論の拡張であるものもあれば、不正確性と不確実性を異なる方法で数学的にモデル化しようとするものもあります。^[24]

参照

• 代替集合論
• 非ファジー化
• 曖昧な概念
• あいまいな数学
• ファジー集合演算
• ファジィ部分代数
• 区間有限要素
• 線形部分情報
• マルチセット
• ニューロファジー
• ラフファジーハイブリダイゼーション
• ラフセット
• ソレンセン類似度指数
• タイプ2ファジィ集合とシステム
• 不確実性

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