レンズ（幾何学）

Convex plane region bounded by two circular arcs

半径Rの2つの円弧の間にあるレンズで、中心はO ₁とO ₂

二次元幾何学において、レンズとは、両端点で互いに結合した二つの円弧によって囲まれた凸領域です。この形状が凸形状となるためには、両方の円弧が外側に湾曲している必要があります（凸-凸）。この形状は、二つの円板の交差として形成できます。また、二つの円弧（円の弦と円自体の間の領域）を共通の弦で結合した和として形成することもできます。

種類

2 つの非対称レンズ（左と右）と 1 つの対称レンズ（中央）の例

魚の舟は、同じ半径 R を持ち、中心間の距離も R に等しい2 つの円盤の交差です。

レンズの 2 つの円弧の半径が等しい場合、そのレンズは対称レンズと呼ばれ、そうでない場合は非対称レンズと呼ばれます。

魚の嚢は対称レンズの一種で、2つの円の弧によって形成され、それぞれの円の中心は反対側の弧上にあります。2つの弧は、それぞれの端点で120°の角度で交わります。

エリア

対称的

対称レンズの面積は、半径Rと弧の長さθ（ラジアン）で表すことができます。

${\displaystyle A=R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right).}$

非対称

半径Rとrの中心間距離dの円で形成される非対称レンズの面積は^{[1]である。}

${\displaystyle A=r^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+R^{2}-r^{2}}{2dR}}\right)-2\Delta }$

どこ

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-d+r+R)(d-r+R)(d+r-R)(d+r+R)}}}$

は、辺がd、r、Rである三角形の面積です。

2つの円は、 の場合には重なり合います。 が十分に大きい場合、レンズ中心の座標は2つの円の中心の座標の間にあります。 ${\displaystyle d<r+R}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$

小さい場合、レンズ中心の座標は円の中心を結ぶ線の外側にあります。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$

円の方程式からyを消去し、交差する縁の横軸は ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle (x-d)^{2}+y^{2}=R^{2}}$

${\displaystyle x=(d^{2}+r^{2}-R^{2})/(2d)}$。

xの符号、つまり より大きいか小さいかによって、画像に示されている 2 つのケースが区別されます。 ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle R^{2}-r^{2}}$

交点の縦座標は

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={\frac {\sqrt {[(R-d)^{2}-r^{2}][r^{2}-(R+d)^{2}]}}{2d}}}$。

平方根の下の負の値は、2 つの円が離れすぎているか、または 1 つの円がもう 1 つの円の中に完全に収まっているため、2 つの円の縁が接していないことを示します。

平方根の下の値はdの双4次多項式です。この多項式の4つの根は、y=0と、2つの円が1点のみを共有する場合の4つのdの値に関連付けられています。

青い三角形の辺d、r、Rの角度は

${\displaystyle \sin a_{r}=y/r;\quad \sin a_{R}=y/R}$

ここで、yは交点の縦座標です。arcsinの分岐は、の場合に行われます。 ${\displaystyle a_{r}>\pi /2}$ ${\displaystyle d^{2}<R^{2}-r^{2}}$

三角形の面積はです。 ${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}yd}$

非対称レンズの面積は であり、2つの角度はラジアンで測定されます。[これは包含排他原理の応用です。中心角が と で、(0,0) と (d,0) を中心とする2つの円扇形の面積はとです。これらの扇形の和は、三角形、(x, -y) を頂点とする反転三角形、そしてレンズ面積の2倍を覆います。] ${\displaystyle A=a_{r}r^{2}+a_{R}R^{2}-yd}$ ${\displaystyle 2a_{r}}$ ${\displaystyle 2a_{R}}$ ${\displaystyle 2a_{r}r^{2}}$ ${\displaystyle 2a_{R}R^{2}}$

アプリケーション

異なる形状のレンズは、2 つの円の和の半分の面積を持つレンズを見つけるというミニバー夫人の問題に対する答えとなります。

レンズは、ベータ スケルトン、つまり、2 つのポイントによって決定されるレンズが空の場合に、ポイントのペアをエッジで接続することによってポイントの集合上に定義される幾何学的グラフを定義するために使用されます。

参照

レンズを軸を中心に回転させるとレモン（右）ができ、その補形としてリンゴ（左）ができる。

• 円と円の交差
• ルーン、2つの円弧で形成される非凸形状で、一方は外側に、もう一方は内側に湾曲している。
• レモンはレンズの先端を軸に回転させることで作られる。^[2]

参考文献

1. ワイスタイン、エリック・W.「レンズ」。マスワールド。
2. Weisstein, Eric W. 「Lemon」. Wolfram MathWorld . 2018年3月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年11月4日閲覧。

• Pedoe, D. (1995). 「円：数学的視点、改訂版」ワシントンD.C.: Math. Assoc. Amer . MR  1349339.
• プラマー, H. (1960). 『力学天文学入門』 ニューヨーク: ドーバー.書誌コード:1960aitd.book.....P.
• ワトソン, GN (1966). 『ベッセル関数理論に関する論文集』第2版. ケンブリッジ（イギリス）: ケンブリッジ大学出版局. MR  1349110.
• Fewell, MP (2006). 「3つの円の共通重なり面積」. 国防科学技術機構. 2022年3月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• Librion, Federico; Levorato, Marco; Zorzi, Michele (2012). 「円の交差面積を計算するアルゴリズム的解法と無線通信への応用」Wirel. Commun. Mobile Comput . 14 (18): 1672– 1690. arXiv : 1204.3569 . doi :10.1002/wcm.2305. S2CID  2828261.

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