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フリー百科事典『ウィキペディア』より

( Graded モジュールからリダイレクト)

代数構造の種類

数学、特に抽象代数学において、次数付き環（じゅうすいつきかん、英: graded ring）とは、その基となる加法群が⁠ ⁠となるアーベル群の直和となるような環である。添え字集合は通常、非負整数の集合または整数の集合であるが、任意のモノイドでもよい。直和分解は通常、段階的分解または段階的分解と呼ばれる。 ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$

次数付き加群も同様に定義されます（正確な定義は下記を参照）。これは次数付きベクトル空間を一般化します。次数付き加群が次数付き環でもある場合、次数付き代数と呼ばれます。次数付き環は次数付き-代数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$とも見ることができます。

結合性は次数付き環の定義では重要ではありません（実際にはまったく使用されません）。したがって、この概念は非結合性代数にも適用されます。たとえば、次数付きリー代数を考えることができます。

最初のプロパティ

[編集]

一般に、次数付き環の添字集合は、特に明示的に指定されない限り、非負整数の集合であると仮定されます。この記事もその例です。

次数環とは、直和に分解できる環である。

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

加法群の 、

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

すべての非負整数および⁠ ⁠に対して。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

の非零元は⁠ ⁠次同次であるといわれます。直和の定義により、の非零元はすべて、それぞれが0 または⁠ ⁠次同次である和として一意に表すことができます。これらの非零元は⁠ ⁠の 同次成分です。 ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a}$

いくつかの基本的なプロパティは次のとおりです。

• ${\displaystyle R_{0}}$は⁠ ⁠の部分環であり、特に、乗法単位元は次数 0 の同次元である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1}$
• 任意の について、は両側⁠ ⁠ -加群であり、直和分解は⁠ ⁠ -加群の直和です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$
• ${\displaystyle R}$は結合的- ${\displaystyle R_{0}}$代数です。

理想

[編集]

任意の⁠ ⁠に対して、の同次成分が⁠ ⁠にも属する場合、イデアルは 同次 である。（同様に、 ⁠ ⁠の次数付き部分加群である場合も同様。§次数付き加群 を参照。）同次イデアルと⁠ ⁠ の積は⁠ ⁠ -部分加群であり、 ⁠ ⁠の次数の同次部分と呼ばれる。同次イデアルは、その同次部分の直和である。 ${\displaystyle I\subseteq R}$ ${\displaystyle a\in I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$

商

[編集]

が⁠ ⁠の両側同次イデアルである場合、も次数付き環であり、次のように分解される。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle R/I=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}/I_{n},}$

ここで、 ⁠ ⁠の次数の同次部分です。 ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$

基本的な例

[編集]

• 任意の（次数なしの）環Rには、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle R_{0}=R}$、およびi ≠ 0とすることで、次数を与えることができます。これはR上の 自明な次数と呼ばれます。 ${\displaystyle R_{i}=0}$
• 多項式環は 次数で表されます。つまり、 i次同次多項式の直和です。 ${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$ ${\displaystyle R_{i}}$
• S を次数付き整域 Rにおけるすべての非零同次元全体の成す集合とする。このとき、RのSに関する局所化は次数付き環となる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• I が可換環 Rのイデアルである場合、 はIに沿ったRの付随次数環と呼ばれる次数環です。幾何学的には、これはIによって定義される部分多様体に沿った法円錐の座標環です。 ${\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$
• X を位相空間とし、H ⁱ ( X ; R ) を環Rの係数を持つi番目のコホモロジー群とする。すると、Rの係数を持つXのコホモロジー環H ^* ( X ; R )は、その基礎群がカップ積で与えられる乗法構造を持つ次数付き環となる。 ${\textstyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$

段階別モジュール

[編集]

加群理論における対応する概念は次数加群、すなわち次数環R上の左加群 Mであって、

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

そして

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$

すべてのiとjについて。

例:

• 次数付きベクトル空間は、体上の次数付きモジュールの例です(体は自明な次数を持っています)。
• 次数付き環は、それ自身の上の次数付き加群である。次数付き環のイデアルが同次となる必要十分条件は、それが次数付き部分加群である場合である。次数付き加群の消滅子は同次イデアルである。
• 可換環RのイデアルIとR加群Mが与えられている場合、直和は関連する次数付き環上の次数付き加群です。 ${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$ ${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$

次数付き加群の射は次数付き射または次数付き準同型と呼ばれ、次数 を尊重する基礎加群の準同型、すなわち⁠ ⁠です。次数付き部分加群は、それ自体が次数付き加群であり、集合論的包含が次数付き加群の射となるような部分加群です。明示的に、次数付き加群NがMの次数付き部分加群である場合と、それがMの部分加群であり⁠ ⁠を満たす場合に限ります。次数付き加群の射の核と像は次数付き部分加群です。 ${\displaystyle f:N\to M}$ ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$

注意: 次数付き環から中心に像がある別の次数付き環に次数付き射を与えることは、後者の環に次数付き代数の構造を与えることと同じです。

次数付きモジュール が与えられた場合、の -ツイストはによって定義される次数付きモジュールです(代数幾何学のセールのツイスト層を参照)。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$

MとN を次数付き加群とする。が加群の射であるとき、 のときfは次数dを持つという。微分幾何学における微分形式の外微分は、次数 1 を持つ射の例である。 ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$

次数付き加群の不変量

[編集]

可換次数環R上の次数付き加群Mが与えられれば、形式的な冪級数を関連付けることができます。 ${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

(が有限であると仮定します。) これはMのヒルベルト-ポアンカレ級数と呼ばれます。 ${\displaystyle \ell (M_{n})}$

次数付き加群は、その基となる加群が有限生成である場合、有限生成であると言われる。生成元は同次であるとみなすことができる（生成元をその同次部分に置き換えることによって）。

Rを多項式環 ⁠ ⁠ ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$、k を体、M をその上の有限生成次数付き加群とします。このとき、関数はMのヒルベルト関数と呼ばれます。この関数は、大きなnに対する整数値多項式、つまりMのヒルベルト多項式と一致します。 ${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$

段階的代数

[編集]

参照:次数付きリー代数

環R上の結合代数 Aは、環として次数が付けられている場合、次数付き代数です。

環Rが次数を持たない通常のケース（特にRが体の場合）では、自明な次数付け（ Rのすべての元が次数 0 である）が与えられる。したがって、次数付き部分はR -加群である。 ${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

環Rも次数付き環である場合、

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

言い換えれば、A はR上の次数付き左加群である必要があります。

次数代数の例は数学ではよく見られます。

• 多項式環。n次の同次元はn次の同次多項式とまったく同じである。
• ベクトル空間Vのテンソル代数。n 次の同次元はn次のテンソルである。 ${\displaystyle T^{\bullet }V}$ ${\displaystyle T^{n}V}$
• 外積代数 と対称代数も次数代数です。 ${\displaystyle \textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$ ${\displaystyle S^{\bullet }V}$
• 任意のコホモロジー理論におけるコホモロジー環 も次数を持ち、コホモロジー群の直和となる。 ${\displaystyle H^{\bullet }}$ ${\displaystyle H^{n}}$

次数代数は、可換代数、代数幾何学、ホモロジー代数、代数位相幾何学において広く用いられている。一例を挙げると、同次多項式と射影多様体との密接な関係があげられる（同次座標環を参照）。

非可換な次数付き代数のもう一つの例は、自然な次数を持つLeavitt パス代数です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

G次数環と代数

[編集]

上記の定義は、任意のモノイド Gを添え字集合として用いる次数付き環に一般化されている。G次数付き環 Rは、直和分解を満たす環である。

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

そういう

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

Rの要素のうち一部の要素は、グレードiの同質であると言われています。 ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle i\in G}$

以前定義した「次数付き環」という概念は、加法のもとでの自然数のモノイドである -次数付き環と同じものになります。次数付き加群と代数の定義も、添え字集合を任意のモノイドGに置き換えることで同様に拡張できます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

備考：

• 環が単位元を持つことを必要としない場合は、モノイドの代わりに半群を使用することができます。

例:

• 群は自然に対応する群環を次数付けします。同様に、モノイド環は対応するモノイドによって次数付けされます。
• （結合的）超代数は、 -次数代数の別名です。例としては、クリフォード代数などが挙げられます。ここで、同次元は0次（偶数）または1次（奇数）のいずれかです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

反可換性

[編集]

いくつかの次数付き環（または代数）は反可換構造を持つ。この概念は、次数のモノイドが、2つの元を持つ体 の加法モノイドに準同型であることを必要とする。具体的には、符号付きモノイドは、 がモノイドであり、が加法モノイドの準同型であるようなペアから構成される。反可換 -次数付き環とは、に関して次数を持つ環Aであり、以下の条件を満たすものである。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (\Gamma ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \varepsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\varepsilon (\deg y)}yx,}$

すべての同次要素xとyについて。

例

[編集]

• 外積代数は、商写像である構造に関して次数付けされた反可換代数の一例です。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• 超可換代数（歪可換結合環と呼ばれることもある）は、反可換次数代数と同じものであり、ここでは⁠ ⁠の加法構造の恒等写像である。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

次数付きモノイド

[編集]

直感的に言えば、次数付きモノイドとは、次数付き環 の部分集合であり、 によって生成されるが、加法部分は用いない。つまり、次数付きモノイドの元の集合は である。 ${\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$

正式には、次数付きモノイド^{[ 1 ]}は、次数関数が となるモノイド である。次数関数の次数は必ず0となることに注意する。著者の中には、 mが単位元でないとき、次数を求める者もいる。 ${\displaystyle (M,\cdot )}$ ${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$ ${\displaystyle 1_{M}}$ ${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$

非単位元（non-identity）の段階が非ゼロであると仮定すると、段階nの元（gradation）の数は最大で となる。ここでgはモノイドの生成集合Gの濃度である。したがって、段階n以下の元（gradation）の数は最大で となる（ の場合）か、そうでなければ となる。実際、そのような元はそれぞれ最大でn個のGの元（G の場合）の積であり、そのような積しか存在しない。同様に、単位元は2つの非単位元の積として表すことはできない。つまり、そのような段階付きモノイドには単位約数は存在しない。 ${\displaystyle g^{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$ ${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$

次数付きモノイドで添え字付けされた冪級数

[編集]

参照:ノビコフリング

これらの概念により、冪級数環の概念を拡張することができます。添字族を とする代わりに、各整数nに対して次数nの元の数が有限であると仮定すると、添字族は任意の次数付きモノイドとすることができます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

より正式には、任意の半環と次数付きモノイドを仮定する。そして、はKの係数を持つRで添え字付けされた冪級数の半環を表す。その元はRからKへの関数である。2つの元の和は点ごとに定義され、それはに送る関数であり、積は無限和 に送る関数である。この和は正しく定義される（すなわち有限である）のは、各mに対して、 pq = mとなるペア( p , q )が有限個しか存在しないためである。 ${\displaystyle (K,+_{K},\times _{K})}$ ${\displaystyle (R,\cdot ,\phi )}$ ${\displaystyle K\langle \langle R\rangle \rangle }$ ${\displaystyle s,s'\in K\langle \langle R\rangle \rangle }$ ${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle s(m)+_{K}s'(m)}$ ${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle \sum _{p,q\in R \atop p\cdot q=m}s(p)\times _{K}s'(q)}$

自由モノイド

[編集]

形式言語理論では、アルファベット Aが与えられたとき、A上の単語の自由モノイドは、単語の段階がその長さである段階付きモノイドとみなすことができます。

参照

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• 関連する等級リング
• 微分階数代数
• フィルタ代数、一般化
• 成績評価（数学）
• 段階別カテゴリー
• 次数付きベクトル空間
• テンソル代数
• 微分勾配モジュール

注記

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引用

[編集]

1. サカロヴィッチ、ジャック (2009). 「パートII：代数の力」. 『オートマトン理論の要素』. トーマス、ルーベン訳. ケンブリッジ大学出版局. p. 384. ISBN 978-0-521-84425-3. Zbl  1188.68177 .

参考文献

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• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556。
• ブルバキ、N. (1974)。 「第 1 ～ 3 章、3 §3」。代数 I。スプリンガー。ISBN 978-3-540-64243-5。
• スティーンブリンク、J. (1977)。「準同次特異点の交差形式」 (PDF)。Compositio Mathematica。34 (2): 211–223 ページを参照してください。 211. ISSN  0010-437X。
• 松村 秀 (1989). 「5次元理論 §S3 次数環、ヒルベルト関数、サミュエル関数」.可換環論. ケンブリッジ高等数学研究. 第8巻. リード, M. 訳 (第2版). ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-107-71712-1。

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Type of algebraic structure

数学、特に抽象代数学において、次数付き環（じゅうすいつきかん、英: graded ring）とは、その基となる加法群が⁠ ⁠となるアーベル群の直和となるような環である。添え字集合は通常、非負整数の集合または整数の集合であるが、任意のモノイドでもよい。直和分解は通常、段階的分解または段階的分解と呼ばれる。 ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$

次数付き加群も同様に定義されます（正確な定義は下記を参照）。これは次数付きベクトル空間を一般化します。次数付き加群が次数付き環でもある場合、次数付き代数と呼ばれます。次数付き環は次数付き-代数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$とも見ることができます。

結合性は次数付き環の定義では重要ではありません（実際にはまったく使用されません）。したがって、この概念は非結合性代数にも適用されます。たとえば、次数付きリー代数を考えることができます。

最初のプロパティ

一般に、次数付き環の添字集合は、特に明示的に指定されない限り、非負整数の集合であると仮定されます。この記事もその例です。

次数環とは、直和に分解できる環である。

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

加法群の 、

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

すべての非負整数および⁠ ⁠に対して。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

の非零元は⁠ ⁠次同次であるといわれます。直和の定義により、の非零元はすべて、それぞれが0 または⁠ ⁠次同次である和として一意に表すことができます。これらの非零元は⁠ ⁠の 同次成分です。 ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a}$

いくつかの基本的なプロパティは次のとおりです。

• ${\displaystyle R_{0}}$は⁠ ⁠の部分環であり、特に、乗法単位元は次数 0 の同次元である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1}$
• 任意の について、は両側⁠ ⁠ -加群であり、直和分解は⁠ ⁠ -加群の直和です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$
• ${\displaystyle R}$は結合的- ${\displaystyle R_{0}}$代数です。

理想

任意の⁠ ⁠に対して、の同次成分が⁠ ⁠にも属する場合、イデアルは 同次 である。（同様に、 ⁠ ⁠の次数付き部分加群である場合も同様。§ 次数付き加群を参照。）同次イデアルと⁠ ⁠ の積は⁠ ⁠ -部分加群であり、 ⁠ ⁠の次数の同次部分と呼ばれる。同次イデアルは、その同次部分の直和である。 ${\displaystyle I\subseteq R}$ ${\displaystyle a\in I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$

商

が⁠ ⁠の両側同次イデアルである場合、も次数付き環であり、次のように分解される。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle R/I=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}/I_{n},}$

ここで、 ⁠ ⁠の次数の同次部分です。 ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$

基本的な例

• 任意の（次数なしの）環Rには、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle R_{0}=R}$、およびi ≠ 0とすることで、次数を与えることができます。これはR上の 自明な次数と呼ばれます。 ${\displaystyle R_{i}=0}$
• 多項式環は 次数で表されます。つまり、 i次同次多項式の直和です。 ${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$ ${\displaystyle R_{i}}$
• S を次数付き整域 Rにおけるすべての非零同次元全体の成す集合とする。このとき、RのSに関する局所化は次数付き環となる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• I が可換環 Rのイデアルである場合、 はIに沿ったRの付随次数環と呼ばれる次数環です。幾何学的には、これはIによって定義される部分多様体に沿った法円錐の座標環です。 ${\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$
• X を位相空間とし、H ⁱ ( X ; R ) を環Rの係数を持つi番目のコホモロジー群とする。すると、Rの係数を持つXのコホモロジー環H ^* ( X ; R )は、その基礎群がカップ積で与えられる乗法構造を持つ次数付き環となる。 ${\textstyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$

段階別モジュール

加群理論における対応する概念は次数加群、すなわち次数環R上の左加群 Mであって、

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

そして

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$

すべてのiとjについて。

例:

• 次数付きベクトル空間は、体上の次数付きモジュールの例です(体は自明な次数を持っています)。
• 次数付き環は、それ自身の上の次数付き加群である。次数付き環のイデアルが同次となる必要十分条件は、それが次数付き部分加群である場合である。次数付き加群の消滅子は同次イデアルである。
• 可換環RのイデアルIとR加群Mが与えられている場合、直和は関連する次数付き環上の次数付き加群です。 ${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$ ${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$

次数付き加群の射は次数付き射または次数付き準同型と呼ばれ、次数 を尊重する基礎加群の準同型、すなわち⁠ ⁠です。次数付き部分加群は、それ自体が次数付き加群であり、集合論的包含が次数付き加群の射となるような部分加群です。明示的に、次数付き加群NがMの次数付き部分加群である場合と、それがMの部分加群であり⁠ ⁠を満たす場合に限ります。次数付き加群の射の核と像は次数付き部分加群です。 ${\displaystyle f:N\to M}$ ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$

注意: 次数付き環から中心に像がある別の次数付き環に次数付き射を与えることは、後者の環に次数付き代数の構造を与えることと同じです。

次数付きモジュール が与えられた場合、の -ツイストはによって定義される次数付きモジュールです(代数幾何学のセールのツイスト層を参照)。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$

MとN を次数付き加群とする。が加群の射であるとき、 のときfは次数dを持つという。微分幾何学における微分形式の外微分は、次数 1 を持つ射の例である。 ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$

次数付き加群の不変量

可換次数環R上の次数付き加群Mが与えられれば、形式的な冪級数を関連付けることができます。 ${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

(が有限であると仮定します。) これはMのヒルベルト-ポアンカレ級数と呼ばれます。 ${\displaystyle \ell (M_{n})}$

次数付き加群は、その基となる加群が有限生成である場合、有限生成であると言われる。生成元は同次であるとみなすことができる（生成元をその同次部分に置き換えることによって）。

Rを多項式環 ⁠ ⁠ ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$、k を体、M をその上の有限生成次数付き加群とします。このとき、関数はMのヒルベルト関数と呼ばれます。この関数は、大きなnに対する整数値多項式、つまりMのヒルベルト多項式と一致します。 ${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$

段階的代数

環R上の結合代数 Aは、環として次数が付けられている場合、次数付き代数です。

環Rが次数を持たない通常のケース（特にRが体の場合）では、自明な次数付け（ Rのすべての元が次数 0 である）が与えられる。したがって、次数付き部分はR -加群である。 ${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

環Rも次数付き環である場合、

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

言い換えれば、A はR上の次数付き左加群である必要があります。

次数代数の例は数学ではよく見られます。

• 多項式環。n次の同次元はn次の同次多項式とまったく同じである。
• ベクトル空間Vのテンソル代数。n 次の同次元はn次のテンソルである。 ${\displaystyle T^{\bullet }V}$ ${\displaystyle T^{n}V}$
• 外積代数 と対称代数も次数代数です。 ${\displaystyle \textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$ ${\displaystyle S^{\bullet }V}$
• 任意のコホモロジー理論におけるコホモロジー環 も次数を持ち、コホモロジー群の直和となる。 ${\displaystyle H^{\bullet }}$ ${\displaystyle H^{n}}$

次数代数は、可換代数、代数幾何学、ホモロジー代数、代数位相幾何学において広く用いられている。一例を挙げると、同次多項式と射影多様体との密接な関係があげられる（同次座標環を参照）。

非可換な次数付き代数のもう一つの例は、自然な次数を持つLeavitt パス代数です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

G次数環と代数

上記の定義は、任意のモノイド Gを添え字集合として用いる次数付き環に一般化されている。G次数付き環 Rは、直和分解を満たす環である。

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

そういう

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

Rの要素のうち一部の要素は、グレードiの同質であると言われています。 ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle i\in G}$

以前定義した「次数付き環」という概念は、加法のもとでの自然数のモノイドである -次数付き環と同じものになります。次数付き加群と代数の定義も、添え字集合を任意のモノイドGに置き換えることで同様に拡張できます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

備考：

• 環が単位元を持つことを必要としない場合は、モノイドの代わりに半群を使用することができます。

例:

• 群は自然に対応する群環を次数付けします。同様に、モノイド環は対応するモノイドによって次数付けされます。
• （結合的）超代数は、 -次数代数の別名です。例としては、クリフォード代数などが挙げられます。ここで、同次元は0次（偶数）または1次（奇数）のいずれかです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

反可換性

いくつかの次数付き環（または代数）は反可換構造を持つ。この概念は、次数のモノイドが、2つの元を持つ体 の加法モノイドに準同型であることを必要とする。具体的には、符号付きモノイドは、 がモノイドであり、が加法モノイドの準同型であるようなペアから構成される。反可換 -次数付き環とは、に関して次数を持つ環Aであり、以下の条件を満たすものである。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (\Gamma ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \varepsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\varepsilon (\deg y)}yx,}$

すべての同次要素xとyについて。

例

• 外積代数は、商写像である構造に関して次数付けされた反可換代数の一例です。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• 超可換代数（歪可換結合環と呼ばれることもある）は、反可換次数代数と同じものであり、ここでは⁠ ⁠の加法構造の恒等写像である。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

次数付きモノイド

直感的に言えば、次数付きモノイドとは、次数付き環 の部分集合であり、 によって生成されるが、加法部分は用いない。つまり、次数付きモノイドの元の集合は である。 ${\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$

正式には、次数付きモノイド^[1]は、次数関数が となるモノイド である。次数関数の次数は必ず0となることに注意する。さらに、 mが単位元でないとき、次数を求める著者もいる。 ${\displaystyle (M,\cdot )}$ ${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$ ${\displaystyle 1_{M}}$ ${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$

非単位元（non-identity）の段階が非ゼロであると仮定すると、段階nの元（gradation）の数は最大で となる。ここでgはモノイドの生成集合Gの濃度である。したがって、段階n以下の元（gradation）の数は最大で となる（ の場合）か、そうでなければ となる。実際、そのような元はそれぞれ最大でn個のGの元（G の場合）の積であり、そのような積しか存在しない。同様に、単位元は2つの非単位元の積として表すことはできない。つまり、そのような段階付きモノイドには単位約数は存在しない。 ${\displaystyle g^{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$ ${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$

次数付きモノイドで添え字付けされた冪級数

これらの概念により、冪級数環の概念を拡張することができます。添字族を とする代わりに、各整数nに対して次数nの元の数が有限であると仮定すると、添字族は任意の次数付きモノイドとすることができます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

より正式には、任意の半環と次数付きモノイドを仮定する。そして、はKの係数を持つRで添え字付けされた冪級数の半環を表す。その元はRからKへの関数である。2つの元の和は点ごとに定義され、それはに送る関数であり、積は無限和 に送る関数である。この和は正しく定義される（すなわち有限である）のは、各mに対して、 pq = mとなるペア( p , q )が有限個しか存在しないためである。 ${\displaystyle (K,+_{K},\times _{K})}$ ${\displaystyle (R,\cdot ,\phi )}$ ${\displaystyle K\langle \langle R\rangle \rangle }$ ${\displaystyle s,s'\in K\langle \langle R\rangle \rangle }$ ${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle s(m)+_{K}s'(m)}$ ${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle \sum _{p,q\in R \atop p\cdot q=m}s(p)\times _{K}s'(q)}$

自由モノイド

形式言語理論では、アルファベット Aが与えられたとき、A上の単語の自由モノイドは、単語の段階がその長さである段階付きモノイドとみなすことができます。

参照

• 関連する等級リング
• 微分階数代数
• フィルタ代数、一般化
• 成績評価（数学）
• 段階別カテゴリー
• 次数付きベクトル空間
• テンソル代数
• 微分勾配モジュール

注記

引用

1. サカロヴィッチ、ジャック (2009). 「パートII：代数の力」. 『オートマトン理論の要素』. トーマス、ルーベン訳. ケンブリッジ大学出版局. p. 384. ISBN 978-0-521-84425-3. Zbl  1188.68177。

参考文献

• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556。
• ブルバキ、N. (1974)。 「第 1 ～ 3 章、3 §3」。代数 I。スプリンガー。ISBN 978-3-540-64243-5。
• スティーンブリンク、J. (1977)。 「準同次特異点の交差形式」(PDF)。Compositio Mathematica。34 (2): 211–223 ページを参照してください。 211. ISSN  0010-437X。
• 松村 秀 (1989). 「5次元理論 §S3 次数環、ヒルベルト関数、サミュエル関数」. 可換環論. ケンブリッジ数学研究第8巻. リード, M. 訳 (第2版). ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-107-71712-1。

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