群同型性

Bijective group homomorphism

抽象代数学において、群同型とは、与えられた群演算を遵守しながら、群の元同士が一対一となるような、 2つの群間の関数である。2つの群の間に同型が存在する場合、それらの群は同型であると言われる。群論の観点からは、同型群は同じ性質を持ち、区別する必要はない。^[1]

定義と表記

2つの群とからへの群同型が与えられた場合、からへの全単射群準同型となる。つまり、群同型は全単射関数であり、と において以下が 成り立つことを意味する。 ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot ),}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle f(u*v)=f(u)\odot f(v).}$$

2つの群とが同型であるとは、一方から他方への同型が存在する場合である。^{[1] [2]}これは次のように書かれる。 ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ $${\displaystyle (G,*)\cong (H,\odot ).}$$

より短く単純な記法が用いられる場合が多い。関連する群演算が理解されている場合は、それらを省略して次のように書く。 $${\displaystyle G\cong H.}$$

時には単に「」と書くこともできます。このような表記が混乱や曖昧さなく可能かどうかは文脈に依存します。例えば、2つの群が同じ群のサブグループである場合、等号はあまり適切ではありません。例も参照してください。 ${\displaystyle G=H.}$

逆に、群、集合、一対一の集合が与えられた場合、群を定義することができる。 ${\displaystyle (G,*),}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle f:G\to H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ $${\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v).}$$

であり、その場合、一対一写像は自己同型である（qv）。 ${\displaystyle H=G}$ ${\displaystyle \odot =*}$

群論者は直感的に、二つの同型群を次のように捉える。群の任意の元に対し、 がと「同じように振る舞う」（群の他の元と と同じように作用する）の元が存在する。例えば、 がを生成する場合、も を生成する。これは特に、と が全単射対応していることを意味する。したがって、同型の定義は極めて自然である。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle h.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

群の同型性は、可逆な群準同型として定義することもできます (全単射群準同型の逆関数も群準同型です)。

例

このセクションでは、同型群のいくつかの注目すべき例を示します。

• 加法の下での実数全体の群は、乗法の下での正の実数全体の群と同型である。 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\times )}$

  ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}$同型性を介して。 ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

• 整数群（加算あり）はの部分群であり、因数群は絶対値が1 の複素数群（乗算あり）と同型です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

  ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$

• クラインの 4 元群はの 2 つのコピーの直積に同型なので、 と書くことができます。これは二面体群であるため、別の表記法では となります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2},}$
• これを一般化すると、すべての奇数 に対しては、およびの直積と同型となる。 ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}$
• が無限巡回群である場合、 は（加法演算を伴う）整数 と同型である。代数的な観点から見ると、これは（加法演算を伴う）整数全体の集合が「唯一の」無限巡回群であることを意味する。 ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (G,*)}$

いくつかの群は選択公理に依拠して同型であることが証明できるが、その証明では具体的な同型性を構築する方法が示されていない。例：

• この群は加法に関してすべての複素数の群と同型である。 ^[3] ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$
• 乗算を演算とする非ゼロ複素数の群は、上記の群と同型です。 ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}$ ${\displaystyle S^{1}}$

プロパティ

からへの同型核は常に{e _G }である。ここでe _Gは群の単位元である。 ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle (G,*)}$

と が同型である場合、 がアーベル関数である場合に限り、がアーベル関数です。 ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

がからへの同型ならば、任意のに対しての位数は の位数に等しい。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot ),}$ ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a).}$

とが同型である場合、が局所有限群である場合、かつ が局所有限である場合に限ります。 ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$

順序 の異なる群の数（同型性を除く）は、 OEISの A000001列で与えられます。最初の数列は 0、1、1、1、2 で、4 は複数の群を持つ最小の順序を意味します。 ${\displaystyle n}$

巡回群

与えられた順序の巡回群はすべて と同型であり、 は法の加算を表す。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+_{n}),}$ ${\displaystyle +_{n}}$ ${\displaystyle n.}$

を巡回群とし、をの位数とする。を の生成元とすると、は に等しい。 以下に示す。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle x\rangle =\left\{e,x,\ldots ,x^{n-1}\right\}.}$ $${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$$

と定義する と 、明らかに単射である。すると 、 $${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,\ldots ,n-1\},}$$ ${\displaystyle \varphi (x^{a})=a.}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+_{n}\varphi (x^{b}),}$$ ${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$

結果

定義から、任意の同型写像はの単位元を の単位元に写像し、逆写像は逆写像に、より一般的には 乗を 乗に 写像し、 逆写像も群同型であることが分かります。 ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,}$ $${\displaystyle f(e_{G})=e_{H},}$$ $${\displaystyle f(u^{-1})=f(u)^{-1}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle f(u^{n})=f(u)^{n}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$ ${\displaystyle f^{-1}:H\to G}$

「同型である」という関係は同値関係です。 が2つの群間の同型であり、について真であるものの群構造にのみ関連するすべてのことは、 を介して について真である同上文に変換でき、その逆も同様です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H,}$

自己同型

群からそれ自身への同型写像は群の自己同型写像​​と呼ばれる。したがって、それは ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle f:G\to G}$ $${\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v).}$$

共役類の自己同型による像は常に共役類（同じか別の）である。

二つの自己同型の合成もまた自己同型であり、この操作によって、それ自身で表された群のすべての自己同型の集合は、 ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G),}$ ${\displaystyle G.}$

すべてのアーベル群に対して、少なくとも群の元をその逆元に置き換える自己同型が存在する。しかし、すべての元がその逆元に等しい群においては、これは自明な自己同型となる。例えば、クライン四元群などである。この群では、3つの非恒等元のすべての順列は自己同型となるため、自己同型群は と同型である（ 自体は と同型である）。 ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{3}}$

素数の非単位元は、他の元に対応する変化を伴って、任意の他の元に置き換えることができます。自己同型群は と同型です。例えば、のすべての元に 3 を掛け、7 を法とした場合、 は自己同型群において位数 6 の自己同型となります。これは、それより低いべき乗では 1 にならないためです。したがって、この自己同型は を生成します。この性質を持つ自己同型は他に 1 つあります。 のすべての元に 5 を掛け、7 を法とした場合です。したがって、これら 2 つは の 1 番目と 5 番目の元に、その順序で対応するか、またはその逆になります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p-1}}$ ${\displaystyle n=7,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ ${\displaystyle 3^{6}\equiv 1{\pmod {7}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$

の自己同型群はと同型です。なぜなら、2 つの要素 1 と 5 のそれぞれのみが生成されるため、恒等式を除けばこれらを交換することしかできないからです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$

の自己同型群の位数は 168 で、次のように求められます。 7 つの非単位元はすべて同じ役割を担うため、 の役割を担うものを選択できます。残りの 6 つはいずれも (0,1,0) の役割を担うように選択できます。これにより、 に対応する元が決まります。 については、から選択でき、これによって残りが決まります。したがって、自己同型が存在します。これらはファノ平面の自己同型に対応し、その 7 つの点は 7 つの非単位元に対応します。3 点を結ぶ線は群演算に対応します。および が1 本の線上にあることは、 および を意味します。有限体 上の一般線型群も参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}=\operatorname {Dih} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle (1,0,0).}$ ${\displaystyle (1,1,0).}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle 7\times 6\times 4=168}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a+b=c,}$ ${\displaystyle a+c=b,}$ ${\displaystyle b+c=a.}$

アーベル群の場合、すべての非自明な自己同型は外部自己同型です。

非可換群には非自明な内部自己同型群があり、外部自己同型も存在する可能性があります。

参照

• 群同型性問題
• 一対一対応 – 一対一対応

参考文献

• ハースタイン、インディアナ州 (1975). 『代数学のトピックス』（第2版）. ニューヨーク: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0471010901。

1. バーナード, トニー & ニール, ヒュー (2017).群論の発見：高度な数学への移行. ボカラタン: CRC プレス. p. 94. ISBN 9781138030169。
2. Budden, FJ (1972). The Fascination of Groups (PDF) . Cambridge: Cambridge University Press. p. 142. ISBN 05210801692022年10月12日閲覧– VDOC.PUB経由。
3. Ash (1973). 「選択公理の帰結」.オーストラリア数学会誌. 19 (3​​): 306– 308. doi : 10.1017/S1446788700031505 . 2013年9月21日閲覧。

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