6-デミキューブ

デミヘキセラクト（6次元半立方体）
ペトリー多角形投影
種類	一様6次元多面体
族	半超立方体
シュレーフリ記号	{3,3 ^3,1 } = h{4,3 ⁴ } s{2 ^1,1,1,1,1 }
コクセター図	＝＝
コクセター記号	1 ₃₁
5面体	44	12 {3 ^1,2,1 } 32 {3 ⁴ }
4面体	252	60 {3 ^1,1,1 } 192 {3 ³ }
セル	640	160 {3 ^1,0,1 } 480 {3,3}
面	640	{3}
辺	240
頂点	32
頂点図	平行五元単体
対称群	D ₆ , [3 ^3,1,1 ] = [1 ⁺ ,4,3 ⁴ ] [2 ⁵ ] ⁺
ペトリー多角形	十角形
性質	凸状

幾何学において、6次元半立方体、半六角形、または半六角形は、 6次元立方体（ヘキセラクト）から交互に頂点を削除して構成される一様6次元多面体です。これは、半超立方体と呼ばれる次元無限の一様多面体の族の一部です。頭字語：hax。^[1]

1912年にエル・エルテはこれを半正則多面体として特定し、6次元半測度多面体を表す_HM6と名付けました。

コクセターは、長さ1の枝の1つに環を持つコクセター図から、この多面体を1 _{31と名付けました。}。3次元指数関数のシュレーフリ記号または{3,3 ^3,1 }で同様に命名することもできます。 $\left\{3{\begin{array}{l}3,3,3\\3\end{array}}\right\}$

直交座標

原点を中心とするデミヘキセラクトの頂点の直交座標は、ヘキセラクトの交互の半分です。

(±1,±1,±1,±1,±1,±1)

奇数のプラス記号付き。

配置として

この配置行列は6デミキューブを表します。行と列は、頂点、辺、面、セル、4面体、5面体に対応します。対角数は、6デミキューブ全体に各要素がいくつ出現するかを示します。非対角数は、列の要素が行の要素内またはその要素にいくつ出現するかを示します。^[2]^[3]

対角fベクトル数は、ウィトフ構成によって導出されます。これは、部分群順序の完全群順序を一度に1つの鏡像を除去することによって分割するものです。^[1]

D ₆	k面	f _k	f ₀	f ₁	f ₂	f ₃		f ₄		f ₅		k の位	音符
A ₄	( )	f ₀	32	15	60	20	60	15	30	6	6	r{3,3,3,3}	D ₆ /A ₄ = 32*6!/5! = 32
A ₃ A ₁ A ₁	{ }	f ₁	2	240	8	4	12	6	8	4	2	{}x{3,3}	D ₆ /A ₃ A ₁ A ₁ = 32*6!/4!/2/2 = 240
A ₃ A ₂	{3}	f ₂	3	3	640	1	3	3	3	3	1	{3}v( )	D ₆ /A ₃ A ₂ = 32*6!/4!/3! = 640
A ₃ A ₁	h{4,3}	f ₃	4	6	4	160	*	3	0	3	0	{3}	D ₆ /A ₃ A ₁ = 32*6!/4!/2 = 160
A ₃ A ₂	{3,3}	f ₃	4	6	4	*	480	1	2	2	1	{}v( )	D ₆ /A ₃ A ₂ = 32*6!/4!/3! = 480
D ₄ A ₁	h{4,3,3}	f ₄	8	24	32	8	8	60	*	2	0	{}	D ₆ /D ₄ A ₁ = 32*6!/8/4!/2 = 60
A ₄	{3,3,3}	f ₄	5	10	10	0	5	*	192	1	1	{}	D ₆ /A ₄ = 32*6!/5! = 192
D ₅	h{4,3,3,3}	f ₅	16	80	160	40	80	10	16	12	*	( )	D ₆ /D ₅ = 32*6!/16/5! = 12
A ₅	{3,3,3,3}	f ₅	6	15	20	0	15	0	6	*	32	( )	D ₆ /A ₅ = 32*6!/6! = 32

画像

正投影
コクセター平面	B ₆
グラフ
二面体対称性	[12/2]
コクセター平面	D ₆	D ₅
グラフ
二面体対称性	[10]	[8]
コクセター平面	D ₄	D ₃
グラフ
二面体対称性	[6]	[4]
コクセター平面	A ₅	A ₃
グラフ
二面体対称性	[6]	[4]

関連する多面体

_{D 6}対称性を持つ一様多面体は47個あり、そのうち31個はB ₆対称性と共通し、16個は固有です。

D 6 多面体
h{4,34	h ₂ {4,3 ⁴ }	h ₃ {4,3 ⁴ }	h ₄ {4,3 ⁴ }	h ₅ {4,3 ⁴ }	h _2,3 {4,3 ⁴ }	h _2,4 {4,3 ⁴ }	h _2,5 {4,3 ⁴ }
h _3,4 {4,3 ⁴ }	h _3,5 {4,3 ⁴ }	h _4,5 {4,3 ⁴ }	h _2,3,4 {4,3 ⁴ }	h _2,3,5 {4,3 ⁴ }	h _2,4,5 {4,3 ⁴ }	h _3,4,5 {4,3 ⁴ }	h _2,3,4,5 {4,3 ⁴ }

6次元半立方体1≒ _31は、コクセターによってk≒ ₃₁級数として表される、一様多面体の次元級数の3番目の図形です。5番目の図形はユークリッドハニカム3≒ ₃₁、最後の図形は非コンパクト双曲型ハニカム4≒ ₃₁です。各漸進的一様多面体は、前の図形を頂点図形として構成されます。

k≒ ₃₁次元図形
n	4	5	6	7	8	9
コクセター群	A ₃ A ₁	A ₅	D ₆	E ≒ ₇	${\bar {T}}_{8}$ = E ≒ ₇⁺	$コクセター・ディンキン図$ = E≒ ₇⁺⁺
コクセター図
対称性	[3 ^−1,3,1 ]	[3 ^0,3,1 ]	[3 ^1,3,1 ]	[3 ^2,3,1 ]	[3 ^3,3,1 ]	[3 ^4,3,1 ]
順序	48	720	23,040	2,903,040	∞
グラフ					-	-
名前	−1 ₃₁	0 ₃₁	131	2 ₃₁	3 ₃₁	4 ₃₁

これは、コクセターによって1 _3k級数として表された、一様多面体とハニカムの次元級数の2番目の図形でもあります。4番目の図形はユークリッドハニカム1 ₃₃であり、最後の図形は非コンパクト双曲型ハニカム1 ₃₄です。

1 _3k次元図形
空間	有限				ユークリッド	双曲型
n	4	5	6	7	8	9
コクセター群	A ₃ A ₁	A ₅	D ₆	E ≒ ₇	${\bar {T}}_{8}$ =E ₇⁺	$コクセター・ディンキン図$ = E≒ ₇⁺⁺
コクセター図
対称性	[3 ^−1,3,1 ]	[3 ^0,3,1 ]	[3 ^1,3,1 ]	[3 ^2,3,1 ]	[[3 ^3,3,1 ]]	[3 ^4,3,1 ]
順序	48	720	23,040	2,903,040	∞
グラフ					-	-
名前	1 _3,-1	1 ₃₀	131	1 ₃₂	1 ₃₃	134

歪んだ二十面体

コクセターは、正二十面体{3, 5}を形成する12個の頂点の部分集合を特定しました。この頂点は、正二十面体自体と同じ対称性を持ちますが、角度が異なります。彼はこれを正二十面体と名付けました。^[4]^[5]

参考文献

^ ab Klitzing, Richard. "x3o3o *b3o3o3o - hax".
^ コクセター著『正多面体』第1章第8節配置
^ コクセター著『複素正多面体』117ページ
^ コクセター著『幾何学の美しさ：12のエッセイ』（ドーバー編）。ドーバー出版。450 ～ 451ページ。ISBN 9780486409191。
^ Deza, Michael; Shtogrin, Mikhael (2000). 「正則タイリングとスターハニカムのグラフをハイパーキューブと立方格子のグラフに埋め込む」 .純粋数学の高度研究. アレンジメント – 東京 1998: 77. doi : 10.2969/aspm/02710073 . ISBN 978-4-931469-77-82020年4月4日閲覧。

HSM Coxeter :
- Coxeter, Regular Polytopes , (第3版, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8、p.296、表I (iii): Regular Polytopes, n次元の3つの正則多面体 (n≥5)
- HSMコクセター著『正多面体』第3版、ドーバー、ニューヨーク、1973年、296ページ、表I (iii)：正多面体、n次元の3つの正多面体（n≥5）
- 『万華鏡：HSMコクセター選集』、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
  - （論文22）HSMコクセター著『正多面体と半正多面体 I』[Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - （論文23）HSMコクセター著『正則多面体と半正則多面体 II』 [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - （論文24）HSMコクセター著『正則多面体と半正則多面体 III』[Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、ハイム・グッドマン＝ストラウス著、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章、409ページ：ヘミキューブ：1 _n1）
リチャード・クリッツィング著「頭字語 x3o3o *b3o3o3o – hax を持つ6次元均一多面体（ポリペタ）」

外部リンク

オルシェフスキー、ジョージ。「デミヘキセラクト」。ハイパースペース用語集。2007年2月4日原本よりアーカイブ。
多次元用語集

v t e 2次元から10次元までの基本凸正多面体と一様多面体
族	$A n$	$B n$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
正多角形	三角形	正方形	p角形	六角形	五角形
一様多面体	四面体	八面体・立方体	半立方体		十二面体・二十面体
一様多面体	五角形	16細胞・四面体	半一面体	24細胞	120細胞・600細胞
一様5次元多面体	5次元単体	5次元正多面体・5次元立方体	5次元半立方体
一様6次元多面体	6次元単体	6次元正複体・6次元立方体	6次元半立方体	1 ₂₂ 2 21
一様 7 多面体	7 単体	7次元正複体・7次元立方体	7 半立方体	1 ₃₂ 2 31 ₃ 21
一様 8 多面体	8 単体	8次元正複体・8次元立方体	8 半立方体	1 ₄₂ 2 41 ₄ 21
一様 9 多面体	9 単体	9次元正複体・9次元立方体	9 半立方体
一様 10 多面体	10-単体	10次元正複体・10次元立方体	10-半立方体
一様n多面体	n単体	n正多面体・n立方体	n	1 _k2 _・2 _k1 _・k 21	n多面体
トピック：多面体族・正多面体・正多面体と複合多面体の一覧・多面体の演算

[Klitzing-1] Klitzing, Richard. "x3o3o *b3o3o3o - hax".

[2] コクセター著『正多面体』第1章第8節配置

[3] コクセター著『複素正多面体』117ページ

[4] コクセター著『幾何学の美しさ：12のエッセイ』（ドーバー編）。ドーバー出版。450 ～ 451ページ。ISBN 9780486409191。

[5] Deza, Michael; Shtogrin, Mikhael (2000). 「正則タイリングとスターハニカムのグラフをハイパーキューブと立方格子のグラフに埋め込む」 .純粋数学の高度研究. アレンジメント – 東京 1998: 77. doi : 10.2969/aspm/02710073 . ISBN 978-4-931469-77-82020年4月4日閲覧。