半整数

数学において、半整数とはという形式の数であり、は整数である。例えば、はすべて半整数である。「半整数」という名称は、それぞれの整数がそれ自体整数の半分であるため、誤解を招く可能性がある。「整数プラス半分」といった名称の方が正確かもしれないが、文字通りではないものの、「半整数」という用語が慣用的に用いられている。^[^要出典^{]半整数は数学や}量子力学において頻繁に出現するため、明確な用語を用いる方が都合が良い。 $n+{\tfrac {1}{2}},$ $n$ $4{\tfrac {1}{2}},\quad 7/2,\quad -{\tfrac {13}{2}},\quad 8.5$ $n$ $2n$

整数を半分に割っても必ずしも半整数になるわけではないことに注意してください。これは奇数整数の場合にのみ当てはまります。このため、半整数は半奇数整数と呼ばれることもあります。半整数は、2項有理数（整数を2のべき乗で割った数）のサブセットです。^[1]

表記法と代数構造

すべての半整数の集合は、しばしばと表記される。整数と半整数は、加法演算によってグループを形成し、と表記されることもある^{[2]。しかし、これらの数は}環を形成しない。なぜなら、2つの半整数の積は半整数ではないからである。例えば、^[3]それらを含む最小の環は、すなわち二項有理数の環である。 $\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\quad =\quad \left({\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} \right)\smallsetminus \mathbb {Z} ~.$ ${\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.$ $~{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}~=~{\tfrac {1}{4}}~\notin ~{\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.$ $\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}\right]$

プロパティ

半整数の和が半整数となるのは、が奇数のときのみです。これには、空和 0 は半整数ではないことも含まれます。 $n$ $n$ $n=0$
半整数の負数は半整数です。
半整数の集合の濃度は整数の濃度と等しい。これは、整数から半整数への一対一写像が存在するためである：（ただしは整数）。 $f:x\to x+0.5$ $x$

用途

球詰め

4次元における単位球面の最も稠密な格子充填（ D ₄ 格子と呼ばれる）は、座標がすべて整数またはすべて半整数であるすべての点に球面を配置する。この充填は、実係数がすべて整数またはすべて半整数である四元数であるフルヴィッツ整数と密接に関連している。 ^[4]

物理

物理学において、パウリの排他原理は、フェルミオンを半整数のスピンを持つ粒子として定義することから生じます。 ^[5]

量子調和振動子のエネルギー準位は半整数で発生するため、その最低エネルギーはゼロではない。^[6]

球の体積

階乗関数は整数引数に対してのみ定義されていますが、ガンマ関数を用いることで分数引数にも拡張できます。半整数に対するガンマ関数は、半径の $n$ 次元球体の体積を求める公式の重要な部分です。^{[7]半整数に対するガンマ関数の値は、}円周率の平方根の整数倍です。ここでは二重階乗を表します。 $R$ $V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}~.$ $\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)~=~{\frac {\,(2n-1)!!\,}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi \,}}~=~{\frac {(2n)!}{\,4^{n}\,n!\,}}{\sqrt {\pi \,}}~$ $n!!$

参考文献

^ Sabin, Malcolm (2010). 単変数細分スキームの解析と設計. Geometry and Computing. 第6巻. Springer. p. 51. ISBN 9783642136481。
^ Turaev, Vladimir G. (2010). 「結び目と3次元多様体の量子不変量」 . De Gruyter 数学研究第18巻（第2版）. Walter de Gruyter. p. 390. ISBN 9783110221848。
^ Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002). Computability and Logic. Cambridge University Press. p. 105. ISBN 9780521007580。
^ Baez, John C. (2005). 「ジョン・H・コンウェイとデレク・A・スミス著『四元数と八元数：幾何学、算術、対称性』書評」アメリカ数学会報（書評）42 : 229–243 . doi : 10.1090/S0273-0979-05-01043-8 .
^ メサロス、ペテル (2010)。高エネルギー宇宙: 天体物理学と宇宙論における超高エネルギーの出来事。ケンブリッジ大学出版局。 p. 13.ISBN 9781139490726。
^ Fox, Mark (2006). 量子光学入門. オックスフォード物理学マスターシリーズ第6巻. オックスフォード大学出版局. p. 131. ISBN 9780191524257。
^ 「方程式 5.19.4」。NISTデジタル数学関数ライブラリ。米国国立標準技術研究所。2013年5月6日。リリース 1.0.6。

[1] Sabin, Malcolm (2010). 単変数細分スキームの解析と設計. Geometry and Computing. 第6巻. Springer. p. 51. ISBN 9783642136481。

[2] Turaev, Vladimir G. (2010). 「結び目と3次元多様体の量子不変量」 . De Gruyter 数学研究第18巻（第2版）. Walter de Gruyter. p. 390. ISBN 9783110221848。

[3] Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002). Computability and Logic. Cambridge University Press. p. 105. ISBN 9780521007580。

[4] Baez, John C. (2005). 「ジョン・H・コンウェイとデレク・A・スミス著『四元数と八元数：幾何学、算術、対称性』書評」アメリカ数学会報（書評）42 : 229–243 . doi : 10.1090/S0273-0979-05-01043-8 .

[5] メサロス、ペテル (2010)。高エネルギー宇宙: 天体物理学と宇宙論における超高エネルギーの出来事。ケンブリッジ大学出版局。 p. 13.ISBN 9781139490726。

[6] Fox, Mark (2006). 量子光学入門. オックスフォード物理学マスターシリーズ第6巻. オックスフォード大学出版局. p. 131. ISBN 9780191524257。

[7] 「方程式 5.19.4」。NISTデジタル数学関数ライブラリ。米国国立標準技術研究所。2013年5月6日。リリース 1.0.6。