Size of a mathematical ball
次元 0 から 25 までのボールの体積。単位ボールは赤色です。 幾何学 において 、 球とは、与えられた点から 半径 と呼ばれる一定の距離内にあるすべての点からなる空間内の領域、つまり 球 または 超球 で囲まれた領域のことです 。 n球とは、 n 次元 ユークリッド空間 内の球です 。 n 球 の体積はこの球の ルベーグ測度 であり、 3 次元空間 における球の通常の体積を任意の次元に一般化します。 半径 Rの n 球の体積は 、 です。 ここでは 単位 n 球 、つまり半径 1の n 球 の体積です 。 R n V n , {\displaystyle R^{n}V_{n},} V n {\displaystyle V_{n}}
実数 は 2次元の 漸化式 で表すことができます。閉形式の式には、 ガンマ 関数、 階乗関数 、または 二重階乗 関数が含まれます。体積は、 単位 n 球面 の 面積 で表すこともできます 。 V n {\displaystyle V_{n}} A n {\displaystyle A_{n}}
最初の巻は次のとおりです。
寸法 半径R の球の体積 体積V の球の半径 0 1 {\displaystyle 1} （すべての0ボールのボリュームは1です） 1 2 R {\displaystyle 2R} V 2 = 0.5 × V {\displaystyle {\frac {V}{2}}=0.5\times V} 2 π R 2 ≈ 3.142 × R 2 {\displaystyle \pi R^{2}\approx 3.142\times R^{2}} V 1 / 2 π ≈ 0.564 × V 1 2 {\displaystyle {\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.564\times V^{\frac {1}{2}}} 3 4 π 3 R 3 ≈ 4.189 × R 3 {\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}R^{3}\approx 4.189\times R^{3}} ( 3 V 4 π ) 1 / 3 ≈ 0.620 × V 1 / 3 {\displaystyle \left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}\approx 0.620\times V^{1/3}} 4 π 2 2 R 4 ≈ 4.935 × R 4 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}\approx 4.935\times R^{4}} ( 2 V ) 1 / 4 π ≈ 0.671 × V 1 / 4 {\displaystyle {\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.671\times V^{1/4}} 5 8 π 2 15 R 5 ≈ 5.264 × R 5 {\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}\approx 5.264\times R^{5}} ( 15 V 8 π 2 ) 1 / 5 ≈ 0.717 × V 1 / 5 {\displaystyle \left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}\approx 0.717\times V^{1/5}} 6 π 3 6 R 6 ≈ 5.168 × R 6 {\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}\approx 5.168\times R^{6}} ( 6 V ) 1 / 6 π ≈ 0.761 × V 1 / 6 {\displaystyle {\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.761\times V^{1/6}} 7 16 π 3 105 R 7 ≈ 4.725 × R 7 {\displaystyle {\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}\approx 4.725\times R^{7}} ( 105 V 16 π 3 ) 1 / 7 ≈ 0.801 × V 1 / 7 {\displaystyle \left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{1/7}\approx 0.801\times V^{1/7}} 8 π 4 24 R 8 ≈ 4.059 × R 8 {\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}\approx 4.059\times R^{8}} ( 24 V ) 1 / 8 π ≈ 0.839 × V 1 / 8 {\displaystyle {\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.839\times V^{1/8}} 9 32 π 4 945 R 9 ≈ 3.299 × R 9 {\displaystyle {\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}\approx 3.299\times R^{9}} ( 945 V 32 π 4 ) 1 / 9 ≈ 0.876 × V 1 / 9 {\displaystyle \left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{1/9}\approx 0.876\times V^{1/9}} 10 π 5 120 R 10 ≈ 2.550 × R 10 {\displaystyle {\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}\approx 2.550\times R^{10}} ( 120 V ) 1 / 10 π ≈ 0.911 × V 1 / 10 {\displaystyle {\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.911\times V^{1/10}} 11 64 π 5 10395 R 11 ≈ 1.884 × R 11 {\displaystyle {\frac {64\pi ^{5}}{10395}}R^{11}\approx 1.884\times R^{11}} ( 10395 V 64 π 5 ) 1 / 11 ≈ 0.944 × V 1 / 11 {\displaystyle \left({\frac {10395V}{64\pi ^{5}}}\right)^{1/11}\approx 0.944\times V^{1/11}} 12 π 6 720 R 12 ≈ 1.335 × R 12 {\displaystyle {\frac {\pi ^{6}}{720}}R^{12}\approx 1.335\times R^{12}} ( 720 V ) 1 / 12 π ≈ 0.976 × V 1 / 12 {\displaystyle {\frac {(720V)^{1/12}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.976\times V^{1/12}} 13 128 π 6 135135 R 13 ≈ 0.911 × R 13 {\displaystyle {\frac {128\pi ^{6}}{135135}}R^{13}\approx 0.911\times R^{13}} ( 135135 V 128 π 6 ) 1 / 13 ≈ 1.007 × V 1 / 13 {\displaystyle \left({\frac {135135V}{128\pi ^{6}}}\right)^{1/13}\approx 1.007\times V^{1/13}} 14 π 7 5040 R 14 ≈ 0.599 × R 14 {\displaystyle {\frac {\pi ^{7}}{5040}}R^{14}\approx 0.599\times R^{14}} ( 5040 V ) 1 / 14 π ≈ 1.037 × V 1 / 14 {\displaystyle {\frac {(5040V)^{1/14}}{\sqrt {\pi }}}\approx 1.037\times V^{1/14}} 15 256 π 7 2027025 R 15 ≈ 0.381 × R 15 {\displaystyle {\frac {256\pi ^{7}}{2027025}}R^{15}\approx 0.381\times R^{15}} ( 2027025 V 256 π 7 ) 1 / 15 ≈ 1.066 × V 1 / 15 {\displaystyle \left({\frac {2027025V}{256\pi ^{7}}}\right)^{1/15}\approx 1.066\times V^{1/15}} n V n ( R ) R n ( V )
n 次元ユークリッド空間における 半径 R のユークリッド球の n 次元体積 は： [1]
V n ( R ) = π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) R n , {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}R^{n},} ここで、 Γ は オイラー の ガンマ関数 である 。ガンマ関数は からオフセットされているが、それ以外は 階乗 関数 を 非 整数 引数 に拡張する 。n が 正の整数で 、 Γ ( n + 1 / 2 ) = ( n − 1 / 2 ) · ( n − 3 / 2 ） · … · 1 / 2 · n が負でない整数の 場合 、 π 1/2 。
2次元再帰関係 体積はガンマ関数を使わずに計算できます。以下で極座標 における ベクトル解析の 二重積分 を用いて証明するように、半径 Rの n 球体の 体積 Vは 、交互 漸化式を用いて ( n −2) 球体の体積を用いて再帰的に表すことができます 。
V n ( R ) = { 1 if n = 0 , 2 R if n = 1 , 2 π n R 2 × V n − 2 ( R ) otherwise . {\displaystyle V_{n}(R)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\[0.5ex]2R&{\text{if }}n=1,\\[0.5ex]{\dfrac {2\pi }{n}}R^{2}\times V_{n-2}(R)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}} これにより、 V n ( R ) を 約 n / 2 ステップで計算できます。
体積は、1次元の再帰関係を使用して、 ( n −1) 球体で表すこともできます。
V 0 ( R ) = 1 , V n ( R ) = Γ ( n 2 + 1 2 ) π Γ ( n 2 + 1 ) R V n − 1 ( R ) . {\displaystyle {\begin{aligned}V_{0}(R)&=1,\\V_{n}(R)&={\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi }}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}R\,V_{n-1}(R).\end{aligned}}} 上記を逆にすると、体積 Vの n 球の半径は、 ( n −2) 球または ( n −1) 球の半径で再帰的に表すことができます 。
R n ( V ) = ( 1 2 n ) 1 / n ( Γ ( n 2 ) V ) − 2 / ( n ( n − 2 ) ) R n − 2 ( V ) , R n ( V ) = Γ ( n 2 + 1 ) 1 / n Γ ( n 2 + 1 2 ) 1 / ( n − 1 ) V − 1 / ( n ( n − 1 ) ) R n − 1 ( V ) . {\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}(V)&={\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}^{1/n}\left(\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}V\right)^{-2/(n(n-2))}R_{n-2}(V),\\R_{n}(V)&={\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}^{1/n}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}^{1/(n-1)}}}V^{-1/(n(n-1))}R_{n-1}(V).\end{aligned}}} 整数および 半整数における ガンマ関数の特定の値 に対する明示的な公式を用いると、 階乗 を用いたユークリッド球体の体積の公式が得られる 。非負整数 k の場合、これらは以下の通りである。
V 2 k ( R ) = π k k ! R 2 k , V 2 k + 1 ( R ) = 2 ( k ! ) ( 4 π ) k ( 2 k + 1 ) ! R 2 k + 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}(R)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},\\V_{2k+1}(R)&={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}.\end{aligned}}} 体積は二重階 乗で表すこともできる 。正の奇数 2 k + 1 に対して、二重階乗は次のように定義される。
( 2 k + 1 ) ! ! = ( 2 k + 1 ) ⋅ ( 2 k − 1 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ⋅ 1. {\displaystyle (2k+1)!!=(2k+1)\cdot (2k-1)\dotsm 5\cdot 3\cdot 1.} 奇数次元の球の体積は
V 2 k + 1 ( R ) = 2 ( 2 π ) k ( 2 k + 1 ) ! ! R 2 k + 1 . {\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2(2\pi )^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}.} 偶数の二重階乗には複数の慣例がある。二重階乗が以下の式を満たす慣例のもとでは、
( 2 k ) ! ! = ( 2 k ) ⋅ ( 2 k − 2 ) ⋯ 4 ⋅ 2 ⋅ 2 / π = 2 k ⋅ k ! ⋅ 2 / π , {\displaystyle (2k)!!=(2k)\cdot (2k-2)\dotsm 4\cdot 2\cdot {\sqrt {2/\pi }}=2^{k}\cdot k!\cdot {\sqrt {2/\pi }},} n 次元球の体積 は、 n が偶数か奇数かに関係なく、
V n ( R ) = 2 ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 n ! ! R n . {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}}{n!!}}R^{n}.} ボールの体積 Vを半径 R で表す代わりに 、式を 逆転させて 半径を体積の関数として表すことができます。
R n ( V ) = Γ ( n 2 + 1 ) 1 / n π V 1 / n = ( n ! ! V 2 ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 ) 1 / n R 2 k ( V ) = ( k ! V ) 1 / ( 2 k ) π , R 2 k + 1 ( V ) = ( ( 2 k + 1 ) ! V 2 ( k ! ) ( 4 π ) k ) 1 / ( 2 k + 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}(V)&={\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}^{1/n}}{\sqrt {\pi }}}V^{1/n}\\&=\left({\frac {n!!V}{2(2\pi )^{(n-1)/2}}}\right)^{1/n}\\R_{2k}(V)&={\frac {(k!V)^{1/(2k)}}{\sqrt {\pi }}},\\R_{2k+1}(V)&=\left({\frac {(2k+1)!V}{2(k!)(4\pi )^{k}}}\right)^{1/(2k+1)}.\end{aligned}}}
高次元の近似 次元数が多い場合、ガンマ関数の スターリング近似を使用して体積を近似できます。
V n ( R ) ∼ 1 n π ( 2 π e n ) n / 2 R n . {\displaystyle V_{n}(R)\sim {\frac {1}{\sqrt {n\pi }}}\left({\frac {2\pi e}{n}}\right)^{n/2}R^{n}.} R n ( V ) ∼ ( π n ) 1 / ( 2 n ) n 2 π e V 1 / n . {\displaystyle R_{n}(V)\sim (\pi n)^{1/(2n)}{\sqrt {\frac {n}{2\pi e}}}V^{1/n}.} 特に、 Rの値が一定であれば、 nが 無限 大に近づくにつれて体積は0の極限値に近づく。V n ( R ) を最大化する n の値は R の値に依存する 。例えば、体積 V n (1)は 0 ≤ n ≤ 5 の 範囲で増加し、 n = 5 の ときに最大となり 、 n ≥ 5 の 範囲で減少する。 [2]
また、表面積の漸近式が存在する [3] lim n 1 n ln A n − 1 ( n ) = 1 2 ( ln ( 2 π ) + 1 ) {\displaystyle \lim _{n}{\frac {1}{n}}\ln A_{n-1}({\sqrt {n}})={\frac {1}{2}}(\ln(2\pi )+1)}
表面積との関係 0次元から25次元までの超球面の表面積 半径 Rの ( n − 1) 球面 の超体積を A n − 1 ( R ) とします 。 ( n − 1) 球面は、半径 Rの n 次元球面の ( n − 1) 次元境界（面）であり 、球面の超体積と球面の超体積は次式で関係付けられます。
A n − 1 ( R ) = d d R V n ( R ) = n R V n ( R ) . {\displaystyle A_{n-1}(R)={\frac {d}{dR}}V_{n}(R)={\frac {n}{R}}V_{n}(R).} したがって、 A n − 1 ( R ) は、 V n ( R ) から次のような 式と再帰関係を継承します。
A n − 1 ( R ) = 2 π n / 2 Γ ( n 2 ) R n − 1 . {\displaystyle A_{n-1}(R)={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}R^{n-1}.} 階乗や二重階乗に関する式もあります。
証明 上記の公式には多くの証明があります。
音量は n 半径の乗 n 球の体積に関するいくつかの証明における重要なステップであり、また一般に有用な事実として、 半径 Rの n 球の体積は R n に比例するということが挙げられます 。
V n ( R ) ∝ R n . {\displaystyle V_{n}(R)\propto R^{n}.} 比例定数は単位球の体積です。
これは、 n 次元空間 における体積に関する一般的な事実の特殊なケースです。K が その空間内の 物体（ 測定可能な集合）であり、 RKがすべての方向に係数 R だけ引き伸ばされて得られる物体である場合、 RK の体積は R n と K の体積の積に 等しくなります 。これは、変数変換の公式から直接導かれる結果です。
V ( R K ) = ∫ R K d x = ∫ K R n d y = R n V ( K ) {\displaystyle V(RK)=\int _{RK}dx=\int _{K}R^{n}\,dy=R^{n}V(K)} ここで、 dx = dx 1 … dx n であり、 x = Ry の 置換 が行われました。
上記の関係式の別の証明は、多次元 積分を 回避し、 帰納法 を用いています。基本ケースは n = 0 であり、比例関係は明らかです。帰納的ステップでは、比例関係が n − 1次元で成り立つと仮定します。n 球体 と 超平面 の交差は ( n − 1) 球体であることに留意してください 。n 球体の体積を ( n − 1) 球体 の体積の積分として表すと、次のように なります。
V n ( R ) = ∫ − R R V n − 1 ( R 2 − x 2 ) d x , {\displaystyle V_{n}(R)=\int _{-R}^{R}V_{n-1}\!\left({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right)dx,} 帰納的仮説により、 ( n −1) 球の半径から R の係数を取り除くと次の式 が得られる。
V n ( R ) = R n − 1 ∫ − R R V n − 1 ( 1 − ( x R ) 2 ) d x . {\displaystyle V_{n}(R)=R^{n-1}\!\int _{-R}^{R}V_{n-1}\!\left({\sqrt {1-\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}}}\right)dx.} 変数の変更 t = × / R は次につながります:
V n ( R ) = R n ∫ − 1 1 V n − 1 ( 1 − t 2 ) d t = R n V n ( 1 ) , {\displaystyle V_{n}(R)=R^{n}\!\int _{-1}^{1}V_{n-1}\!\left({\sqrt {1-t^{2}}}\right)dt=R^{n}V_{n}(1),} これはn 次元における比例関係を示しています 。帰納法によれば、比例関係はすべての次元において成り立ちます。
n 球と ( n − 2) 球の体積を関連付ける漸化式の証明は 、上記の比例式と 円筒座標 での積分を用いて行うことができます。球の中心を通る平面を固定します。r を 平面上の点と球の中心の間の距離、 θ を方位角とします。n 球と、半径と方位角を固定して定義される ( n − 2) 次元平面と交差させると 、 半径 √ R 2 − r 2 の ( n − 2) 球が得られます 。 したがって 、 球 の 体積 は 、 可能 な 半径 と 方位 角にわたる ( n − 2) 球の体積の反復積分として表すことができます。
V n ( R ) = ∫ 0 2 π ∫ 0 R V n − 2 ( R 2 − r 2 ) r d r d θ , {\displaystyle V_{n}(R)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}V_{n-2}\!\left({\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\right)r\,dr\,d\theta ,} 方位座標はすぐに積分できます。比例関係を適用すると、体積は
V n ( R ) = 2 π V n − 2 ( R ) ∫ 0 R ( 1 − ( r R ) 2 ) ( n − 2 ) / 2 r d r . {\displaystyle V_{n}(R)=2\pi V_{n-2}(R)\int _{0}^{R}\left(1-\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{(n-2)/2}\,r\,dr.} 積分は u = 1 − ( r / R ) 2 取得するため
V n ( R ) = 2 π V n − 2 ( R ) ⋅ [ − R 2 n ( 1 − ( r R ) 2 ) n / 2 ] r = 0 r = R = 2 π R 2 n V n − 2 ( R ) , {\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}(R)&=2\pi V_{n-2}(R)\cdot \left[-{\frac {R^{2}}{n}}\left(1-\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{n/2}\right]_{r=0}^{r=R}\\&={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R),\end{aligned}}} これは2次元の再帰式です。
同じ手法を用いて体積公式の帰納的証明を与えることができる。帰納法の基本ケースは0-ボールと1-ボールであり、 Γ(1) = 1 と Γ( 3 / 2 ) = 1 / 2 · Γ( 1 / 2 ) = √π / 2 。帰納的ステップは上記と似ていますが、 ( n −2) -ボールの体積に比例関係を適用する代わりに、帰納的仮説が適用されます。
比例関係は、 n 球と ( n −1) 球の体積を関係付ける漸化式を証明するのにも使えます 。比例式の証明と同様に、 n 球の体積は( n −1) 球の体積の積分として表すことができます。しかし、代入を行う代わりに、比例関係を 被積分関数の ( n −1 ) 球 の体積に適用することもできます 。
V n ( R ) = V n − 1 ( R ) ∫ − R R ( 1 − ( x R ) 2 ) ( n − 1 ) / 2 d x . {\displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)\int _{-R}^{R}\left(1-\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}\right)^{(n-1)/2}\,dx.} 積分関数は 偶関数 なので、対称性により積分区間は [0, R ] に制限される。区間 [0, R ] では、置換 u = ( × / R ) 2 . この式は次のように変換されます。
V n − 1 ( R ) ⋅ R ⋅ ∫ 0 1 ( 1 − u ) ( n − 1 ) / 2 u − 1 2 d u {\displaystyle V_{n-1}(R)\cdot R\cdot \int _{0}^{1}(1-u)^{(n-1)/2}u^{-{\frac {1}{2}}}\,du} この積分はベータ関数 Β( x , y ) と呼ばれるよく知られた 特殊関数 の値であり 、ベータ関数に関する体積は
V n ( R ) = V n − 1 ( R ) ⋅ R ⋅ B ( n + 1 2 , 1 2 ) . {\displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)\cdot R\cdot \mathrm {B} \left({\tfrac {n+1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right).} ベータ関数は、階乗と二項係数 の関係とほぼ同じように、ガンマ関数を用いて表すことができます 。この関係を適用すると、
V n ( R ) = V n − 1 ( R ) ⋅ R ⋅ Γ ( n 2 + 1 2 ) Γ ( 1 2 ) Γ ( n 2 + 1 ) . {\displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)\cdot R\cdot {\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}.} Γ ( 1 / 2 ) = √ π は1次元の再帰式を与えます。
V n ( R ) = R π Γ ( n 2 + 1 2 ) Γ ( n 2 + 1 ) V n − 1 ( R ) . {\displaystyle V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}V_{n-1}(R).} 2 次元の再帰式の場合と同様に、同じ手法を使用して体積式の帰納的証明を行うことができます。
球座標での直接積分 n 球 の体積は、 球座標系 における 体積要素 を積分することで計算できます 。 球座標系は 、半径座標 r と角座標 φ 1 , …, φ n − 1を持ちます。ここで、 φ n − 1 を除く各 φ の定義域は [0, π ) であり 、 φ n − 1 の定義域は[0, 2 π ) です 。球面体積要素は次のように表されます。 V n ( R ) {\displaystyle V_{n}(R)}
d V = r n − 1 sin n − 2 ( φ 1 ) sin n − 3 ( φ 2 ) ⋯ sin ( φ n − 2 ) d r d φ 1 d φ 2 ⋯ d φ n − 1 , {\displaystyle dV=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1},} そして体積は、この量を 0 から Rまで、またすべての可能な角度にわたって r にわたって積分したものです。
V n ( R ) = ∫ 0 R ∫ 0 π ⋯ ∫ 0 2 π r n − 1 sin n − 2 ( φ 1 ) ⋯ sin ( φ n − 2 ) d φ n − 1 ⋯ d φ 1 d r . {\displaystyle V_{n}(R)=\int _{0}^{R}\int _{0}^{\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{n-1}\cdots d\varphi _{1}\,dr.} 積分関数の各因子は単一の変数にのみ依存するため、反復積分は積分の積として表すことができます。
V n ( R ) = ( ∫ 0 R r n − 1 d r ) ( ∫ 0 π sin n − 2 ( φ 1 ) d φ 1 ) ⋯ ( ∫ 0 2 π d φ n − 1 ) . {\displaystyle V_{n}(R)=\left(\int _{0}^{R}r^{n-1}\,dr\right)\!\left(\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\,d\varphi _{1}\right)\cdots \left(\int _{0}^{2\pi }d\varphi _{n-1}\right).} 半径の積分は R n / n 。角座標上の積分区間は、 π / 2 は [0, に変更されます π / 2 ] :
V n ( R ) = R n n ( 2 ∫ 0 π / 2 sin n − 2 ( φ 1 ) d φ 1 ) ⋯ ( 4 ∫ 0 π / 2 d φ n − 1 ) . {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}\left(2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\,d\varphi _{1}\right)\cdots \left(4\int _{0}^{\pi /2}d\varphi _{n-1}\right).} 残りの積分はそれぞれベータ関数の特定の値になります。
V n ( R ) = R n n B ( n − 1 2 , 1 2 ) B ( n − 2 2 , 1 2 ) ⋯ B ( 1 , 1 2 ) ⋅ 2 B ( 1 2 , 1 2 ) . {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {n-1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {n-2}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\cdots \mathrm {B} {\bigl (}1,{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\cdot 2\,\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.} ベータ関数はガンマ関数で書き直すことができます。
V n ( R ) = R n n ⋅ Γ ( n 2 − 1 2 ) Γ ( 1 2 ) Γ ( n 2 ) ⋅ Γ ( n 2 − 1 ) Γ ( 1 2 ) Γ ( n 2 − 1 2 ) ⋯ Γ ( 1 ) Γ ( 1 2 ) Γ ( 3 2 ) ⋅ 2 Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 ) . {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}\cdot {\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}\cdot {\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}-1{\bigr )}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}}\cdots {\frac {\Gamma (1)\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}}}\cdot 2{\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma (1)}}.} この積は伸縮します。これを Γ( 1 / 2 ) = √ π かつ Γ(1) = 1 であり、関数方程式 z Γ( z ) = Γ( z + 1) は次式を導く。
V n ( R ) = 2 π n / 2 R n n Γ ( n 2 ) = π n / 2 R n Γ ( n 2 + 1 ) . {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2\pi ^{n/2}R^{n}}{n\,\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}={\frac {\pi ^{n/2}R^{n}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}.}
ガウス積分 体積公式は ガウス積分 を用いて直接証明することができます。次の関数を考えてみましょう。
f ( x 1 , … , x n ) = exp ( − 1 2 ∑ i = 1 n x i 2 ) . {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\exp {\biggl (}{-{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\biggr )}.} この関数は回転不変であり、かつ1変数の関数の積である。この積とガウス積分の公式を用いると、以下の式が得られる。
∫ R n f d V = ∏ i = 1 n ( ∫ − ∞ ∞ exp ( − 1 2 x i 2 ) d x i ) = ( 2 π ) n / 2 , {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f\,dV=\prod _{i=1}^{n}\left(\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}x_{i}^{2}\right)\,dx_{i}\right)=(2\pi )^{n/2},} ここで、 dVは n 次元の体積要素です 。 回転不変性 を用いることで、球座標系でも同様の積分を計算することができます。
∫ R n f d V = ∫ 0 ∞ ∫ S n − 1 ( r ) exp ( − 1 2 r 2 ) d A d r , {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f\,dV=\int _{0}^{\infty }\int _{S^{n-1}(r)}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\right)\,dA\,dr,} ここで、 S n − 1 ( r ) は 半径 r の( n − 1) 球面（半径 rの n 次元球の表面積 ）であり、 dA は面積要素（つまり、 ( n − 1) 次元の体積要素）である。球の表面積は、球の体積と同様の比例方程式を満たす。A n − 1 ( r ) が半径 r の( n − 1) 球面の表面積である場合 、次の式が 成り立つ。
A n − 1 ( r ) = r n − 1 A n − 1 ( 1 ) . {\displaystyle A_{n-1}(r)=r^{n-1}A_{n-1}(1).} これを上記の積分に適用すると次の式が得られる。
( 2 π ) n / 2 = ∫ 0 ∞ ∫ S n − 1 ( r ) exp ( − 1 2 r 2 ) d A d r = A n − 1 ( 1 ) ∫ 0 ∞ exp ( − 1 2 r 2 ) r n − 1 d r . {\displaystyle (2\pi )^{n/2}=\int _{0}^{\infty }\int _{S^{n-1}(r)}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\right)\,dA\,dr=A_{n-1}(1)\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\right)\,r^{n-1}\,dr.} t = を代入すると r 2 / 2 :
∫ 0 ∞ exp ( − 1 2 r 2 ) r n − 1 d r = 2 ( n − 2 ) / 2 ∫ 0 ∞ e − t t ( n − 2 ) / 2 d t . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\right)\,r^{n-1}\,dr=2^{(n-2)/2}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{(n-2)/2}\,dt.} 右側の積分はガンマ関数を で評価したものである。 n / 2 。
2つの結果を組み合わせると、
A n − 1 ( 1 ) = 2 π n / 2 Γ ( n 2 ) . {\displaystyle A_{n-1}(1)={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}.} この式から半径Rの n 球 の体積を導くには、半径 r の球の表面積を 0 ≤ r ≤ R の範囲で積分し 、関数方程式 z Γ( z ) = Γ( z + 1) を適用します。
V n ( R ) = ∫ 0 R 2 π n / 2 Γ ( n 2 ) r n − 1 d r = 2 π n / 2 n Γ ( n 2 ) R n = π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) R n . {\displaystyle V_{n}(R)=\int _{0}^{R}{\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}\,r^{n-1}\,dr={\frac {2\pi ^{n/2}}{n\,\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}R^{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}R^{n}.}
幾何学的証明 関係式 " " および " " 、したがって n 球の体積と n 球の面積も幾何学的に導くことができます。前述のように、半径の球は 単位球から すべての方向を 時間で再スケーリングすることで得られるため、は に比例し 、つまり となります 。また、 球は 同心球 の和集合であり、半径を ε だけ増やすと厚さ ε の殻が広がるため、となります 。したがって、 ; と同等です 。 V n + 1 ( R ) = R n + 1 A n ( R ) {\displaystyle V_{n+1}(R)={\frac {R}{n+1}}A_{n}(R)} A n + 1 ( R ) = ( 2 π R ) V n ( R ) {\displaystyle A_{n+1}(R)=(2\pi R)V_{n}(R)} R {\displaystyle R} B n {\displaystyle B_{n}} R {\displaystyle R} V n ( R ) {\displaystyle V_{n}(R)} R n {\displaystyle R^{n}} d V n ( R ) d R = n R V n ( R ) {\displaystyle {\frac {dV_{n}(R)}{dR}}={\frac {n}{R}}V_{n}(R)} A n − 1 ( R ) = d V n ( R ) d R {\displaystyle A_{n-1}(R)={\frac {dV_{n}(R)}{dR}}} V n ( R ) = R n A n − 1 ( R ) {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R}{n}}A_{n-1}(R)} V n + 1 ( R ) = R n + 1 A n ( R ) {\displaystyle V_{n+1}(R)={\frac {R}{n+1}}A_{n}(R)}
A n + 1 ( R ) = ( 2 π R ) V n ( R ) {\displaystyle A_{n+1}(R)=(2\pi R)V_{n}(R)} 単位球面（ ）と の間に 体積保存の一対一 関係 が存在するため、 S n + 1 {\displaystyle S_{n+1}} S 1 × B n {\displaystyle S_{1}\times B_{n}}
( x , y , z → ) ↦ ( x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 , z → ) {\displaystyle (x,y,{\vec {z}})\mapsto \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\vec {z}}\right)} （は n 組 であり 、測度 0 の集合は無視します）。各点において体積が保持されるのは、等長変換との差が xy 平面 における伸張 （ 定数 の方向に 倍）であり、これが における の 勾配 方向の圧縮と正確に一致するためです （関連する角度は等しい）。 については、 アルキメデスが 『球と円柱について』 で 同様の議論を最初に行いました 。 z → {\displaystyle {\vec {z}}} | ( x , y , z → ) | = 1 {\displaystyle |(x,y,{\vec {z}})|=1} 1 / x 2 + y 2 {\textstyle 1/\!{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} | z → | {\displaystyle |{\vec {z}}|} S n {\displaystyle S_{n}} S 2 {\displaystyle S_{2}}
ボールイン L p 規範 L p ノルム における球体の体積を表す明示的な表現も存在する 。R n における ベクトル x = ( x 1 , …, x n )の L p ノルムは
‖ x ‖ p = ( ∑ i = 1 n | x i | p ) 1 / p , {\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\biggr )}^{\!1/p},} L p 球とは、 L p ノルムが球の半径と呼ばれる固定値以下となる ベクトル全体の集合である 。p = 2 の場合が標準的な ユークリッド距離 関数であるが、 p の他の値は情報理論 、 符号理論 、 次元正則化 など、様々な文脈で用いられる 。
半径 Rの L p 球の体積 は
V n p ( R ) = ( 2 Γ ( 1 p + 1 ) ) n Γ ( n p + 1 ) R n . {\displaystyle V_{n}^{p}(R)={\frac {{\Bigl (}2\,\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p}}+1{\bigr )}{\Bigr )}^{n}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{p}}+1{\bigr )}}}R^{n}.} これらの体積はp = 2 の場合と同様の再帰関係を満たします 。
V n p ( R ) = ( 2 Γ ( 1 p + 1 ) ) p p n R p V n − p p ( R ) {\displaystyle V_{n}^{p}(R)={\frac {{\Bigl (}2\,\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p}}+1{\bigr )}{\Bigr )}^{p}p}{n}}R^{p}\,V_{n-p}^{p}(R)} そして
V n p ( R ) = 2 Γ ( 1 p + 1 ) Γ ( n − 1 p + 1 ) Γ ( n p + 1 ) R V n − 1 p ( R ) , {\displaystyle V_{n}^{p}(R)=2{\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p}}+1{\bigr )}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n-1}{p}}+1{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{p}}+1{\bigr )}}}R\,V_{n-1}^{p}(R),} これは一般化二項係数 を使ってより簡潔に書くことができる 。
V n p ( R ) = 2 ( n / p 1 / p ) R V n − 1 p ( R ) . {\displaystyle V_{n}^{p}(R)={\frac {2}{\dbinom {n/p}{1/p}}}R\,V_{n-1}^{p}(R).} p = 2 の場合 、 2Γ( 3 / 2 ) = √ π 。
たとえば、 p = 1 ( タクシーノルム ) および p = ∞ ( 最大ノルム ) の場合、ボリュームは次のようになります。
V n 1 ( R ) = 2 n n ! R n , V n ∞ ( R ) = 2 n R n . {\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}^{1}(R)&={\frac {2^{n}}{n!}}R^{n},\\V_{n}^{\infty }(R)&=2^{n}R^{n}.\end{aligned}}} これらは、交差多面体 と 超立方体の 体積の基本的な計算と一致します 。
表面積との関係 p のほとんどの値において、 半径 Rの L p 球（半径Rの L p n 球 の境界） の 表面積は、 L p 球の体積をその半径で 微分する ことによっては計算できません。体積は、 共面積の公式 を用いて表面積の積分として表すことができますが、共面積の公式には、 点ごとに p ノルムがどのように変化するかを考慮した補正係数が含まれています。 p = 2 および p = ∞ の場合、この係数は 1 です。ただし、 p = 1 の場合、補正係数は √ n です。つまり、半径 R の L 1 球の R n における 表面積 は 、 L 1 球 の体積の微分の √ n 倍です。これは 、ベクトル場 F (x) = xに 発散定理 を適用して、次のように 最も簡単に理解できます。 A n − 1 p ( R ) {\displaystyle A_{n-1}^{p}(R)}
n V n 1 ( R ) = {\displaystyle nV_{n}^{1}(R)=} ∭ V ( ∇ ⋅ F ) d V = {\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=} S {\displaystyle \scriptstyle S} ( F ⋅ n ) d S {\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS} = {\displaystyle =} S {\displaystyle \scriptstyle S} 1 n ( | x 1 | + ⋯ + | x n | ) d S {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(|x_{1}|+\cdots +|x_{n}|)\,dS} = R n {\displaystyle ={\frac {R}{\sqrt {n}}}} S {\displaystyle \scriptstyle S} d S {\displaystyle \,dS} = R n A n − 1 1 ( R ) . {\displaystyle ={\frac {R}{\sqrt {n}}}A_{n-1}^{1}(R).} p の他の値の場合 、定数は複雑な積分になります。
一般化 体積公式はさらに一般化できる。正の実数 p 1 , …, p n に対して、 極限 L ≥ 0を持つ ( p 1 , …, p n ) 球を次のように
定義する。
B p 1 , … , p n ( L ) = { x = ( x 1 , … , x n ) ∈ R n : | x 1 | p 1 + ⋯ + | x n | p n ≤ L } . {\displaystyle B_{p_{1},\ldots ,p_{n}}(L)=\left\{x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbf {R} ^{n}:\vert x_{1}\vert ^{p_{1}}+\cdots +\vert x_{n}\vert ^{p_{n}}\leq L\right\}.} この球の体積はディリクレの時代から知られていた。 [4]
V ( B p 1 , … , p n ( L ) ) = 2 n Γ ( 1 p 1 + 1 ) ⋯ Γ ( 1 p n + 1 ) Γ ( 1 p 1 + ⋯ + 1 p n + 1 ) L 1 p 1 + ⋯ + 1 p n . {\displaystyle V{\bigl (}B_{p_{1},\ldots ,p_{n}}(L){\bigr )}={\frac {2^{n}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p_{1}}}+1{\bigr )}\cdots \Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p_{n}}}+1{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p_{1}}}+\cdots +{\tfrac {1}{p_{n}}}+1{\bigr )}}}L^{{\tfrac {1}{p_{1}}}+\cdots +{\tfrac {1}{p_{n}}}}.}
比較 L p 規範 調和平均 を使用して を定義すると、 L p ボールの体積公式との類似性が 明らかになります。 p = n 1 p 1 + ⋯ 1 p n {\displaystyle p={\frac {n}{{\frac {1}{p_{1}}}+\cdots {\frac {1}{p_{n}}}}}} R = L p {\displaystyle R={\sqrt[{p}]{L}}}
V ( { x ∈ R n : | x 1 | p 1 + ⋯ + | x n | p n p ≤ R } ) = 2 n Γ ( 1 p 1 + 1 ) ⋯ Γ ( 1 p n + 1 ) Γ ( n p + 1 ) R n . {\displaystyle V\left(\left\{x\in \mathbf {R} ^{n}:{\sqrt[{p}]{\vert x_{1}\vert ^{p_{1}}+\cdots +\vert x_{n}\vert ^{p_{n}}}}\leq R\right\}\right)={\frac {2^{n}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p_{1}}}+1{\bigr )}\cdots \Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p_{n}}}+1{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{p}}+1{\bigr )}}}R^{n}.}
参照
参考文献 ^ 式 5.19.4、 NIST デジタル数学関数ライブラリ。http ://dlmf.nist.gov/5.19#E4、2013 年 5 月 6 日のリリース 1.0.6。 ^ Smith, David J. および Vamanamurthy, Mavina K.、「単位球はどのくらい小さいか?」、Mathematics Magazine、第 62 巻、第 2 号、1989 年、101–107 ページ、https://doi.org/10.1080/0025570X.1989.11977419。 ^ Song Mei (2021-02-10). 「講義7：濃度不等式と場の理論計算」 （PDF） . www.stat.berkeley.edu . ^ ディリクレ、PG ルジューヌ (1839)。 「Sur une nouvelle méthode pour la détermination des intégrales multiples」[多重積分を決定するための新しい方法について]。 Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 。 4 ： 164～ 168。
さらに読む ヘイズ、ブライアン （2011年11～12月） 「N次元への冒険」 アメリカン ・サイエンティスト誌 99 ( 9):442. doi :10.1511/2011.93.442 . 2024年 10月24日 閲覧 。 、参考文献、一般の人にもアクセス可能。
外部リンク 超球面座標における微分 （フランス語） Wolfram MathWorld の Hypersphere 数学リファレンスの超球面の体積 
![{\displaystyle V_{n}(R)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\[0.5ex]2R&{\text{if }}n=1,\\[0.5ex]{\dfrac {2\pi }{n}}R^{2}\times V_{n-2}(R)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731cb55dca78fe8cf739d058efd6d893872ecd6e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}(R)&=2\pi V_{n-2}(R)\cdot \left[-{\frac {R^{2}}{n}}\left(1-\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{n/2}\right]_{r=0}^{r=R}\\&={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ea26d51257a68c5cc8daa8981890cb213db4a7)
![{\displaystyle R={\sqrt[{p}]{L}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106d05a931ba1ca78e6916d59b118ac4f192575b)
![{\displaystyle V\left(\left\left\{x\in \mathbf {R} ^{n}:{\sqrt[{p}]{\vert x_{1}\vert ^{p_{1}}+\cdots +\vert x_{n}\vert ^{p_{n}}}}\leq R\right\}\right)={\frac {2^{n}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p_{1}}}+1{\bigr )}\cdots \Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p_{n}}}+1{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{p}}+1{\bigr )}}}R^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35a511f6dd77b33574288d4e357de6ec4151e7b)
