単位行列

主対角線上に1があり、それ以外は0である正方行列

線形代数において、単位行列の大きさは、主対角線上に1、それ以外は0を持つ正方行列です。この行列は独特な性質を持ち、例えば、単位行列が幾何学的変換を表す場合、その変換によって対象は変化しません。他の文脈では、これは数1を掛けることに似ています。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$

用語と表記

単位行列はしばしば と表記されるが、大きさが重要でないか文脈から容易に決定できる場合は単に と表記される。^[1] ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$

単位行列という用語も広く使われてきましたが^{[2] [3] [4] [5] 、現在では}単位行列という用語が標準となっています。^[6]単位行列 という用語は曖昧です。なぜなら、この用語は1の行列や、すべての行列の環の任意の単位行列にも使用されるからです。^[7] ${\displaystyle n\times n}$

群論や量子力学などの分野では、単位行列は太字で表記されるか、「id」（identityの略）と呼ばれることがあります。あまり一般的ではありませんが、一部の数学書では、単位行列を表すのに「単位行列」^[2]または「単位行列^{」 [8]}を表すまたはが使用されています。 ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E}$

対角行列を簡潔に記述するために時々使用される表記法では、単位行列は次のように書くことができる。単位行列はクロネッカーのデルタ表記法 を使って次のように書くこともできる。^[8] $${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).}$$ $${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.}$$

プロパティ

が行列である場合、行列の乗算の性質として、特に単位行列はすべての行列の行列環の乗法単位行列として、また、行列の乗算演算の下で可逆なすべての行列からなる一般線型群の単位元として機能します。特に、単位行列は可逆です。これは逆行列であり、自身の逆行列に等しくなります。この群では、2つの正方行列が互いに逆行列である場合に、それらの積として単位行列を持ちます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ $${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.}$$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle n\times n}$

次元ベクトル空間からその空間自体への線形変換を表すために行列が使用される場合、単位行列は、この表現で使用された基底に関係なく、単位関数を表します。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I_{n}}$

単位行列の 番目の列は単位ベクトル であり、番目の要素が 1 で、それ以外の要素が 0 であるベクトルです。単位行列の行列式は 1 であり、そのトレースは です。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$

単位行列は、行列式がゼロでない唯一の冪等行列です。つまり、以下の条件を満たす唯一の行列です。

1. 自身に掛け合わせると、結果は自身になる
2. すべての行と列は線形独立です。

単位行列の主平方根はそれ自身であり、これが唯一の正定値平方根である。しかし、少なくとも2行2列の単位行列には、対称平方根が無数に存在する。^[9]

単位行列の階数はサイズに等しくなります。つまり、 ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \operatorname {rank} (I_{n})=n.}$$

参照

• バイナリ行列（0-1行列）
• 基本行列
• 交換マトリックス
• 1の行列
• パウリ行列（単位行列は0番目のパウリ行列である）
• ハウスホルダー変換（ハウスホルダー行列は単位行列を通じて構築されます）
• 2行2列の単位行列の平方根
• ユニタリ行列
• ゼロ行列

注記

1. 「恒等行列：恒等行列入門（記事）」.カーンアカデミー. 2020年8月14日閲覧。
2. Pipes, Louis Albert (1963). 工学のための行列法. Prentice-Hall International Series in Applied Mathematics. Prentice-Hall. p. 91.
3. ロジャー・ゴデメント著『代数学』 1968年。
4. ISO 80000-2 :2009.
5. ケン・ストラウド、工学数学、2013年。
6. ISO 80000-2 :2019.
7. Weisstein, Eric W. 「単位行列」. mathworld.wolfram.com . 2021年5月5日閲覧。
8. Weisstein, Eric W. 「恒等行列」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月14日閲覧。
9. ミッチェル、ダグラス W. (2003年11月). 「87.57 ピタゴラス数列を用いた I 2 {\displaystyle I_{2}} の平方根の生成」. The Mathematical Gazette . 87 (510): 499– 500. doi : 10.1017/S0025557200173723 . JSTOR  3621289.

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