Mathematical function characterizing set membership
指標関数の3次元プロット。正方形の2次元領域（セット X ）上に表示されます。「隆起した」部分は、「示された」サブセット（ A ）のメンバーである2次元ポイントを重ねています 。 数学 において 、 集合 の 部分集合 の指示関数（ しきいふかん、英: indicator function） または 特性関数（せいぎょうかん、英: properties function） とは、その部分集合の要素を1に、それ以外の要素を0に写す関数のことである 。つまり、 Aが何らかの集合 X の部分集合である場合、 A の指示関数は、 もしそうでないならば 、 で定義される 関数である 。他の一般的な表記法は、 𝟙 A および [a]である。 1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}} 1 A ( x ) = 1 {\displaystyle \mathbf {1} _{A}\!(x)=1} x ∈ A , {\displaystyle x\in A,} 1 A ( x ) = 0 {\displaystyle \mathbf {1} _{A}\!(x)=0} χ A . {\displaystyle \chi _{A}.}
A の指示関数は、 A に属する性質の アイバーソン括弧 である 。つまり、
1 A ( x ) = [ x ∈ A ] . {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\left[\ x\in A\ \right].}
たとえば、 ディリクレ関数は、 実数 のサブセットとしての 有理数 の指標関数です 。
意味 任意の集合 Xが与えられたとき、 X の 部分集合 A の指示関数は、 1 A ( x ) = { 1 if x ∈ A 0 if x ∉ A . {\displaystyle \operatorname {\mathbf {1} } _{A}\!(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{if }}x\notin A\,.\end{cases}}} で定義される関数です。 1 A : X → { 0 , 1 } {\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\rightarrow \{0,1\}}
アイバーソン 括弧は、 ⟦ x ∈ A ⟧ と 同等の表記法を提供し 、 代わりに使用できます。 [ x ∈ A ] {\displaystyle \left[\ x\in A\ \right]} 1 A ( x ) . {\displaystyle \mathbf {1} _{A}\!(x).}
この関数 は、 𝟙 A 、 I A 、 χ A [a] 、あるいは単に A と表記されることもある。 [b] 1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}}
表記法と用語 この表記法は 、指示関数の標準定義の 逆数 を使用しているかのように定義される 凸解析 における 特性関数 を表すためにも使用されます。 χ A {\displaystyle \chi _{A}}
統計学 における関連する概念として、 ダミー変数 があります 。（数学でよく使われる用語「ダミー変数」は、 束縛変数 とも呼ばれるため、ダミー変数と混同しないでください。）
「特性関数 」という用語は、 古典的な確率論 では無関係な意味を持ちます 。そのため、 伝統的な確率論者は、ここで定義された関数をほぼ例外なく「 指示関数」 という用語で表します。 一方、他の分野の数学者は、 集合への所属を示す関数を
「 特性関数」という用語で表す傾向があります。
ファジー論理 と 現代の多値論理 において 、述語は 確率分布 の 特性関数 である。つまり、述語の厳密な真偽評価は、真実度として解釈される量に置き換えられる。
基本的なプロパティ ある集合 X の部分集合 A の指示 関数 または 特性 関数は、 X の要素を コドメイン に 写像する。 { 0 , 1 } . {\displaystyle \{0,\,1\}.}
この写像は、 A が X の 空でない 真部分集合 で ある 場合にのみ 射影的 である。 A = X , {\displaystyle A=X,} 1 A ≡ 1. {\displaystyle \mathbf {1} _{A}\equiv 1.} A = ∅ {\displaystyle A=\emptyset } 1 A ≡ 0. {\displaystyle \mathbf {1} _{A}\equiv 0.}
とが の2つの部分集合である 場合 、 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} X , {\displaystyle X,} 1 A ∩ B ( x ) = min { 1 A ( x ) , 1 B ( x ) } = 1 A ( x ) ⋅ 1 B ( x ) , 1 A ∪ B ( x ) = max { 1 A ( x ) , 1 B ( x ) } = 1 A ( x ) + 1 B ( x ) − 1 A ( x ) ⋅ 1 B ( x ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}(x)~&=~\min {\bigl \{}\mathbf {1} _{A}(x),\ \mathbf {1} _{B}(x){\bigr \}}~~=~\mathbf {1} _{A}(x)\cdot \mathbf {1} _{B}(x),\\\mathbf {1} _{A\cup B}(x)~&=~\max {\bigl \{}\mathbf {1} _{A}(x),\ \mathbf {1} _{B}(x){\bigr \}}~=~\mathbf {1} _{A}(x)+\mathbf {1} _{B}(x)-\mathbf {1} _{A}(x)\cdot \mathbf {1} _{B}(x)\,,\end{aligned}}}
そして、 ie の 補集合 の指示関数 は次のようになります。 A {\displaystyle A} A ∁ {\displaystyle A^{\complement }} 1 A ∁ = 1 − 1 A . {\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.}
より一般的には、 X の部分集合の集合を仮定する 。任意の A 1 , … , A n {\displaystyle A_{1},\dotsc ,A_{n}} x ∈ X : {\displaystyle x\in X:}
∏ k ∈ I ( 1 − 1 A k ( x ) ) {\displaystyle \prod _{k\in I}\left(\ 1-\mathbf {1} _{A_{k}}\!\left(x\right)\ \right)}
は0 と 1の 積である。この積は 、どの集合にも属さない 場合にのみ 1 となり 、そうでない場合は0となる。つまり、 x ∈ X {\displaystyle x\in X} A k {\displaystyle A_{k}}
∏ k ∈ I ( 1 − 1 A k ) = 1 X − ⋃ k A k = 1 − 1 ⋃ k A k . {\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}
左側の製品を展開すると、
1 ⋃ k A k = 1 − ∑ F ⊆ { 1 , 2 , … , n } ( − 1 ) | F | 1 ⋂ F A k = ∑ ∅ ≠ F ⊆ { 1 , 2 , … , n } ( − 1 ) | F | + 1 1 ⋂ F A k {\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}
ここでは F の 基数 です。これは 包含排他 原理の一種です 。 | F | {\displaystyle |F|}
前の例で示唆されているように、指示関数は 組合せ論 において有用な表記法です。この表記法は他の場面でも用いられ、例えば 確率論では、 Xが 確率測度を持つ 確率空間 であり 、 Aが 測定可能な集合 である 場合 、は 期待値 が A の確率に等しい 確率変数 となります 。 P {\displaystyle \mathbb {P} } 1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}}
E X { 1 A ( x ) } = ∫ X 1 A ( x ) d P ( x ) = ∫ A d P ( x ) = P ( A ) . {\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } _{X}\left\{\ \mathbf {1} _{A}(x)\ \right\}\ =\ \int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\ \operatorname {d\ \mathbb {P} } (x)=\int _{A}\operatorname {d\ \mathbb {P} } (x)=\operatorname {\mathbb {P} } (A).}
この恒等式はマルコフの不等式 の簡単な証明に使用されます 。
順序論 など、多くの場合 、指示関数の逆関数が定義されます。これは、初等 整数論 における指示関数の逆関数である メビウス関数の一般化であるため、一般に一般化メビウス 関数 と呼ばれます。（古典的再帰理論における逆関数の使用については、 以下の段落を参照してください。）
平均、分散、共分散 確率空間 が与えられ 、その 指標確率変数は 次 の ように定義される。 ( Ω , F , P ) {\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )} A ∈ F , {\displaystyle A\in {\mathcal {F}},} 1 A : Ω → R {\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} } 1 A ( ω ) = 1 {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=1} ω ∈ A , {\displaystyle \omega \in A,} 1 A ( ω ) = 0. {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=0.}
平均 E ( 1 A ( ω ) ) = P ( A ) {\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {\mathbb {P} } (A)\ } （「ファンダメンタル ブリッジ」とも呼ばれます）。 分散 Var ( 1 A ( ω ) ) = P ( A ) ( 1 − P ( A ) ) . {\displaystyle \ \operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {\mathbb {P} } (A)(1-\operatorname {\mathbb {P} } (A)).} 共分散 Cov ( 1 A ( ω ) , 1 B ( ω ) ) = P ( A ∩ B ) − P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle \ \operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {\mathbb {P} } (A\cap B)-\operatorname {\mathbb {P} } (A)\operatorname {\mathbb {P} } (B).}
再帰理論における特性関数、ゲーデルとクリーネの表現関数 クルト・ゲーデルは1934年の論文「形式数学体系の決定不可能な命題について」の中で、 表現関数 について記述した （記号「 ¬ 」は論理反転、すなわち「NOT」を示す）。 [1] : 42
各クラスまたは関係 R には、次 の 場合に対応 する表現関数が存在するものとする。 ϕ ( x 1 , … x n ) = 0 {\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=0} R ( x 1 , … x n ) {\displaystyle R(x_{1},\ldots x_{n})} ϕ ( x 1 , … x n ) = 1 {\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=1} ¬ R ( x 1 , … x n ) . {\displaystyle \neg R(x_{1},\ldots x_{n}).}
クリーネは 、述語 P の関数 φ が述語が真の場合には 0 、述語が偽の場合には 1を とるという 、原始再帰関数 の文脈で同じ定義を提示している。 [2]
例えば、特性関数の積は、 関数のいずれかが 0 に等しい場合、論理和の役割を果たす。つまり、IF OR OR ... OR THEN のとき、それらの積は 0 である。現代の読者には、表現関数の論理反転、すなわち 関数 Rが「真」または満たされる場合、表現関数は 0 であるように見えるが、これは、クリーネによる論理関数OR、AND、IMPLYの定義、有界 [ 2] : 228 および無界 [ 2] : 279の ミュー演算子、 そしてCASE関数において有用な役割を果たしている。 [2] : 229 ϕ 1 ∗ ϕ 2 ∗ ⋯ ∗ ϕ n = 0 {\displaystyle \phi _{1}*\phi _{2}*\cdots *\phi _{n}=0} ϕ 1 = 0 {\displaystyle \phi _{1}=0\ } ϕ 2 = 0 {\displaystyle \ \phi _{2}=0} ϕ n = 0 {\displaystyle \phi _{n}=0}
ファジィ集合理論における特性関数 古典数学では、集合の特性関数は 1 （要素）または 0 （非要素）の値のみをとります。 ファジィ集合論 では、特性関数は実単位区間 [0, 1] 、より一般的には何らかの 代数 または 構造 （通常は少なくとも半 集合 または 格子で あることが要求されます）の値をとるように一般化されます。このような一般化された特性関数は、より一般的には メンバーシップ関数 と呼ばれ、対応する「集合」は ファジィ 集合と呼ばれます。ファジィ集合は、「背が高い」「暖かい」など、 現実世界の多くの 述語 に見られるメンバー シップ度の段階的な変化をモデル化します。
滑らかさ 一般に、集合の指示関数は滑らかではない。指示関数が連続となるのは、その 台が 連結成分 である場合に限る 。しかし、 有限体 の代数幾何 学 においては、 任意のアフィン多様体 は（ ザリスキ ）連続指示関数を持つ。 [3] 関数の 有限集合 が与えられ、その消失点を と する。すると、関数は の指示関数として働く。 もし ならば であり、 そうでなければ 、ある に対してと なる 。したがって f α ∈ F q [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle f_{\alpha }\in \mathbb {F} _{q}\left[\ x_{1},\ldots ,x_{n}\right]} V = { x ∈ F q n : f α ( x ) = 0 } {\displaystyle V={\bigl \{}\ x\in \mathbb {F} _{q}^{n}:f_{\alpha }(x)=0\ {\bigr \}}} P ( x ) = ∏ ( 1 − f α ( x ) q − 1 ) {\textstyle \mathbb {P} (x)=\prod \left(\ 1-f_{\alpha }(x)^{q-1}\right)} V . {\displaystyle V.} x ∈ V {\displaystyle x\in V} P ( x ) = 1 , {\displaystyle \mathbb {P} (x)=1,} f α , {\displaystyle f_{\alpha },} f α ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f_{\alpha }(x)\neq 0} f α ( x ) q − 1 = 1 , {\displaystyle f_{\alpha }(x)^{q-1}=1,} P ( x ) = 0. {\displaystyle \mathbb {P} (x)=0.}
指示関数は滑らかではないが、 弱微分 が許される。例えば、 ヘヴィサイドの階段関数を考える。ヘヴィサイドの階段関数の 分布微分 は ディラックのデルタ関数 に等しい 。すなわち、 であり 、同様に の分布微分 は H ( x ) ≡ I ( x > 0 ) {\displaystyle H(x)\equiv \operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}x>0{\bigr )}} d H ( x ) d x = δ ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} H(x)}{\mathrm {d} x}}=\delta (x)} G ( x ) := I ( x < 0 ) {\displaystyle G(x):=\operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}x<0{\bigr )}} d G ( x ) d x = − δ ( x ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} G(x)}{\mathrm {d} x}}=-\delta (x).}
したがって、ヘヴィサイド階段関数の微分は、 正の半直線によって与えられた領域の 境界 における 内向きの法線微分と見ることができる。高次元では、この微分は自然に内向きの法線微分に一般化され、一方、ヘヴィサイド階段関数はある領域 D の指示関数に自然に一般化される。D の曲面は S と 表記される。さらに、指示関数の内向きの 法線微分は 、次のように表される 表面デルタ関数 を生じる ことが導かれる。 ここで n は表面 S の外向きの 法線 である。この「表面デルタ関数」に は、次のような性質がある。 [4] δ S ( x ) {\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )} δ S ( x ) = − n x ⋅ ∇ x I ( x ∈ D ) {\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}\ \mathbf {x} \in D\ {\bigr )}\ } − ∫ R n f ( x ) n x ⋅ ∇ x I ( x ∈ D ) d n x = ∮ S f ( β ) d n − 1 β . {\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}\ \mathbf {x} \in D\ {\bigr )}\;\operatorname {d} ^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;\operatorname {d} ^{n-1}\mathbf {\beta } .}
関数 f を 1 に設定すると、 指標の内向きの法線微分が 表面積 S の数値に積分されることになります 。
参照
注記 ^ ab ギリシア 語の文字 χは、ギリシャ語の χαρακτήρ の頭文字であるため現れ、この単語は 特性 (characteristic ) の究極の語源である 。 ^ X 上のすべての指示関数の集合は、 X の 冪 集合 の集合作用素と同一視できる。したがって、両方の集合は、冪集合と元の集合の要素数の関係式に 倣っ て、慣例的な記法の乱用 によって表記される。これは 、すべての関数の集合に対する 記法の 特別な場合であり 、 P ( X ) , {\displaystyle {\mathcal {P}}(X),} 2 X , {\displaystyle 2^{X},} ( Y = { 0 , 1 } ) {\displaystyle \left(Y=\{0,\,1\}\right)} Y X {\displaystyle Y^{X}} f {\displaystyle f} f : X ↦ Y . {\displaystyle f:X\mapsto Y\,.}
参考文献 ^ デイヴィス、マーティン 編 (1965). 『The Undecidable 』 ニューヨーク、NY: レイヴン・プレス・ブックス. pp. 41– 74. ^ abcde Kleene, Stephen (1971) [1952]. メタ数学入門 （訂正版第6刷）. オランダ: Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company. p. 227. ^ セール 『算数講座 』5ページ。 ^ Lange, Rutger-Jan (2012). 「ポテンシャル理論、経路積分、そして指示薬のラプラシアン」. Journal of High Energy Physics . 2012 (11): 29– 30. arXiv : 1302.0864 . Bibcode :2012JHEP...11..032L. doi :10.1007/JHEP11(2012)032. S2CID 56188533.
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![{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\left[\ x\in A\ \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea17fbfcd7761ee8bc32f77efff4d0befcff1a7)
![{\displaystyle \left[\ x\in A\ \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2669dfd6b4c80303cb538456fbc1ff42b94b8bfa)
![{\displaystyle f_{\alpha}\in \mathbb {F} _{q}\left[\ x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61196338fdf7ae89c549f569ad46c0870e5c53a6)
