均一ノルム

Function in mathematical analysis

正方形の周長は、ℝ ²内の点の集合で、上ノルムが一定の正の定数に等しい。例えば、点(2, 0)、(2, 1)、(2, 2)は正方形の周長に沿っており、上ノルムが 2 であるベクトルの集合に属する。

数学的解析においては、均一ノルム（またはsup norm ) は、集合⁠⁠上で定義された実数値または複素数値の有界関数 ⁠⁠ ${\displaystyle f}$、非負の数 ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.}$

この規範は、最高規範、チェビシェフノルム、無限大ノルム、または、最大値が実際に最大値である場合、最大ノルム。「均一ノルム」という名前は、関数列⁠⁠ が ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$均一ノルムから導出される計量下⁠⁠ ${\displaystyle f}$に収束する場合と、⁠⁠ が⁠⁠に均一。^[1] ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$が閉区間、より一般的にはコンパクト集合上の連続関数である場合、それは有界であり、上記の定義における上限はワイエルシュトラスの極値定理によって達成されるので、上限を最大値に置き換えることができる。この場合、ノルムは最大ノルム。特に、⁠⁠ ${\displaystyle x}$有限次元座標空間において以下の形をとるベクトルである、それは以下の形をとる。 ${\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$

これは-ノルムと呼ばれます。 ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

意味

一様ノルムは、一般に、ノルム空間に値を持つ有界関数に対して定義される。を集合とし、 をノルム空間とする。 からまでの関数の集合には、 によって定義される拡張ノルムが存在する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,\|\|_{Y})}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}\in [0,\infty ].}$

これは一般に拡張ノルムです。なぜなら、関数は有界ではない可能性があるからです。この拡張ノルムを有界関数（つまり、拡張ノルムより上が有限である関数）に制限すると、（有限値の）ノルムが得られ、これは上の一様ノルムと呼ばれます。一様ノルムの定義は、集合 上の追加の構造に依存しないことに注意してください。ただし、実際にはは少なくとも位相空間であることが多いです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

一様拡張ノルムによって誘導される位相における への収束は、 上のシーケンスに対して一様収束 であり、上のネットおよびフィルタに対しても一様収束 です。 ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

この計量位相に関して、閉集合と集合の閉包を定義することができる。一様ノルムの閉集合は一様閉包とも呼ばれ、閉包は一様閉包と呼ばれる。関数集合Aの一様閉包とは、一様収束する関数の列で近似できる関数全体の成す空間である。例えば、ストーン・ワイエルシュトラスの定理の言い換えの一つは、A上の連続関数全体の成す集合は、A上の多項式全体の一様閉包であるということである。 ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b].}$

コンパクト空間上の複素連続関数の場合、これはC* 代数に変換されます( Gelfand 表現を参照)。

一様収束の位相を誘導する弱い構造

均一メトリック

集合から距離空間への2つの有界関数間の一様距離は次のように定義される。 ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))}$

均一メトリックは、チェビシェフ計量 は、パフヌティ・チェビシェフた。この場合、 は、定数関数に対して が有限であるとき、まさに有界となります。非有界関数を許容する場合、この式は厳密な意味でのノルムや計量を与えませんが、得られたいわゆる拡張計量、依然として問題の関数空間上の位相を定義することができます。その収束は依然として一様収束。特に、ある列が関数に一様収束する場合、かつその場合のみ、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d(f,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \left\{f_{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }d(f_{n},f)=0.\,}$$

がノルム空間であるならば、それは自然な形で計量空間である。一様拡張ノルムによって誘導される 上の拡張計量は、一様拡張計量と同じである。 ${\displaystyle (Y,\|\|_{Y})}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}\|f(x)-g(x)\|_{Y}}$

の上 ${\displaystyle Y^{X}}$

一様収束の一様性

を集合とし、を一様空間とする。関数列が関数に一様収束するとは、各側近に対して、 と のいずれの場合でも が に属する自然数が存在することを言う。ネットについても同様である。これは 上の位相における収束である。実際、集合 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}_{Y}}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle (f_{n}(x),f(x))}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

${\displaystyle \{(f,g)\colon \forall x\in X\colon (f(x),g(x))\in E\}}$

の周囲を通る は、上の一様性の周囲の基本系を形成し、上の一様収束の一様性と呼ばれる。一様収束は、 の一様位相の下での収束と全く同じである。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

が計量空間である場合、それはデフォルトで計量一様性を備えている。一様拡張計量に関する上の計量一様性は、上の一様収束の一様性となる。 ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

プロパティ

無限大ノルムが与えられた定数であるベクトルの集合は、辺の長さが  ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle 2c.}$

下付き文字「 」の理由は、が連続で、ある に対して である場合、が の定義域であるとき に、 が離散集合である場合に積分は和になるからです( pノルム を参照)。 ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert _{p}<\infty }$ ${\displaystyle p\in (0,\infty )}$ $${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },}$$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

参照

• L無限大 – 有界列の空間
• 均一な連続性 – 機能の変化の均一な抑制
• 均一空間 – 均一な性質の概念を持つ位相空間
• チェビシェフ距離 – 数学的計量

参考文献

1. ルディン、ウォルター（1964年）『数学解析の原理』ニューヨーク：マグロウヒル、pp. 151. ISBN 0-07-054235-X。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

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