拡張実数直線

Real numbers with + and - infinity added

拡張実数（上）と射影拡張実数（下）

数学において、拡張実数系^[a]は、すべての実数よりそれぞれ大きい、および小さい 2 つの要素 [b] を追加することによって実数系から得られる。これにより、無限増加シーケンスと無限減少シリーズが持つ潜在的な無限大を実際の無限大として扱うことができる。たとえば^、自然数の無限シーケンスは無限に増加し、実数系では上限がない(潜在的な無限大)。拡張実数直線では、シーケンスの最小上限は 、極限は である(実際の無限大)。微積分学と数学解析学では、およびを実際の極限として使用することで、可能な計算が大幅に拡張される。^[1]これは実数のデデキント–マクニール完備化である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle (1,2,\ldots )}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

拡張実数系は、、、またはと表記される。^[2]文脈から意味が明らかな場合は、単に と表記されることが多い。^[2] ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

とが区別されない、別個の射影的に拡張された実数直線も存在します。つまり、無限増加数列と無限減少数列の両方に対して、または として表される単一の実無限大があります。 ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \pm \infty }$

モチベーション

制限

拡張数直線は、引数または関数値のいずれかが何らかの意味で「無限に大きくなる」場合の関数 の挙動を記述するのにしばしば役立ちます。例えば、次のように定義される 関数を考えてみましょう。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}}$。

この関数のグラフは で水平漸近線を持ちます。幾何学的には、 軸に沿って右へ進むにつれて、の値は0 に近づきます。この極限挙動は、実数がに近づく関数の極限に似ていますが、 が無限に増加しても に近づく実数は存在しないという点が異なります。 と を に接することで、「無限大における極限」の定義が可能になります。これは通常の極限の定義と非常に似ていますが、 が（ の場合）または（ の場合）に置き換えられます。これにより、次の式を証明し、記述することができます。 ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle {1}/{x^{2}}}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |x-x_{0}|<\varepsilon }$ ${\displaystyle x>N}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x<-N}$ ${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}&=0,\\\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}}}&=0,\\\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}&=+\infty .\end{aligned}}}$

測定と統合

測度論では、無限の測度を持つ集合や、値が無限になる可能性のある積分を許容することが有用な場合が多い。

このような測度は微積分から自然に生じる。例えば、区間の通常の長さに一致する測度を に割り当てる場合、この測度はいかなる有限実数よりも大きくなければならない。また、以下のような不定積分を考える場合も、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}$

値「無限大」が生じる。最後に、次のような関数列の極限を考えることはしばしば有用である。

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}}$。

関数が無限の値を取ることを許可しなければ、単調収束定理や優勢収束定理などの重要な結果は意味をなさなくなります。

秩序と位相的性質

またはとして定義される拡張実数系は、すべての に対してを定義することにより、全順序集合に変換できます。この順序位相では、はコンパクトという望ましい特性を持ちます。のすべての部分集合には、上限と下限があります^{[2] (}空集合の下限は、その上限は)。さらに、この位相では、は単位区間に同相です。したがって、位相は計量化可能 であり、(与えられた同相に対して) この区間上の通常の計量に対応します。ただし、 上の通常の計量の拡張となる計量は存在しません。 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$ ${\displaystyle -\infty \leq a\leq +\infty }$ ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

この位相において、集合がの近傍となるのは、それが何らかの実数 の集合を含む場合であり、かつその場合に限る。 の近傍の概念も同様に定義できる。この拡張実近傍の特徴付けを用いると、またはに近づく極限、およびおよびに「等しい」極限は、実数系における特別な定義を持つのではなく、一般的な位相的極限の定義に帰着する。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \{x:x>a\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

算術演算

の算術演算は以下のように部分的に拡張できる。^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}$$

べき乗については、べき乗 § べき乗の極限を参照してください。ここで、は と の両方を意味し、 はと の両方を意味します。 ${\displaystyle a+\infty }$ ${\displaystyle a+(+\infty )}$ ${\displaystyle a-(-\infty )}$ ${\displaystyle a-\infty }$ ${\displaystyle a-(+\infty )}$ ${\displaystyle a+(-\infty )}$

、、および（不定形と呼ばれる）という表現は通常は定義されない。これらの規則は無限極限の法則をモデルにしている。しかし、確率論や測度論の文脈では、はしばしば0と定義される。^[4] ${\displaystyle \infty -\infty }$ ${\displaystyle 0\times (\pm \infty )}$ ${\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }$ ${\displaystyle 0\times \pm \infty }$

正と負の両方の拡張実数を扱う場合、式は通常未定義のままにされます。なぜなら、 0 に収束するすべての非ゼロの実数列に対して、逆数列は最終的に のすべての近傍に含まれるというのは真ですが、列自体が または のいずれかに収束するわけではないからです。言い換えると、連続関数が特定の値でゼロに達する場合、が に近づく極限でまたはに近づくとは限らないということです。これは、 が 0 に近づくときの恒等関数の極限、および の極限に当てはまります(後者の関数では、の正の値のみを考慮する場合でも、も もの極限ではありません)。 ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle \{\infty ,-\infty \}}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1/f(x)}$ ${\displaystyle x}$

しかし、非負値のみを扱う文脈では、 を定義する方が便利な場合が多い。例えば、べき級数を扱う場合、係数を持つべき級数の収束半径は、数列 の極限上限の逆数として定義されることが多い。したがって、の値をとれる場合は、極限上限が0であるかどうかにかかわらず、この式を使用できる。 ${\displaystyle 1/0=+\infty }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \left(|a_{n}|^{1/n}\right)}$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle +\infty }$

代数的性質

上で定義した算術演算を用いると、は半群ですらなく、の場合のように群、環、体でもありません。しかし、 にはいくつかの便利な性質があります。 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle a+(b+c)}$およびは等しいか、または両方とも未定義です。 ${\displaystyle (a+b)+c}$
• ${\displaystyle a+b}$およびは等しいか、または両方とも未定義です。 ${\displaystyle b+a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}$およびは等しいか、または両方とも未定義です。 ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}$
• ${\displaystyle a\cdot b}$等しいか、両方とも未定義である ${\displaystyle b\cdot a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)}$両方が定義されている場合は等しくなります。 ${\displaystyle (a\cdot b)+(a\cdot c)}$
• かつと が両方定義されている場合、 となります。 ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a+c}$ ${\displaystyle b+c}$ ${\displaystyle a+c\leq b+c}$
• およびかつ と の両方が定義されている場合、 となります。 ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle a\cdot c}$ ${\displaystyle b\cdot c}$ ${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c}$

一般に、すべての算術法則は、発生するすべての式が定義されている限り有効です。 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

その他

いくつかの関数は、極限をとることで連続的 に拡張することができます。例えば、次の関数の極値は次のように定義できます。 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle \exp(-\infty )=0}$、

${\displaystyle \ln(0)=-\infty }$、

${\displaystyle \tanh(\pm \infty )=\pm 1}$、

${\displaystyle \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}}$。

いくつかの特異点は、さらに除去される可能性があります。例えば、関数は（連続性の定義によっては） に対して を 、 および に対して 0 とすることで、まで連続的に拡張できます。一方、が より下から0 に近づくにつれて関数は に近づき、 がより上から 0 に近づくにつれて関数は に近づくため、関数は連続的に拡張できません。つまり、関数は、その独立変数が正の値側と負の値側の両方から同じ定義域要素に近づくのと同じ値に収束しません。 ${\displaystyle 1/x^{2}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=+\infty }$ ${\displaystyle x=-\infty }$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x}$

同様だが異なる実数系である射影的に拡張された実数直線 は、とを区別しない（すなわち、無限大は符号なしである）。^[4]その結果、関数は射影的に拡張された実数系上で極限を持つ可能性があるが、拡張された実数系では関数の絶対値のみが極限を持つ（例えば、における関数 の場合）。一方、射影的に拡張された実数直線上では、と はそれぞれ右からの極限と左からの極限にのみ対応し、完全な極限は2つが等しい場合にのみ存在する。したがって、関数とは射影的に拡張された実数直線上で連続にすることはできない。 ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle \arctan(x)}$ ${\displaystyle x=\infty }$

参照

• ゼロ除算
• 拡張複素平面
• 拡張自然数
• 不定積分
• 無限
• ログセミリング
• シリーズ（数学）
• 射影的に拡張された実数直線
• 拡張実数のコンピュータ表現については、浮動小数点演算§無限大とIEEE浮動小数点を参照してください。

注記

1. アフィン直線を形成しないにもかかわらず、一部の著者はアフィン拡張実数系とアフィン拡張実数直線を使用します。
2. それぞれ「正の無限大」と「負の無限大」と読みます。

参考文献

1. Wilkins, David (2007). 「セクション6：拡張実数系」（PDF） . maths.tcd.ie . 2019年12月3日閲覧。
2. Oden, J. Tinsley; Demkowicz, Leszek (2018年1月16日). 応用関数解析（第3版）. Chapman and Hall/CRC. p. 74. ISBN 9781498761147. 2019年12月8日閲覧。
3. Weisstein, Eric W. 「アフィン拡張実数」. mathworld.wolfram.com . 2019年12月3日閲覧。
4. Weisstein, Eric W. 「Projectively Extended Real Numbers」. mathworld.wolfram.com . 2019年12月3日閲覧。

さらに読む

• アリプランティス、チャラランボス D.; バーキンショー、オーウェン (1998)、『実解析の原理』（第3版）、サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス社、p. 29、ISBN 0-12-050257-7、MR  1669668
• David W. Cantrell. 「アフィン拡張実数」. MathWorld .

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