Point to which functions converge in analysis
x {\displaystyle x} sin x x {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}} 1 0.841471... 0.1 0.998334... 0.01 0.999983...
数学 において 、 関数の極限 とは、関数の
定義 域内 にあるかどうかに関わらず、 特定の 入力付近での 関数 の挙動に関する 微積分学 および 解析学 の基本的な概念です。
19世紀初頭に初めて考案された正式な定義を以下に示します。非公式には、関数 fはすべての入力 x に対して 出力 f ( x ) を割り当てます 。関数 f が 入力 pにおいて極限 L を持つとするとは、 x が p に近づく につれて f ( x )が L に近づくことを意味します。より具体的には、 f への入力を p に 十分 近づければ 、出力値を L に 任意に 近づけることができます。一方、 p に非常に近い入力から一定の距離だけ離れた出力が得られる場合、極限は 存在しない といえます。
極限の概念は、 現代微積分学 において多くの応用があります。特に、 連続性 の多くの定義は極限の概念を用いています。大まかに言えば、関数が連続であるとは、そのすべての極限が関数の値と一致する場合です。極限の概念は、 微分の定義にも現れます。一変数微積分学において、これは 関数のグラフ における 割線 の 傾き の極限値です 。
歴史 関数の極限という現代的な概念は、17世紀と18世紀の 微積分学の発展 において暗黙のうちに存在していたものの 、1817年に連続関数を定義するためのイプシロン・デルタ法（下記の(ε, δ)-極限定義を参照）の基礎を導入した ベルナルド・ボルツァーノに遡る。しかし、彼の研究は生前は知られていなかった。 [1] ブルース・プルシアウは、 アイザック・ニュートンが1687年に著した 『プリンキピア』 において 、イプシロンの議論を初めて提示したことを含め、一般に認められているよりも洗練された極限の理解を示していると主張している。 [2] [3]
1821年に出版された著書 『解析学』 の中で、 オーギュスタン＝ルイ・コーシーは 可変量、 微小量 、極限について論じ、 x の微小変化は必然的に y の微小変化をもたらすとして連続性を定義した 。一方グラビナーは、証明において厳密なイプシロンデルタ定義を用いたと主張している。 [4] 1861年に カール・ヴァイエルシュトラスは 、 今日一般的に書かれている形で極限のイプシロンデルタ定義を初めて導入した。 [5] 彼はまた、表記法 と [6]を導入した。 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} lim {\textstyle \lim } lim x → x 0 . {\textstyle \textstyle \lim \limits _{x\to x_{0}}.\displaystyle }
極限記号の下に矢印を置くという現代の記法は、 1908年に GHハーディが 著書 『純粋数学講座』 で導入した。 [7]
モチベーション グラフ y = f ( x ) で表される地形の上を歩いている人を想像してみてください。水平位置は x で表され、これは地図やGPS（ 全地球測位システム） で示される位置と似ています。高度は座標 yで表されます。人が x = p の位置に向かって歩いているとします 。この点に近づくにつれて、高度が特定の値 Lに近づいていくことに気づくでしょう。 x = p に対応する高度について尋ねられた場合、人は y = L と答えるでしょう 。
では、高度がL に近づいているとはどういう意味でしょうか？それは、高度が L にどんどん近づいていることを意味します 。ただし、精度にわずかな誤差が生じる可能性はあります。例えば、旅行者に対して特定の精度目標を設定したとします。それは、 L から10メートル以内に入らなければならないというものです。旅行者は、確かに Lから垂直方向に10メートル以内に入ることができると報告し、 p から水平方向に50メートル以内に入っている限り 、高度は 常に L から10メートル以内であると主張します 。
次に、精度の目標が変更されます。垂直方向に 1 メートル以内に到達できますか? はい、 p から水平方向に 5 メートル以内を移動できると仮定すると 、高度は常に目標高度 L から 1 メートル以内にとどまります。前述の概念をまとめると、水平位置 xが p に近づくにつれて、 移動者の高度 f ( x )は L に近づくと言えます。つまり、目標精度の目標がどんなに小さくても、 p の近傍が存在し、その中では、水平位置 p 自体を除いて、すべての要素 x' について、 目標精度の目標が高度 f' ( x ) によって満たされると言えます。
最初の非公式な声明は次のように説明できます。
x が p に近づくとき の 関数 f ( x ) の極限は、次の特性を持つ 数 Lです。L からの 任意の目標距離が与えられた場合、 f ( x ) の値が 目標距離内に留まる p からの距離が存在します。
実際、この明示的な記述は、 位相空間 内の値を持つ関数の極限の正式な定義に非常に近いものです。
より具体的に言うと、 xを p に十分近づけるが等しくしない ことで、 f ( x )を L に望むだけ近づけることができる ということです 。 [8] lim x → p f ( x ) = L , {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}
以下の定義は ( ε , δ ) 定義として知られ、さまざまなコンテキストにおける関数の極限の定義として一般的に受け入れられています。
単一変数の関数
（ ε 、 δ ） -限界の定義 図示した f 、 a 、 bについて、 x を 十分に小さい区間 ( a – δ, a + δ ) に 制限 する こと で、 f ( x ) の値が任意の小さい区間 ( b – ε, b + ε ) 内 に 収まる こと を 保証 できます 。 したがって 、 x → a の とき f ( x ) → b となります。 実数直線 上で定義された関数で 、 2つの実数 p と Lがあるとする。「 x が p に近づく につれて、 f の 極限が 存在し、それは L に等しい」と述べて、 [9] と書く
か、あるいは「 f ( x ) は x が p に近づく につれて L に近づく」と述べて、 次の性質が成り立つ と書く
。すべての実数 ε > 0に対して、任意の実数 δ > 0 が存在し、すべての実数 x に対して 、 0 < | x − p | < δ であるとき、 | f ( x ) − L | < ε が成り立つ 。 [9] 記号的に言えば、 f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } lim x → p f ( x ) = L , {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,} f ( x ) → L as x → p , {\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to p,} ( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ R ) ( 0 < | x − p | < δ ⟹ | f ( x ) − L | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in \mathbb {R} )\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}
たとえば、 すべての実数 ε > 0に対して δ = ε /4 とすることができるので、 すべての実数 x に対して、 0 < | x − 2 | < δ であれば、 | 4 x + 1 − 9 | < ε となると言えます。 lim x → 2 ( 4 x + 1 ) = 9 {\displaystyle \lim _{x\to 2}(4x+1)=9}
実数直線の 部分集合 上に定義された関数には、より一般的な定義が適用されます。S を R . {\displaystyle \mathbb {R} .} の部分集合とします。を 実数値関数 とします 。p を 、 p を含む開区間 ( a , b ) が存在する点とします。この場合、 x が p に 近づく につれて f の極限が L である とは、次の式が成り立つことを意味します。 f : S → R {\displaystyle f:S\to \mathbb {R} } ( a , p ) ∪ ( p , b ) ⊂ S . {\displaystyle (a,p)\cup (p,b)\subset S.}
あらゆる実数 ε > 0 に対して、すべての x ∈ ( a , b )に対して 0 < | x − p | < δ であるとき、 | f ( x ) − L | < ε が成り立つような実数 δ > 0 が存在する 。
象徴的に言えば、 ( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ ( a , b ) ) ( 0 < | x − p | < δ ⟹ | f ( x ) − L | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}
例えば、 すべての実数 ε > 0に対して δ = ε とすることができるので、すべての実数 x ≥ −3 に対して 、 0 < | x − 1 | < δ であれば、 | f ( x ) − 2 | < ε が成り立つと言える。この例では、 S = [−3, ∞) には点 1 の周りの開区間（例えば区間 (0, 2)）が含まれる。 lim x → 1 x + 3 = 2 {\displaystyle \lim _{x\to 1}{\sqrt {x+3}}=2}
ここで、極限の値は pにおける f の定義や、 f ( p ) の値 （定義されている場合）に依存しないことに注意してください。例えば、 ε > 0 の任意の値に対して δ = ε /2 とすることができる ので、すべての実数 x ≠ 1 に対して、 0 < | x − 1 | < δ であれば、 | f ( x ) − 3 | < ε となります。ここで f (1) は未定義であることに注意してください。 f : [ 0 , 1 ) ∪ ( 1 , 2 ] → R , f ( x ) = 2 x 2 − x − 1 x − 1 . {\displaystyle f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.} lim x → 1 f ( x ) = 3 {\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=3}
実際、 int S が S の 内部点 、 iso S c がS の補集合の 孤立点 である よう な極限が存在する可能性があります 。前述の例で 特にわかるように、この極限の定義では 1 では極限は存在しますが、0 や 2 では極限は存在しません。 { p ∈ R | ∃ ( a , b ) ⊂ R : p ∈ ( a , b ) and ( a , p ) ∪ ( p , b ) ⊂ S } , {\displaystyle \{p\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} :\,p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},} int S ∪ iso S c , {\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},} S = [ 0 , 1 ) ∪ ( 1 , 2 ] , {\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2],} int S = ( 0 , 1 ) ∪ ( 1 , 2 ) , {\displaystyle \operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),} iso S c = { 1 } . {\displaystyle \operatorname {iso} S^{c}=\{1\}.}
ε と δ は それぞれ 「誤差」と「距離」と理解できる。実際、コーシーは 自身の研究の一部において ε を「誤差」の略語として用いている [4] が、連続性の定義においては ε や δ ではなく無限小を用いている（ Cours d'Analyse 参照 ）。この用語を用いると、極限点における値の測定における誤差 ( ε ) は、極限点までの距離 ( δ )を小さくすることで、望むだけ小さくすることができる。後述するように、この定義はより一般的な文脈における関数にも適用できる。δ と ε が 距離を表す という考え方は、 これらの一般化を示唆するのに役立つ。 α {\displaystyle \alpha }
存在と一方的な限界 としての極限は としての極限 とは異なります。したがって、 x → x 0 としての極限は 存在しません。 x → x 0 + {\displaystyle x\to x_{0}^{+}} x → x 0 − . {\displaystyle x\to x_{0}^{-}.} あるいは、 xが pの 上（右）または下（左）から近づく場合 、その極限は次のように表される。
lim x → p + f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L}
または
lim x → p − f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=L}
最初の 3 つの関数には極限が存在しない点がありますが、関数は では定義されていません が、その極限は存在します。 f ( x ) = sin ( x ) x {\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}} x = 0 {\displaystyle x=0} それぞれ。これらの極限が p において存在し、かつそれらが等しい場合、これはp における f ( x ) の極限 と 呼ばれる 。 p において片側極限が存在するが、それらが等しくない場合、 p における極限は存在しない（すなわち、 p における極限は 存在しない）。どちらかの片側極限が pにおいて存在しない場合、 p における極限 も存在しない。
正式な定義は以下のとおりです。x が 上から p に近づくとき の f の極限は、次の条件を満たす場合 L となります。
すべてのε > 0 に対して δ > 0 が存在し、 0 < x − p < δ のときはいつでも | f ( x ) − L | < ε が成り立ちます 。 ( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ ( a , b ) ) ( 0 < x − p < δ ⟹ | f ( x ) − L | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<x-p<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}
x が 下から p に近づくとき の f の極限は、 次の場合 L です。
すべてのε > 0 に対して δ > 0 が存在し、 0 < p − x < δ のときはいつでも | f ( x ) − L | < ε が成り立ちます 。 ( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ ( a , b ) ) ( 0 < p − x < δ ⟹ | f ( x ) − L | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<p-x<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}
限界が存在しない場合は、 p における f の 振動は ゼロ以外になります。
極限点と部分集合を用いたより一般的な定義 制限は、ドメインのサブセットからアプローチすることによっても定義できます。
一般に [11] は、ある関数上で定義された実数値関数とする。p は 、 ある 関数の 極限 点 、すなわち、 pは p とは異なる T の元列の極限とする 。このとき、 T 内の値から x が p に近づくとき の f の極限は L であり 、 これは以下の式が成り立つときと記される。 f : S → R {\displaystyle f:S\to \mathbb {R} } S ⊆ R . {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .} T ⊂ S {\displaystyle T\subset S} lim x → p x ∈ T f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {x\in T}}f(x)=L}
すべてのε > 0 に対して、 δ > 0 が存在し、すべての x ∈ T に対して、 0 < | x − p | < δ であるとき、 | f ( x ) − L | < ε が成り立ちます 。
( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ T ) ( 0 < | x − p | < δ ⟹ | f ( x ) − L | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}
T は、 f の定義域である S の任意の部分集合にできることに 注意してください 。また、極限は T の選択に依存する可能性があります。この一般化には、特殊なケースとして、区間の極限、実数値関数の左手極限（たとえば、 T を 形式 (–∞, a ) の開区間とみなす）、および右手極限（たとえば、 T を 形式 ( a , ∞ ) の開区間とみなす）が含まれます。また、片側極限の概念を（半）閉区間の包含端点に拡張するため、 平方根関数は、 x が 上から 0 に近づく につれて極限 0 を持つことができます。これは、すべての ε > 0 について、 δ = ε 2として、すべての x ≥ 0 について 、 0 < | x − 0 | < δ であれば | f ( x ) − 0 | < ε となるためである 。 f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} lim x → 0 x ∈ [ 0 , ∞ ) x = 0 {\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {x\in [0,\infty )}}{\sqrt {x}}=0}
この定義により、同じ極限点を持つ 適切なサブセット Tを選択した場合、ドメイン S の極限点で限界を定義することができます。
特に、前述の両側定義は、 S の極限点のサブセットである上で機能します 。 int S ∪ iso S c , {\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}
たとえば、 とします。 前の両側定義は では機能しますが、 S の極限点である 0 または 2 では機能しません 。 S = [ 0 , 1 ) ∪ ( 1 , 2 ] . {\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2].} 1 ∈ iso S c = { 1 } , {\displaystyle 1\in \operatorname {iso} S^{c}=\{1\},}
削除された制限と削除されていない制限 ここで与えられた極限の定義は、 pにおける f の定義方法（あるいは定義されるかどうか）には依存しない 。Bartle [12] はこれを 削除極限と呼ぶ。これは p における f の値を除外するからである 。対応する 非削除極限は、 p が f の定義域内にある 場合、 p における f の値に依存する 。 実数値関数を とする。 x が p に近づく につれて、 f の非削除極限は 、次の場合 L となる。 f : S → R {\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }
すべてのε > 0 に対して、 δ > 0 が存在し、すべての x ∈ S に対して 、 | x − p | < δ であれば| f ( x ) − L | < ε が成り立ちます 。
( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ S ) ( | x − p | < δ ⟹ | f ( x ) − L | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}
定義は同じですが、近傍 | x − p | < δ が点 p を含む点と、 近傍 0 < | x − p | < δ が削除された点が異なります。これにより、非削除極限の定義は一般性が低くなります。非削除極限を用いる利点の一つは、関数に制約（非削除極限の存在以外）を与えることなく、合成の極限に関する定理を述べることができることです。 [13]
バートル [12] は、「限界」という言葉で一部の著者は削除されていない限界を意味しているが、削除された限界が最も一般的であると指摘している。 [14]
例
片側限界の非存在 本質的な不連続性 における制限のない機能 この関数は x 0 = 1 では極限がありません (左側の極限は正弦関数の振動特性により存在せず、右側の極限は逆関数の漸近挙動により存在しません。図を参照) が、その他の x 座標では極限があります。 f ( x ) = { sin 5 x − 1 for x < 1 0 for x = 1 1 10 x − 10 for x > 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\[2pt]{\frac {1}{10x-10}}&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}
この関数 (別名、 ディリクレ関数 ) には、どの x 座標でも制限はありません。 f ( x ) = { 1 x rational 0 x irrational {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}
片側極限の非等式 この関数は
、 x 座標が
0以外の値を持つ場合、常に極限を持ちます（ x が負の値の場合は極限は1 、 x が正の値の場合は極限は2です）。 x = 0 における極限は 存在しません（左側の極限は1ですが、右側の極限は2です）。 f ( x ) = { 1 for x < 0 2 for x ≥ 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ for }}x<0\\2&{\text{ for }}x\geq 0\end{cases}}}
1点のみに制限 関数 と
関数はどちらも x = 0 に限界があり 、0 になります。 f ( x ) = { x x rational 0 x irrational {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}} f ( x ) = { | x | x rational 0 x irrational {\displaystyle f(x)={\begin{cases}|x|&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}
可算な点における極限 この関数は、 n が任意の整数である 形式の任意の x 座標
で制限を持ちます 。 f ( x ) = { sin x x irrational 1 x rational {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin x&x{\text{ irrational }}\\1&x{\text{ rational }}\end{cases}}} π 2 + 2 n π , {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+2n\pi ,}
無限を含む限界
無限の限界 この関数の無限大の極限が存在する が定義される関数であるとする。x が 無限 大に近づくとき の f の極限は L であり、 f : S → R {\displaystyle f:S\to \mathbb {R} } S ⊆ R . {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}
lim x → ∞ f ( x ) = L , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}
意味:
すべてのε > 0 に対して、 c > 0 が存在し、 + x > c の ときはいつでも、 | f ( x ) − L | < ε が成り立ちます 。
( ∀ ε > 0 ) ( ∃ c > 0 ) ( ∀ x ∈ S ) ( x > c ⟹ | f ( x ) − L | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x>c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}
同様に、 xが 負の無限大に近づく ときの f の極限は L であり、
lim x → − ∞ f ( x ) = L , {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L,}
意味:
すべてのε > 0 に対して、 c > 0 が存在し、 x < − c のときはいつでも、 | f ( x ) − L | < ε が成り立ちます 。
( ∀ ε > 0 ) ( ∃ c > 0 ) ( ∀ x ∈ S ) ( x < − c ⟹ | f ( x ) − L | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x<-c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}
たとえば、
すべての ε > 0 に対して c = 3/ ε とすることができるので 、 すべての実数 xに対して x > c であれば | f ( x ) − 4 | < ε となります。 lim x → ∞ ( − 3 sin x x + 4 ) = 4 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(-{\frac {3\sin x}{x}}+4\right)=4}
もう1つの例として
、すべての ε > 0 に対して c = max{1, −ln( ε )} をとることができるので 、 すべての実数 xに対して x < − c であれば | f ( x ) − 0 | < ε となります。 lim x → − ∞ e x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0}
無限の限界 値が無限に増加する関数の場合、関数は発散し、通常の極限は存在しません。しかし、この場合には、無限大の値を持つ極限を導入することができます。
が定義される関数であるとする 。x が p に 近づく につれて f の極限は 無限大となり 、 f : S → R {\displaystyle f:S\to \mathbb {R} } S ⊆ R . {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}
lim x → p f ( x ) = ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=\infty ,}
意味:
すべてのN > 0 に対して、 0 < | x − p | < δのときはいつでも f ( x ) > N となる ような δ > 0 が存在する 。
( ∀ N > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ S ) ( 0 < | x − p | < δ ⟹ f ( x ) > N ) . {\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)>N).}
xが p に近づく につれて f の極限 は 負の無限大となり 、
lim x → p f ( x ) = − ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=-\infty ,}
意味:
すべてのN > 0 に対して、 0 < | x − p | < δのときはいつでも f ( x ) < − N となる ような δ > 0 が存在する 。
( ∀ N > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ S ) ( 0 < | x − p | < δ ⟹ f ( x ) < − N ) . {\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)<-N).}
たとえば、
すべての N > 0 に対して、 すべての実数 x > 0 に対して、 0 < x − 1 < δ であれば f ( x ) > N となるようにすることができます 。 lim x → 1 1 ( x − 1 ) 2 = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {1}{(x-1)^{2}}}=\infty } δ = 1 N δ = 1 N {\textstyle \delta ={\tfrac {1}{{\sqrt {N}}\delta }}={\tfrac {1}{\sqrt {N}}}}
これらのアイデアを組み合わせて、次のようなさまざまな組み合わせの定義を作成できます。
lim x → ∞ f ( x ) = ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,} または lim x → p + f ( x ) = − ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .}
たとえば、
すべての N > 0 に対して δ = e − N をとることができるので、 すべての実数 x > 0 に対して、 0 < x − 0 < δ であれば f ( x ) < − N と なります。 lim x → 0 + ln x = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }
無限を含む極限は漸近線 の概念と関連しています 。
これらの極限の概念は、無限遠における極限に計量空間的解釈を与えようとするものである。実際、これらの概念は、位相空間における極限の定義と整合している。
−∞の近傍は、 ある に対して 区間 [−∞, c )を含むと定義される 。 c ∈ R , {\displaystyle c\in \mathbb {R} ,} ∞の近傍は区間 ( c , ∞] を含むと定義され、ここで c ∈ R , {\displaystyle c\in \mathbb {R} ,} および a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } の近傍 は通常の方法で定義される計量空間 R . {\displaystyle \mathbb {R} .} この場合、 R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} は位相空間であり、 の形をとる 任意の関数は 極限の位相的定義に従います。この位相的定義を用いると、有限点における無限極限（これは計量的な意味では上で定義されていません）を容易に定義できることに留意してください。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} X , Y ⊆ R ¯ {\displaystyle X,Y\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}
代替表記 多くの著者 [15]は、 射影的に拡張された実数直線を、 拡張された実数直線 だけでなく無限値を含める方法として使用できること を認めています 。 この表記法では、拡張された実数直線は R ∪ { − ∞ , + ∞ } {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}} と表され、射影的に拡張された実数直線は R ∪ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}} です。ここで、∞ の近傍は、形式のセットです。 利点は、すべてのケースをカバーするのに、極限の 3 つの定義 (左、右、中央) のみが必要であることです。 上で示したように、完全に厳密な説明のためには、無限大の組み合わせごとに 15 の個別のケースを考慮する必要があります (5 つの方向: −∞、左、中央、右、+∞、3 つの境界: −∞、有限、または +∞)。 注目すべき落とし穴もあります。 たとえば、拡張された実数直線を使用する場合、 には 中心極限がありません (これは正常です)。 { x : | x | > c } . {\displaystyle \{x:|x|>c\}.} x − 1 {\displaystyle x^{-1}}
lim x → 0 + 1 x = + ∞ , lim x → 0 − 1 x = − ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}
対照的に、射影実数直線を扱う場合、無限大（0 と同様）は符号なしなので、 そのコンテキストでは中心極限が存在 します。
lim x → 0 + 1 x = lim x → 0 − 1 x = lim x → 0 1 x = ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0}{1 \over x}=\infty .}
実際、矛盾する形式体系が数多く用いられています。 例えば、 数値微分・積分の特定の応用では、 符号付きゼロ を用いるのが便利です。その理由は単純で 、 の逆、つまり が真であると見なすのに都合が良いことに関係しています。このようなゼロは、 無限小 の近似値と見なすことができます 。 lim x → 0 − x − 1 = − ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,} lim x → − ∞ x − 1 = − 0 {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0}
有理関数の無限遠における極限 y = 4 付近の水平漸近線 有理関数 （ p と q は多項式） の無限遠における限界を評価するための基本的な規則は 3 つあります。 f ( x ) = p ( x ) q ( x ) {\displaystyle f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}}
p の 次数が q の次数よりも大きい 場合 、極限は主係数の符号に応じて正または負の無限大になります。 p と q の次数 が等しい場合、極限は pの最高係数を q の最高係数で割った値になります 。 p の次数が q の次数より小さい場合 、極限は 0 になります。 無限遠点の極限が存在する場合、それは y = L における水平漸近線を表します。多項式には水平漸近線はありませんが、有理関数にはそのような漸近線が現れることがあります。
複数の変数を持つ関数
通常の制限 | x − p |が 距離 を表す ことに注意すれば 、極限の定義は多変数関数にも拡張できる。 で定義された関数の場合 、極限は次のように定義される。 ( x , y )が ( p , q ) に近づく ときの f の極限は L であり 、これは次のように表される
。 f : S × T → R {\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} } S × T ⊆ R 2 , {\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}
lim ( x , y ) → ( p , q ) f ( x , y ) = L {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=L}
次の条件が満たされる場合:
ε > 0 に対して、 δ > 0 が存在し、 S の任意の x と T の任意 の y に対して、 | f ( x , y ) − L | < ε が成り立つときはいつでも 、 [16] 0 < ( x − p ) 2 + ( y − q ) 2 < δ , {\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,} または正式には： ( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ S ) ( ∀ y ∈ T ) ( 0 < ( x − p ) 2 + ( y − q ) 2 < δ ⟹ | f ( x , y ) − L | < ε ) ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies |f(x,y)-L|<\varepsilon )).}
これは ( x , y ) と ( p , q ) 間の ユークリッド距離 です 。（これは実際には任意の ノルム | | ( x , y ) − ( p , q ) | | に置き換えることができ、任意の数の変数に拡張できます。） ( x − p ) 2 + ( y − q ) 2 {\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}
たとえば、
すべての ε > 0 に対して、 すべての実数 x ≠ 0 および実数 y ≠ 0 に対して、 | f ( x , y ) − 0 | < ε となるようにすることができるため、 次のように言えます 。 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 4 x 2 + y 2 = 0 {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}=0} δ = ε {\textstyle \delta ={\sqrt {\varepsilon }}} 0 < ( x − 0 ) 2 + ( y − 0 ) 2 < δ , {\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}
単一変数の場合と同様に、 この極限の定義では、 ( p 、 q ) における fの値は重要ではありません。
このような多変数極限が存在するためには、この定義によれば、 f の値は ( p , q ) に近づくあらゆる可能な経路に沿って L に近づく必要がある 。 上記の例では、関数は この 条件を満たしている。これは、
次式を与える 極座標 を考えるとわかる。 ここで、 θ = θ ( r )は r の関数であり、 f が ( p , q ) に近づく 経路の形状を制御する 。cos θ は [−1, 1] の間に制限されるため、 サンドイッチ定理 により、この極限は 0 に近づく。 f ( x , y ) = x 4 x 2 + y 2 {\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}} ( x , y ) = ( r cos θ , r sin θ ) → ( 0 , 0 ) , {\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\to (0,0),} lim r → 0 f ( r cos θ , r sin θ ) = lim r → 0 r 4 cos 4 θ r 2 = lim r → 0 r 2 cos 4 θ . {\displaystyle \lim _{r\to 0}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\lim _{r\to 0}{\frac {r^{4}\cos ^{4}\theta }{r^{2}}}=\lim _{r\to 0}r^{2}\cos ^{4}\theta .}
対照的に、この関数は (0, 0) に極限を持たない 。経路 ( x , y ) = ( t , 0) → (0, 0) をとると、次の式が得られる。 経路 ( x , y ) = ( t , t ) → (0, 0) をとると、次の式が得られる。 f ( x , y ) = x y x 2 + y 2 {\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}} lim t → 0 f ( t , 0 ) = lim t → 0 0 t 2 = 0 , {\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,0)=\lim _{t\to 0}{\frac {0}{t^{2}}}=0,} lim t → 0 f ( t , t ) = lim t → 0 t 2 t 2 + t 2 = 1 2 . {\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}.}
2つの値が一致しないため、 ( x , y )が (0, 0) に近づくにつれて、 fは 単一の値にはなりません 。
複数の制限 あまり一般的ではありませんが、多変数関数には 多重極限 と呼ばれる別の種類の極限があります。2変数関数の場合、これは 二重極限 です。 [18] を で定義すると、 x が pに 近づき 、 yが q に近づく につれて f の二重極限は L となり 、次 のように書き表されます。 f : S × T → R {\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} } S × T ⊆ R 2 , {\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}
lim x → p y → q f ( x , y ) = L {\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {y\to q}}f(x,y)=L}
次の条件が満たされる場合:
ε > 0 に対して δ > 0 が存在し、 S のすべての x と T のすべての y に対して 、 0 < | x − p | < δ かつ 0 < | y − q | < δ のときはいつでも、 | f ( x , y ) − L | < ε が成り立つ 。 [18]
( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ S ) ( ∀ y ∈ T ) ( ( 0 < | x − p | < δ ) ∧ ( 0 < | y − q | < δ ) ⟹ | f ( x , y ) − L | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((0<|x-p|<\delta )\land (0<|y-q|<\delta )\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}
このような二重極限が存在するためには、この定義によれば、 x = p と y = q の2つの直線を除く、 ( p , q ) に近づくあらゆる可能な経路において f の値が L に 近づく 必要 が あり ます 。 結果 として 、 多重 極限 は 通常 の 極限 よりも弱い概念です。つまり、通常の極限が存在し L に等しい場合、多重極限も存在し L に等しくなります。逆は成り立ちません。多重極限の存在は、通常の極限の存在を意味しません。
が 存在しない 例を考えてみましょう 。 f ( x , y ) = { 1 for x y ≠ 0 0 for x y = 0 {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}} lim x → 0 y → 0 f ( x , y ) = 1 {\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {y\to 0}}f(x,y)=1} lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) f ( x , y ) {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}
f の定義域 が に制限されている場合 、2つの極限の定義は一致する。 [18] ( S ∖ { p } ) × ( T ∖ { q } ) , {\displaystyle (S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),}
無限遠における多重極限 多重極限の概念は、一変数関数の場合と同様に、無限遠における極限まで拡張できる。f の x と y が 無限 遠に近づくとき の二重極限は L であり、次の
ように 表される。 f : S × T → R , {\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ,} lim x → ∞ y → ∞ f ( x , y ) = L {\displaystyle \lim _{{x\to \infty } \atop {y\to \infty }}f(x,y)=L}
次の条件が満たされる場合:
すべてのε > 0 に対して、 c > 0 が存在し、 S のすべての x と T の すべての y に対して、 x > c および y > c のときはいつでも、 | f ( x , y ) − L | < ε が成り立ちます 。
( ∀ ε > 0 ) ( ∃ c > 0 ) ( ∀ x ∈ S ) ( ∀ y ∈ T ) ( ( x > c ) ∧ ( y > c ) ⟹ | f ( x , y ) − L | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x>c)\land (y>c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}
x と yが 負の無限大に近づく ときの f の二重極限は L で、次のように 表される。 lim x → − ∞ y → − ∞ f ( x , y ) = L {\displaystyle \lim _{{x\to -\infty } \atop {y\to -\infty }}f(x,y)=L}
次の条件が満たされる場合:
すべてのε > 0 に対して、 c > 0 が存在し、 x が S に 、 y が T に含まれ 、 x < − c かつ y < − c のときはいつでも、 | f ( x , y ) − L | < ε が成り立ちます 。
( ∀ ε > 0 ) ( ∃ c > 0 ) ( ∀ x ∈ S ) ( ∀ y ∈ T ) ( ( x < − c ) ∧ ( y < − c ) ⟹ | f ( x , y ) − L | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x<-c)\land (y<-c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}
とします。極限を ( x , y ) → ( p , q ) とするのではなく 、1変数の極限、つまり x → p とすることで、 y の1変数関数、すなわち を得ることを考えてみましょう 。実際には、この極限処理は2つの異なる方法で行うことができます。1つ目は 点ごとの極限 と呼ばれます。 x が p に近づく につれて f の点ごとの極限は g であり 、 またはと
表記されます。 f : S × T → R . {\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .} g : T → R . {\displaystyle g:T\to \mathbb {R} .} lim x → p f ( x , y ) = g ( y ) , {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y),} lim x → p f ( x , y ) = g ( y ) pointwise . {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{pointwise}}.}
あるいは、 xが p に近づく につれて 、 fが g に近づくと も言える 。
これは、 f ( x , y ) → g ( y ) as x → p , {\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,} f ( x , y ) → g ( y ) pointwise as x → p . {\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{pointwise}}\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}
この制限は、次の条件が満たされる場合に存在します。
T における任意の ε > 0 と任意の固定された y に対して、 δ ( ε , y ) > 0 が存在し、 S における任意の x に対して 、 0 < | x − p | < δ の ときはいつでも、 | f ( x , y ) − g ( y ) | < ε が成り立ちます 。
( ∀ ε > 0 ) ( ∀ y ∈ T ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ S ) ( 0 < | x − p | < δ ⟹ | f ( x , y ) − g ( y ) | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\forall y\in T)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}
ここで、 δ = δ ( ε , y )は ε と y の両方の関数です 。各 δは y の 特定の点 に対して選択されます 。したがって、極限は y の点単位であると言えます。例えば、 は定数零関数の点単位の極限を持ちます
。これは、任意の固定された y に対して、極限が明らかに 0 である ためです。この議論は y が固定されていない場合には成り立ちません。つまり、 yが π /2 に非常に近い場合 、分数の値は 0 からずれる可能性があります。 f ( x , y ) = x cos y {\displaystyle f(x,y)={\frac {x}{\cos y}}} lim x → 0 f ( x , y ) = 0 ( y ) pointwise {\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{pointwise}}}
このことから、 極限の別の定義、すなわち一様極限 が導かれる 。T 上の fの xが p に近づくとき の 一様極限は g であり 、 または u n i f lim x → p y ∈ T f ( x , y ) = g ( y ) , {\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),} lim x → p f ( x , y ) = g ( y ) uniformly on T . {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T.}
あるいは、 xが p に近づく につれて 、 T上で fが 一様に g に近づくと も言える 。これ
は、 f ( x , y ) ⇉ g ( y ) on T as x → p , {\displaystyle f(x,y)\rightrightarrows g(y)\;{\text{on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,} f ( x , y ) → g ( y ) uniformly on T as x → p . {\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}
この制限は、次の条件が満たされる場合に存在します。
ε > 0 に対して δ ( ε ) > 0 が存在し、 S の すべての x と T のすべての y に対して、 0 < | x − p | < δ の ときはいつでも、 | f ( x , y ) − g ( y ) | < ε が成り立ちます 。
( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ S ) ( ∀ y ∈ T ) ( 0 < | x − p | < δ ⟹ | f ( x , y ) − g ( y ) | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}
ここで、 δ = δ ( ε )は ε のみの関数で あり、 y の 関数ではありません。言い換えれば、 δは T 内のすべての y に 一様に適用されます 。したがって、この極限は y において一様であると言えます 。例えば、 は定数ゼロ関数の一様極限を持ちます
。これは、すべての実数 y に対して 、 cos y は [−1, 1] の範囲に収まるためです。したがって、 y の振る舞いに関わらず 、 サンドイッチ定理を 用いて極限が 0 であることを示すことができます。 f ( x , y ) = x cos y {\displaystyle f(x,y)=x\cos y} lim x → 0 f ( x , y ) = 0 ( y ) uniformly on R {\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{ uniformly on}}\;\mathbb {R} }
反復限界 一つの変数、例えばx → p の極限をとって y の一変数関数 、すなわちを得て 、次にもう一つの変数、つまり y → q の極限をとって数 L を得ることを考えてみましょう 。記号的に言えば、 f : S × T → R . {\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .} g : T → R , {\displaystyle g:T\to \mathbb {R} ,} lim y → q lim x → p f ( x , y ) = lim y → q g ( y ) = L . {\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)=\lim _{y\to q}g(y)=L.}
この極限は 多変数関数の 反復極限として知られている。 極限をとる順序は結果に影響を与える可能性がある。すなわち、
lim y → q lim x → p f ( x , y ) ≠ lim x → p lim y → q f ( x , y ) {\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)\neq \lim _{x\to p}\lim _{y\to q}f(x,y)} 一般的に。
等式の十分な条件は ムーア・オズグッド定理によって与えられ、この定理は T 上で極限 が均一であることを要求する 。 [21] lim x → p f ( x , y ) = g ( y ) {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)}
距離空間上の関数 M と N がそれぞれ 計量空間 A と B の部分集合である とし 、 f : M → N がM と N の間で定義され 、 x ∈ M 、 p が M の 極限 点 、 L ∈ N であるとする。 x が p に近づく ときの f の極限は L であり 、次のように書くこと
ができる。
lim x → p f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}
次の特性が成り立つ場合:
ε > 0 に対して、 δ > 0 が存在し、 すべての点 x ∈ M に対して、 0 < d A ( x , p ) < δが成り立つとき、 d B ( f ( x ), L ) < ε が成り立つ 。 [22]
( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ M ) ( 0 < d A ( x , p ) < δ ⟹ d B ( f ( x ) , L ) < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in M)\,(0<d_{A}(x,p)<\delta \implies d_{B}(f(x),L)<\varepsilon ).}
もう一度、 p が f の定義域内にある必要はなく、 L が f の範囲内にある必要 はなく、 f ( p ) が定義されている場合でも L と等しい必要はないことに注意してください 。
ユークリッド計量 ユークリッド空間 における極限は、 ベクトル値関数 の極限を直接一般化したものである。例えば、 となる 関数を考える。 すると、通常の ユークリッド計量 のもとで、 以下が成り立つとする。 f : S × T → R 3 {\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}} f ( x , y ) = ( f 1 ( x , y ) , f 2 ( x , y ) , f 3 ( x , y ) ) . {\displaystyle f(x,y)=(f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y)).} lim ( x , y ) → ( p , q ) f ( x , y ) = ( L 1 , L 2 , L 3 ) {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=(L_{1},L_{2},L_{3})}
ε > 0 の 任意の値に対して、 δ > 0 が存在し、 S の任意の x と T の任意の y に対して 、 [23] が成り立つ。 0 < ( x − p ) 2 + ( y − q ) 2 < δ {\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta } ( f 1 − L 1 ) 2 + ( f 2 − L 2 ) 2 + ( f 3 − L 3 ) 2 < ε . {\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .} ( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ S ) ( ∀ y ∈ T ) ( 0 < ( x − p ) 2 + ( y − q ) 2 < δ ⟹ ( f 1 − L 1 ) 2 + ( f 2 − L 2 ) 2 + ( f 3 − L 3 ) 2 < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,\left(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon \right).}
この例では、対象となる関数は有限 次元 ベクトル値関数です。この場合、 ベクトル値関数の極限定理は 、各成分に極限が存在する場合、ベクトル値関数の極限は、各成分を極限から取ったベクトルに等しいとしています。 [23] lim ( x , y ) → ( p , q ) ( f 1 ( x , y ) , f 2 ( x , y ) , f 3 ( x , y ) ) = ( lim ( x , y ) → ( p , q ) f 1 ( x , y ) , lim ( x , y ) → ( p , q ) f 2 ( x , y ) , lim ( x , y ) → ( p , q ) f 3 ( x , y ) ) . {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}{\Bigl (}f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y){\Bigr )}=\left(\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{1}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{2}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{3}(x,y)\right).}
マンハッタンメトリック ユークリッド空間以外の空間も考えてみましょう。例えば、マンハッタン空間が挙げられます。 となる
空間を考えてみましょう。 すると、 マンハッタン計量 のもとで、 以下が成り立つとします。 f : S → R 2 {\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{2}} f ( x ) = ( f 1 ( x ) , f 2 ( x ) ) . {\displaystyle f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x)).} lim x → p f ( x ) = ( L 1 , L 2 ) {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=(L_{1},L_{2})}
すべてのε > 0 に対して、 δ > 0 が存在し、 S 内のすべての x に対して、 0 < | x − p | < δ の場合には | f 1 − L 1 | + | f 2 − L 2 | < ε が成り立ちます 。
( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ S ) ( 0 < | x − p | < δ ⟹ | f 1 − L 1 | + | f 2 − L 2 | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f_{1}-L_{1}|+|f_{2}-L_{2}|<\varepsilon ).}
これも有限次元ベクトル値関数なので、上記の極限定理も適用される。
最後に、無限次元の関数空間 における極限について議論する。 関数空間における 関数 f ( x , y )を考える 。xが p に近づくにつれて 、 f ( x , y ) が関数空間にある別の関数 g ( y ) にどう近づくかを調べたい 。この関数 空間における「近さ」は、 一様計量 [25] によって測定できる。 そして、 xが p に近づく につれて、 T における f の一様極限は g であるとし 、 または S × T → R . {\displaystyle S\times T\to \mathbb {R} .} T → R . {\displaystyle T\to \mathbb {R} .} u n i f lim x → p y ∈ T f ( x , y ) = g ( y ) , {\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),} lim x → p f ( x , y ) = g ( y ) uniformly on T , {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T,}
次の条件が成り立つ場合:
あらゆる ε > 0に対して、 δ > 0 が存在し、 S 内のすべての x に対して 、 0 < | x − p | < δ であるので、 sup y ∈ T | f ( x , y ) − g ( y ) | < ε . {\displaystyle \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .} ( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ S ) ( 0 < | x − p | < δ ⟹ sup y ∈ T | f ( x , y ) − g ( y ) | < ε ) . {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}
実際、この定義は、前のセクションで紹介した多変数関数の均一極限の定義と同等であることがわかります。
位相空間上の関数 と が ハウス ドルフ空間 を持つ 位相空間 であるとする 。 が の 極限点 、 が であると する 。関数 に対して 、 が に近づくとき の の極限 は と書かれる。 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} Y {\displaystyle Y} p {\displaystyle p} Ω ⊆ X {\displaystyle \Omega \subseteq X} L ∈ Y {\displaystyle L\in Y} f : Ω → Y {\displaystyle f:\Omega \to Y} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} p {\displaystyle p} L {\displaystyle L}
lim x → p f ( x ) = L , {\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,} 次の特性が成り立つ場合:
の すべての開 近傍 に対して、と なる の 開近傍が存在する 。 V {\displaystyle V} L {\displaystyle L} U {\displaystyle U} p {\displaystyle p} f ( U ∩ Ω − { p } ) ⊆ V {\displaystyle f(U\cap \Omega -\{p\})\subseteq V} 定義の最後の部分は、「 となるような の 開穴近傍 が存在する」と表現することもできます。 U {\displaystyle U} p {\displaystyle p} f ( U ∩ Ω ) ⊆ V {\displaystyle f(U\cap \Omega )\subseteq V}
の定義域は を含む必要はありません。含む場合、 における の値は 極限の定義とは無関係です。特に、 の定義域が (または 全体) である場合、 として の の極限が存在し、 L に等しいの は、 極限点 を持つ X のすべての部分集合 Ωに対して、 の Ω へ の制限の極限が存在し、 L に等しい場合です。この基準は、片側極限が存在しないか一致しないこと を示すことによって、 上の関数の両側極限が 存在 しないこと を証明するために使用されること があります。このような見方は 一般位相幾何学 の分野では基本的なもので、ある点における極限と連続性は、 フィルタと呼ばれる部分集合の特別な族、または ネット として知られる一般化シーケンスによって定義されます 。 f {\displaystyle f} p {\displaystyle p} f {\displaystyle f} p {\displaystyle p} f {\displaystyle f} X ∖ { p } {\displaystyle X\setminus \{p\}} X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} x → p {\displaystyle x\to p} p {\displaystyle p} f {\displaystyle f} R {\displaystyle \mathbb {R} }
あるいは、ハウスドルフ空間であるという条件を、 一般位相空間である という仮定に緩和することもできるが、その場合、関数の極限は一意ではなくなる可能性がある。特に、 ある点における関数の 極限 について語ることはできなくなり、ある点における 極限 、あるいは 極限の集合について語ることになる。 Y {\displaystyle Y} Y {\displaystyle Y}
関数がその定義域の の 極限点で連続である場合、かつ が に近づく とき の （または、一般には ） の極限である 場合に限ります 。 p {\displaystyle p} f ( p ) {\displaystyle f(p)} f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} p {\displaystyle p}
関数の極限には、別の種類として、 順次極限 があります。位相空間 X からハウスドルフ空間 Y への写像を X の極限点 、 L ∈ Y とします。 関数 の順次極限は、が L となる 場合 、 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} p ∈ X {\displaystyle p\in X} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} p {\displaystyle p}
に 収束する の すべて の シーケンス に対して 、シーケンスは L に 収束します 。 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} X ∖ { p } {\displaystyle X\setminus \{p\}} p {\displaystyle p} f ( x n ) {\displaystyle f(x_{n})} L が に近づく とき の の極限（上記の意味で）である ならば 、それは の連続極限でもある。しかし、その逆は一般には成立しない。さらに Xが 計量化可能 であるならば 、 L が に近づくとき の の連続極限となるのは、それが に 近づくとき の の極限（上記の意味で）である場合に限ります 。 f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} p {\displaystyle p} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} p {\displaystyle p} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} p {\displaystyle p}
その他の特徴
シーケンスの観点から 実数直線上の関数の場合、関数の極限を定義する 1 つの方法は、数列の極限を使用することです (この定義は、通常、 Eduard Heine に帰属します)。この設定では、
すべての数列 x n (すべての n について、 x n は a と等しくない ) が a に収束する
場合、かつその場合に限り、 数列 f ( x n )は L に収束します 。1916年に Sierpiński によって、この定義と上記の定義の同値性を証明するには が必要であり、 は 選択公理の弱い形式と同等であることが示されました。数列 x n が a に収束する という意味を定義するには、 イプシロン デルタ法 が必要であることに注意してください 。 lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}
ワイエルシュトラスの定義の場合と同様に、より一般的なハイネの定義は、 実数直線の 部分集合上で定義された関数に適用されます。 f を定義域 Dm ( f ) を持つ実数値関数とします 。 a を Dm ( f )\{ a } の要素の列の極限とします 。すると、(この意味での) f の極限は、 x が a に近づく につれて L となり、
すべての列 x n ∈ Dm ( f )\{ a } (つまり、すべての n について、 x n は a と等しくない ) が a に収束する場合、列 f ( xn )が L に収束します。これは、前のセクションの 、 の部分集合 Dm ( f ) を誘導計量を持つ計量空間と見なすことによって得られる連続極限の定義と同じです 。 R {\displaystyle \mathbb {R} }
非標準微積分学 非標準微積分学において、 関数の極限は次のように定義される。x − a が 無限小であるとき、 すべての が無限小となる場合、かつその場合のみ 。ここに 超実数 があり 、 f*は f の非標準実数へ の自然な拡張である。Keisler は、このような超実数 による極限の定義 によって、量指定子の複雑さが2つ分軽減されること を証明した。 [26] 一方、Hrbacek は、定義がすべての超実数に対して有効であるためには、暗黙的に ε-δ 法に基づいていなければならないと述べ、教育的観点から、非標準微積分学が ε-δ 法なしに実行できるという期待は完全には実現できないと主張している。 [27]
Bŀaszczyk らは、 一様連続性 の明確な定義を展開する上での 微視連続性 の有用性を詳述し、Hrbacek の批判を「疑わしい嘆き」と特徴づけている。 [28] lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} x ∈ R ∗ , {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*},} f ∗ ( x ) − L {\displaystyle f^{*}(x)-L} R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
近さという点では 1908年の国際数学会議で、 F.リースは 「近傍性」という概念で極限と連続性を定義する別の方法を紹介した。 [29] 点 x が集合の近傍にあるとは、任意の r > 0 に対して 点 a ∈ A が存在し、 | x − a | < r となるときと定義される 。この設定において、 aが A の近傍にある とき、かつ その必要十分条件として、すべての Lに対して f ( A ) が近傍であることが挙げられる 。ここで f ( A ) は集合である 。この定義は計量空間や位相空間にも拡張できる。 A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} A ⊆ R , {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ,} { f ( x ) | x ∈ A } . {\displaystyle \{f(x)|x\in A\}.}
継続性との関係 関数の極限の概念は連続性の概念と非常に密接に関連しています。関数 fが c で 連続 であるとは、関数 f が c で定義され、かつ c における値が x が c に近づく につれて f の極限に等しい場合を指します 。
lim x → c f ( x ) = f ( c ) . {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c).} ここではcが f の定義域の 極限点 である と仮定しています 。
プロパティ 関数 fが実数値の場合、 p における f の極限が L となるのは、 p における f の右手極限と左手極限の両方が存在し、かつそれらが L に等しい場合である 。
関数 fが p において 連続で あるためには、 x が p に近づく につれて f ( x ) の極限が存在し、それが f ( p ) に等しいことが必要である 。 f : M → N が距離空間M と N の間の関数である場合、 f は M内の p に収束する すべての列を、 N内の f ( p ) に収束する 列に変換する ことと同値である 。
Nが ノルムベクトル空間 である 場合 、極限演算は次の意味で線形である。すなわち、 x が p に近づくとき の f ( x )の極限が L であり、 x が p に近づく ときの g ( x ) の極限が P である 場合、 x が p に近づくとき の f ( x ) + g( x )の極限は L + P である 。a が基底 体 からのスカラーである場合、 x が p に 近づくとき の af ( x ) の極限は aL である 。
f と g が実数値（または複素数値）関数である場合、特定の条件下で f ( x ) と g ( x ) の演算 （たとえば、 f + g 、 f − g 、 f × g 、 f / g 、 f g ）の極限を取ることは、 f ( x ) と g ( x ) の演算の極限と互換性があります。 この事実は、しばしば 代数的極限定理 と呼ばれます。 以下の規則を適用するために必要な主な条件は、方程式の右辺に極限が存在することです（言い換えると、これらの極限は 0 を含む有限値です）。 さらに、除算の恒等式では右辺の分母がゼロ以外である必要があり（0 による除算は定義されていません）、指数の恒等式では底が正であるか、または指数が正（有限）である間はゼロである必要があります。
lim x → p ( f ( x ) + g ( x ) ) = lim x → p f ( x ) + lim x → p g ( x ) lim x → p ( f ( x ) − g ( x ) ) = lim x → p f ( x ) − lim x → p g ( x ) lim x → p ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) = lim x → p f ( x ) ⋅ lim x → p g ( x ) lim x → p ( f ( x ) / g ( x ) ) = lim x → p f ( x ) / lim x → p g ( x ) lim x → p f ( x ) g ( x ) = lim x → p f ( x ) lim x → p g ( x ) {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)+g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)+\lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)-g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)-\lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)\cdot g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)/g(x))&=&\displaystyle {\lim _{x\to p}f(x)/\lim _{x\to p}g(x)}\\\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)^{g(x)}&=&\displaystyle {\lim _{x\to p}f(x)^{\lim _{x\to p}g(x)}}\end{array}}}
これらの規則は、 p が ∞ または −∞の場合も含め、片側極限にも適用されます 。上記の各規則において、右側の極限の 1 つが ∞ または −∞ の場合でも、左側の極限は以下の規則によって決定されることがあります。
q + ∞ = ∞ if q ≠ − ∞ q × ∞ = { ∞ if q > 0 − ∞ if q < 0 q ∞ = 0 if q ≠ ∞ and q ≠ − ∞ ∞ q = { 0 if q < 0 ∞ if q > 0 q ∞ = { 0 if 0 < q < 1 ∞ if q > 1 q − ∞ = { ∞ if 0 < q < 1 0 if q > 1 {\displaystyle {\begin{array}{rcl}q+\infty &=&\infty {\text{ if }}q\neq -\infty \\[8pt]q\times \infty &=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}q>0\\-\infty &{\text{if }}q<0\end{cases}}\\[6pt]\displaystyle {\frac {q}{\infty }}&=&0{\text{ if }}q\neq \infty {\text{ and }}q\neq -\infty \\[6pt]\infty ^{q}&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}q<0\\\infty &{\text{if }}q>0\end{cases}}\\[4pt]q^{\infty }&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}0<q<1\\\infty &{\text{if }}q>1\end{cases}}\\[4pt]q^{-\infty }&=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}0<q<1\\0&{\text{if }}q>1\end{cases}}\end{array}}}
(拡張実数直線 も参照 )。
場合によっては、左辺の極限は依然として存在するものの、右辺は 不定形 と呼ばれ、結果が決定できないことがあります。これは関数 f と g に依存します。これらの不定形は以下のとおりです。
0 0 ± ∞ ± ∞ 0 × ± ∞ ∞ + − ∞ 0 0 ∞ 0 1 ± ∞ {\displaystyle {\begin{array}{cc}\displaystyle {\frac {0}{0}}&\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\\[6pt]0\times \pm \infty &\infty +-\infty \\[8pt]\qquad 0^{0}\qquad &\qquad \infty ^{0}\qquad \\[8pt]1^{\pm \infty }\end{array}}}
詳細については、下記の L'Hôpital の規則と 不確定形式を 参照してください。
関数の合成の極限 一般に、 および を知っているからといって 、 ということに はなり ません
。ただし、この「チェーンルール」は、次の 追加 条件のいずれかが満たされる場合に成立します。 lim y → b f ( y ) = c {\displaystyle \lim _{y\to b}f(y)=c} lim x → a g ( x ) = b , {\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=b,} lim x → a f ( g ( x ) ) = c . {\displaystyle \lim _{x\to a}f(g(x))=c.}
f ( b ) = c （つまり fは b で連続である ）、または g は a の 近くでは 値 b をとらない（つまり、 0 < | x − a | < δ ならば | g ( x ) − b | > 0 となるようなa δ > 0 が存在する）。 この現象の例として、両方の追加制限に違反する次の関数を考えてみましょう。
f ( x ) = g ( x ) = { 0 if x ≠ 0 1 if x = 0 {\displaystyle f(x)=g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\neq 0\\1&{\text{if }}x=0\end{cases}}}
f (0) における値は 除去可能な不連続点 であるため 、
すべての a に対して成り立ちます。したがって、単純な連鎖律によれば、 f ( f ( x )) の極限は 0 であると示唆されます。しかし、実際にはすべての a に対して 成り立ち ます 。 lim x → a f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0} f ( f ( x ) ) = { 1 if x ≠ 0 0 if x = 0 {\displaystyle f(f(x))={\begin{cases}1&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}} lim x → a f ( f ( x ) ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to a}f(f(x))=1}
特別な関心の限界
有理関数 n は非負の整数と定数 で あり、 a 1 , a 2 , a 3 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}} b 1 , b 2 , b 3 , … , b n , {\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n},}
lim x → ∞ a 1 x n + a 2 x n − 1 + a 3 x n − 2 + ⋯ + a n b 1 x n + b 2 x n − 1 + b 3 x n − 2 + ⋯ + b n = a 1 b 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {a_{1}x^{n}+a_{2}x^{n-1}+a_{3}x^{n-2}+\dots +a_{n}}{b_{1}x^{n}+b_{2}x^{n-1}+b_{3}x^{n-2}+\dots +b_{n}}}={\frac {a_{1}}{b_{1}}}}
これは、分子と分母の両方を x n で割ることで証明できます。分子が高次多項式の場合、極限は存在しません。分母が高次多項式の場合、極限は0です。
三角関数 lim x → 0 sin x x = 1 lim x → 0 1 − cos x x = 0 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}&=&0\end{array}}}
指数関数 lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x = lim r → ∞ ( 1 + 1 r ) r = e lim x → 0 e x − 1 x = 1 lim x → 0 e a x − 1 b x = a b lim x → 0 c a x − 1 b x = a b ln c lim x → 0 + x x = 1 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}&=&\displaystyle \lim _{r\to \infty }\left(1+{\frac {1}{r}}\right)^{r}=e\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {c^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\ln c\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}&=&1\end{array}}}
対数関数 lim x → 0 ln ( 1 + x ) x = 1 lim x → 0 ln ( 1 + a x ) b x = a b lim x → 0 log c ( 1 + a x ) b x = a b ln c {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{c}(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b\ln c}}\end{array}}}
ロピタルの法則 この規則は、 不定形式 0/0 または ±∞/∞ の極限を求めるために 導関数 を用い、そのような場合にのみ適用されます。他の不定形式もこの形式に変更できます。所望の極限点 c を含む 開区間 I 上で定義された2つの関数 f ( x ) と g ( x ) が与えられている場合、次の式が成り立ちます。
lim x → c f ( x ) = lim x → c g ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,} または および lim x → c f ( x ) = ± lim x → c g ( x ) = ± ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,} f {\displaystyle f} およびは 微分可能であり 、 g {\displaystyle g} I ∖ { c } , {\displaystyle I\setminus \{c\},} g ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0} すべての人 のために x ∈ I ∖ { c } , {\displaystyle x\in I\setminus \{c\},} lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}} 存在する、 それから： lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) . {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}
通常、最初の条件が最も重要です。
例えば： lim x → 0 sin ( 2 x ) sin ( 3 x ) = lim x → 0 2 cos ( 2 x ) 3 cos ( 3 x ) = 2 ⋅ 1 3 ⋅ 1 = 2 3 . {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.}
合計と積分 合計または積分に無限の境界を指定することは、制限を指定するための一般的な省略形です。
極限を簡単に書くと、次のようになります。 このような和の極限の重要な例は、 級数 です 。 lim n → ∞ ∑ i = s n f ( i ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)} ∑ i = s ∞ f ( i ) . {\displaystyle \sum _{i=s}^{\infty }f(i).}
限界を簡潔に書く と lim x → ∞ ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{a}^{x}f(t)\;dt} ∫ a ∞ f ( t ) d t . {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(t)\;dt.}
限界を簡潔に書く と lim x → − ∞ ∫ x b f ( t ) d t {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt} ∫ − ∞ b f ( t ) d t . {\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(t)\;dt.}
参照 ウィキメディア コモンズには、関数の極限 に関連するメディアがあります 。
Big O記法 – 関数の制限的な動作を記述する ロピタルの法則 – いくつかの極限を評価するための数学的規則 制限のリスト 数列の極限 – 無限数列が向かう値 極限点 – 位相空間におけるクラスター点 Pages displaying short descriptions of redirect targets 上限と下限 – シーケンスの境界 Pages displaying short descriptions of redirect targets ネット（数学） – 点列の一般化 非標準微積分学 – 無限小数の現代的応用 Pages displaying short descriptions of redirect targets スクイーズ定理 – 微積分における極限を求める方法 部分列の極限 – ある部分列の極限
注記 ^ フェルシャー、ウォルター (2000)、「ボルツァーノ、コーシー、イプシロン、デルタ」、 アメリカ数学月刊誌 、 107 (9): 844– 862、 doi :10.2307/2695743、 JSTOR 2695743 ^ Pourciau, Bruce (2001). 「ニュートンと極限の概念」 . Historia Mathematica . 28 (1): 18– 30. doi :10.1006/hmat.2000.2301. ^ Pourciau, Bruce (2009). 「ニュートンの『プリンキピア』第1巻の命題II」 . 正確科学史アーカイブ . 63 (2): 129– 167. doi :10.1007/s00407-008-0033-y. ISSN 0003-9519. JSTOR 41134303. ^ ab グラビナー、ジュディス・V. (1983)、「誰があなたにイプシロンを与えたのか？コーシーと厳密な微積分の起源」 アメリカ数学月刊誌 、 90 (3): 185–194 、 doi :10.2307/2975545、 JSTOR 2975545 、Who Gave You the Epsilon?に収録、 ISBN 978-0-88385-569-0 pp. 5–13. こちらも参照：http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf ^ Sinkevich、GI (2017)、「Historia epsylontyki」、 Antiquitates Mathematicae 、 10 、コーネル大学、 arXiv : 1502.06942 、 doi :10.14708/am.v10i0.805 ^ バートン、デイビッド・M.（1997年）、 数学史入門 （第3版）、ニューヨーク：マグロウヒル、 pp.558-559 、 ISBN 978-0-07-009465-9 ^ ミラー、ジェフ（2004年12月1日）「微積分記号の初期の使用」 、 2008年 12月18日 閲覧。 ^ ヴァールバーグ、デール E.;パーセル、エドウィン J.リグドン、スティーブン E. (2007)、 微積分学 (第 9 版)、 ピアソン プレンティス ホール 、p. 57、 ISBN 978-0131469686 ^ ab Swokowski, Earl W. (1979), Calculus with Analytic Geometry (第2版), Taylor & Francis, p. 58, ISBN 978-0-87150-268-1 ^ (バートル＆シャーバート 2000) ^ ab バートル (1967) ^ ハバード（2015） ^ たとえば、Apostol (1974)、Courant (1924)、Hardy (1921)、Rudin (1964)、Whittaker & Watson (1904) はすべて、「limit」を削除された限界を意味すると解釈しています。 ^ 例えば、 数学百科事典の極限 ^ スチュワート、ジェームズ （2020年）、「第14.2章 極限と連続性」、 多変数微分積分学 （第9版）、Cengage Learning、p.952、 ISBN 9780357042922 ^ abc Zakon, Elias (2011)、「第4章 関数の極限と連続性」、 数学分析第1巻 、ウィンザー大学、pp. 219– 220、 ISBN 9781617386473 ^ テイラー、アンガス E. (2012)、 一般関数と積分の理論 、ドーバー数学シリーズ、pp. 139– 140、 ISBN 9780486152141 ^ Rudin, W. (1986), 数学的解析の原理, McGraw-Hill Book C, p. 84, OCLC 962920758 ^ ab Hartman, Gregory (2019), The Calculus of Vector-Valued Functions II 、 2022年 10月31日 閲覧 ^ Rudin, W (1986), 数学的解析の原理, McGraw-Hill Book C, pp. 150– 151, OCLC 962920758 ^ Keisler, H. Jerome (2008)、「Quantifiers in limits」 （PDF） 、 Andrzej Mostowskiと基礎研究 、IOS、アムステルダム、pp. 151– 170 ^ Hrbacek, K. (2007)、「層別分析？」、Van Den Berg, I.; Neves, V. (編)、 『非標準分析の強さ』 、Springer ^ Bŀaszczyk, Piotr; Katz, Mikhail ; Sherry, David (2012)「分析の歴史における10の誤解とその暴露」『 科学 の基礎』 18 (1): 43– 74, arXiv : 1202.4153 , doi :10.1007/s10699-012-9285-8, S2CID 119134151 ^ F. Riesz (1908 年 4 月 7 日)、「Stetigkeitsbegriff und abstrakte Mengenlehre (連続性の概念と抽象集合論)」、 1908 年の国際数学者会議
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外部リンク MacTutor ワイエルシュトラスの歴史。 MacTutor ボルツァーノの歴史 ローレンス・S・ハッシュ著『Visual Calculus』、 テネシー大学 （2001年） 
![{\displaystyle f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} 、f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125394093463947c0a3d0db4eadbb9abea6bf7bd)
![{\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a498a3ed1d1a798f656b9b62e241fb0f65a5e90d)
![{\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1147dd185c0015f930f7ea44d1266a850772e8)
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\[2pt]{\frac {1}{10x-10}}&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da02e8886a4b0dced0699835970b767a1cd423cd)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}q+\infty &=&\infty {\text{ if }}q\neq -\infty \\[8pt]q\times \infty &=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}q>0\\-\infty &{\text{if }}q<0\end{cases}}\\[6pt]\displaystyle {\frac {q}{\infty }}&=&0{\text{ if }}q\neq \infty {\text{ かつ }}q\neq -\infty \\[6pt]\infty ^{q}&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}q<0\\\infty &{\text{if }}q>0\end{cases}}\\[4pt]q^{\infty }&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}0<q<1\\\infty &{\text{if }}q>1\end{cases}}\\[4pt]q^{-\infty }&=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}0<q<1\\0&{\text{if }}q>1\end{cases}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46980ceb3a48592dd96cd2232a4baa3a44086625)
![{\displaystyle {\begin{array}{cc}\displaystyle {\frac {0}{0}}&\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\\[6pt]0\times \pm \infty &\infty +-\infty \\[8pt]\qquad 0^{0}\qquad &\qquad \infty ^{0}\qquad \\[8pt]1^{\pm \infty }\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b703cd8007e44f5db44d3879bc40dca0c61d2a5)
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![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}&=&\displaystyle \lim _{r\to \infty }\left(1+{\frac {1}{r}}\right)^{r}=e\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {c^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\ln c\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}&=&1\end{配列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc9732b08492e1df5b7258d672db4ffa2a006c0)
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{c}(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b\ln c}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b836038774293787ddc44d0fad25f37b4d6864)
