Matrix with a multiplicative inverse
線形代数 において 、 可逆行列 （ 非特異行列 、 非退化行列 、または 正則行列 ）とは、 逆 行列を持つ 正方行列のことです。言い換えれば、行列が可逆であれば、別の行列を掛け合わせることで 単位行列 を得ることができます 。可逆行列は、その逆行列と同じ大きさです。
行列の逆は逆演算を表します。つまり、特定のベクトルに行列を適用し、その後に行列の逆を適用すると、結果は元のベクトルになります。
意味 n 行 n 列の正方行列 A が 逆行列であるとは 、 n 行 n 列の正方行列 B が存在し、 I n が n 行 n列の 単位行列 で あり 、乗算が通常の 行列乗算 である場合を言う 。 [1] この場合、行列 Bは A によって一意に決定され、 A の 逆行列 と呼ばれ、 A −1 で表される 。 逆行列と は、元の行列に乗じて単位行列となる行列を求める処理である。 [2] A B = B A = I n , {\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n},}
例 次の 2 行 2 列の行列を考えます。
A = ( − 1 3 2 1 − 1 ) {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}} この行列 は逆行列を持つため逆行列である。逆行列 は計算によって確認できる。 A {\displaystyle \mathbf {A} } B = ( 2 3 2 2 ) , {\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}},}
A B = ( − 1 3 2 1 − 1 ) ( 2 3 2 2 ) = ( ( − 1 ) × 2 + 3 2 × 2 ( − 1 ) × 3 + 3 2 × 2 1 × 2 + ( − 1 ) × 2 1 × 3 + ( − 1 ) × 2 ) = ( 1 0 0 1 ) = I 2 {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-1)\times 2+{\tfrac {3}{2}}\times 2&(-1)\times 3+{\tfrac {3}{2}}\times 2\\1\times 2+(-1)\times 2&1\times 3+(-1)\times 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {I} _{2}}
逆を求めることなく逆変換可能であることを確認するには、 ゼロ以外の値を計算します。 det A = − 1 2 {\textstyle \det \mathbf {A} =-{\frac {1}{2}}}
一方、これは逆行列ではありません。
C = ( 2 4 2 4 ) {\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}2&4\\2&4\end{pmatrix}}} この2行2列の行列の階数は1であり、 n − 1 ≠ n なので、逆行列は成り立ちません。さらに、行列 の 行列式 は0であることが計算できます。これは、行列が逆行列であるための 必要十分条件 です。 C {\displaystyle \mathbf {C} }
逆行列法
ガウス消去法 ガウス消去法 は、逆行列を計算する便利で簡単な方法です。この方法で逆行列を計算するには、 まず左辺を逆行列、右辺を 単位行列とする 拡張行列 を作成します。次に、ガウス消去法を用いて左辺を単位行列に変換し、右辺を入力行列の逆行列にします。
たとえば、次の行列を考えます。 A = ( − 1 3 2 1 − 1 ) {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}}
逆行列を計算するための最初のステップは、拡張行列を作成することである。 ( − 1 3 2 1 0 1 − 1 0 1 ) {\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\1&-1&0&1\end{array}}\!\!\right)}
この行列の1行目を 、2行目を とします 。そして、1行目を2行目に加算します。すると 、 R 1 {\displaystyle R_{1}} R 2 {\displaystyle R_{2}} ( R 1 + R 2 → R 2 ) . {\displaystyle (R_{1}+R_{2}\to R_{2}).} ( − 1 3 2 1 0 0 1 2 1 1 ) {\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\!\!\right)}
次に、1行目から2行目を3倍したものを引くと 、 ( R 1 − 3 R 2 → R 1 ) , {\displaystyle (R_{1}-3\,R_{2}\to R_{1}),} ( − 1 0 − 2 − 3 0 1 2 1 1 ) {\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&0&-2&-3\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\!\!\right)}
最後に、1行目に-1を掛け 、2行目に2を掛けます 。これで左側に単位行列、右側に逆行列が得られます。 ( − R 1 → R 1 ) {\displaystyle (-R_{1}\to R_{1})} ( 2 R 2 → R 2 ) . {\displaystyle (2\,R_{2}\to R_{2}).} ( 1 0 2 3 0 1 2 2 ) {\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}1&0&2&3\\0&1&2&2\end{array}}\!\!\right)}
このように、ガウス消去法のプロセスは 、次のような 基本行列 （ ） を用いた基本行演算による左行列乗算を適用する一連の処理として見ることができるため、 A − 1 = ( 2 3 2 2 ) {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}} E n {\displaystyle \mathbf {E} _{n}} E n E n − 1 ⋯ E 2 E 1 A = I {\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }
を使用して右掛け算を適用すると、 必要な逆数である 右側が 得られます。 A − 1 , {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1},} E n E n − 1 ⋯ E 2 E 1 I = I A − 1 . {\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} =\mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}.} I A − 1 = A − 1 , {\displaystyle \mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1},}
を得るには、 A と I を結合し、 ガウス消去法 を適用することで拡張行列を作成します。2つの部分は、同じ基本行演算シーケンスを使用して変換されます。左側の部分が I になると 、右側の部分に同じ基本行演算シーケンスを適用すると、 A −1 になります。 E n E n − 1 ⋯ E 2 E 1 I , {\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} ,}
ニュートン法 適切な開始シードを見つけるのが簡単な場合には、 乗法逆アルゴリズム に使用される ニュートン法 の一般化が便利である可能性があります。
X k + 1 = 2 X k − X k A X k {\displaystyle X_{k+1}=2X_{k}-X_{k}AX_{k}} ビクター・パン と ジョン・ライフは、 開始シードを生成する方法を含む研究を行った。 [3] [4]
ニュートン法は、上記の ホモトピー のために作られた列と十分に類似した挙動を示す関連行列の 族 を扱う際に特に有用である。新しい逆行列の近似値を改良するための良い出発点となるのは、現在の行列とほぼ一致する、既に得られている前の行列の逆行列である場合がある。例えば、 デンマン・ビーバー反復法によって行列の平方根を 求める際に用いられる逆行列の列のペアである。これらの列が互いに十分に近くなく、1回の反復処理では不十分な場合、新しい行列ごとに複数回の反復処理が必要となることがある。ニュートン法は、不完全 なコンピュータ演算 による小さな誤差によって汚染されたガウス・ジョルダン法の「微調整」修正にも有用である。
ケーリー・ハミルトン法 ケーリー ・ハミルトン定理によれば、 A の逆関数は det( A ) 、トレース、 A のべき乗で表される ： [5]
A − 1 = 1 det ( A ) ∑ s = 0 n − 1 A s ∑ k 1 , k 2 , … , k n − 1 ∏ l = 1 n − 1 ( − 1 ) k l + 1 l k l k l ! tr ( A l ) k l , {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{l=1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{l}\right)^{k_{l}},} ここで、 nは A の大きさ 、 tr( A )は行列 A の トレース であり、 主対角線 の和で与えられる 。この和は s と、線形 ディオファントス方程式を 満たすすべての集合にわたってとられる。 k l ≥ 0 {\displaystyle k_{l}\geq 0}
s + ∑ l = 1 n − 1 l k l = n − 1 {\displaystyle s+\sum _{l=1}^{n-1}lk_{l}=n-1} この式は、引数の完全な ベル多項式 を使って 次のよう
に書き直すことができる。 t l = − ( l − 1 ) ! tr ( A l ) {\displaystyle t_{l}=-(l-1)!\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)}
A − 1 = 1 det ( A ) ∑ s = 1 n A s − 1 ( − 1 ) n − 1 ( n − s ) ! B n − s ( t 1 , t 2 , … , t n − s ) {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=1}^{n}\mathbf {A} ^{s-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(n-s)!}}B_{n-s}(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n-s})} これについては、ケーリー・ハミルトン法 でさらに詳しく説明します 。
固有分解 行列 Aが 固有分解可能であり、その固有値がゼロでない場合、 A は逆行列を持ち、その逆行列は次のように与えられる。
A − 1 = Q Λ − 1 Q − 1 , {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1},} ここで、 Q はi 番目の列 が A の 固有ベクトル である正方 ( N × N ) 行列であり、 Λ は対角要素が対応する固有値である対角行列 です 。つまり、 A が対称である 場合
、 Q は直交行列 であることが保証されます 。したがって、 さらに、 Λ は対角行列であるため 、その逆行列は簡単に計算できます。 q i {\displaystyle q_{i}} Λ i i = λ i . {\displaystyle \Lambda _{ii}=\lambda _{i}.} Q − 1 = Q T . {\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\mathrm {T} }.}
[ Λ − 1 ] i i = 1 λ i {\displaystyle \left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}}
コレスキー分解 行列 A が正定値行列 である場合 、その逆行列は次のように得られる。
A − 1 = ( L ∗ ) − 1 L − 1 , {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\left(\mathbf {L} ^{*}\right)^{-1}\mathbf {L} ^{-1},} ここで、 Lは A の 下三角 コレスキー分解 であり 、 L * は L の 共役転置 を表します 。
解析解 補因子行列 の転置 （随伴行列 とも呼ばれる）を書くことは、 小さな 行列の逆行列を計算する効率的な方法である可能性があります が、 再帰的な 方法は大きな行列に対しては非効率的です。逆行列を求めるには、補因子行列を計算します。
A − 1 = 1 | A | C T = 1 | A | ( C 11 C 21 ⋯ C n 1 C 12 C 22 ⋯ C n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ C 1 n C 2 n ⋯ C n n ) {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{21}&\cdots &\mathbf {C} _{n1}\\\mathbf {C} _{12}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{1n}&\mathbf {C} _{2n}&\cdots &\mathbf {C} _{nn}\\\end{pmatrix}}} となることによって
( A − 1 ) i j = 1 | A | ( C T ) i j = 1 | A | ( C j i ) {\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{-1}\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} _{ji}\right)} ここで 、 | A | は A の 行列式 、 C は補因子の行列、 C T は 転置行列 を表します 。
2×2行列の逆行列 上記の 補因子方程式 は 、2×2 行列に対して以下の結果をもたらします。これらの行列の逆行列は次のようにして求めることができます。 [6]
A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det A [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}} これが可能なのは、 1/( ad − bc )が問題の行列の行列式の 逆数 であり 、同じ戦略を他の行列サイズにも使用できるためです。
ケーリー・ハミルトン法では
A − 1 = 1 det A [ ( tr A ) I − A ] {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\left[\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \right]}
3×3行列の逆行列 計算効率の良い 3 ×3 行列逆行列は次のように表される。
A − 1 = [ a b c d e f g h i ] − 1 = 1 det ( A ) [ A B C D E F G H I ] T = 1 det ( A ) [ A D G B E H C F I ] {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}} （ここで、 スカラー A は行列 A と混同しないでください）。
行列式がゼロでない場合、この行列は逆行列であり、上記の右側の中間行列の要素は次のように与えられる。
A = ( e i − f h ) , D = − ( b i − c h ) , G = ( b f − c e ) , B = − ( d i − f g ) , E = ( a i − c g ) , H = − ( a f − c d ) , C = ( d h − e g ) , F = − ( a h − b g ) , I = ( a e − b d ) . {\displaystyle {\begin{alignedat}{6}A&={}&(ei-fh),&\quad &D&={}&-(bi-ch),&\quad &G&={}&(bf-ce),\\B&={}&-(di-fg),&\quad &E&={}&(ai-cg),&\quad &H&={}&-(af-cd),\\C&={}&(dh-eg),&\quad &F&={}&-(ah-bg),&\quad &I&={}&(ae-bd).\\\end{alignedat}}} A の行列式は、次のように Sarrus の規則 を適用して計算できます 。
det ( A ) = a A + b B + c C {\displaystyle \det(\mathbf {A} )=aA+bB+cC} ケーリー・ハミルトン分解は
A − 1 = 1 det ( A ) ( 1 2 [ ( tr A ) 2 − tr ( A 2 ) ] I − A tr A + A 2 ) {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\tfrac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})\right]\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right)} 一般的な 3×3逆行列は、 外積 と 三重積 で簡潔に表すことができます 。行列 （3つの列ベクトル、、、 および からなる ）が逆行列である場合、その逆行列は次のように与えられます
。 A = [ x 0 x 1 x 2 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{0}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{bmatrix}}} x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} x 1 {\displaystyle \mathbf {x} _{1}} x 2 {\displaystyle \mathbf {x} _{2}}
A − 1 = 1 det ( A ) [ ( x 1 × x 2 ) T ( x 2 × x 0 ) T ( x 0 × x 1 ) T ] {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x} _{2}\times \mathbf {x} _{0})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x} _{0}\times \mathbf {x} _{1})}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}} A の行列式 det( A ) は、 x 0 、 x 1 、 x 2 の三重積、つまり行または列によって形成される 平行六面体 の体積 に等しい。
det ( A ) = x 0 ⋅ ( x 1 × x 2 ) {\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})} 式の正しさは、交差積と三重積の性質、そして群の左逆元と右逆元は常に一致することに着目することで検証できる。直感的には、交差積の関係から、 A -1の各行は A の対応しない2つの列と直交する （そのため、対角外項は ゼロになる）。 I = A − 1 A {\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} }
det ( A ) = x 0 ⋅ ( x 1 × x 2 ) {\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})} は、 I = A −1 A の対角要素が 1になるようにします。例えば、最初の対角要素は次のようになります。
1 = 1 x 0 ⋅ ( x 1 × x 2 ) x 0 ⋅ ( x 1 × x 2 ) {\displaystyle 1={\frac {1}{\mathbf {x_{0}} \cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}}\mathbf {x_{0}} \cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}
4×4行列の逆行列 次元が大きくなるにつれて、 A の逆関数の表現は 複雑になります。n = 4の場合、ケーリー・ハミルトン法では 、 依然として扱いやすい表現が得られます。
A − 1 = 1 det ( A ) ( 1 6 ( ( tr A ) 3 − 3 tr A tr ( A 2 ) + 2 tr ( A 3 ) ) I − 1 2 A ( ( tr A ) 2 − tr ( A 2 ) ) + A 2 tr A − A 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\Bigl (}&{\tfrac {1}{6}}{\bigl (}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})+2\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{3}){\bigr )}\mathbf {I} \\[-3mu]&\ \ \ -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} {\bigl (}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2}){\bigr )}+\mathbf {A} ^{2}\operatorname {tr} \mathbf {A} -\mathbf {A} ^{3}{\Bigr )}\end{aligned}}}
ブロック反転 させて
M = [ A B C D ] {\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}}
ここで、 A 、 B 、 C 、 D は任意サイズの 行列サブブロック であり、 A の シュアー補行列 である 。（ Aは 正方行列でなければならないので、逆行列を求めることができる。さらに、 A と D − CA −1 Bは 特異行列であってはならない。 [7] ） M / A := D − C A − 1 B {\displaystyle \mathbf {M} /\mathbf {A} :=\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} }
行列は解析的逆行列公式を使って ブロックごとに逆行列を 求めることもできる: [8]
[ A B C D ] − 1 = [ A − 1 + A − 1 B ( M / A ) − 1 C A − 1 − A − 1 B ( M / A ) − 1 − ( M / A ) − 1 C A − 1 ( M / A ) − 1 ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \ (\mathbf {M} /\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {M} /\mathbf {A} \right)^{-1}\\-\left(\mathbf {M} /\mathbf {A} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\left(\mathbf {M} /\mathbf {A} \right)^{-1}\end{bmatrix}},} 1
この戦略は、 A が対角行列であり、 M / A が小さな行列である 場合に特に有利です。なぜなら、逆行列を必要とするのはこれら 2 つの行列だけだからです。
無効 定理によれば、 A の無効性は 逆行列の右下にあるサブブロックの無効性に等しく、 B の無効性は逆行列の右上にあるサブブロックの無効性に等しいとされます。
式( 1 )を導いた逆行列演算では、 C と D を最初に演算するブロック行列演算が行われた 。代わりに、 A と Bを 最初に演算し、 D と M / D := A − BD −1 C が非特異値であると仮定すると、 [9]の 結果は次のようになる。
[ A B C D ] − 1 = [ ( M / D ) − 1 − ( M / D ) − 1 B D − 1 − D − 1 C ( M / D ) − 1 D − 1 + D − 1 C ( M / D ) − 1 B D − 1 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {M} /\mathbf {D} \right)^{-1}&-\left(\mathbf {M} /\mathbf {D} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {M} /\mathbf {D} \right)^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {M} /\mathbf {D} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}.} 2
式（ １ ）と式（ ２ ） の左上部分行列を等しくすると、
( A − B D − 1 C ) − 1 = A − 1 + A − 1 B ( D − C A − 1 B ) − 1 C A − 1 ( A − B D − 1 C ) − 1 B D − 1 = A − 1 B ( D − C A − 1 B ) − 1 D − 1 C ( A − B D − 1 C ) − 1 = ( D − C A − 1 B ) − 1 C A − 1 D − 1 + D − 1 C ( A − B D − 1 C ) − 1 B D − 1 = ( D − C A − 1 B ) − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&=\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\\\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}&=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\\\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&=\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\\\mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}&=\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{aligned}}} 3
ここで式( 3 )は ウッドベリー行列の恒等式であり、 二項式逆定理 と等価である 。
A と Dが 両方とも逆行列である場合 、上記の2つのブロック行列逆行列を組み合わせると、単純な因数分解が得られる。
[ A B C D ] − 1 = [ ( A − B D − 1 C ) − 1 0 0 ( D − C A − 1 B ) − 1 ] [ I − B D − 1 − C A − 1 I ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\left(\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {I} &-\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\\-\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {I} \end{bmatrix}}.} 2
ワインスタイン・アロンザイン恒等式 により 、ブロック対角行列の 2 つの行列のうち 1 つが逆行列である場合、もう 1 つも逆行列になります。
この式は、右上のブロック行列 B が零行列 である場合に大幅に簡略化されます 。この定式化は、行列 A と D が比較的単純な逆行列式（ブロックがすべて正方行列でない場合は 擬似逆行列） を持つ場合に有用です。この特殊なケースでは、上記で完全に一般化されたブロック行列の逆行列式は次のようになります。
[ A 0 C D ] − 1 = [ A − 1 0 − D − 1 C A − 1 D − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {0} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {0} \\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\mathbf {D} ^{-1}\end{bmatrix}}} 与えられた逆行列が逆ブロックA を持つ対称行列である場合、 次のブロック逆公式が成り立つ [10]
[ A C T C D ] − 1 = [ A − 1 + A − 1 C T S − 1 C A − 1 − A − 1 C T S − 1 − S − 1 C A − 1 S − 1 ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {C} ^{T}\\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}\mathbf {S} ^{-1}\\-\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {S} ^{-1}\end{bmatrix}},} 4
ここで です 。これは、半分のサイズの行列 A と S の 2 回の逆行列演算と、半分のサイズの行列の 4 回の乗算のみを必要とします。ただし 、いくつかの加算、減算、否定、転置などの複雑さを無視できる操作と組み合わせる必要があります。任意の行列 には 、半正定値対称行列 が関連付けられています。この行列 は、 が逆行列である場合に限り、正確に逆行列化可能 (かつ正定値) です 。 と書くことで、 行列の逆行列演算は、対称行列の逆行列演算と 2 回の追加の行列乗算に簡略化できます。これは、 正定値行列 が左上ブロック A の逆行列化条件を満たすためです。 S = D − C A − 1 C T {\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}} W 1 = C A − 1 , W 2 = W 1 C T = C A − 1 C T , W 3 = S − 1 W 1 = S − 1 C A − 1 , W 4 = W 1 T W 3 = A − 1 C T S − 1 C A − 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {W} _{1}&=\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\\[3mu]\mathbf {W} _{2}&=\mathbf {W} _{1}\mathbf {C} ^{T}=\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T},\\[3mu]\mathbf {W} _{3}&=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {W} _{1}=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\\[3mu]\mathbf {W} _{4}&=\mathbf {W} _{1}^{T}\mathbf {W} _{3}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\end{aligned}}} M {\displaystyle \mathbf {M} } M T M {\displaystyle \mathbf {M} ^{T}\mathbf {M} } M {\displaystyle \mathbf {M} } M − 1 = ( M T M ) − 1 M T {\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}=\left(\mathbf {M} ^{T}\mathbf {M} \right)^{-1}\mathbf {M} ^{T}} M T M {\displaystyle \mathbf {M} ^{T}\mathbf {M} }
これらの式を組み合わせることで、関連する対称行列のブロック反転を使用して、 内部で使用される 行列乗算アルゴリズムと同じ時間計算量で行列を反転する 分割統治アルゴリズム を構築できます。 [10]行列 乗算の計算量に関する研究では、 O （ n 2.371552 ） 回の計算量を持つ行列乗算アルゴリズムが存在し 、最も証明された下限は Ω （ n 2 log n ） であることが示されています。 [11]
ノイマン系列による 行列 Aが 次のような性質を持つ
とすると
lim n → ∞ ( I − A ) n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=0} すると A は非特異であり、その逆はノイマン級数 で表される ： [12]
A − 1 = ∑ n = 0 ∞ ( I − A ) n {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}} 和を切り捨てると「近似的な」逆行列が得られ、これは 前処理として有用である可能性がある。ノイマン級数は 幾何級数で あることに着目すれば、切り捨て級数は指数的に加速できることに注意されたい。したがって、 ノイマン級数は次式を満たす。
∑ n = 0 2 L − 1 ( I − A ) n = ∏ l = 0 L − 1 ( I + ( I − A ) 2 l ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{2^{L}-1}(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=\prod _{l=0}^{L-1}\left(\mathbf {I} +(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{2^{l}}\right)} したがって、 合計の 2 L 項を計算するには、 2 L − 2 回の 行列乗算のみが必要です。
より一般的には、 A が逆行列 X に
「近い」場合、
lim n → ∞ ( I − X − 1 A ) n = 0 o r lim n → ∞ ( I − A X − 1 ) n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\mathbf {I} -\mathbf {X} ^{-1}\mathbf {A} \right)^{n}=0\mathrm {~~or~~} \lim _{n\to \infty }\left(\mathbf {I} -\mathbf {A} \mathbf {X} ^{-1}\right)^{n}=0} すると A は非特異であり、その逆は
A − 1 = ∑ n = 0 ∞ ( X − 1 ( X − A ) ) n X − 1 {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {A} )\right)^{n}\mathbf {X} ^{-1}~} A − X がランク 1 である 場合も、これは次のように単純化される。
A − 1 = X − 1 − X − 1 ( A − X ) X − 1 1 + tr ( X − 1 ( A − X ) ) {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {X} ^{-1}-{\frac {\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\mathbf {X} ^{-1}}{1+\operatorname {tr} \left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\right)}}~}
p -進近似 Aが 整数 または 有理数の 要素を持つ行列であり、 任意精度の 有理数で解を求める 場合 、 p 進 近似法は、標準的な O( n 3 ) 行列乗算が使用されると仮定すると、 O( n 4 log 2 n ) で正確な解に収束します。 [13] この方法は、ディクソンの p 進近似法（それぞれ O( n 3 log 2 n ) ）を介して n 個の線形システムを解くことに依存しており 、IMLなどの任意精度行列演算に特化したソフトウェアでそのまま利用できます。 [14]
逆基底ベクトル法 n × n の正方行列 が与えられ 、 n 行が n ベクトル として解釈されます （ アインシュタインの総和 を仮定）。ここで は ユークリッド空間 （ ） の 標準的な 直交基底 です。次に、 クリフォード代数 （または幾何 代数 ）を使用して、逆数（ 双対 と呼ばれることもある）の列ベクトルを計算します。 X = [ x i j ] {\displaystyle \mathbf {X} =\left[x^{ij}\right]} 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} x i = x i j e j {\displaystyle \mathbf {x} _{i}=x^{ij}\mathbf {e} _{j}} e j {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} e i = e i , e i ⋅ e j = δ i j {\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}}
x i = x j i e j = ( − 1 ) i − 1 ( x 1 ∧ ⋯ ∧ ( ) i ∧ ⋯ ∧ x n ) ⋅ ( x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x n ) − 1 {\displaystyle \mathbf {x} ^{i}=x_{ji}\mathbf {e} ^{j}=(-1)^{i-1}(\mathbf {x} _{1}\wedge \cdots \wedge ()_{i}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})\cdot (\mathbf {x} _{1}\wedge \ \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})^{-1}} 逆行列の列として となる。 ここで、" "は、 上記の式において のその位置から " " が削除されたことを示していることに注意されたい 。すると となり 、ここでは クロネッカーのデルタ である 。また、必要に応じて も得られる 。ベクトルが 線形独立でない場合、 となり 、行列は 逆行列を持たない（逆行列を持たない）ことになる。 X − 1 = [ x j i ] . {\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}=[x_{ji}].} ( ) i {\displaystyle ()_{i}} x i {\displaystyle \mathbf {x} _{i}} x i {\displaystyle \mathbf {x} ^{i}} X X − 1 = [ x i ⋅ x j ] = [ δ i j ] = I n {\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {X} ^{-1}=\left[\mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}} δ i j {\displaystyle \delta _{i}^{j}} X − 1 X = [ ( e i ⋅ x k ) ( e j ⋅ x k ) ] = [ e i ⋅ e j ] = [ δ i j ] = I n {\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}\mathbf {X} =\left[\left(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{k}\right)\left(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {x} _{k}\right)\right]=\left[\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}} x i {\displaystyle \mathbf {x} _{i}} ( x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x n ) = 0 {\displaystyle (\mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})=0} X {\displaystyle \mathbf {X} }
プロパティ
特異点 体 上で逆行列を持た ない 正方行列は、 特異行列 または 退化行列 と呼ばれます 。体 に要素を持つ正方行列が 特異行列 となるのは、その行列式がゼロである 場合に 限ります。
可逆行列定理 Aを 体 K （例えば実数体 ） 上 の n行 n 列の 正方行列とする 。以下の命題は同値である。つまり、任意の行列に対して、すべて真かすべて偽のいずれかである。 [ 15] R {\displaystyle \mathbb {R} }
A は可逆である。つまり、行列乗算によって逆行列が存在する。つまり、 AB = I n = BA となる B が存在する。（この文の「可逆」は、片側逆行列を考慮した「左可逆」または「右可逆」に置き換えることもできる。） xを Ax に 写像する線形変換は 可逆です。つまり、関数合成に関して逆変換が存在します。（ここでも、「可逆」は「左可逆」または「右可逆」に置き換えることができます。） 転置行列 A T は 可逆行列です。 A は n行 n 列の 単位行列 I n と 行が等価です 。 A は n行 n 列の 単位 行列 I n と列 的に 。 A に はn 個の ピボット位置が あります 。 A はフル ランク です: ランク A = n 。 Aに は自明な カーネル があります: ker( A ) = {0} 。 xから Ax への 線形変換は 全単射です。つまり、方程式 Ax = b は、 K n 内の 各 b に対して正確に1つの解を持ちます。（ここで、「全単射」は「単射 」または「 全射 」に置き換えることができます 。） A の列は K n の 基底 を形成する 。（この文では、「基底」は「線型独立集合」または「全域集合」のいずれかに置き換えることができる） A の行は K n の基底を形成する 。（同様に、ここでの「基底」は「線型独立集合」または「全域集合」のどちらにも置き換えることができる） A の 行列 式 は非ゼロです: det A ≠ 0 。一般に、 可換環 上の正方行列が逆行列を持つのは、その行列式がその環の 単位元 （つまり乗法的に逆行列を持つ元）である場合のみです 。 数 0 は A の 固有値で はありません。（より一般的には、行列が 特異である場合、 数は A の固有値です。ここで、 I は単位行列です。） λ {\displaystyle \lambda } A − λ I {\displaystyle \mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} } 行列 A は、基本行列 の有限積として表すことができます 。
その他の特性 さらに、可逆行列 A には次の性質が成り立ちます。
( A − 1 ) − 1 = A {\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A} } ( k A ) − 1 = k − 1 A − 1 {\displaystyle (k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}} 非ゼロスカラー kの場合 ( A x ) + = x + A − 1 {\displaystyle (\mathbf {Ax} )^{+}=\mathbf {x} ^{+}\mathbf {A} ^{-1}} A が直交列を持つ 場合、 + はムーア ・ペンローズ逆行列 、 x はベクトル ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T {\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }} 任意の逆 行列 A と B に対して 、 より一般的には、 逆 行列が n 行 n列 の 行列である場合、 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 . {\displaystyle (\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}.} A 1 , … , A k {\displaystyle \mathbf {A} _{1},\dots ,\mathbf {A} _{k}} ( A 1 A 2 ⋯ A k − 1 A k ) − 1 = A k − 1 A k − 1 − 1 ⋯ A 2 − 1 A 1 − 1 . {\displaystyle (\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{k-1}\mathbf {A} _{k})^{-1}=\mathbf {A} _{k}^{-1}\mathbf {A} _{k-1}^{-1}\cdots \mathbf {A} _{2}^{-1}\mathbf {A} _{1}^{-1}.} det A − 1 = ( det A ) − 1 . {\displaystyle \det \mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {A} )^{-1}.} 左逆元と右逆元は等しい。つまり、 で あればとなる 。 L A = I {\displaystyle \mathbf {LA} =\mathbf {I} } A R = I {\displaystyle \mathbf {AR} =\mathbf {I} } L = L ( A R ) = ( L A ) R = R {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} (\mathbf {AR} )=(\mathbf {LA} )\mathbf {R} =\mathbf {R} } 行列 Uの逆行列 V の行は、 U の列に 正規直交 します (行と列を入れ替えても同様)。これを確認するには、 UV = VU = Iと仮定します。ここで、 V の行は、 U の列 は と表されます (それぞれ )。 すると、 任意の 2 つの ユークリッド内積 は、であることが明確にわかります。この特性は、 U の列に直交する ベクトル (必ずしも正規直交ベクトルとは限らない) の集合がわかっている場合に、正方行列の逆行列を構築するときにも役立ちます。その場合、この初期集合に反復 グラム・シュミット法 を適用して、逆行列 V の行を決定できます 。 v i T {\displaystyle v_{i}^{\mathrm {T} }} u j {\displaystyle u_{j}} 1 ≤ i , j ≤ n . {\displaystyle 1\leq i,j\leq n.} v i T u j = δ i , j . {\displaystyle v_{i}^{\mathrm {T} }u_{j}=\delta _{i,j}.}
自身の逆行列（つまり、 A = A −1 であり、したがって A 2 = I となるような 行列 A ）は 逆行列 と呼ばれます。
その補語との関係 行列 A の加法 は次のように A の逆行列を求めるために使用できます 。
A が逆行列である 場合、
A − 1 = 1 det ( A ) adj ( A ) {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}
単位行列との関係 行列の掛け算の 結合性 から、
A B = I {\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {I} \ } 有限正方 行列 A と B に対して は、
B A = I {\displaystyle \mathbf {BA} =\mathbf {I} \ } [16]
密度 実数体上で、特異な n 行 n行列の集合は、 の 部分集合 として考えれば、 零集合 、つまり ルベーグ測度が 0である。これは、特異行列が 行列式 関数の根であるためである。行列式は行列の要素における 多項式 であるため、 連続関数 である。したがって、 測度論 の言語では 、 ほぼすべての n 行 n 行列は逆行列である。 R n × n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n},}
さらに、 n 行 n 列の可逆行列 の集合は、すべての n 行 n 列行列の 位相空間 において 開 行列であり 稠密で ある。同様に、特異行列の集合は n 行 n 列行列の空間において 閉行列 であり、 稠密ではない 。
しかし、実際には、逆行列ではない行列に遭遇することがあります。 数値計算においては、逆行列であっても逆行列ではない行列に近い行列は依然として問題となる可能性があり、 悪条件行列 と呼ばれます 。
逆行列の微分 逆行列 Aが パラメータ t に依存すると仮定する。A の逆行列の t に関する 微分は [17] で与えられる 。
d d t A − 1 = − A − 1 d A d t A − 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}} A の逆行列の導関数の上式を導くには、 積の法則 を使って 逆行列の定義を微分し 、次に A の逆行列の導関数を解きます。 A − 1 A = I {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }
0 = d I d t = d ( A − 1 A ) d t = d ( A − 1 ) d t A + A − 1 d A d t {\displaystyle \mathbf {0} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {I} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1})}{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}} この式の両端からを引き 、右側に を掛けると、 導出が完了します。 A − 1 d A d t {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}} A − 1 {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}
が小さい数の 場合、微分式は次のようになります。 ε {\displaystyle \varepsilon }
( A + ε X ) − 1 = A − 1 − ε A − 1 X A − 1 + O ( ε 2 ) {\displaystyle \left(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\varepsilon \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-1}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\,} 正の整数が与えられると 、 n {\displaystyle n}
d d t A n = ∑ i = 1 n A i − 1 d A d t A n − i , d d t A − n = − ∑ i = 1 n A − i d A d t A − ( n + 1 − i ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n}&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n-i},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-n}&=-\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-(n+1-i)}\end{aligned}}} 特に、
( A + ε X ) n = A n + ε ∑ i = 1 n A i − 1 X A n − i + O ( ε 2 ) , ( A + ε X ) − n = A − n − ε ∑ i = 1 n A − i X A − ( n + 1 − i ) + O ( ε 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{n}&=\mathbf {A} ^{n}+\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{n-i}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right),\\(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{-n}&=\mathbf {A} ^{-n}-\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-(n+1-i)}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right)\end{aligned}}}
一般化
非正方行列 正方行列以外の行列、すなわち m 行 n列で m ≠ n となる行列には 逆行列は存在しません。しかし、場合によっては、そのような行列には 左逆行列 または 右逆行列 が存在することがあります 。A が m 行 n 列で、 A の 階数が n （ n ≤ m ） の場合、 A には左逆行列、すなわち n 行 m 列の行列 Bが存在し、 BA = I n となります。A の階数が m （ m ≤ n ）の場合、 A には右逆行列、すなわち n 行 m 列の行列 Bが存在し、 AB = I m となります 。
逆行列のいくつかの性質は、 一般化逆行列（ ムーア・ペンローズ逆行列 など）と共有されており、任意の m 行 n 列行列に対して定義することができます 。 [18]
抽象代数学では 最も一般的なケースは実数 または 複素数 上の行列ですが 、これらの定義はすべて、 加法 と 乗算を 備えた 任意の代数構造 （つまり 環）上の行列にも適用できます。しかし、環が 可換 である場合 、正方行列が逆行列であるための条件は、その行列式が環において逆行列であることであり、これは一般に、行列式が非零であることよりも厳しい要件です。 非可換環 の場合、通常の行列式は定義されません。環上には階数の概念が存在しないため、左逆行列または右逆行列の存在条件はより複雑です。
n × n の可逆行列の集合 と行列の 乗算演算 および環 Rからの 要素 は、 n 次 一般線型 群 を形成し 、 GL n ( R ) と表記されます。
アプリケーション ほとんどの実用的なアプリケーションでは、線形方程式系を 解くために行列を逆行列化する必要はありません 。ただし、一意の解を得るには、関係する行列が逆行列化可能である必要があります。
LU 分解 などの分解手法は 逆変換よりもはるかに高速であり、特殊なクラスの線形システム用のさまざまな高速アルゴリズムも開発されています。
回帰/最小二乗法 明示的な逆行列は未知数ベクトルの推定に必ずしも必要ではありませんが、その精度を推定する最も簡単な方法であり、逆行列の対角成分（未知数ベクトルの事後共分散行列）に存在します。しかしながら、逆行列の対角成分のみを計算するより高速なアルゴリズムが多くの場合に知られています。 [19]
リアルタイムシミュレーションにおける逆行列 行列反転はコンピュータグラフィックス 、特に 3Dグラフィックス レンダリングと3Dシミュレーションにおいて重要な役割を果たします 。例としては、スクリーンからワールドへの レイキャスティング 、ワールドからサブスペース、そしてワールドへのオブジェクト変換、物理シミュレーションなどが挙げられます。
MIMO無線通信における逆行列 逆行列演算は、無線通信における MIMO （Multiple-Input, Multiple-Output）技術 においても重要な役割を果たします 。MIMOシステムは、 N本の 送信アンテナと M本 の受信アンテナで構成されます。同じ 周波数帯域を占める固有の信号が、 N本の 送信アンテナ を介して送信され、 M 本の受信アンテナを介して受信されます。各受信アンテナに到達する信号は、 N個の 送信信号 の 線形結合となり、 N × Mの 送信行列 H を形成します。受信側が送信された情報を理解できるように、行列 H が逆行列であることは非常に重要です。 [20]
参照
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外部リンク
![{\displaystyle \left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57c7c286afe19b02c6d88e723c53eac4f4fedb8)
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\left[\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34156ab7b9c9663c1dd9282f6b56ce001dd42a2)
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\tfrac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})\right]\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8d36fce726c21b3cc09fcfe93366672b1f52466)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\Bigl (}&{\tfrac {1}{6}}{\bigl (}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})+2\演算子 {tr} (\mathbf {A} ^{3}){\bigr )}\mathbf {I} \\[-3mu]&\ \ \ -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} {\bigl (}(\演算子 {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2}){\bigr )}+\mathbf {A} ^{2}\operatorname {tr} \mathbf {A} -\mathbf {A} ^{3}{\Bigr )}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0ff3709438c8687c8cc29dc0b3302e52900332)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {W} _{1}&=\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\\[3mu]\mathbf {W} _{2}&=\mathbf {W} _{1}\mathbf {C} ^{T}=\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T},\\[3mu]\mathbf {W} _{3}&=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {W} _{1}=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\\[3mu]\mathbf {W} _{4}&=\mathbf {W} _{1}^{T}\mathbf {W} _{3}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada99a4424fbb8a19739c81f545835834a1c27f3)
![{\displaystyle \mathbf {X} =\left[x^{ij}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcdbd40b9ad9e18e49f3dbee92a5f67de48c667)
![{\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}=[x_{ji}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d43f884ab940a905153b017d09490e0ed6a6e9)
![{\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {X} ^{-1}=\left[\mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b784769b878e5e00d9c003037c0e0aa44dd292)
![{\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}\mathbf {X} =\left[\left(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{k}\right)\left(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {x} _{k}\right)\right]=\left[\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b3a1a25ab9213ccc1996b44c9dbc688c4b4068)
