Branch of physics describing the motion of objects without considering forces
物理学 において 、 運動学は 、物体の運動を、その運動を引き起こす力とは独立して、幾何学的な側面から研究します。連結された機械部品などの拘束された運動も、運動学と呼ばれます。
運動学は、物体の位置と速度の指定方法、およびそれらのシステム間の数学的変換を扱います。これらの座標系には、 直交座標系 のような直交座標系、 極座標系 のような 曲線座標系 、その他様々なものがあります。物体の軌道は、それ自体が基準となる基準に対して運動している他の物体を基準として指定されることもあります。回転座標系も用いられることがあります。
運動学における多くの実際的な問題には、機械的な連結、ロープ、回転ディスクなどの制約が関係します。
概要 運動学は 物理学 と 数学の 分野の一つで 、 古典力学 で発展したもので、点、 物体 （オブジェクト）、物体のシステム（オブジェクトのグループ）の 動きを 、 それらを動かす 力を考慮せずに記述します。 [1] [2] [3]運動学は、物体に対する力の影響を研究する 力学 （ 運動学 とも呼ばれる）
とは異なります 。
運動学は学問分野としてしばしば「運動の幾何学」と呼ばれ、 物体の質量やそれに作用する力を考慮することなく研究できるため、応用数学と純粋 数学の両方の分野とみなされることがあります。 [4] [5] [6] 運動学の問題は、系の幾何学を記述し、系内の点の位置、速度、加速度の既知の値の 初期条件 を宣言することから始まります。次に、幾何学の議論を用いて、系の未知の部分の位置、速度、加速度を決定することができます。 学者 イブン・アル＝ハイサムは、著書 『空間とその性質』 において、幾何学と運動学を統一概念として扱った最初の人物として知られています。空間の特性を定量化するために、彼は物体が運動しているときと静止しているときの寸法を比較しました。 [7]
運動学を別の言い方で説明すると、物理システムの可能な状態の仕様記述となる。力学は、そのような状態を経てシステムが進化する過程を記述する。 ロバート・スペッケンズは 、この区分は経験的に検証できず、したがって物理的な根拠がないと主張している。 [8]
運動学は天体物理学において、 天体 や天体の集合体 の運動を記述するために 使用されます。 機械工学 、 ロボット工学 、 生体力学 においては、 [9]運動学は、 エンジン 、 ロボットアーム 、 人間の骨格 など、結合された部品（多リンクシステム）で構成されるシステムの運動を記述するために使用されます 。
いわゆる剛体 変換を含む幾何 学的変換は、 機械システム における構成要素の動きを記述するために用いられ 、運動方程式の導出を簡素化します。また、幾何学的変換は 動力学解析 においても中心的な役割を果たします。
運動解析とは、運動を記述するために用いられる運動 量を 測定するプロセスです 。例えば工学においては、運動解析を用いて与えられた 機構 の可動範囲を求め、逆に 運動学的合成 を用いて所望の可動範囲を持つ機構を設計することができます。 [10] さらに、運動学は 代数幾何学を応用して 、機械システム や機構の 機械的利点 を研究します 。
相対論的運動学は、 特殊相対性理論を 物体の運動の幾何学に 適用する。 時間の遅れ 、 長さの収縮 、 ローレンツ変換を 包含する。 [11] : 12.8 相対論的運動学は、 空間点に時間座標が付加されて 4次元ベクトルを形成する 時空 幾何学において作用する。 [12] : 221
ヴェルナー・ハイゼンベルクは 1925年の論文 「運動学的および力学的関係の量子理論的再解釈について」 で、量子系における古典運動学を再解釈した。 [13]ディラックはハイゼンベルクの定式化と古典的な ポアソン括弧 の構造の類似性を指摘した 。 [14] : 143 1927年の続編論文でハイゼンベルクは、速度やエネルギーといった古典運動学の概念は量子力学でも有効であるが、共役な運動量と動力学的量のペアは同時に測定できないことを示した。彼はこの結果を不確定性と呼び、後に 不確定性原理 として知られるようになった。 [15]
語源 キネマティックという用語は、 A・M・アンペール の シネマティック [ 16] の英語版であり、彼は ギリシャ語の κίνημα kinema （「動き、動作」）からこれを構築した。κίνημα kinema自体は κινεῖν kinein （「動く」）に由来する。 [17] [18]
Kinematicとcinématiqueはフランス語のcinémaと関連がありますが、どちらも直接の派生語ではありません。しかし、cinémaは「映写機とカメラ」を意味するcinématographeの短縮形から来ており、これもギリシャ語で「動き」を意味する γρᾰ́φω grapho （「書く」）に由来しています。 [19]
非回転座標系における粒子軌道の運動学 古典粒子の運動量: 質量 m 、位置 r 、速度 v 、加速度 a 。
平面極座標における運動ベクトル。設定は2次元空間に限定されず、任意の高次元平面にも適用できることに注意してください。
粒子運動学は、粒子の軌道を研究する学問です。粒子の位置は、座標系の原点から粒子への座標ベクトルとして定義されます。例えば、自宅から南に50m離れた塔を考えてみましょう。座標系は自宅を中心とし、東が X軸方向、北が Y 軸方向となります。 この場合、塔の基部への座標ベクトルは r = (0 m, -50 m, 0 m)となります。塔の高さが50mで、この高さを Z 軸に沿って測ると、塔の頂上への座標ベクトルは r = (0 m, -50 m, 50 m)となります。
最も一般的なケースでは、粒子の位置を定義するために3次元座標系が用いられます。しかし、粒子が平面内での移動に制限されている場合は、2次元座標系で十分です。物理学におけるすべての観測は、参照フレームを基準に記述しなければ不完全です。
粒子の位置ベクトルは、 参照フレーム の原点から 粒子に向かって引かれた ベクトル です。これは、点の原点からの距離と、原点からの方向の両方を表します。3次元では、位置ベクトルは次のように表すことができます 。 ここで 、、、 は それぞれ 直交 座標系 、、、、 座標軸 に沿った 単位ベクトル です 。位置ベクトルの大きさは、 点 と 原点の間の距離を表します。
位置ベクトルの 方向 余弦は、 方向を定量的に表します。一般に、物体の位置ベクトルは参照フレームに依存し、異なるフレームでは位置ベクトルの値が異なります。 r {\displaystyle {\bf {r}}} r = ( x , y , z ) = x x ^ + y y ^ + z z ^ , {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x{\hat {\mathbf {x} }}+y{\hat {\mathbf {y} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} z {\displaystyle z} x ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}} y ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}} z ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} z {\displaystyle z} | r | {\displaystyle \left|\mathbf {r} \right|} r {\displaystyle \mathbf {r} } | r | = x 2 + y 2 + z 2 . {\displaystyle |\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.}
粒子の軌道は時間のベクトル関数 であり 、 移動 する粒子が描く曲線を定義します。曲線は で与えられます。ここで 、、、 および は、 粒子の位置の各座標を時間の関数として表します。 r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)} r ( t ) = x ( t ) x ^ + y ( t ) y ^ + z ( t ) z ^ , {\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {x} }}+y(t){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},} x ( t ) {\displaystyle x(t)} y ( t ) {\displaystyle y(t)} z ( t ) {\displaystyle z(t)}
移動距離は常に変位以上になります。
速度と速さ 粒子の速度は、粒子の運動の方向と大きさを表すベクトル量です 。 より 数学 的に言えば、点の位置ベクトルの時間に対する変化率が、その点の速度です。粒子の 2 つの位置の差 ( 変位 ) を時間間隔で割ることによって形成される比率を考えます。この比率はその時間間隔での 平均速度 と呼ばれ、次のように定義されます。 ここで 、 は時間間隔 における変位ベクトルです 。時間間隔が 0 に近づく限界では 、平均速度は、 位置ベクトルの 時間微分 として定義される瞬間速度に近づきます。
したがって、粒子の速度はその位置の時間変化率です。さらに、この速度は、粒子の経路に沿ったすべての位置で粒子の軌跡に 接します 。非回転座標系では、座標方向の微分は、その方向と大きさが定数であるため考慮されません。 v ¯ = Δ r Δ t = Δ x Δ t x ^ + Δ y Δ t y ^ + Δ z Δ t z ^ = v ¯ x x ^ + v ¯ y y ^ + v ¯ z z ^ {\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {v}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {v}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {v}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,} Δ r {\displaystyle \Delta \mathbf {r} } Δ t {\displaystyle \Delta t} Δ t {\displaystyle \Delta t} v = lim Δ t → 0 Δ r Δ t = d r d t = v x x ^ + v y y ^ + v z z ^ . {\displaystyle \mathbf {v} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}
物体の速度は、その速度の大きさです。これはスカラー量です。 ここ で 、 は粒子の軌道に沿って測った弧長です。この弧長は粒子が移動するにつれて必ず増加します。したがって、 は非負であり、速度も非負であることを意味します。 v = | v | = d s d t , {\displaystyle v=|\mathbf {v} |={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}},} s {\displaystyle s} d s d t {\displaystyle {\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}}
加速度 速度ベクトルは、大きさと方向の両方、あるいは両方を同時に変化させることができます。したがって、加速度は、速度ベクトルの大きさの変化率と方向の変化率の両方を考慮します。粒子の位置に関して速度を定義する際に用いられるのと同じ論理が、速度にも適用され、加速度を定義できます。粒子の 加速度 は、速度ベクトルの変化率によって定義されるベクトルです。時間間隔における粒子の 平均加速度は 、比として定義されます。 ここで、Δ v は平均速度、Δ t は時間間隔です。 a ¯ = Δ v ¯ Δ t = Δ v ¯ x Δ t x ^ + Δ v ¯ y Δ t y ^ + Δ v ¯ z Δ t z ^ = a ¯ x x ^ + a ¯ y y ^ + a ¯ z z ^ {\displaystyle \mathbf {\bar {a}} ={\frac {\Delta \mathbf {\bar {v}} }{\Delta t}}={\frac {\Delta {\bar {v}}_{x}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{y}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{z}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {a}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {a}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {a}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}
粒子の加速度は、時間間隔がゼロに近づくにつれて平均加速度の限界となり、これは時間微分である。 a = lim Δ t → 0 Δ v Δ t = d v d t = a x x ^ + a y y ^ + a z z ^ . {\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}
あるいは、 a = lim ( Δ t ) 2 → 0 Δ r ( Δ t ) 2 = d 2 r d t 2 = a x x ^ + a y y ^ + a z z ^ . {\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{(\Delta t)^{2}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{(\Delta t)^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} }{{\text{d}}t^{2}}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}
したがって、加速度は、その粒子の速度ベクトルの一次微分と位置ベクトルの二次微分です。回転しない座標系では、座標方向の微分は考慮されません。なぜなら、それらの方向と大きさは定数だからです。
物体の 加速度 の大きさは、その加速度ベクトルの大きさ | a | です。これはスカラー量です。 | a | = | v ˙ | = d v d t . {\displaystyle |\mathbf {a} |=|{\dot {\mathbf {v} }}|={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}.}
相対位置ベクトル 相対 位置ベクトル とは、ある点と別の点の相対的な位置を定義するベクトルです。これは2点の位置の差です。ある点 A と別の点 B の相対的な位置は、単にそれらの位置の差です。
r A / B = r A − r B {\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}} これは、位置ベクトルの成分間の差です。
点 A に位置成分がある場合 r A = ( x A , y A , z A ) {\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\left(x_{A},y_{A},z_{A}\right)}
そして点 B には位置成分がある r B = ( x B , y B , z B ) {\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\left(x_{B},y_{B},z_{B}\right)}
点A と点 B の相対的な位置は、 それらの成分間の差になります。 r A / B = r A − r B = ( x A − x B , y A − y B , z A − z B ) {\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}=\left(x_{A}-x_{B},y_{A}-y_{B},z_{A}-z_{B}\right)}
相対速度 古典力学における 2 つの粒子間の相対速度。 ある点と別の点の相対的な速度は、単純にそれらの点の速度の差、 つまりそれらの点の速度の成分の差です。 v A / B = v A − v B {\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}}
点A に 速度成分があり 、点 B にも速度成分がある 場合、点 B に対する点 A の速度は、 それらの成分の差になります。 v A = ( v A x , v A y , v A z ) {\displaystyle \mathbf {v} _{A}=\left(v_{A_{x}},v_{A_{y}},v_{A_{z}}\right)} v B = ( v B x , v B y , v B z ) {\displaystyle \mathbf {v} _{B}=\left(v_{B_{x}},v_{B_{y}},v_{B_{z}}\right)} v A / B = v A − v B = ( v A x − v B x , v A y − v B y , v A z − v B z ) {\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}=\left(v_{A_{x}}-v_{B_{x}},v_{A_{y}}-v_{B_{y}},v_{A_{z}}-v_{B_{z}}\right)}
あるいは、相対位置ベクトルr B/A の時間微分を計算することによって同じ結果を得ることができます 。
相対加速度 ある点Cの別の点 B に対する 加速度は 、単純にそれらの加速度の差です。 つまり、それらの加速度の成分の差です。 a C / B = a C − a B {\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}}
点C に加速度成分があり 、点 B にも加速度成分がある 場合、点 B に対する点 C の加速度は、 それらの成分の差になります。 a C = ( a C x , a C y , a C z ) {\displaystyle \mathbf {a} _{C}=\left(a_{C_{x}},a_{C_{y}},a_{C_{z}}\right)} a B = ( a B x , a B y , a B z ) {\displaystyle \mathbf {a} _{B}=\left(a_{B_{x}},a_{B_{y}},a_{B_{z}}\right)} a C / B = a C − a B = ( a C x − a B x , a C y − a B y , a C z − a B z ) {\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}=\left(a_{C_{x}}-a_{B_{x}},a_{C_{y}}-a_{B_{y}},a_{C_{z}}-a_{B_{z}}\right)}
位置、 および 時間における速度の初期条件 が既知であると仮定すると、最初の積分により粒子の速度が時間の関数として得られる。 [20] r 0 {\displaystyle \mathbf {r} _{0}} v 0 {\displaystyle \mathbf {v} _{0}} t = 0 {\displaystyle t=0} v ( t ) = v 0 + ∫ 0 t a ( τ ) d τ {\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {a} (\tau )\,{\text{d}}\tau }
変位、速度、加速度、時間の間には、さらに関係式を導くことができます。加速度が一定の場合、 上記の式に代入すると、次の式が得られます。 a = Δ v Δ t = v − v 0 t {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{t}}} r ( t ) = r 0 + ( v + v 0 2 ) t . {\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\left({\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\right)t.}
明示的な時間依存性のない速度、位置、加速度の関係は、平均加速度を時間に対して解き、代入して簡略化することで得られる。
t = v − v 0 a {\displaystyle t={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{\mathbf {a} }}}
( r − r 0 ) ⋅ a = ( v − v 0 ) ⋅ v + v 0 2 , {\displaystyle \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}\right)\cdot {\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\ ,} ここで、は ドット積 を表します 。これは、積がベクトルではなくスカラーであるため適切です。 ⋅ {\displaystyle \cdot } 2 ( r − r 0 ) ⋅ a = | v | 2 − | v 0 | 2 . {\displaystyle 2\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}
ドット積は、ベクトル間の角度 α のコサイン( 詳細については ドット積の幾何学的解釈を参照) とベクトルの大きさで置き換えることができます。その場合、次のようになります。 2 | r − r 0 | | a | cos α = | v | 2 − | v 0 | 2 . {\displaystyle 2\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}
加速度が常に運動の方向にあり、運動の方向が正か負かでなければならない場合、ベクトル間の角度（ α ）は0なので、となり 、 これはベクトルの大きさの表記法を使って簡略化できる [ 引用が必要 ]。 ここで、 一定の接線加速度がその経路に沿って適用されるので、任意の曲線経路をとることができる [ 引用が必要 ] ので、 cos 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1} | v | 2 = | v 0 | 2 + 2 | a | | r − r 0 | . {\displaystyle |\mathbf {v} |^{2}=|\mathbf {v} _{0}|^{2}+2\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|.} | a | = a , | v | = v , | r − r 0 | = Δ r {\displaystyle |\mathbf {a} |=a,|\mathbf {v} |=v,|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|=\Delta r} Δ r {\displaystyle \Delta r} v 2 = v 0 2 + 2 a Δ r . {\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta r.}
これにより、粒子の媒介変数運動方程式は、速度と位置の直交座標系における関係式に簡約されます。この関係式は、時間が未知の場合に有用です。また、 またはは 速度-時間グラフの下の面積であることも分かっています。 [21] Δ r = ∫ v d t {\textstyle \Delta r=\int v\,{\text{d}}t} Δ r {\displaystyle \Delta r}
速度時間物理グラフ 上部の面積と下部の面積を足すことでが得られます 。下部の面積は長方形で、長方形の面積は で、 は 幅、 は高さです。この場合 、 および （ ここでの は加速度 とは異なります ）。つまり、下部の面積は です 。次に上部の面積（三角形）を求めましょう。三角形の面積は で、 は 底辺、 は高さです。 [22] この場合、 および または です 。 および を 式に追加する と になります 。 [23] この式は、最終速度 v が未知の場合に適用できます。 Δ r {\displaystyle \Delta r} A ⋅ B {\displaystyle A\cdot B} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A = t {\displaystyle A=t} B = v 0 {\displaystyle B=v_{0}} A {\displaystyle A} a {\displaystyle a} t v 0 {\displaystyle tv_{0}} 1 2 B H {\textstyle {\frac {1}{2}}BH} B {\displaystyle B} H {\displaystyle H} B = t {\displaystyle B=t} H = a t {\displaystyle H=at} A = 1 2 B H = 1 2 a t t = 1 2 a t 2 = a t 2 2 {\textstyle A={\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{2}}att={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {at^{2}}{2}}} v 0 t {\displaystyle v_{0}t} a t 2 2 {\textstyle {\frac {at^{2}}{2}}} Δ r {\displaystyle \Delta r} Δ r = v 0 t + a t 2 2 {\textstyle \Delta r=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}
図 2: 不均一な円運動の速度と加速度: 速度ベクトルは軌道に対して接線方向ですが、加速度ベクトルは 回転速度を増加させる接線方向成分 a θ があるため、半径方向内側にはなりません: d ω /d t = | a θ |/ R 。
円筒極座標における粒子の軌跡 粒子の軌跡 r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) を X - Y 平面上の極座標を用いて定式化すると便利な場合が多い 。この場合、速度と加速度は便利な形をとる。
粒子 P の軌道は、固定された基準系 F において測定された座標ベクトル r によって定義されることを思い出してください。粒子が移動すると、その座標ベクトル r ( t ) は軌道を描きます。この軌道は空間上の曲線であり、次式で表されます。 ここで 、 x̂ 、 ŷ 、 ẑは、それぞれ 基準系 F の x 軸、 y 軸、 z 軸に沿った 単位ベクトル です 。 r ( t ) = x ( t ) x ^ + y ( t ) y ^ + z ( t ) z ^ , {\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {x} }}+y(t){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},}
r ( t ) = 一定である円筒の表面上のみを移動する 粒子 P を考えます。この場合、固定座標系 Fの Z 軸を円筒の軸と一致させることができます。そして、 x – y 平面におけるこの軸の周りの 角度 θ を用いて、軌道を次のように定義できます。 ここで、中心からの一定距離は r で表され、 θ ( t ) は時間の関数です。 r ( t ) = r cos ( θ ( t ) ) x ^ + r sin ( θ ( t ) ) y ^ + z ( t ) z ^ , {\displaystyle \mathbf {r} (t)=r\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},}
r ( t )の円筒座標は、初等微積分から得られる 放射状および接線方向の単位ベクトル とそれらの時間微分を導入することで簡略化できます。 r ^ = cos ( θ ( t ) ) x ^ + sin ( θ ( t ) ) y ^ , θ ^ = − sin ( θ ( t ) ) x ^ + cos ( θ ( t ) ) y ^ . {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }},\quad {\hat {\mathbf {\theta } }}=-\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }}.} d r ^ d t = ω θ ^ . {\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\hat {\mathbf {r} }}}{{\text{d}}t}}=\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}.} d 2 r ^ d t 2 = d ( ω θ ^ ) d t = α θ ^ − ω 2 r ^ . {\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}(\omega {\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=\alpha {\hat {\mathbf {\theta } }}-\omega ^{2}{\hat {\mathbf {r} }}.}
d θ ^ d t = − ω r ^ . {\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\hat {\mathbf {\theta } }}}{{\text{d}}t}}=-\omega {\hat {\mathbf {r} }}.} d 2 θ ^ d t 2 = d ( − ω r ^ ) d t = − α r ^ − ω 2 θ ^ . {\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}{\hat {\mathbf {\theta } }}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}(-\omega {\hat {\mathbf {r} }})}{{\text{d}}t}}=-\alpha {\hat {\mathbf {r} }}-\omega ^{2}{\hat {\mathbf {\theta } }}.}
この表記を用いると、 r ( t ) は次の式で表される。 一般に、軌道 r ( t ) は円筒上を走るとは限らないため、半径 R は時間とともに変化し、円筒極座標における粒子の軌道は次のようになる。 ここで、 r 、 θ 、 z は 連続的に微分可能な時間関数である可能性があり、簡略化のため関数表記は省略する。速度ベクトル v P は軌道r ( t )の時間微分であり 、次の式で表される。 r ( t ) = r r ^ + z ( t ) z ^ . {\displaystyle \mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }}.} r ( t ) = r ( t ) r ^ + z ( t ) z ^ . {\displaystyle \mathbf {r} (t)=r(t){\hat {\mathbf {r} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }}.} v P = d d t ( r r ^ + z z ^ ) = v r ^ + r ω θ ^ + v z z ^ = v ( r ^ + θ ^ ) + v z z ^ . {\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=v{\hat {\mathbf {r} }}+r\mathbf {\omega } {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v({\hat {\mathbf {r} }}+{\hat {\mathbf {\theta } }})+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}
同様に、速度v P の時間微分である 加速度 a P は次のように表されます。 a P = d d t ( v r ^ + v θ ^ + v z z ^ ) = ( a − v ω ) r ^ + ( a + v ω ) θ ^ + a z z ^ . {\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(v{\hat {\mathbf {r} }}+v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\right)=(a-v\omega ){\hat {\mathbf {r} }}+(a+v\omega ){\hat {\mathbf {\theta } }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}
経路上のその点における経路の曲率中心に向かう 項は、一般に 求心加速度 と呼ばれます。この項は コリオリの加速度 と呼ばれます 。 − v ω r ^ {\displaystyle -v\omega {\hat {\mathbf {r} }}} v ω θ ^ {\displaystyle v\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}}
一定半径 粒子の軌道が円筒上を走るように制約されている場合、半径 r は一定であり、速度ベクトルと加速度ベクトルは単純化される。速度 v P は軌道 r ( t )の時間微分である。 v P = d d t ( r r ^ + z z ^ ) = r ω θ ^ + v z z ^ = v θ ^ + v z z ^ . {\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}
平面円軌道 車輪上の各粒子は平面的な円軌道を描いて移動する（機械の運動学、1876年）。 [24] 円柱上の粒子軌道の特殊なケースは、 Z 軸に沿った動きがない場合に発生します。 ここで、 r と z 0 は定数です。この場合、速度 v P は 次のように与えられます。 ここで、は 円柱の Z 軸周りの 単位ベクトル θ ^ の角速度 です。 r ( t ) = r r ^ + z z ^ , {\displaystyle \mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},} v P = d d t ( r r ^ + z z ^ ) = r ω θ ^ = v θ ^ , {\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }},} ω {\displaystyle \omega }
粒子 P の加速度 a P は次のように表されます。 a P = d ( v θ ^ ) d t = a θ ^ − v θ r ^ . {\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {{\text{d}}(v{\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=a{\hat {\mathbf {\theta } }}-v\theta {\hat {\mathbf {r} }}.}
これらの成分は 、それぞれ加速度の 半径方向 成分と 接線方向成分 と呼ばれます。 a r = − v θ , a θ = a , {\displaystyle a_{r}=-v\theta ,\quad a_{\theta }=a,}
角速度と 角加速度 の表記は次のように定義されることが多い ため、円軌道の半径方向および接線方向の加速度成分も次のように表記される。 ω = θ ˙ , α = θ ¨ , {\displaystyle \omega ={\dot {\theta }},\quad \alpha ={\ddot {\theta }},} a r = − r ω 2 , a θ = r α . {\displaystyle a_{r}=-r\omega ^{2},\quad a_{\theta }=r\alpha .}
平面上を移動する物体の点の軌跡 機械システム の構成要素の動きは、各部品に 参照フレーム を取り付け 、それらの相対的な動きを決定することによって解析されます。部品の構造剛性が十分であれば、それらの変形は無視でき、この相対的な動きを定義するために剛体変換を使用することができます。これにより、複雑な機械システムの各部品の運動の記述は、各部品の形状と、各部品と他の部品との相対的な幾何学的関係を記述する問題へと簡略化されます。
幾何学とは 、空間が様々な方法で変換されても図形の性質が変わらないかどうかを研究する学問であり、より専門的には、一連の変換に対する不変量を研究する学問です。 [25] これらの変換は、頂点の角と頂点間の距離を変えずに、三角形を平面内で変位させることがあります。運動学はしばしば応用幾何学と呼ばれ、機械システムの運動をユークリッド幾何学の剛体変換を用いて記述します。
平面上の点の座標は、 R 2 （二次元空間）における二次元ベクトルである。剛体変換とは、任意の二点間の 距離を保存する変換である。n 次元 空間における剛体変換の集合は、 R n 上の 特殊 ユークリッド群 と呼ばれ、 SE( n ) と表記される。
変位と動き ボルトン＆ワット蒸気エンジン（1784）の各コンポーネントの動きは、連続した一連の剛体変位によってモデル化されます。 機械システムにおける一方の構成要素の、他方の構成要素に対する相対的な位置は、 一方の構成要素に、固定されたもう一方の構成要素 Fに対して相対的に移動する参照系（例えば M ）を導入することによって定義されます。M の F に対する 剛体変換、すなわち変位は、 2つの構成要素の相対的な位置を定義します。変位は 、 回転 と 並進 の組み合わせで構成されます 。
F に対する M のすべての変位の集合は、 M の 構成空間 と呼ばれます。 この構成空間内のある位置から別の位置への滑らかな曲線は、 F に対する M の 運動 と呼ばれる、連続した変位の集合です。物体の運動は、連続した回転と並進の集合で構成されます。
行列表現 平面R 2 における回転と並進の組み合わせは、 同次変換と呼ばれる3×3行列の一種で表すことができます。3×3同次変換は、2×2 回転行列 A ( φ ) と2×1並進ベクトル d = ( d x , d y ) から次のように
構成されます。 これらの同次変換は、平面 z = 1 上の点、つまり座標 r = ( x , y , 1 ) の点に対して剛体変換を実行します。 [ T ( ϕ , d ) ] = [ A ( ϕ ) d 0 1 ] = [ cos ϕ − sin ϕ d x sin ϕ cos ϕ d y 0 0 1 ] . {\displaystyle [T(\phi ,\mathbf {d} )]={\begin{bmatrix}A(\phi )&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}.}
特に、 r は 、固定座標系 Fと一致する参照座標系 M 内の点の座標を定義します 。M の原点が F の原点に対して 並進ベクトル dだけ移動し、 F の x 軸に対して角度 φ だけ回転すると、 M 内の点の F における新しい座標は 次のように与えられます。 P = [ T ( ϕ , d ) ] r = [ cos ϕ − sin ϕ d x sin ϕ cos ϕ d y 0 0 1 ] [ x y 1 ] . {\displaystyle \mathbf {P} =[T(\phi ,\mathbf {d} )]\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}
同次変換はアフィン変換 を表す 。この定式化は、 平行移動が R 2 の 線型変換 ではないため必要となる 。しかし、 射影幾何学 を用いると、 R 2 は R 3 の部分集合とみなされ 、平行移動はアフィン線型変換となる。 [26]
純粋な翻訳 剛体が、その 基準系 M が固定系 F に対して 回転しない（ θ = 0 ）ように運動する場合、その運動は純粋並進運動と呼ばれます。この場合、剛体上のすべての点の軌道は、 M の原点の軌道 d ( t )からのオフセットであり、 すなわち次の式となります。 r ( t ) = [ T ( 0 , d ( t ) ) ] p = d ( t ) + p . {\displaystyle \mathbf {r} (t)=[T(0,\mathbf {d} (t))]\mathbf {p} =\mathbf {d} (t)+\mathbf {p} .}
したがって、純粋に並進運動する物体の場合、物体内の
各点 P の速度と加速度は次のように表されます。 ここで、点は時間に関する微分を表し、 v O と a O はそれぞれ移動フレームM の原点における速度と加速度です。M の 座標ベクトル p は 定数であるため、その微分はゼロであることを思い出してください。 v P = r ˙ ( t ) = d ˙ ( t ) = v O , a P = r ¨ ( t ) = d ¨ ( t ) = a O , {\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {r} }}(t)={\dot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {v} _{O},\quad \mathbf {a} _{P}={\ddot {\mathbf {r} }}(t)={\ddot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {a} _{O},}
固定軸を中心とした物体の回転 図1：角速度ベクトル Ωは 、右手の法則 に従って、反時計回りの回転では上向き、時計回りの回転では下向きになります 。角度位置 θ ( t )は時間とともに ω ( t ) = dθ / dt の速度で変化します 。 遊び場の メリーゴーランド 、換気扇、蝶番付きのドアなどの物体は、単一の固定軸を中心に回転する剛体としてモデル化することができます。 [ 27] : 37 z 軸は慣例的に選択されています。
位置 これにより、平面座標系 Mの 、 この共通の z 軸を中心とした固定座標系 F に対する角度位置として回転を記述することが可能になります。M の座標 p = ( x , y )は、 Fの座標 P = ( X , Y )と次の 行列方程式 によって関連付けられます。 P ( t ) = [ A ( t ) ] p , {\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} ,}
ここで
、は 時間の関数として F に対する M の角度位置を定義する回転行列です。 [ A ( t ) ] = [ cos ( θ ( t ) ) − sin ( θ ( t ) ) sin ( θ ( t ) ) cos ( θ ( t ) ) ] , {\displaystyle [A(t)]={\begin{bmatrix}\cos(\theta (t))&-\sin(\theta (t))\\\sin(\theta (t))&\cos(\theta (t))\end{bmatrix}},}
速度 点 pが M 内で移動しない場合 、 F におけるその速度は次のように表される。 座標 pを消去し、これを軌道 P ( t ) 上の操作として記述すると便利である。 ここで、行列は F に対する M の角速度行列と呼ばれる 。パラメータ ω は角度 θ の時間微分であり、次の式で表される。 v P = P ˙ = [ A ˙ ( t ) ] p . {\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {A}}(t)]\mathbf {p} .} v P = [ A ˙ ( t ) ] [ A ( t ) − 1 ] P = [ Ω ] P , {\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {A}}(t)][A(t)^{-1}]\mathbf {P} =[\Omega ]\mathbf {P} ,} [ Ω ] = [ 0 − ω ω 0 ] , {\displaystyle [\Omega ]={\begin{bmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{bmatrix}},} ω = d θ d t . {\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}.}
加速度 F における P ( t )の加速度は 速度の時間微分として得られ、 これは次のように表される。 ここで
、は F における M の角加速度行列で あり、 A P = P ¨ ( t ) = [ Ω ˙ ] P + [ Ω ] P ˙ , {\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\ddot {P}}(t)=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ]{\dot {\mathbf {P} }},} A P = [ Ω ˙ ] P + [ Ω ] [ Ω ] P , {\displaystyle \mathbf {A} _{P}=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ][\Omega ]\mathbf {P} ,} [ Ω ˙ ] = [ 0 − α α 0 ] , {\displaystyle [{\dot {\Omega }}]={\begin{bmatrix}0&-\alpha \\\alpha &0\end{bmatrix}},} α = d 2 θ d t 2 . {\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}.}
回転の説明には次の 3 つの量が含まれます。
角度位置 ：回転軸上の選択された原点から物体の点までの方向距離は、 その点の位置を示すベクトル r ( t ) です。ベクトル r ( t ) は、回転軸に垂直な平面上に 投影された（または、それと同等の成分） r ⊥ ( t ) を持ちます。この場合、その点の 角度位置 は、基準軸（通常は正の x 軸）からベクトル r ⊥ ( t ) までの、既知の回転方向（通常は 右手の法則 によって与えられます）における角度 θです。 角速度 : 角速度 ωは、時間 t に対する角度位置 θ の変化率です 。 図 1 では、角速度は、 回転軸に沿ったベクトル Ωで表され、大きさは ωで、方向は 右手の法則 に従って回転方向によって決まります 。 ω = d θ d t {\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}} 角加速度 ：角加速度 α の大きさは、角速度 ωが時間 t に対して変化する速度である 。 α = d ω d t {\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}} 並進運動学の方程式は、単純な変数の交換により、一定の角加速度に対する平面回転運動学に簡単に拡張できます。 ω f = ω i + α t {\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }=\omega _{\mathrm {i} }+\alpha t\!} θ f − θ i = ω i t + 1 2 α t 2 {\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }=\omega _{\mathrm {i} }t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}} θ f − θ i = 1 2 ( ω f + ω i ) t {\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }={\tfrac {1}{2}}(\omega _{\mathrm {f} }+\omega _{\mathrm {i} })t} ω f 2 = ω i 2 + 2 α ( θ f − θ i ) . {\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }^{2}=\omega _{\mathrm {i} }^{2}+2\alpha (\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }).}
ここで 、θ i と θ f はそれぞれ初期および最終の角度位置、 ω i と ω f はそれぞれ初期および最終の角速度、 α は一定の角加速度です。空間における位置と空間における速度はどちらも（回転時の特性の観点から）真のベクトルですが、角速度と同様に、角度自体は真のベクトルではありません。
3次元的に移動する物体の点軌跡 運動学における重要な公式は、運動物体内の点が三次元空間で軌道を描く際の 速度 と加速度を定義します。これは特に物体の重心において重要であり、 ニュートンの運動の第二法則 または ラグランジュの方程式 を用いて運動方程式を導出する際に用いられます。
位置 これらの式を定義するために、 機械システムのコンポーネント Bの運動は、回転[A( t )]と並進 d ( t )]の集合を同次変換[T( t )]=[A( t ), d ( t )]に組み込むことによって定義されます。p を 、移動 参照フレーム Mで測定された B 内の点 P の座標とすると、この点が F で描く軌跡は 次のように表されます。
この表記法では、 P = (X, Y, Z, 1)と P = (X, Y, Z) を区別しませんが、文脈から明らかであると考えられます。 P ( t ) = [ T ( t ) ] p = [ P 1 ] = [ A ( t ) d ( t ) 0 1 ] [ p 1 ] . {\displaystyle \mathbf {P} (t)=[T(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}
P の軌道に関するこの式を逆にすると、 M の座標ベクトル p を 次のように計算できます 。 この式では、回転行列の転置はその逆行列でもあるという事実を利用しています。つまり、 p = [ T ( t ) ] − 1 P ( t ) = [ p 1 ] = [ A ( t ) T − A ( t ) T d ( t ) 0 1 ] [ P ( t ) 1 ] . {\displaystyle \mathbf {p} =[T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)={\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)^{\text{T}}&-A(t)^{\text{T}}\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}.} [ A ( t ) ] T [ A ( t ) ] = I . {\displaystyle [A(t)]^{\text{T}}[A(t)]=I.\!}
速度 点 P の軌跡 P ( t ) に沿った速度は、この位置ベクトルの時間微分として得られます。 点は時間に関する微分を表します。p は定数なので 、 その微分はゼロです。 v P = [ T ˙ ( t ) ] p = [ v P 0 ] = ( d d t [ A ( t ) d ( t ) 0 1 ] ) [ p 1 ] = [ A ˙ ( t ) d ˙ ( t ) 0 0 ] [ p 1 ] . {\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {T}}(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}=\left({\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\mathbf {d} }}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}
この式は、固定座標系 F で測定された軌道 P ( t ) に作用することで、 P の速度を求めるように修正できます 。 速度方程式に p の 逆変換を 代入すると、次の式が得られます。
行列 [ S ] は次のように与えられます。 ここで 、は角速度行列です。 v P = [ T ˙ ( t ) ] [ T ( t ) ] − 1 P ( t ) = [ v P 0 ] = [ A ˙ d ˙ 0 0 ] [ A d 0 1 ] − 1 [ P ( t ) 1 ] = [ A ˙ d ˙ 0 0 ] A − 1 [ 1 − d 0 A ] [ P ( t ) 1 ] = [ A ˙ A − 1 − A ˙ A − 1 d + d ˙ 0 0 ] [ P ( t ) 1 ] = [ A ˙ A T − A ˙ A T d + d ˙ 0 0 ] [ P ( t ) 1 ] v P = [ S ] P . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{P}&=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)\\[4pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&\mathbf {d} \\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-\mathbf {d} \\0&A\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{\text{T}}&-{\dot {A}}A^{\text{T}}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {v} _{P}&=[S]\mathbf {P} .\end{aligned}}} [ S ] = [ Ω − Ω d + d ˙ 0 0 ] {\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}} [ Ω ] = A ˙ A T , {\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\text{T}},}
演算子 [ S ] を掛けると、速度 v P の式は次のようになります。 ここで、ベクトル ω は行列 [Ω] の要素から得られる角速度ベクトルです。ベクトルは、 移動フレーム M の原点 Oに対する P の位置です 。ベクトルは、
原点 O の速度です 。 v P = [ Ω ] ( P − d ) + d ˙ = ω × R P / O + v O , {\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[\Omega ](\mathbf {P} -\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }}=\omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {v} _{O},} R P / O = P − d , {\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,} v O = d ˙ , {\displaystyle \mathbf {v} _{O}={\dot {\mathbf {d} }},}
加速度 運動する物体 B の点 P の加速度は、その速度ベクトルの時間微分として得られる。 A P = d d t v P = d d t ( [ S ] P ) = [ S ˙ ] P + [ S ] P ˙ = [ S ˙ ] P + [ S ] [ S ] P . {\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left([S]\mathbf {P} \right)=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S]{\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S][S]\mathbf {P} .}
この式は、まず計算して展開することができ 、 [ S ˙ ] = [ Ω ˙ − Ω ˙ d − Ω d ˙ + d ¨ 0 0 ] = [ Ω ˙ − Ω ˙ d − Ω v O + A O 0 0 ] {\displaystyle [{\dot {S}}]={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega {\dot {\mathbf {d} }}+{\ddot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega \mathbf {v} _{O}+\mathbf {A} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}} [ S ] 2 = [ Ω − Ω d + v O 0 0 ] 2 = [ Ω 2 − Ω 2 d + Ω v O 0 0 ] . {\displaystyle [S]^{2}={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +\mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}\Omega ^{2}&-\Omega ^{2}\mathbf {d} +\Omega \mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}.}
加速度 A P の式は次のように得られます。 または、 ここで α は角速度ベクトルの導関数から得られる角加速度ベクトル、 は相対位置ベクトル（ 移動フレーム M の原点 Oに対する P の位置）、は
移動フレーム M の原点の加速度です 。 A P = Ω ˙ ( P − d ) + A O + Ω 2 ( P − d ) , {\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\dot {\Omega }}(\mathbf {P} -\mathbf {d} )+\mathbf {A} _{O}+\Omega ^{2}(\mathbf {P} -\mathbf {d} ),} A P = α × R P / O + ω × ω × R P / O + A O , {\displaystyle \mathbf {A} _{P}=\alpha \times \mathbf {R} _{P/O}+\omega \times \omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {A} _{O},} R P / O = P − d , {\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,} A O = d ¨ {\displaystyle \mathbf {A} _{O}={\ddot {\mathbf {d} }}}
運動学的制約 運動学的拘束とは、機械システムの構成要素の動きに対する拘束です。運動学的拘束には、(i) ヒンジ、スライダー、カムジョイントなどから生じる拘束で、システムの構造を定義する ホロノミック拘束 と、(ii) アイススケートのナイフエッジ拘束や、平面に接触した円盤や球が滑らずに転がるといったシステムの速度に課される拘束の2つの基本 的な 形態があります。以下に一般的な例を示します。
運動学的カップリング 運動 学的結合は 6 つの自由度すべてを正確に制約します。
滑らずに転がる 滑らずに表面 を転がる物体は、その 重心 の 速度 が接触点から重心へのベクトルと角速度の 外積 に等しい という条件に従います。 v G ( t ) = Ω × r G / O . {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{G}(t)={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{G/O}.}
傾いたり回転したりしない物体の場合、これは になります 。 v = r ω {\displaystyle v=r\omega }
伸縮しないコード これは、張力を受け、長さを変えることができない理想的な紐で物体が接続されているケースである。制約条件は、紐のすべての部分の長さの合計が全長であり、したがってこの合計の時間微分はゼロであるということである。 [28] [29] [30] この種の力学的な問題としては 振り子 がある。別の例としては、伸縮しない紐で縁に取り付けられた重りが落下し、重力によって回転する太鼓がある。 [31] この種の平衡問題（つまり運動学的な問題ではない 問題 ）としては 懸垂線 がある。 [32]
運動学的対偶 ルーローは 、機械を構成する部品間の理想的な連結を 運動学的対偶 と呼んだ。彼は、2つのリンク間に線接触があると言われる高次の対偶と、リンク間に面接触がある低次の対偶を区別した。J.フィリップスは、この単純な分類に当てはまらない対偶を構築する方法が数多くあることを示している。 [33]
下のペア 下側ペアとは、移動する立体（三次元）内の点、線、または面と、固定された立体内の対応する点、線、または面との接触を維持する理想的なジョイント、またはホロノミック拘束です。以下のケースがあります。
回転対偶、またはヒンジジョイントでは、移動体の直線（軸）が固定体の直線と共線を保ち、かつ移動体のこの直線に垂直な面が固定体の同様の垂直面と接触している必要があります。これにより、リンクの相対運動には5つの拘束が課せられ、したがって1つの自由度、すなわちヒンジの軸を中心とした純粋な回転運動が与えられます。 直動ジョイント （ スライダー）では、移動体の直線（軸）が固定体の直線と共線を保ち、かつ移動体のこの直線に平行な面が固定体の同様の平行面と接触している必要があります。これにより、リンクの相対的な動きに5つの拘束が課せられ、1つの自由度が与えられます。この自由度は、直線に沿ったスライドの距離です。 円筒ジョイントでは、移動体の直線（軸）が固定体の直線と同一直線上になければなりません。これは回転ジョイントとスライドジョイントを組み合わせたものです。このジョイントは2つの自由度を持ちます。移動体の位置は、軸を中心とした回転と軸に沿ったスライドの両方によって定義されます。 球面ジョイント（ボールジョイント）では、移動体の一点が固定体の一点と接触し続ける必要があります。このジョイントは3つの自由度を持ちます。 平面関節では、移動体の平面が固定体の平面と接触する必要があります。この関節は3つの自由度を持ちます。
より高いペア 一般的に、高次の対偶とは、移動体の曲線または面が固定体の曲線または面との接触を維持することを要求する拘束条件です。例えば、カムとその従動子間の接触は、 カムジョイント と呼ばれる高次の対偶です。同様に、2つの歯車のかみ合い歯を形成するインボリュート曲線間の接触もカムジョイントです。
運動連鎖 1876年の『機械の運動学』に掲載された4節リンク機構の図 剛体（「リンク」）が 運動学的な対偶 （「ジョイント」）によって連結されたものは、 運動連鎖 と呼ばれます。 機構 やロボットは、運動連鎖の例です。運動連鎖の 自由度は、 可動性の公式 を用いて、リンクの数とジョイントの数および種類から計算されます。この公式は、与えられた自由度を持つ運動連鎖の トポロジーを 列挙するためにも使用でき、これは機械設計における 型合成 として知られています 。
例 N 個のリンクと j 個の ヒンジまたはスライディング ジョイント から組み立てられた 平面 1 自由度 リンク機構は次のとおりです。
N = 2、 j = 1 : レバーとなる 2 節リンク機構。 N = 4、 j = 4： 4リンク機構 。 N = 6, j = 7 : 6節リンク機構 。これは3つの関節を支える2つのリンク（「三元リンク」）を持つ必要があります。2つの三元リンク機構の接続方法によって、2つの異なるトポロジーが存在します。 ワットトポロジー では、2つの三元リンクは共通の関節を持ちます。 スティーブンソントポロジー では、2つの三元リンクは共通の関節を持たず、2元リンクによって接続されます。 [34] N = 8、 j = 10 : 16 種類のトポロジを持つ 8 節リンク機構。 N = 10、 j = 13 : 230 種類のトポロジを持つ 10 節リンク機構。 N = 12、 j = 16: 6,856 のトポロジを持つ 12 節リンク機構。 より大きなチェーンとそのリンクトポロジーについては、RP Sunkari と LC Schmidt の 「Mckay 型アルゴリズムの適応による平面運動チェーンの構造合成」、 Mechanism and Machine Theory #41、pp. 1021–1030 (2006) を参照してください。
参照
参考文献 ^ エドマンド・テイラー・ウィテカー (1904). 『粒子と剛体の解析的ダイナミクスに関する論文』 ケンブリッジ大学出版局. 第1章. ISBN 0-521-35883-3 。 ^ ジョセフ・スタイルズ・ベッグス (1983). 運動学. テイラー＆フランシス. p. 1. ISBN 0-89116-355-7 。 ^ トーマス・ウォレス・ライト (1896). 『運動学、動力学、静力学を含む力学の要素』 E & FN Spon. 第1章. ^ ラッセル・C・ヒッベラー (2009). 「粒子の運動学と動力学」. 工学力学：動力学 （第12版）. プレンティス・ホール. p. 298. ISBN 978-0-13-607791-6 。 ^ Ahmed A. Shabana (2003). 「参照運動学」. 多体システムのダイナミクス （第2版）. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-54411-5 。 ^ PP Teodorescu (2007). 「運動学」. 機械システム、古典モデル：粒子力学 . シュプリンガー. p. 287. ISBN 978-1-4020-5441-9 。 。 ^ Gallardo-Alvarado, Jaime; Gallardo-Razo, José (2022-01-01), Gallardo-Alvarado, Jaime; Gallardo-Razo, José (eds.)「第1章 運動学とその代数の概要」、 メカニズム 、モデリング、識別、制御における新たな方法論とアプリケーション、Academic Press、pp. 3– 16、 ISBN 978-0-323-95348-1 、 2025年7月21日 取得 ^ Spekkens, Robert W. (2015). 「運動学と力学のパラダイムは因果構造に屈服しなければならない」. Aguirre, Anthony, Foster, Brendan, Merali, Zeeya (編). Questioning the Foundations of Physics . The Frontiers Collection. Cham: Springer International Publishing. pp. 5– 16. arXiv : 1209.0023 . doi :10.1007/978-3-319-13045-3_2. ISBN 978-3-319-13044-6 。 ^ A. ビーヴェナー (2003)。動物の移動。オックスフォード大学出版局。 ISBN 019850022X 。 ^ JM McCarthyとGS Soh、2010年、「Geometric Design of Linkages」、Springer、ニューヨーク。 ^ ダニエル・クレップナー、ロバート・コレンコウ (2013年11月18日). 『力学入門』（第2版）. ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/cbo9781139013963. ISBN 978-0-521-19811-0 。 ^ ジー、アンソニー (2013). 『アインシュタイン重力入門』 . 『イン・ア・ナッツシェル・シリーズ』（第1版）. プリンストン: プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-14558-7 。 ^ ハイゼンベルク、ヴェルナー。「運動学的および力学的関係の量子理論的再解釈」Z. Phys 33 (1925): 879-893。 ^ Mehra, J; Rechenberg, H (2000). 量子論の歴史的発展 . Springer. ^ ハイゼンベルク、ヴェルナー (1983). 「量子運動学と量子力学の物理的内容」. ウィーラー、ジョン・アーチボルド; ズーレク、ヴォイチェフ・ヒューバート (編). 量子理論と測定 . プリンストン物理学シリーズ. プリンストン、ニュージャージー州: プリンストン大学出版局. ISBN 978-1-4008-5455-4 。 ^ アンペール、アンドレ＝マリー (1834)。科学哲学のエッセイ。シェ・バシュリエ。 ^ メルツ、ジョン（1903年）『19世紀ヨーロッパ思想史』ブラックウッド、ロンドン、5頁。 ^ O. Bottema & B. Roth (1990). 理論運動学. Dover Publications. 序文, p. 5. ISBN 0-486-66346-9 。 ^ ハーパー、ダグラス、「映画」。 オンライン語源辞典 。 ^ 2.4 Integration、MIT、2017年6月2日、2021年11月13日時点のオリジナルよりアーカイブ、 2021年7月4日 取得 ^ https://www.youtube.com/watch?v=jLJLXka2wEM クラッシュコース物理積分 ^ https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-area-triangle-without-right-angle.html 直角のない三角形の面積 ^ kinematics.gif (508×368) (画像) . 2023年 11月3日 閲覧 。 ^ ルーロー、F. ; ケネディ、アレックス BW (1876)、『機械の運動学：機械理論の概要』ロンドン：マクミラン ^ 幾何学：特定の変換の下で不変である、与えられた要素の性質を研究する学問。 「幾何学の定義」。メリアム・ウェブスターオンライン辞書。2023年5月31日。 ^ ポール、リチャード（1981年）『ロボットマニピュレータ：数学、プログラミング、制御：ロボットマニピュレータのコンピュータ制御』MITプレス、マサチューセッツ州ケンブリッジ、 ISBN 978-0-262-16082-7 。 ^ グレゴリー、R. ダグラス (2006-04-13). 古典力学（第1版）. ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/cbo9780511803789. ISBN 978-0-521-82678-5 。 ^ ウィリアム・トムソン・ケルビン＆ピーター・ガスリー・テイト（1894年）『自然哲学の原論』ケンブリッジ大学出版局、p.4. ISBN 1-57392-984-0 。 ^ ウィリアム・トムソン・ケルビン＆ピーター・ガスリー・テイト（1894年）『自然哲学原論』296頁。 ^ M. Fogiel (1980). 「問題17-11」. 力学問題解決者 . 研究教育協会. p. 613. ISBN 0-87891-519-2 。 ^ アーヴィング・ポーター・チャーチ (1908). 工学力学. ワイリー. p. 111. ISBN 1-110-36527-6 。 ^ モリス・クライン (1990). 『古代から現代までの数学的思考 』 オックスフォード大学出版局. p. 472. ISBN 0-19-506136-5 。 ^ フィリップス、ジャック（2007年）『機械の自由』第1～2巻（復刻版）ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0-521-67331-0 。 ^ Tsai, Lung-Wen (2001). 機構設計：機能別運動構造の列挙（図解版）. CRC Press. p. 121. ISBN 978-0-8493-0901-4 。
さらに読む
外部リンク 無料辞書のウィクショナリーで 運動学 を調べてください。
ウィキメディア コモンズには、運動学 に関連するメディアがあります 。
1D運動学のJavaアプレット Physclips: ニューサウスウェールズ大学のアニメーションとビデオクリップによる力学。 設計用運動モデルデジタル ライブラリ (KMODDL) には、 コーネル大学 の機械システムの何百もの動作モデルの動画と写真、および機械設計とエンジニアリングに関する古典的なテキストの電子書籍ライブラリが含まれています。 運動学的コンポーネントによるマイクロインチ位置決め
![{\displaystyle [T(\phi ,\mathbf {d} )]={\begin{bmatrix}A(\phi )&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50078656eb1b2395a2ad84383cd16868c54649b1)
![{\displaystyle \mathbf {P} =[T(\phi ,\mathbf {d} )]\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9654bfae7e5d0f825ec57848bd5ab493f408804f)
![{\displaystyle \mathbf {r} (t)=[T(0,\mathbf {d} (t))]\mathbf {p} =\mathbf {d} (t)+\mathbf {p} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32f22d9b4fcc015f80b746db422f93b8d8d145dc)
![{\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a4e865fc0f6be2e59e479f4b0a03f8114971382)
![{\displaystyle [A(t)]={\begin{bmatrix}\cos(\theta (t))&-\sin(\theta (t))\\\sin(\theta (t))&\cos(\theta (t))\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53916525d50fa175a581d579e61b62d7d8a4610d)
![{\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {A}}(t)]\mathbf {p} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701dae17b9e581be69746145fd6133e7f07f2f16)
![{\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {A}}(t)][A(t)^{-1}]\mathbf {P} =[\Omega ]\mathbf {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fac9117de99ee6837c171f5f46eede17890bcba)
![{\displaystyle [\Omega ]={\begin{bmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed637d1916abe2a271e19c744c416d1cf20e4f0)
![{\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\ddot {P}}(t)=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ]{\dot {\mathbf {P} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a4ca56d89ccc6d2ec6d0daffd6907b9c47ccd5)
![{\displaystyle \mathbf {A} _{P}=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ][\Omega ]\mathbf {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d611f89cc9b7358cec772370a6ee8d79a792a9)
![{\displaystyle [{\dot {\Omega }}]={\begin{bmatrix}0&-\alpha \\\alpha &0\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ebb7e70e2d2370e781ee86ea55cd0fb7d469d7)
![{\displaystyle \mathbf {P} (t)=[T(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e928b50529956cc7ca762cee6969f7321c5cf9d)
![{\displaystyle \mathbf {p} =[T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)={\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)^{\text{T}}&-A(t)^{\text{T}}\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1aa622ad90b69b42880d95b90afb0b27407a60)
![{\displaystyle [A(t)]^{\text{T}}[A(t)]=I.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e132dec7e35a3f7b5135d601bb20851ce2abe646)
![{\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {T}}(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}=\left({\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\mathbf {d} }}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d216e15ab36a895fa2fa109fbdf77b9590d5ccb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{P}&=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)\\[4pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&\mathbf {d} \\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-\mathbf {d} \\0&A\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{\text{T}}&-{\dot {A}}A^{\text{T}}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {v} _{P}&=[S]\mathbf {P} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa70149e117b2b14b1f6d473dd453dc5530c7e6)
![{\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d988bfd6ff36b285d6294bf167b63d5f91bdef)
![{\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\text{T}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21d0117f60aeca689c59abbfe4b88b1a287a1b63)
+{\dot {\mathbf {d} }}=\omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {v} _{O},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127655f82eb90e56b116afbcf8aa567b908e516b)
![{\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left([S]\mathbf {P} \right)=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S]{\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S][S]\mathbf {P} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80998957f2829ada7a5e77e2fb68a31285e843cb)
![{\displaystyle [{\dot {S}}]={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega {\dot {\mathbf {d} }}+{\ddot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega \mathbf {v} _{O}+\mathbf {A} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a39702184d0f72216205c32ebcfa8e0e9c3b478)
![{\displaystyle [S]^{2}={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +\mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}\Omega ^{2}&-\Omega ^{2}\mathbf {d} +\Omega \mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557b35e24d57f15d0c9d2998053809be7105a2f9)
