線形方程式

変数の累乗や積を含まない方程式

2変数の線形方程式の2つのグラフ

数学において、線形方程式とは、 の形で表される方程式です。ここで、は変数（または未知数）であり、 は係数であり、係数は多くの場合実数です。係数は方程式のパラメータとみなされ、変数を含まない任意の式とすることができます。意味のある方程式を導くためには、係数がすべてゼロであってはなりません。 ${\displaystyle a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle b,a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

あるいは、係数が取られる何らかの体上の線形多項式をゼロに等しくすることによって線形方程式を取得することもできます。

このような方程式の解は、未知数に代入されたときに等式が真となる値です。

変数が1つの場合、解は1つだけ存在します（）。多くの場合、「線形方程式」という用語は、暗黙的にこの特定のケースを指し、この場合、変数は適切に未知数と呼ばれます。 ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$

2変数の場合、各解はユークリッド平面上の点の直交座標として解釈できます。線形方程式の解はユークリッド平面上で直線を形成し、逆に、各直線は2変数線形方程式のすべての解の集合と見なすことができます。これが、この種の方程式を記述する際に使用される「線形」という用語の由来です。より一般的には、 n変数線形方程式の解は、n次元ユークリッド空間上の超平面（ n − 1次元の部分空間）を形成します。

線形方程式はあらゆる数学や物理学および工学におけるその応用において頻繁に登場します。これは、非線形システムが線形方程式によって十分に近似できることが多いためです。

本稿では、実数体の係数を持つ単一の方程式について考察し、その実解を研究する。本稿の内容はすべて複素解、そしてより一般的には、任意の体の係数と解を持つ線型方程式に適用できる。複数の連立線型方程式の場合については、線型方程式系を参照のこと。

1つの変数

1 変数xの線形方程式は、のように表すことができます。 ${\displaystyle ax+b=0,}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

解決策は です。 ${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}$

2つの変数

2変数xとyの線形方程式は、aと bが両方とも0ではない場合、次のように表すことができます。^[1] ${\displaystyle ax+by+c=0,}$

aとbが実数の場合、解は無限に存在します。

線形関数

b ≠ 0 の場合、式

${\displaystyle ax+by+c=0}$

は、 xの任意の値に対して、一変数yの線形方程式である。したがって、 yの唯一の解は次式で与えられる。

${\displaystyle y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.}$

これは関数を定義します。この関数のグラフは、傾きとy切片を持つ直線です。グラフが直線である関数は、微積分学では一般に線型関数と呼ばれます。しかし、線型代数では、線型関数とは、和を加数の像の和に写像する関数です。そのため、この定義では、上記の関数はc = 0の場合、つまり直線が原点を通過する場合にのみ線型です。混乱を避けるために、グラフが任意の直線である関数はしばしばアフィン関数と呼ばれ、 c = 0となる線型関数はしばしば線型写像と呼ばれます。 ${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle -{\frac {c}{b}}.}$

幾何学的解釈

方程式x = aの垂直線

y = bの水平線

線形方程式の各解（x、y）

${\displaystyle ax+by+c=0}$

はユークリッド平面上の点の直交座標と見なすことができます。この解釈によれば、 aとbが共にゼロでない限り、方程式のすべての解は直線を形成します。逆に、すべての直線は線形方程式のすべての解の集合です。

「線形方程式」という語句は、線と方程式のこの対応関係に由来します。つまり、 2 変数の線形方程式とは、解が直線を形成する方程式のことです。

b ≠ 0の場合、直線は前のセクションで定義されたxの関数のグラフです。b = 0の場合、直線はxの関数のグラフではない方程式の垂直線（つまりy軸に平行な線）です。 ${\displaystyle x=-{\frac {c}{a}},}$

同様に、a ≠0の場合には、直線はyの関数のグラフとなり、a =0の場合には、水平な等式線となる。 ${\displaystyle y=-{\frac {c}{b}}.}$

直線の方程式

直線の定義方法は様々です。以下の節では、それぞれの場合について直線の線形方程式を示します。

傾き-切片形式または勾配-切片形式

非垂直な直線は、その傾きmとy切片y ₀（y軸との交点のy座標）によって定義されます。この場合、その線形方程式は次のように表されます 。

${\displaystyle y=mx+y_{0}.}$

さらに、直線が水平でない場合は、その傾きとx切片x ₀によって定義できます。この場合、その方程式は次のように表されます。

${\displaystyle y=m(x-x_{0}),}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle y=mx-mx_{0}.}$

これらの形式は、非垂直な直線を関数のグラフとして考えるという慣習に依存している。^[2]方程式によって与えられた直線に対して

${\displaystyle ax+by+c=0,}$

これらの形は、関係から簡単に推測できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}}$

点-傾き形式または点-勾配形式

非垂直な直線は、その傾きmと直線上の任意の点の座標によって定義できます。この場合、直線の線形方程式は次のようになります。 ${\displaystyle x_{1},y_{1}}$

${\displaystyle y=y_{1}+m(x-x_{1}),}$

または

${\displaystyle y=mx+y_{1}-mx_{1}.}$

この式は次のようにも書ける。

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}$

直線の傾きは任意の 2 点の座標から計算できることを強調します。

インターセプトフォーム

軸に平行でなく、原点を通らない直線は、軸を2つの異なる点に切断する。これらの2点の切片x ₀とy ₀は0でなく、直線の方程式は^{[3]である。}

${\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.}$

(この方程式で定義された直線がx ₀とy ₀を切片値として持つことは簡単に確認できます)。

2点形式

異なる2点( x ₁ , y ₁ )と( x ₂ , y ₂ )が与えられたとき、それらを通る直線は1本だけ存在します。この直線の線形方程式を書く方法はいくつかあります。

x ₁ ≠ x ₂の場合、直線の傾きは、したがって、点-傾き形式は^[3] ${\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).}$

分母を消去すると次の式が得られる。

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,}$

これはx ₁ = x ₂の場合でも有効です(これを確認するには、指定された 2 つの点が方程式を満たしていることを確認するだけで十分です)。

この形式は与えられた2つの点において対称ではありませんが、定数項を再グループ化することで対称形式を得ることができます。

${\displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}$

(2 つの点を交換すると、方程式の左側の符号が変わります)。

行列式形式

直線の方程式の2点形式は、行列式を用いて単純に表すことができます。これには2つの一般的な方法があります。

この式は、方程式の行列式を展開した結果である。 ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.}$

この方程式は、方程式の行列式をその最初の行に関して展開することによって得られる。 ${\displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.}$

この形式は非常に単純で記憶しやすいだけでなく、 n − 1次元の空間におけるn点を通る超平面のより一般的な方程式の特殊ケースであるという利点があります。これらの方程式は、射影空間における点の線型従属という条件に依存しています。

2つ以上の変数

2つ以上の変数を持つ線形方程式は常に次の形式であると仮定できる。

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.}$

係数b はしばしばa ₀と表記され、定数項と呼ばれます（古い文献^{[4] [5]では}絶対項と呼ばれることもあります）。文脈によっては、係数という用語はi > 0となるa _iを指す場合もあります。

変数を扱うときは、インデックス付き変数の代わりにとを使用するのが一般的です。 ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle x,\;y}$ ${\displaystyle z}$

このような方程式の解はn組であり、組の各要素を対応する変数に置き換えると、方程式が真の等式に変換されます。

方程式が意味を持つためには、少なくとも1つの変数の係数が非ゼロでなければなりません。すべての変数の係数がゼロの場合、1つの変数の場合と同様に、方程式は矛盾している（b ≠ 0の場合）ため解が存在しない、またはすべてのn組が解である、という状態になります。

n変数線形方程式の解であるn組は、 n次元ユークリッド空間（係数が複素数または任意の体に属する場合はアフィン空間）における( n −1)次元超平面上の点の直交座標である。3変数の場合、この超平面は平面となる。

もしa _j ≠ 0の線形方程式が与えられているならば、その方程式はx _jについて解くことができ、次の式が得られる。

${\displaystyle x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.}$

係数が実数の場合、これはn 個の実変数の実数値 関数を定義します。

参照

• 環上の線形方程式
• 代数方程式
• 線座標
• 線形不等式
• 非線形方程式

注記

1. Barnett、Ziegler、Byleen 2008、15ページ
2. ラーソン＆ホステラー 2007、25ページ
3. ウィルソン＆トレーシー 1925年、52-53ページ
4. チャールズ・ハイラム・チャップマン (1892). 『方程式理論初等講座』 J. Wiley & Sons. p. 17.17ページの抜粋
5. デイヴィッド・マーティン・センセニグ（1890年）『Numbers Universalized: An Advanced Algebra（普遍化された数：高度な代数学）』アメリカンブックカンパニー、113ページ。113ページの抜粋

参考文献

• Barnett, RA; Ziegler, MR; Byleen, KE (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11th ed.), Upper Saddle River, NJ: Pearson, ISBN 978-0-13-157225-6
• ラーソン、ロン; ホステラー、ロバート (2007)、『Precalculus:A Concise Course』、ホートン・ミフリン、ISBN 978-0-618-62719-6
• ウィルソン、WA; トレーシー、JI (1925)、『解析幾何学』（改訂版）、DCヒース

外部リンク

• 「線形方程式」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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