線形形式

Linear map from a vector space to its field of scalars

数学において、線型形式（線型汎関数、^{[1] 、} 1形式、共ベクトルとも呼ばれる）は、ベクトル空間からそのスカラー体（多くの場合、実数または複素数）への線型写像[注1 ]で^ある。

Vが体k上のベクトル空間である場合、 Vからkへのすべての線型関数の集合は、それ自体が点ごとに定義された加算とスカラー乗算を持つk上のベクトル空間である。この空間はVの双対空間と呼ばれ、位相双対空間も考慮される場合は代数的双対空間と呼ばれる。これはしばしばHom( V , k ) , ^[2]と表記されるか、体kが理解されている場合は; ^[3]他の表記法、 , ^{[4] [5]}または^[2]なども使用される。ベクトルが列ベクトルで表される場合（基底が固定されている場合に一般的である）、線型関数は行ベクトルとして表され、特定のベクトル上の値は行列積（行ベクトルを左側に持つ）で与えられる。 ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V^{\#}}$ ${\displaystyle V^{\vee }.}$

例

定数零関数 は、すべてのベクトルを零に写像するため、自明に線型関数である。他のすべての線型関数（例えば、以下に示すもの）は射影的である（つまり、その値域はk全体である）。

• ベクトルのインデックス: 3次元ベクトルの2番目の要素は1次元形式で与えられます。つまり、の2番目の要素は ${\displaystyle [0,1,0].}$ ${\displaystyle [x,y,z]}$ $${\displaystyle [0,1,0]\cdot [x,y,z]=y.}$$
• 平均：ベクトルの平均要素は1次形式で与えられる。つまり、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right].}$ $${\displaystyle \operatorname {mean} (v)=\left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right]\cdot v.}$$
• サンプリング:カーネルを使用したサンプリングは1 形式と見なすことができます。1 形式とは、カーネルを適切な場所にシフトしたものです。
• 純キャッシュフローの正味現在価値は、割引率を とする1次形式で与えられる。つまり、 ${\displaystyle R(t),}$ ${\displaystyle w(t)=(1+i)^{-t}}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \mathrm {NPV} (R(t))=\langle w,R\rangle =\int _{t=0}^{\infty }{\frac {R(t)}{(1+i)^{t}}}\,dt.}$$

Rにおける線形関数ⁿ

実座標空間のベクトルが列ベクトルとして表される と仮定する ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

各行ベクトルには、によって定義される線形関数があり、各線形関数はこの形式で表現できます。 ${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle f_{\mathbf {a} }}$ $${\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},}$$

これは、行ベクトルと列ベクトルの行列積またはドット積として解釈できます。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

正方行列のトレース

正方行列のトレース は、その主対角線上のすべての要素の和です。行列はスカラーで乗算でき、同じ次元の2つの行列は加算できます。これらの演算により、すべての行列の集合からベクトル空間が作成されます。トレースはこの空間上の線型関数です。なぜなら、すべてのスカラーとすべての行列に対して、そしてとなるからです。 ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (sA)=s\operatorname {tr} (A)}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B.}$

（確定的）統合

線型関数は、関数のベクトル空間を研究する関数解析において初めて登場しました。線型関数の典型的な例は積分です。リーマン積分によって定義される線型変換は、区間上の連続関数のベクトル空間から実数への線型関数です。積分に関する標準的な事実から、線型性は次式で示されます。 $${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$ ${\displaystyle C[a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}}$$

評価

を区間上で定義された次数の実数値多項式関数のベクトル空間とすると、評価関数をとれば、写像は線形となる。 ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle c\in [a,b],}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}:P_{n}\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}$$ ${\displaystyle f\mapsto f(c)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}}$$

が 内の異なる点である場合、評価関数はの双対空間の基底を形成します(Lax (1996) は、この最後の事実をラグランジュ補間 を使用して証明しています)。 ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}},}$ ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$ ${\displaystyle P_{n}}$

非例

直線の方程式を持つ関数（たとえば、）は、では線型ではないので、上の線型関数ではありません。^{[nb 2]}しかし、 はアフィン線型です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=a+rx}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle f(x)=1+2x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

視覚化

1-形式αを定数値の超平面の積み重ねとして幾何学的に解釈する。各超平面は、 αが与えられたスカラー値に写像するベクトルに対応し、その横には増加の「意味」も示される。 ゼロ平面は原点を通ります。

有限次元では、線形関数は、与えられた値に写像されるベクトルの集合であるレベルセットによって視覚化できます。3次元では、線形関数のレベルセットは互いに平行な平面の族であり、高次元では平行超平面です。この線形関数の視覚化手法は、ミスナー、ソーン、ホイーラー著『重力』（1973年）などの一般相対性理論の教科書で紹介されることがあります。 ^[6]

アプリケーション

求積法への応用

が[ a , b ]内の異なる点である場合、上で定義した線型汎関数は、次数 の多項式空間であるP _nの双対空間の基底を形成します。 積分汎関数IもP _n上の線型汎関数であるため、これらの基底元の線型結合として表すことができます。記号では、すべての に対しての係数が存在します。これは数値積分法の理論の基礎を形成します。^[7] ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}}:f\mapsto f\left(x_{i}\right)}$ ${\displaystyle \leq n.}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ $${\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}$$ ${\displaystyle f\in P_{n}.}$

量子力学では

線型汎関数は量子力学において特に重要です。量子力学系はヒルベルト空間によって表されます。ヒルベルト空間は、それ自身の双対空間と反同型です。量子力学系の状態は線型汎関数と同一視できます。詳しくはブラケット記法を参照してください。

配布

一般化関数の理論では、超関数と呼ばれるある種の一般化関数は、テスト関数の空間上の線型関数として実現できます。

双対ベクトルと双線形形式

3次元ユークリッド空間における線型汎関数（1-形式）α、βとそれらの和σ、およびベクトルu、v、w 。ベクトルが交差する（1-形式）超平面の数は内積に等しい。^[8]

有限次元ベクトル空間V上のすべての非退化双線型形式は、同型V → V ^∗  : v ↦ v ^∗を誘導し、 $${\displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall w\in V,}$$

ここで、 V上の双線型形式は と表されます（たとえば、ユークリッド空間では、はvとwのドット積です）。 ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle \langle v,w\rangle =v\cdot w}$

逆同型はV ^∗ → V  : v ^∗ ↦ vである。ここでvはVの唯一の元であり、すべての $${\displaystyle \langle v,w\rangle =v^{*}(w)}$$ ${\displaystyle w\in V.}$

上で定義されたベクトルv ^∗ ∈ V ^∗は、 ${\displaystyle v\in V.}$

無限次元ヒルベルト空間においても、リースの表現定理により同様の結果が成り立つ。Vからその連続双対空間V ^∗への写像V ↦ V ^∗が存在する。

基地との関係

双対空間の基礎

ベクトル空間V が基底 を持つとする。これは必ずしも直交する必要はない。すると、双対空間は、双対基底と呼ばれる基底を持ち、これは特別な性質によって定義される。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}}$ $${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{if}}\ i=j\\0&{\text{if}}\ i\neq j.\end{cases}}}$$

あるいは、もっと簡潔に言えば、 $${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}}$$

ここではクロネッカーのデルタです。ここで、基底関数の上付き文字は指数ではなく、反変的な添え字です。 ${\displaystyle \delta _{ij}}$

双対空間に属する線形関数は、係数（「成分」）u _iを持つ基底関数の線形結合として表現できる。 ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ ${\displaystyle {\tilde {V}}}$ $${\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.}$$

次に、この関数を基底ベクトルに適用 すると、 ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ $${\displaystyle {\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left(\mathbf {e} _{j}\right)\right]}$$

関数のスカラー倍の線形性と関数の和の各点の線形性により、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {u}}({\mathbf {e} }_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\mathbf {e} }_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i}u_{i}{\delta }_{ij}\\&=u_{j}.\end{aligned}}}$$

したがって、線形関数の各コンポーネントは、関数を対応する基底ベクトルに適用することによって抽出できます。

双対基底と内積

空間Vが内積を持つとき、与えられた基底の双対基底の式を明示的に記述することができます。Vが（必ずしも直交とは限らない）基底を持つとします。3次元（n = 3）では、双対基底はのように明示的に記述できます。ここで、 εはレヴィ・チヴィタ記号であり、V上の内積（またはドット積）です。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}.}$ $${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\left\langle {\frac {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}{\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$ ${\displaystyle i=1,2,3,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

高次元では、これは次のように一般化されます。ここで、はホッジスター演算子です。 $${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {\sum _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$ ${\displaystyle \star }$

リングを越えて

環上の加群はベクトル空間の一般化であり、係数が体に属するという制約を取り除く。環R上の加群Mが与えられたとき、 M上の線型形式はMからRへの線型写像であり、ここで R は自身の上の加群とみなされる。線型形式の空間は、k が体であるかどうかに関わらず、常にHom _k ( V , k )と表記される。 Vが左加群である場合、それは右加群である。

加群上に「十分な」線型形式が存在することは射影性と同値である。^[9]

双対基底補題— R加群Mが射影的であるとき、かつその場合のみ、部分集合と線型形式が存在し、任意のに対して有限個の非零のものが存在でき、 ${\displaystyle A\subset M}$ ${\displaystyle \{f_{a}\mid a\in A\}}$ ${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle f_{a}(x)}$ $${\displaystyle x=\sum _{a\in A}{f_{a}(x)a}}$$

分野の変更

が 上のベクトル空間であるとする。スカラー乗法を に制限すると、の実現と呼ばれる実ベクトル空間^[10]が生じる。上の任意の ベクトル空間は、複素構造を備えた上のベクトル空間でもある。つまり、実ベクトル部分空間が存在し、それを (正式に) -ベクトル空間として書くことができる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X=X_{\mathbb {R} }\oplus X_{\mathbb {R} }i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

実線形関数と複素線形関数

上のすべての線型関数は複素数値ですが、 上のすべての線型関数は実数値です。 の場合、または上の線型関数が非自明（ と同一ではないという意味）である場合、かつそれが射影的である場合（の場合、任意のスカラー に対して であるため）に限ります。ここで上の線型関数の像はであり、上の線型関数の像は です。したがって、 上の線型関数であり、かつ 上の線型関数でもある 唯一の関数は自明な関数です。言い換えると、は空間の代数的双対空間を表します。ただし、上のすべての -線型関数は-線型演算子（上で加法的かつ同次であるという意味）ですが、 と同一でない限り、上の-線型関数ではありません。なぜなら、その値域（）は 上で 2 次元だからです。逆に、非ゼロの-線型関数は値域が小さすぎて -線型関数にもな​​れません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \dim X\neq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi (x)\neq 0}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle \varphi \left((s/\varphi (x))x\right)=s}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X^{\#}\cap X_{\mathbb {R} }^{\#}=\{0\},}$ ${\displaystyle \,{\cdot }^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

実部と虚部

ならば、実部を で、虚部をで表すとすると、およびは、 および上の線型関数となる。すべて に対して で あるという事実は、すべて に対して であることを意味する^{[10] 。}したがって、および^[11] ${\displaystyle \varphi \in X^{\#}}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi _{i}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi =\varphi _{\mathbb {R} }+i\varphi _{i}.}$ ${\displaystyle z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz)=\operatorname {Im} (iz)+i\operatorname {Im} z}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\varphi (x)&=\varphi _{\mathbb {R} }(x)-i\varphi _{\mathbb {R} }(ix)\\&=\varphi _{i}(ix)+i\varphi _{i}(x)\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \varphi _{i}(x)=-\varphi _{\mathbb {R} }(ix)}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\varphi _{i}(ix).}$

この割り当ては、単射^[11] -線型演算子を定義し、その逆は、割り当てによって定義される写像であり、定義される線型関数に送る。の実部はであり、単射は -線型演算子であり、すべてのに対してであり、^[11]であることを意味する。 同様に、虚部についても、この割り当ては、定義される写像であり、定義される線型関数に送る。 ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$ ${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$ ${\displaystyle g\mapsto L_{g}}$ ${\displaystyle g:X_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L_{g}:X\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle L_{g}(x):=g(x)-ig(ix)\quad {\text{ for all }}x\in X.}$$ ${\displaystyle L_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L_{g+h}=L_{g}+L_{h}}$ ${\displaystyle L_{rg}=rL_{g}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g,h\in X_{\mathbb {R} }^{\#}.}$ ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$ ${\displaystyle I\in X_{\mathbb {R} }^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto I(ix)+iI(x).}$

この関係は1934年にヘンリー・レーヴィヒによって発見されました（ただし、通常はF・マレーの功績とされています）^{[12] 。そして、自然な方法で}体の任意の有限拡大に一般化することができます。この関係は多くの重要な帰結をもたらしますが、そのうちのいくつかを以下に説明します。

プロパティと関係

が実部と虚部を持つ線形関数であるとする。 ${\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}$

そして、もし、もし、もし、もし、もし ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }=0}$ ${\displaystyle \varphi _{i}=0.}$

が位相ベクトル空間であると仮定する。すると、 が連続であることと、 の実部が連続であること、の虚部が連続であることは同値である。つまり、との3つすべてが連続しているか、どれも連続していないかのどちらかである。これは、「連続」という語を「有界」に置き換えても成り立つ。特に、が連続であることと、 が連続していることが同値である。ここで、プライムは空間の連続双対空間を表す。^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$

とします。単位長さ（つまり）のすべてのスカラーに対して とすると、 ^{[証明 1] [13]} 同様に、 が の複素部分を表す場合、が意味します。がノルム を持つノルム空間 であり、が閉単位球である場合、上記の上限は の演算子ノルム（通常の方法で定義）であるため、[ ^13]この結論は、一般の位相ベクトル空間のバランス集合の極 に対する類似のステートメントに拡張されます。 ${\displaystyle B\subseteq X.}$ ${\displaystyle uB\subseteq B}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |u|=1}$ $${\displaystyle \sup _{b\in B}|\varphi (b)|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|.}$$ ${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi :X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle iB\subseteq B}$ $${\displaystyle \sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{i}(b)\right|.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle B=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$ ${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ $${\displaystyle \|\varphi \|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\varphi _{i}\right\|.}$$

• が複素ヒルベルト空間で、その (複素)内積が最初の座標で反線型(2 番目では線型) である場合、 の実部が備わっていると実ヒルベルト空間になります。明示的に、 上のこの実内積は、すべての に対してで定義され、 に対してと同じノルムを誘導します。これは、すべてのベクトル に対して であるためです。リース表現定理を に(または に)適用すると、すべてのベクトル に対してとなる (または ) 唯一のベクトル (または )が存在することが保証されます。この定理は、および であることも保証します。であることは容易に検証できます。ここで、および前の等式から が成り立ち、これは上記で到達した結論と同じです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle .}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle x|y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \langle x|y\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle {\sqrt {\langle x|x\rangle _{\mathbb {R} }}}={\sqrt {\langle x|x\rangle }}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\in X}$ ${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\in X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }|\,x\right\rangle }$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}|\,x\right\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\|\varphi \|_{X^{\prime }}}$ ${\displaystyle \left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}.}$ ${\displaystyle f_{\varphi }=f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|}$ ${\displaystyle \|\varphi \|_{X^{\prime }}=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }},}$

無限の次元で

以下、すべてのベクトル空間は実数 または複素数上に存在する。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

が位相ベクトル空間である場合、連続線型関数の空間（連続双対）は、しばしば単に双対空間と呼ばれる。 がバナッハ空間である場合、その（連続）双対もバナッハ空間である。通常の双対空間を連続双対空間と区別するために、前者は代数的双対空間と呼ばれることがある。有限次元ではすべての線型関数は連続であるため、連続双対は代数的双対と同じであるが、無限次元では連続双対は代数的双対の真部分空間となる。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

（必ずしも局所凸ではない）位相ベクトル空間X上の線型汎関数fが連続であるための必要十分条件は、 X上に連続半ノルムpが存在し、[ ^14] ${\displaystyle |f|\leq p.}$

閉部分空間の特徴づけ

連続線形関数は解析的に優れた性質を持つ。線形関数が連続となるのは、その核が閉じている場合のみである。^[15]また、非自明な連続線形関数は、（位相的）ベクトル空間が完備でなくても開写像となる。 ^[16]

超平面と最大部分空間

のベクトル部分空間が最大であるとは、（つまりと）であり、のベクトル部分空間が存在しないときである。のベクトル部分空間が最大となるのは、それが 上の何らかの非自明な線型関数の核である場合（つまり、上の何らかの線型関数に対して がと全く同じに0ではない場合）であるときである。のアフィン超平面は、最大ベクトル部分空間の変換である。線型性により、の部分集合がアフィン超平面となるのは、上の何らかの非自明な線型関数が存在して となるときである。[ ^12]が線型関数で がスカラーである 場合、 となる。この等式は の異なるレベル集合を関連付けるために使用できる。さらに である場合、の核はアフィン超平面から次のように再構成できる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subsetneq X}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle M\neq X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subsetneq N\subsetneq X.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M=\ker f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H=f^{-1}(1)=\{x\in X:f(x)=1\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)=s\left(f^{-1}(1)\right)=\left({\frac {1}{s}}f\right)^{-1}(1).}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H:=f^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \ker f=H-H.}$

複数の線形関数間の関係

同じ核を持つ任意の2つの線形関数は比例関係にある（すなわち、互いのスカラー倍である）。この事実は、次の定理に一般化できる。

定理^{[17] [18]} —がX上の線型関数である場合、以下は同値である。 ${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}}$

1. f はの線形結合として表すことができます。つまり、となるスカラーが存在します。 ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle sf=s_{1}g_{1}+\cdots +s_{n}g_{n}}$
2. ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}\ker g_{i}\subseteq \ker f}$;
3. すべての に対して となる実数rが存在する。 ${\displaystyle |f(x)|\leq r\max _{i}|g_{i}(x)|}$ ${\displaystyle x\in X}$

fがX上の非自明な線型関数で核Nが成り立ち、UがXのバランスの取れた部分集合である場合、すべての^[16]に対して ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=1,}$ ${\displaystyle N\cap (x+U)=\varnothing }$ ${\displaystyle |f(u)|<1}$ ${\displaystyle u\in U.}$

ハーン・バナッハの定理

ベクトル部分空間上の任意の（代数的）線型関数は、空間全体に拡張することができる。例えば、上で述べた評価関数は、ベクトル空間全体にわたる多項式のベクトル空間に拡張することができる。 しかし、この拡張は、線型関数を連続に保ちながら常に実行できるわけではない。ハーン・バナッハの定理族は、この拡張を行うための条件を与えている。例えば、 ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

ハーン・バナッハ支配拡張定理^[19] (Rudin 1991, Th. 3.2) —が部分線形関数であり、がM上のpによって支配される線形部分空間上の線形関数である場合、 pによって支配される空間X全体へのfの線形拡張が存在する。つまり、すべてのに対して、 すべてのに対してとなる線形関数F が存在する。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle F(m)=f(m)}$$ ${\displaystyle m\in M,}$ $${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)}$$ ${\displaystyle x\in X.}$

線形関数族の等連続性

Xを連続双対空間を持つ位相ベクトル空間（TVS）とする ${\displaystyle X'.}$

任意の部分集合Hに対して、以下のものは同値である: ^[20] ${\displaystyle X',}$

1. Hは等連続である。
2. HはXの近傍の極に含まれます。 ${\displaystyle 0}$
3. Hの(前)極はXにおけるの近傍である。 ${\displaystyle 0}$

Hが の等連続部分集合である場合、以下の集合も等連続である:弱*閉包、平衡包、凸包、凸平衡包。^[20] さらに、アラオグルの定理によれば、 の等連続部分集合の弱*閉包は 弱*コンパクトである(したがって、すべての等連続部分集合は弱*相対コンパクトである)。^{[21] [20]} ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'}$

参照

• 不連続線形マップ
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 正の線形関数
• 多重線形形式 – 複数のベクトルから各引数が線形であるスカラーの基礎フィールドへの写像
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

注記

脚注

1. いくつかの文献では役割が逆転しており、ベクトルは共ベクトルからスカラーへの線形写像として定義されている。
2. 例えば、 ${\displaystyle f(1+1)=a+2r\neq 2a+2r=f(1)+f(1).}$

証明

1. そうであれば真である。そうでない場合は仮定する。すべてのスカラーに対して、となる。もし、となるとすれば、となる。そして、となる。ここで、となるとすれば、となる。そして、となる。なぜなら、となるのは実数だからである。仮定により、となる。となる。が任意であるので、となる。 ${\displaystyle B=\varnothing }$ ${\displaystyle \left|\operatorname {Re} z\right|\leq |z|}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,}$ ${\textstyle \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|\leq \sup _{x\in B}|\varphi (x)|.}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle r_{b}\geq 0}$ ${\displaystyle u_{b}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left|u_{b}\right|=1}$ ${\displaystyle \varphi (b)=r_{b}u_{b},}$ ${\displaystyle r_{b}=0}$ ${\displaystyle u_{b}:=1.}$ ${\displaystyle |\varphi (b)|=r_{b}}$ ${\textstyle \varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}}$ ${\textstyle \varphi _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=\varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}.}$ ${\textstyle {\frac {1}{u_{b}}}b\in B}$ ${\textstyle |\varphi (b)|=r_{b}\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\textstyle \sup _{x\in B}|\varphi (x)|\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

参考文献

1. アクラー（2015）p.101、§3.92
2. Tu (2011) p. 19、§3.1
3. カッツネルソン＆カッツネルソン (2008) p. 37、§2.1.3
4. アクラー（2015）101頁、§3.94
5. ハルモス（1974）20頁、§13
6. ミスナー, チャールズ・W.; ソーン, キップ・S.; ウィーラー, ジョン・アーチボルド; カイザー, デイヴィッド・I. (2017). 『重力』（第1版）. プリンストン・オックスフォード: プリンストン大学出版局. p. 53. ISBN 978-0-691-17779-3。
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12. Narici & Beckenstein 2011、pp.10-11を参照。
13. Narici & Beckenstein 2011、126–128ページ。
14. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、126ページ。
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16. Narici & Beckenstein 2011、p. 128。
17. ルディン1991、63-64頁。
18. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、1～18頁。
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21. Schaefer & Wolff 1999、系4.3。

参考文献

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