論理的同値性

論理学と数学において、文とは、すべてのモデルにおいて同じ真理値を持つ場合、論理的に同値であると言われます。^[1]との論理的同値性は、使用されている表記法に応じて、、、、と表されることがあります。ただし、これらの記号は実質的同値性にも使用されるため、適切な解釈は文脈によって異なります。論理的同値性と実質的同値性は本質的に関連していますが、2つの概念は異なります。 $p$ $q$ $p$ $q$ $p\equiv q$ $p::q$ ${\textsf {E}}pq$ $p\iff q$

論理的同値性

論理学では、多くの一般的な論理的同値性が存在し、しばしば法則または性質として列挙されます。次の表は、これらのいくつかを示しています。

一般的な論理的同値性

同値性	名前
$p\wedge \top \equiv p$ $p\vee \bot \equiv p$	恒等
$p\vee \top \equiv \top$ $p\wedge \bot \equiv \bot$	支配法則
$p\vee p\equiv p$ $p\wedge p\equiv p$	べき等法則またはトートロジー法則
$\neg (\neg p)\equiv p$	二重否定法則
$p\vee q\equiv q\vee p$ $p\wedge q\equiv q\wedge p$	交換法則
$(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$ $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$	結合法則
$p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$ $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$	分配法則
$\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$ $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$	ド・モルガンの法則
$p\vee (p\wedge q)\equiv p$ $p\wedge (p\vee q)\equiv p$	吸収法則
$p\vee \neg p\equiv \top$ $p\wedge \neg p\equiv \bot$	否定法則

条件文を含む論理的同値性

$p\rightarrow q\equiv \neg p\vee q$
$p\rightarrow q\equiv \neg q\rightarrow \neg p$
$p\vee q\equiv \neg p\rightarrow q$
$p\wedge q\equiv \neg (p\rightarrow \neg q)$
$\neg (p\rightarrow q)\equiv p\wedge \neg q$
$(p\rightarrow q)\wedge (p\rightarrow r)\equiv p\rightarrow (q\wedge r)$
$(p\rightarrow q)\vee (p\rightarrow r)\equiv p\rightarrow (q\vee r)$
$(p\rightarrow r)\wedge (q\rightarrow r)\equiv (p\vee q)\rightarrow r$
$(p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r)\equiv (p\wedge q)\rightarrow r$

二条件文を含む論理的同値性

$p\leftrightarrow q\equiv (p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow p)$
$p\leftrightarrow q\equiv \neg p\leftrightarrow \neg q$
$p\leftrightarrow q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$
$\neg (p\leftrightarrow q)\equiv \neg p\leftrightarrow q$
$\neg (p\leftrightarrow q)\equiv p\leftrightarrow \neg q$
$\neg (p\leftrightarrow q)\equiv p\oplus q$

はXORを表します。 $\oplus$

例

論理において

次の文は論理的に同値です。

リサがデンマークにいる場合、彼女はヨーロッパにいます（形式の文）。 $d\rightarrow e$
もしリサがヨーロッパにいないなら、彼女はデンマークにもいません（形式の文）。 $\neg e\rightarrow \neg d$

統語的には、(1)と(2)は対置と二重否定の規則によって互いに導出可能です。意味的には、(1)と(2)は全く同じモデル（解釈、値付け）において真です。つまり、リサがデンマークにいるのが偽であるか、リサがヨーロッパにいるのが真であるかのどちらかです。

（この例では古典論理が前提とされていることに注意してください。一部の非古典論理では、 (1)と(2)は論理的に同値であるとは見なされません。）

物質的同値性との関係

論理的同値性は物質的同値性とは異なります。式とは、それらの物質的同値性のステートメント（）がトートロジーである場合に限り、論理的に同値です。^[2] $p$ $q$ $p\leftrightarrow q$

と（しばしばと表記される）の物質的同値性は、それ自体が、とと同じオブジェクト言語における別の文です。この文は、「の場合に限り」という考えを表現しています。特に、の真理値はモデルごとに変化する可能性があります。 $p$ $q$ $p\leftrightarrow q$ $p$ $q$ $p$ $q$ $p\leftrightarrow q$

一方、2つの式が論理的に同値であるという主張は、メタ言語における文であり、2つの文との関係を表現しています。これらの文は、すべてのモデルにおいて同じ真理値を持つ場合、論理的に同値です。 $p$ $q$

参照

含意
等充足可能性
もし、かつその場合に限って
論理二条件文
論理等式
≡ iff 記号 (U+2261 と同一)
∷ aはb に対してcはdに対して等価である記号 (U+2237割合)
⇔二重二条件式 (U+21D4左向き二重矢印)
↔双方向矢印（U+2194左→右矢印）

参考文献

^ Mendelson, Elliott (1979). Introduction to Mathematical Logic (2 ed.). Van Nostrand. pp. 56. ISBN 9780442253073。
^ Copi, Irving ; Cohen, Carl ; McMahon, Kenneth (2014). Introduction to Logic (New International ed.). Pearson. p. 348.

[1] Mendelson, Elliott (1979). Introduction to Mathematical Logic (2 ed.). Van Nostrand. pp. 56. ISBN 9780442253073。

[2] Copi, Irving ; Cohen, Carl ; McMahon, Kenneth (2014). Introduction to Logic (New International ed.). Pearson. p. 348.