低ランク近似

Technique in numerical linear algebra

数学において、低ランク近似とは、与えられた行列をより低いランクの行列で近似する処理を指します。より正確には、これは最小化問題であり、コスト関数は、近似行列のランクが低減されているという制約の下で、与えられた行列（データ）と近似行列（最適化変数）との適合度を測定します。この問題は、数学モデリングやデータ圧縮に用いられます。ランク制約は、データに適合するモデルの複雑さに関する制約と関連しています。応用分野においては、ランク制約とは別に、近似行列に非負性やハンケル構造などの他の制約が課されることがよくあります。

低ランク近似は、主成分分析、因子分析、総最小二乗法、潜在的意味解析、直交回帰、動的モード分解など、他の多くの手法と密接に関連しています。

意味

与えられた

• 構造仕様、 ${\displaystyle {\mathcal {S}}:\mathbb {R} ^{n_{p}}\to \mathbb {R} ^{m\times n}}$
• 構造パラメータのベクトル、 ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n_{p}}}$
• 規範 、および ${\displaystyle \|\cdot \|}$
• 希望ランク、 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\text{minimize}}\quad {\text{over }}{\widehat {p}}\quad \|p-{\widehat {p}}\|\quad {\text{subject to}}\quad \operatorname {rank} {\big (}{\mathcal {S}}({\widehat {p}}){\big )}\leq r.}$

アプリケーション

• 線形システム同定。この場合、近似行列はハンケル構造になります。
• 機械学習では、近似行列は非線形に構造化されます。
• 推奨システムでは、データ マトリックスに欠損値があり、近似はカテゴリになります。
• 距離行列の完成。この場合には、正定値制約があります。
• 自然言語処理では、近似値は非負になります。
• コンピュータ代数。この場合、近似はシルベスター構造になります。

基本的な低ランク近似問題

フロベニウスノルムで測定された適合度を持つ非構造化問題、すなわち、

${\displaystyle {\text{minimize}}\quad {\text{over }}{\widehat {D}}\quad \|D-{\widehat {D}}\|_{\text{F}}\quad {\text{subject to}}\quad \operatorname {rank} {\big (}{\widehat {D}}{\big )}\leq r}$

は、データ行列の特異値分解によって解析解を持つ。この結果は行列近似補題、またはエッカート・ヤング・ミルスキー定理と呼ばれる。この問題はもともとエアハルト・シュミット^[1]によって無限次元の積分作用素の文脈で解決された（ただし彼の方法はヒルベルト空間上の任意のコンパクト作用素に容易に一般化できる）。そして後にC.エッカートとG.ヤング^[2] によって再発見された。L .ミルスキーはこの結果を任意のユニタリ不変ノルムに一般化した^[3]。

${\displaystyle D=U\Sigma V^{\top }\in \mathbb {R} ^{m\times n},\quad m\geq n}$

を の特異値分解とする。ここで、 は 非ゼロの特異値を持つ直交対角行列である。 が与えられた場合、、、 を次のように分割する。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Sigma =:\operatorname {diag} (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{r})}$ ${\displaystyle r\leq min\{m,n\}=n}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \ldots \geq \sigma _{r}>\sigma _{r+1}=\ldots =\sigma _{n}=0}$ ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,r\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle U=:{\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}},\quad \Sigma =:{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}&0\\0&\Sigma _{2}\end{bmatrix}},\quad {\text{and}}\quad V=:{\begin{bmatrix}V_{1}&V_{2}\end{bmatrix}},}$

ここで、は、は、はである。すると、切り捨て特異値分解から得られる階数行列は、 ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle m\times k}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat {D}}^{*}=U_{1}\Sigma _{1}V_{1}^{\top },}$

というのは

${\displaystyle \|D-{\widehat {D}}^{*}\|_{\text{F}}=\min _{\operatorname {rank} ({\widehat {D}})\leq k}\|D-{\widehat {D}}\|_{\text{F}}={\sqrt {\sigma _{k+1}^{2}+\cdots +\sigma _{r}^{2}}}.}$

最小化子は、 の場合にのみ一意です。 ${\displaystyle {\widehat {D}}^{*}}$ ${\displaystyle \sigma _{k}>\sigma _{k+1}}$

エッカート・ヤング・ミルスキー定理の証明（スペクトルノルム）

を とする実数行列（おそらく長方形）とする。 ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle m\leq n}$

${\displaystyle A=U\Sigma V^{\top }}$

は の特異値分解です。と は直交行列であり、 はとなる要素を持つ対角行列であることを思い出してください。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\cdots ,\sigma _{m})}$ ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \cdots \geq \sigma _{m}\geq 0}$

スペクトルノルムにおけるへの最良階数近似はで表され、次のように与えられる と主張する。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$

${\displaystyle A_{k}:=\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}u_{i}v_{i}^{\top }}$

ここで、 はそれぞれ、との 番目の列を表します。 ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

まず、

${\displaystyle \|A-A_{k}\|_{2}=\left\|\sum _{i=1}^{\color {red}{n}}\sigma _{i}u_{i}v_{i}^{\top }-\sum _{i=1}^{\color {red}{k}}\sigma _{i}u_{i}v_{i}^{\top }\right\|_{2}=\left\|\sum _{i=\color {red}{k+1}}^{n}\sigma _{i}u_{i}v_{i}^{\top }\right\|_{2}=\sigma _{k+1}}$

したがって、とに列がある場合、 であることを示す必要があります。 ${\displaystyle B_{k}=XY^{\top }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \|A-A_{k}\|_{2}=\sigma _{k+1}\leq \|A-B_{k}\|_{2}}$

には列があるので、 の最初の列の非自明な線形結合が存在する必要がある。すなわち、 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle w=\gamma _{1}v_{1}+\cdots +\gamma _{k+1}v_{k+1},}$

となる。一般性を失うことなく、となるようにスケール化できる。あるいは（同値として） となる。したがって、 ${\displaystyle Y^{\top }w=0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \|w\|_{2}=1}$ ${\displaystyle \gamma _{1}^{2}+\cdots +\gamma _{k+1}^{2}=1}$

${\displaystyle \|A-B_{k}\|_{2}^{2}\geq \|(A-B_{k})w\|_{2}^{2}=\|Aw\|_{2}^{2}=\gamma _{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+\cdots +\gamma _{k+1}^{2}\sigma _{k+1}^{2}\geq \sigma _{k+1}^{2}.}$

上記の不等式の両辺の平方根を取ると、次のような結果が得られます。

エッカート・ヤング・ミルスキー定理の証明（フロベニウスノルム）

を とする実数行列（おそらく長方形）とする。 ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle m\leq n}$

${\displaystyle A=U\Sigma V^{\top }}$

は の特異値分解です。 ${\displaystyle A}$

フロベニウスノルムにおけるへの最良階数近似はで表され、次のように与えられる と主張する。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$

${\displaystyle A_{k}=\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}u_{i}v_{i}^{\top }}$

ここで、 はそれぞれ、との 番目の列を表します。 ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

まず、

${\displaystyle \|A-A_{k}\|_{F}^{2}=\left\|\sum _{i=k+1}^{n}\sigma _{i}u_{i}v_{i}^{\top }\right\|_{F}^{2}=\sum _{i=k+1}^{n}\sigma _{i}^{2}}$

したがって、列がある場合、 ${\displaystyle B_{k}=XY^{\top }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \|A-A_{k}\|_{F}^{2}=\sum _{i=k+1}^{n}\sigma _{i}^{2}\leq \|A-B_{k}\|_{F}^{2}.}$

スペクトルノルムを持つ三角不等式により、ならばとなる。 とがそれぞれ、との階数近似を上記の特異値分解法によって表すものとする。すると、任意の ${\displaystyle A=A'+A''}$ ${\displaystyle \sigma _{1}(A)\leq \sigma _{1}(A')+\sigma _{1}(A'')}$ ${\displaystyle A'_{k}}$ ${\displaystyle A''_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A''}$ ${\displaystyle i,j\geq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}(A')+\sigma _{j}(A'')&=\sigma _{1}(A'-A'_{i-1})+\sigma _{1}(A''-A''_{j-1})\\&\geq \sigma _{1}(A-A'_{i-1}-A''_{j-1})\\&\geq \sigma _{1}(A-A_{i+j-2})\qquad ({\text{since }}{\rm {rank}}(A'_{i-1}+A''_{j-1})\leq i+j-2))\\&=\sigma _{i+j-1}(A).\end{aligned}}}$

なので、およびのとき、について次のように結論づけられる。 ${\displaystyle \sigma _{k+1}(B_{k})=0}$ ${\displaystyle A'=A-B_{k}}$ ${\displaystyle A''=B_{k}}$ ${\displaystyle i\geq 1,j=k+1}$

${\displaystyle \sigma _{i}(A-B_{k})\geq \sigma _{k+i}(A).}$

したがって、

${\displaystyle \|A-B_{k}\|_{F}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(A-B_{k})^{2}\geq \sum _{i=k+1}^{n}\sigma _{i}(A)^{2}=\|A-A_{k}\|_{F}^{2},}$

必要に応じて。

重み付き低ランク近似問題

フロベニウスノルムは近似誤差のすべての要素に均一に重み付けする 。誤差の分布に関する事前知識は、重み付き低ランク近似問題を考慮することで考慮することができる。 ${\displaystyle D-{\widehat {D}}}$

${\displaystyle {\text{minimize}}\quad {\text{over }}{\widehat {D}}\quad \operatorname {vec} (D-{\widehat {D}})^{\top }W\operatorname {vec} (D-{\widehat {D}})\quad {\text{subject to}}\quad \operatorname {rank} ({\widehat {D}})\leq r,}$

ここで、行列 を列方向にベクトル化し、与えられた正（半）定値重み行列です。 ${\displaystyle {\text{vec}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$

一般的な重み付き低ランク近似問題は、特異値分解による解析解を許容せず、グローバルに最適な解が見つかるという保証のないローカル最適化法によって解決されます。

相関のない重みの場合、重み付き低ランク近似問題は次のように定式化することもできます。^{[4] [5]}非負行列と行列に対して、最大でランク の行列、を最小化します。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sum _{i,j}(W_{i,j}(A_{i,j}-B_{i,j}))^{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$

エントリーごとにL_p低ランク近似問題

とする。 の場合、最も速いアルゴリズムは時間内に実行される。^{[6] [7]}使用されている重要なアイデアの1つは、Oblivious Subspace Embedding（OSE）と呼ばれ、Sarlosによって最初に提案された。^[8] ${\displaystyle \|A\|_{p}=\left(\sum _{i,j}|A_{i,j}^{p}|\right)^{1/p}}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle nnz(A)+n\cdot poly(k/\epsilon )}$

の場合、このエントリワイズL1ノルムは外れ値が存在する場合のフロベニウスノルムよりもロバストであることが知られており、ノイズに関するガウス仮定が適用できないモデルにおいてその効果が示される。 を最小化しようとするのは自然なことである。^[9]およびの場合、証明可能な保証を持つアルゴリズムがいくつか存在する。^{[10] [11]} ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle \|B-A\|_{1}}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

距離低ランク近似問題

任意の距離空間における2つの点集合をととする。 を とする行列とする。このような距離行列はソフトウェアパッケージで一般的に計算され、画像多様体の学習、手書き文字認識、多次元展開などに応用されている。これらの記述サイズを削減する試みとして、^{[12] [13]}では、このような行列の低ランク近似を研究することができる。 ${\displaystyle P=\{p_{1},\ldots ,p_{m}\}}$ ${\displaystyle Q=\{q_{1},\ldots ,q_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A_{i,j}=dist(p_{i},q_{i})}$

分散/ストリーミング低ランク近似問題

分散およびストリーミング設定における低ランク近似問題は^{[14]で検討されている。}

ランク制約のイメージとカーネル表現

同値性の使用

${\displaystyle \operatorname {rank} ({\widehat {D}})\leq r\quad \iff \quad {\text{there are }}P\in \mathbb {R} ^{m\times r}{\text{ and }}L\in \mathbb {R} ^{r\times n}{\text{ such that }}{\widehat {D}}=PL}$

そして

${\displaystyle \operatorname {rank} ({\widehat {D}})\leq r\quad \iff \quad {\text{there is full row rank }}R\in \mathbb {R} ^{m-r\times m}{\text{ such that }}R{\widehat {D}}=0}$

重み付き低ランク近似問題はパラメータ最適化問題と同等になる

${\displaystyle {\text{minimize}}\quad {\text{over }}{\widehat {D}},P{\text{ and }}L\quad \operatorname {vec} ^{\top }(D-{\widehat {D}})W\operatorname {vec} (D-{\widehat {D}})\quad {\text{subject to}}\quad {\widehat {D}}=PL}$

そして

${\displaystyle {\text{minimize}}\quad {\text{over }}{\widehat {D}}{\text{ and }}R\quad \operatorname {vec} ^{\top }(D-{\widehat {D}})W\operatorname {vec} (D-{\widehat {D}})\quad {\text{subject to}}\quad R{\widehat {D}}=0\quad {\text{and}}\quad RR^{\top }=I_{r},}$

ここで、 はサイズ の単位行列です。 ${\displaystyle I_{r}}$ ${\displaystyle r}$

交互投影アルゴリズム

ランク制約のイメージ表現は、一方の変数（または）を固定し、もう一方の変数を固定した上で、コスト関数を交互に最小化するパラメータ最適化手法を示唆しています。 と の両方を同時に最小化することは困難な双凸最適化問題ですが、一方の変数のみを最小化することは線形最小二乗問題であり、大域的かつ効率的に解くことができます。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$

結果として得られる最適化アルゴリズム（交代射影法と呼ばれる）は、重み付き低ランク近似問題の局所最適解に線形収束率で大域収束します。（または）パラメータの初期値を指定する必要があります。反復は、ユーザー定義の収束条件が満たされた時点で停止します。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$

重み付き低ランク近似のための交互投影アルゴリズムのMatlab実装:

function [dh, f] = wlra_ap ( d, w, p, tol, maxiter ) [ m , n ] = size ( d ); r = size ( p , 2 ); f = inf ; for i = 2 : maxiter % L 上の最小化bp = kron ( eye ( n ), p ); vl = ( bp ' * w * bp ) \ bp ' * w * d (:); l = reshape ( vl , r , n ); % P 上の最小化bl = kron ( l ' , eye ( m )); vp = ( bl ' * w * bl ) \ bl ' * w * d (:); p = reshape ( vp , m , r ); % 終了条件をチェックdh = p * l ; dd = d - dh ; f ( i ) = dd (:) ' * w * dd (:); abs ( f ( i - 1 ) - f ( i )) < tol の場合、break 、end 、 endfor                                                                                        

変数投影アルゴリズム

交代射影アルゴリズムは、画像形式でパラメータ化された低ランク近似問題が変数またはに関して双線型であるという事実を利用しています。この問題の双線型性は、変数射影と呼ばれる代替アプローチで効果的に利用されています。^[15] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$

像形式でパラメータ化された重み付き低ランク近似問題を再び考えてみましょう。変数に関する最小化（線形最小二乗問題）は、近似誤差の閉じた表現を次の関数として導きます。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle f(P)={\sqrt {\operatorname {vec} ^{\top }(D){\Big (}W-W(I_{n}\otimes P){\big (}(I_{n}\otimes P)^{\top }W(I_{n}\otimes P){\big )}^{-1}(I_{n}\otimes P)^{\top }W{\Big )}\operatorname {vec} (D)}}.}$

したがって、元の問題は、に関して を最小化する非線形最小二乗問題と等価です。この目的のために、標準的な最適化手法、例えばLevenberg-Marquardtアルゴリズムを使用することができます。 ${\displaystyle f(P)}$ ${\displaystyle P}$

重み付き低ランク近似のための変数投影アルゴリズムのMatlab実装:

関数[dh, f] = wlra_varpro ( d, w, p, tol, maxiter ) prob = optimset (); prob . solver = 'lsqnonlin' ; prob . options = optimset ( 'MaxIter' , maxiter , 'TolFun' , tol ); prob . x0 = p ; prob . objective = @( p ) cost_fun ( p , d , w ); [ p , f ] = lsqnonlin ( prob ); [ f , vl ] = cost_fun ( p , d , w ); dh = p * reshape ( vl , size ( p , 2 ), size ( d , 2 ) );                                       関数[f, vl] = cost_fun ( p, d, w ) bp = kron ( eye ( size ( d , 2 )), p ); vl = ( bp ' * w * bp ) \ bp ' * w * d (:); f = d (:) ' * w * ( d (:) - bp * vl );                           

変数投影法は、カーネル形式でパラメータ化された低ランク近似問題にも適用できます。この手法は、非線形最小二乗法による最小化の段階で除去される変数の数が残る最適化変数の数よりもはるかに多い場合に有効です。このような問題は、カーネル形式でパラメータ化されたシステム同定において発生します。この場合、除去される変数は近似軌道であり、残りの変数はモデルパラメータです。線形時不変システムの文脈では、この除去ステップはカルマン平滑化と同等です。

変形：凸制限低ランク近似

通常、新しい解は低ランクであるだけでなく、アプリケーションの要件に応じて他の凸制約も満たすことが求められます。ここで関心のある問題は、以下のようになります。

${\displaystyle {\text{minimize}}\quad {\text{over }}{\widehat {p}}\quad \|p-{\widehat {p}}\|\quad {\text{subject to}}\quad \operatorname {rank} {\big (}{\mathcal {S}}({\widehat {p}}){\big )}\leq r{\text{ and }}g({\widehat {p}})\leq 0}$

この問題は、不正確な（半正定値計画法）緩和から良好な解を復元することなど、現実世界で多くの応用があります。すべての要素が非負値であることを要求するなど、追加の制約が線形である場合、この問題は構造化低ランク近似と呼ばれます。^[16]より一般的な形式は、凸制約低ランク近似と呼ばれます。 ${\displaystyle g({\widehat {p}})\leq 0}$

この問題は多くの問題を解決するのに役立ちます。しかし、凸制約と非凸制約（低ランク制約）が組み合わさっているため、解くのが困難です。この問題の実現方法に応じて、様々な手法が開発されてきました。しかし、交互方向乗数法（ADMM）は、凸目的関数、ランク制約、その他の凸制約を持つ非凸問題を解くために適用できるため、^[17]上記の問題を解決するのに適しています。さらに、一般的な非凸問題とは異なり、ADMMは、双対変数が反復計算で収束する限り、実行可能な解に収束することを保証します。 ${\displaystyle g({\widehat {p}})\leq 0}$

参照

• CUR行列近似は元の行列の行と列から作成される。

参考文献

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3. L. Mirsky, 対称ゲージ関数とユニタリー不変ノルム, QJ Math. 11 (1960), 50-59. doi :10.1093/qmath/11.1.50
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13. Indyk, Piotr; Vakilian, Ali; Wagner, Tal; Woodruff, David P. (2019).距離行列のサンプル最適低ランク近似. COLT.
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外部リンク

• 構造化低ランク近似のためのC++パッケージ

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