静磁気学

Branch of physics about magnetism in systems with steady electric currents

静磁気学は、電流が定常（時間とともに変化しない）な系における磁場の研究です。これは、電荷が静止している静電気学の磁気的な類似物です。磁化は静的である必要はありません。静磁気学の方程式は、ナノ秒以下の時間スケールで発生する高速な磁気スイッチング現象を予測するために使用できます。 ^{[1]静磁気学は、電流が静的でない場合でも、電流が急速に}変化しない限り、優れた近似となります。静磁気学は、コンピュータメモリなどの磁気記憶装置のモデルなど、マイクロマグネティクスの応用で広く使用されています。

応用

マクスウェル方程式の特殊なケースとしての静磁気学

マクスウェル方程式から出発し、電荷が固定されているか、定常電流として移動すると仮定すると、方程式は電場に関する2つの方程式（静電気学を参照）と磁場に関する2つの方程式に分離します。^[2]これらの場は時間と互いに独立しています。静磁気方程式は、微分形式と積分形式の両方で、下の表に示されています。 ${\displaystyle \mathbf {J} }$

名称	形式
	微分	積分
磁気に関するガウスの法則	${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$
アンペールの法則	${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} }$	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =I_{\mathrm {enc} }}$

ここで、∇とドットは発散を表し、Bは磁束密度です。最初の積分は、配向された面要素を持つ面上で行われます。ここで、∇とバツは回転を表し、Jは電流密度、Hは磁場強度です。2番目の積分は、線要素を持つ閉ループの周りの線積分です。ループを流れる電流はです ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d\mathbf {S} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {l} }$ ${\displaystyle I_{\text{enc}}}$

この近似の質は、上記の式をマクスウェル方程式の完全版と比較し、削除された項の重要性を考慮することで推測できます。特に重要なのは、項と項の比較です。項が大幅に大きい場合は、精度を大幅に損なうことなく、小さい方の項を無視することができます。 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \partial \mathbf {D} /\partial t}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

ファラデーの法則の再導入

一般的な手法は、一連の静磁気問題を増分時間ステップで解き、これらの解を使用して項を近似することです。この結果をファラデーの法則に代入すると、（以前は無視されていた）の値が求められます。この方法はマクスウェル方程式の真の解ではありませんが、ゆっくりと変化する磁場に対して良好な近似を提供できます。^[要出典] ${\displaystyle \partial \mathbf {B} /\partial t}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

磁場を解く

電流源

磁気ベクトルポテンシャル、磁場、電流密度間の静磁気関係のまとめ。ここで、 ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} -\mathbf {x'} }$

システム内のすべての電流が既知である場合（つまり、電流密度の完全な記述が利用可能な場合）、位置rにおける磁場は、ビオ・サバールの方程式によって電流から決定できます。^{[3] ：174} ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}}$$

この手法は、媒体が真空、空気、または比透磁率が1の類似の材料である場合の問題に適しています。これには、空心インダクタと空心トランスが含まれます。この手法の利点の1つは、コイルが複雑な形状の場合、セクションに分割し、各セクションについて積分を評価できることです。この方程式は主に線形問題を解くために使用されるため、寄与を加算できます。非常に複雑な形状の場合は、数値積分を使用できます。

支配的な磁性材料が比較的小さな空隙を持つ高透磁率の磁気コアである問題では、磁気回路アプローチが有用です。磁気回路の長さに比べて空隙が大きい場合、フリンジングが顕著になり、通常は有限要素計算が必要になります。有限要素計算では、上記の静磁気方程式の修正形を使用して磁気ポテンシャルを計算します。の値は磁気ポテンシャルから求めることができます ${\displaystyle \mathbf {B} }$

磁場はベクトルポテンシャルから導くことができます。磁束密度の発散は常にゼロであり、ベクトルポテンシャルと電流の関係は^{[3] ：176 です。} $${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J(\mathbf {r} ')} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}.}$$

磁化

強磁性材料（強磁性、フェリ磁性、常磁性）は、主に電子スピンに起因する磁化を持つ。このような材料では、磁化は関係式を用いて明示的に考慮する必要がある。 $${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {M} +\mathbf {H} ).}$$

導体の場合を除き、電流は無視できます。その場合、アンペールの法則は単純に $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0.}$$

これは一般解を持ち、ここではスカラーポテンシャルです。^{[3] : 192}これをガウスの法則に代入すると 、 $${\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \Phi _{M},}$$ ${\displaystyle \Phi _{M}}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi _{M}=\nabla \cdot \mathbf {M} .}$$

したがって、磁化の発散は、静電気学における電荷に類似した役割を果たし、 ^[4]有効電荷密度と呼ばれることがよくあります。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {M} ,}$ ${\displaystyle \rho _{M}}$

ベクトルポテンシャル法は、有効電流密度でも使用できます。 $${\displaystyle \mathbf {J_{M}} =\nabla \times \mathbf {M} .}$$

参照

• ダーウィンのラグランジアン

参考文献

1. Hiebert, W; Ballentine, G; Freeman, M (2002). 「コヒーレント歳差運動スイッチングとモード振動におけるマイクロマグネティックダイナミクスの実験的および数値的比較」. Physical Review B. 65 ( 14) 140404. Bibcode :2002PhRvB..65n0404H. doi :10.1103/PhysRevB.65.140404.
2. ファインマン物理学講義 第2巻 第13章 静磁気学
3. Jackson, John David (1975). 古典電気力学（第2版）. ニューヨーク: Wiley. ISBN 0-471-43132-X.
4. Aharoni, Amikam (1996). 強磁性理論入門. Clarendon Press . ISBN 0-19-851791-2.

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズにおける静磁気学関連メディア

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