ノルム（数学）

Length in a vector space

数学において、ノルムとは、実ベクトル空間または複素ベクトル空間から非負実数への関数であり、原点からの距離と同様に振る舞う。すなわち、スケーリングと可換であり、三角不等式の形に従い、ゼロは原点にのみ存在する。特に、ユークリッド空間におけるユークリッド距離は、関連するユークリッドベクトル空間上のノルムによって定義され、ユークリッドノルム、2次元ノルム、あるいはベクトルの大きさや長さと呼ばれることもある。このノルムは、ベクトルとそのベクトル自身との内積の平方根として定義することができる。

半ノルムはノルムの最初の2つの性質を満たすが、原点以外のベクトルに対してはゼロになることがある。^[1]指定されたノルムを持つベクトル空間はノルム付きベクトル空間と呼ばれる。同様に、半ノルムを持つベクトル空間は半ノルム付きベクトル空間と呼ばれる。

擬似ノルムという用語は、いくつかの関連する意味に用いられてきた。これは「セミノルム」の同義語である可能性がある。^[1]また、無限の値を取り得るノルム^[2]や、有向集合によってパラメータ化された特定の関数^[3]を指すこともある。

意味

複素数の部分体上のベクトル空間 が与えられたとき、上のノルムは実数値関数であり、以下の性質を持つ。ここで、はスカラーの通常の絶対値を表す。^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |s|}$ ${\displaystyle s}$

1. 劣加法性/三角不等式：すべての
   ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
2. 絶対的な同質性：すべてのスカラーに対して
   ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$
3. 正定性/ 正定性^[5] /点分離：
   すべての場合、 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)=0,}$ ${\displaystyle x=0.}$
   • 性質（2）は、性質（3）を同等の条件に置き換える著者もいる。 ${\displaystyle p(0)=0,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

上の半ノルムは、性質(1.)および(2.) ^[6]を持つ関数であり、特に、すべてのノルムは半ノルムでもある（したがって、部分線型関数でもある）。しかし、ノルムではない半ノルムも存在する。性質(1.)および(2.)は、がノルム（またはより一般的には半ノルム）である場合、であり、次の性質も持つことを意味する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(0)=0}$ ${\displaystyle p}$

4. 非負性：^[5] すべての ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X.}$

一部の著者は「規範」の定義に非負性を含めているが、これは必ずしも必要ではない。本稿では「正」を「正定値」の同義語と定義しているが、一部の著者は「正」を「非負」の同義語と定義している。^[7]これらの定義は同等ではない。

同等の規範

およびがベクトル空間上の 2 つのノルム（または半ノルム）であるとします。このとき、任意のベクトル に対して となる2 つの正の実定数およびが存在するとき、およびは同値であると呼ばれます。関係「は と同値」は反射的、対称的（を意味する）、推移的であるため、上のすべてのノルムの集合で同値関係を定義します。 ノルムおよび が同値であるためには、 上に同じ位相が誘導される必要があります。^[8]有限次元空間上の任意の 2 つのノルムは同値ですが、これは無限次元空間には拡張されません。^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle cq(x)\leq p(x)\leq Cq(x).}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle cq\leq p\leq Cq}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{C}}p\leq q\leq {\tfrac {1}{c}}p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$

表記

ベクトル空間にノルムが与えられている場合、ベクトルのノルムは通常、 のように二重の縦線で囲んで表記されます。これは、シュテファン・バナッハが1920年の博士論文で提案したものです。 が半ノルムに過ぎない場合にも、このような表記法が用いられることがあります。ユークリッド空間におけるベクトルの長さ（ノルムの一例、後述）についても、単線で囲む表記法が広く用いられています。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle \|z\|=p(z)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |x|}$

例

あらゆる（実数または複素数の）ベクトル空間はノルムを許容する。 がベクトル空間のハメル基底である場合、 （ただし有限個を除くすべてのスカラーは）を に送る実数値写像は^[9]上のノルムである。 また、特定の問題に対して有用となる追加の特性を示すノルムも多数存在する。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}\left|s_{i}\right|}$ ${\displaystyle X.}$

絶対値ノルム

絶対値は、実数または複素数によって形成されるベクトル空間のノルムです。複素数は、複素数自身に対して1次元ベクトル空間を形成し、実数に対しては2次元ベクトル空間を形成します。絶対値は、これら2つの構造のノルムです。 ${\displaystyle |x|}$

1 次元ベクトル空間上の任意のノルムは、絶対値ノルムと等価です (スケーリングを除く)。つまり、ベクトル空間のノルム保存同型性が存在し、はまたは であり、ノルム保存とは であることを意味します。この同型性は、ノルムのベクトルを に送ることで得られます。このノルムのベクトルは、任意の非ゼロベクトルにそのノルムの逆数を乗算することで得られるため、存在します。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\mathbb {F} \to X,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle |x|=p(f(x)).}$ ${\displaystyle 1\in \mathbb {F} }$ ${\displaystyle 1,}$

ユークリッドノルム

次元ユークリッド空間ではベクトルの長さの直感的な概念は式^{[10]で表現される。} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$ $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$

これはユークリッドノルムであり、原点から点Xまでの通常の距離を与える。これはピタゴラスの定理の帰結である。この演算は「SRSS」とも呼ばれ、これは平方和の平方根の頭字語である。^[11]

^[10]ではユークリッドノルムが最も一般的に用いられているノルムですが、このベクトル空間には以下に示すように他のノルムも存在します。しかし、これらのノルムはすべて、有限次元空間上で同一の位相を定義するという意味で同値です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

ユークリッドベクトル空間の2つのベクトルの内積は、それらの座標ベクトルの直交基底上の内積である。したがって、ユークリッドノルムは座標を用いずに次のよう に表すことができる。 $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

ユークリッドノルムは、二次ノルム、ノルム、^[12]ノルム、2-ノルム、あるいは平方ノルムとも呼ばれます。空間を参照してください。ユークリッドノルムは、ユークリッド長さ、距離、あるいは距離と呼ばれる距離関数を定義します。 ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

ユークリッドノルムが与えられた正の定数であるベクトルの集合は-球面を形成します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle n}$

複素数のユークリッドノルム

複素数のユークリッドノルムは、複素平面をユークリッド平面と同一視した場合の複素数の絶対値（係数とも呼ばれる）である。このように複素数をユークリッド平面上のベクトルと同一視することで、（オイラーによって最初に示唆されたように）その量は複素数に関連付けられたユークリッドノルムとなる。 の場合、ノルムは と書くこともできる。ここではの複素共役である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle x+iy}$ ${\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\bar {z}}z}}}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ${\displaystyle z\,.}$

四元数と八元数

実数上のユークリッド・フルヴィッツ代数はちょうど4つ存在します。これらは、実数、複素数、四元数、そして最後に八元数であり、これらの空間の実数上の次元はそれぞれ です。と上の標準ノルムは、前述のように、それらの絶対値関数です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {O} ,}$ ${\displaystyle 1,2,4,{\text{ and }}8,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

四元数の標準ノルムは、の四元数すべてに対して で定義される。これは、ベクトル空間として考えた場合のユークリッドノルムと同じである。同様に、八元数の標準ノルムは、 のユークリッドノルムと同じである。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ $${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$$ ${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} .}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}.}$

有限次元複素ノルム空間

次元複素空間では最も一般的なノルムは ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ $${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$$

この場合、ノルムはベクトルとそれ自身の内積の平方根として表すことができます。 ここで、 は列ベクトルとして表され、 はその共役転置を表します。 $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{n}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}$

この式は、ユークリッド空間や複素空間を含む任意の内積空間に対して有効です。複素空間の場合、内積は複素内積と等価です。したがって、この場合の式は、次の記法を用いて書くこともできます。 $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

タクシー規範またはマンハッタン規範

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.}$$この名前は、タクシーが（ニューヨークのマンハッタンのような）長方形の街路網を出発地から目的地まで走行しなければならない距離に由来する。 ${\displaystyle x.}$

1-ノルムが与えられた定数であるベクトルの集合は、ベクトル空間の次元から1を引いた次元を持つ交差多面体の表面を形成する。タクシーノルムはノルムとも呼ばれる。このノルムから導かれる距離は、マンハッタン距離または距離と呼ばれる。 ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

1 ノルムは、単に列の絶対値の合計です。

対照的に、否定的な結果をもたらす可能性があるため、これは標準ではありません。 $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$

p-ノルム

を実数とする。ベクトルの-ノルム（ -ノルムとも呼ばれる）は^[10]で、タクシーノルム、ユークリッドノルムが得られ、に近づくにつれて -ノルムは無限大ノルムまたは最大ノルムに近づく。 -ノルムは一般化平均またはべき乗平均と関連している。 ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}{\biggr )}^{1/p}.}$$ ${\displaystyle p=1,}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.}$$ ${\displaystyle p}$

ノルムは、すべてのベクトルに対して、正準内積によって誘導される。この内積は、分極恒等式を用いてノルムで表すことができる。この内積は、 ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$ ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle \ell ^{2},}$ユークリッド内積は、すべての二乗可積分関数からなる測度空間に関連付けられた空間で定義される。この内積は、 $${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}}$$ ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x.}$$

この定義は にとっては依然として興味深いものですが、結果として得られる関数はノルムを定義しません。 ^{[13]これは}三角不等式に違反するためです。 のこの場合も測定可能な類似体では、対応するクラスがベクトル空間であり、関数( の根を持たない) が完全な計量位相ベクトル空間になる距離を定義することも真実です。これらの空間は関数解析、確率論、調和解析で大きな関心事です。ただし、自明な場合を除き、この位相ベクトル空間は局所的に凸ではなく、連続する非ゼロ線型形式はありません。したがって、位相双対空間にはゼロ関数のみが含まれます。 ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}}$ $${\displaystyle \int _{X}|f(x)-g(x)|^{p}~\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}(X)}$

-ノルムの偏微分は次のように与えられる。 ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

したがって、に関する導関数は、アダマール積を表し、ベクトルの各成分の絶対値として使用されます。 ${\displaystyle x,}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}=\left({\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}\right)^{\top }.}$$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle |\cdot |}$

この特別なケースは、または ${\displaystyle p=2,}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\|\mathbf {x} \|_{2}=\left({\frac {\mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|_{2}}}\right)^{\top }.}$$

最大ノルム（無限大ノルム、一様ノルム、または上限ノルムの特別なケース）

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=1}$

が次のベクトルである場合: ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$$

無限大ノルムが与えられた定数であるベクトルの集合は、辺の長さが ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle 2c.}$

エネルギー基準

ベクトルのエネルギーノルム^[14]は対称正定値行列で次のように 定義される。 ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

が単位行列の場合、このノルムはユークリッドノルムに対応することは明らかです。 が対角行列の場合、このノルムは重み付きノルムとも呼ばれます。エネルギーノルムは、の内積によって定義されます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle _{A}:={\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {y}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

一般に、ノルムの値はのスペクトルに依存する。ユークリッドノルムが1であるベクトルの場合、 の値はの最小の絶対値固有値と最大の絶対値固有値によってそれぞれ上下に制約される。ここで、制約は が対応する（正規化された）固有ベクトルと一致する場合に達成される。対称行列の平方根に基づいて、ベクトルのエネルギーノルムは標準ユークリッドノルムを用いて次のように表すことができる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle A^{1/2}}$

$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}={\|A^{1/2}{\boldsymbol {x}}\|}_{2}.}$$

ゼロノルム

確率解析と関数解析において、ゼロノルムは、測定可能な関数の空間と、Fノルムを持つ数列のF空間に対して完全な計量位相を誘導します^[15]ここで、Fノルムとは、次のような距離を持つF空間上の実数値関数を意味します。上記のFノルムは、必要な同次性プロパティを欠いているため、通常の意味でのノルムではありません。 ${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0).}$

ゼロからのベクトルのハミング距離

計量幾何学において、離散計量は異なる点に対しては1、そうでない場合は0の値をとる。ベクトル空間の要素に座標的に適用すると、離散距離はハミング距離を定義する。これは符号化理論と情報理論において重要である。実数または複素数の分野では、離散計量の0からの距離は非0点において同次ではない。実際、非0引数が0に近づくにつれて、0からの距離は1のままである。しかし、ある数の0からの離散距離は、ノルムの他の性質、すなわち三角不等式と正定値性を満たす。ベクトルに成分的に適用すると、0からの離散距離は非同次な「ノルム」のように振る舞い、ベクトル引数の非0要素の数を数える。この場合も、この非同次な「ノルム」は不連続である。

信号処理と統計学において、David Donoho は引用符付きでゼロ 「ノルム」について言及しました。Donoho の表記法に従うと、 のゼロ「ノルム」は、 の非ゼロ座標の数、またはベクトルのゼロからのハミング距離に過ぎません。この「ノルム」が有界集合に局所化されると、 が0 に近づくにつれて -ノルムの極限になります。もちろん、ゼロ「ノルム」は正同次ではないため、真のノルムではありません。実際、スカラー-ベクトル乗算におけるスカラー引数とそのベクトル引数に関して、連立不連続かつ連立不連続であるため、上記の意味での F ノルムでさえありません。用語を乱用して、一部のエンジニア^{[誰？ ]}は Donoho の引用符を省略し、非ゼロ関数の数を表す関数を不適切にノルムと呼び、測定可能な関数のルベーグ空間の表記法を模倣しています。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{0}}$

無限の次元

上記の規範を無限個の要素に一般化すると、規範を持つ空間が生まれ、 ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1\,,}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}$$

はそれぞれ 上の複素数値列と関数 に対して成り立ち、これらはさらに一般化できる（ハール測度 を参照）。これらのノルムは の極限でも成り立ち、上限ノルムを与え、および と呼ばれる。 ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\rightarrow +\infty }$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }\,.}$

任意の内積は、自然な方法でノルムを誘導する。 ${\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

無限次元ノルムベクトル空間の他の例は、バナッハ空間の記事で見ることができます。

一般に、これらのノルムは同じ位相を与えない。例えば、無限次元空間は、無限次元空間よりも厳密に細かい位相を与える。 ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle p<q\,.}$

複合規範

上記を組み合わせることで、他の規範を構築することができます。例えば、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \|x\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

任意のノルムと任意の単射 線形変換 に対して、に等しい新しいノルムを定義できます。2次元では、45°回転させて適切なスケーリングを行うと、タクシーのノルムが最大ノルムに変わります。タクシーのノルムに、反転や軸の入れ替えまで、それぞれを適用すると、異なる単位球、つまり特定の形状、サイズ、および向きを持つ平行四辺形が得られます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x,}$ $${\displaystyle \|Ax\|.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

3D では、これは 1 ノルム (八面体) と最大ノルム (平行四辺形の底面を持つプリズム) で似ていますが異なります。

「要素ごとの」公式では定義されないノルムの例もあります。例えば、 （中心がゼロである）の中心対称凸体のミンコフスキー汎関数は、上のノルムを定義します（以下の「半ノルムの分類：絶対凸吸収集合」の項を参照）。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

上記のすべての式は、修正なしでも のノルムを生成します。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

行列空間（実数または複素数要素を持つ）にもノルムがあり、いわゆる行列ノルムと呼ばれます。

抽象代数学では

を不可分次数の体の有限拡大とし、を代数的閉包とする。の 異なる埋め込みがである場合、元のガロア理論的ノルムは値 となる。 この関数は次数 の同次関数であるため、ガロア理論的ノルムは本稿で言う意味でのノルムではない。しかし、ノルムの 乗根（この概念が意味を成すと仮定）はノルムである。^[16] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{\mu },}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left\{\sigma _{j}\right\}_{j},}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}$ ${\displaystyle [E:k]}$ ${\displaystyle [E:k]}$

合成代数

合成代数におけるノルムの概念は、零ベクトルが許容されるため、通常のノルムの性質を共有しません。合成代数は、体上の代数、対合、そして「ノルム」と呼ばれる二次形式から構成されます。 ${\displaystyle N(z)}$ ${\displaystyle (A,{}^{*},N)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle {}^{*},}$ ${\displaystyle N(z)=zz^{*}}$

合成代数の特徴は、の準同型性である。合成代数の2つの元と の積に対して、そのノルムは を満たす。との場合、合成代数のノルムは上で述べたノルムの2乗である。これらの場合、ノルムは定常二次形式となる。の場合、分割代数では、ノルムは等方二次形式となる。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle wz}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$

プロパティ

ベクトル空間上の任意のノルムに対して逆三角不等式が成り立つ。 ノルム空間間の連続線型写像であれば、のノルムと転置のノルムは等しい。^[17] ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle p(x\pm y)\geq |p(x)-p(y)|{\text{ for all }}x,y\in X.}$$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

ノルムに対しては、ヘルダーの不等式^[18]が成り立ちます。この不等式の特別な場合は、コーシー・シュワルツの不等式です。^[18] ${\displaystyle L^{p}}$ $${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|_{p}\|y\|_{q}\qquad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$$ $${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|_{2}\|y\|_{2}.}$$

さまざまなノルムの単位円の図。

あらゆるノルムは半ノルムであり、したがって後者のすべての性質を満たす。同様に、あらゆる半ノルムは劣線型関数であり、したがって後者のすべての性質を満たす。特に、あらゆるノルムは凸関数である。

等価

単位円（ノルム1のベクトル全体の集合）の概念は、ノルムによって異なります。1-ノルムの場合、単位円はひし形に向いた正方形です。2-ノルム（ユークリッドノルム）の場合、単位円はよく知られた単位円です。一方、無限大ノルムの場合、単位円は軸に沿った正方形です。任意の-ノルムの場合、単位円は軸が合同な超楕円です（添付の図を参照）。ノルムの定義により、単位円は凸型で中心対称でなければなりません（したがって、例えば、単位球は長方形にはなりますが、三角形にはなり得ません。-ノルムの場合、単位円は凸型で中心対称でなければなりません）。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle p}$

ベクトル空間の観点から見ると、半ノルムは空間上の位相を定義する。そして、半ノルムが異なるベクトルを区別できるとき、まさにこの位相はハウスドルフ位相であり、これはまた、半ノルムがノルムであることと同値である。このように（ノルムまたは半ノルムによって）定義される位相は、列または開集合のいずれかの観点から理解することができる。ベクトル列は、が であるとき、ノルムにおいて に収束すると言われる。同値に、位相は開球の和集合として表せるすべての集合から構成される。 がノルム空間であるとき、^[19] ${\displaystyle \{v_{n}\}}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle \left\|v_{n}-v\right\|\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|{\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y].}$

ベクトル空間上の2つのノルムとを ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$ ${\displaystyle X}$それらが同じ位相を誘導するならば等価である^[8]。すべての正の実数とが。例えば、上でば^[20] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }.}$$ ${\displaystyle p>r\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}.}$$

特に、ベクトル空間が有限次元実数または複素数の場合、すべてのノルムは等価です。一方、無限次元ベクトル空間の場合、すべてのノルムは等価ではありません。 $${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}}$$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }}$$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty },}$$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}\leq n\|x\|_{\infty }.}$$

同値ノルムは連続性と収束性という同じ概念を定義しており、多くの目的において区別する必要はありません。より正確に言えば、ベクトル空間上の同値ノルムによって定義される一様構造は一様同型です。

半ノルムの分類：絶対凸吸収集合

ベクトル空間上のすべての半ノルムは、の絶対凸吸収部分集合によって分類できます。このような各部分集合には、 のゲージと呼ばれる半ノルムが対応し、として定義 されます。ここでは最小値であり、 という性質があります。逆に言えば、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{A}}$ ${\displaystyle A,}$ $${\displaystyle p_{A}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0,x\in rA\}}$$ ${\displaystyle \inf _{}}$ $${\displaystyle \left\{x\in X:p_{A}(x)<1\right\}~\subseteq ~A~\subseteq ~\left\{x\in X:p_{A}(x)\leq 1\right\}.}$$

任意の局所凸位相ベクトル空間は、絶対凸集合からなる局所基底を持つ。このような基底を構築する一般的な方法は、点を分離する半ノルムの族を用いることである。集合の有限交点の集合は、空間を局所凸位相ベクトル空間に変換し、すべての p が連続となる。 ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{p<1/n\}}$

このような方法は、弱いトポロジと弱い*トポロジを設計するために使用されます。

標準ケース:

がを分離し、がノルムであり、 がその開単位球体であるので、 が1 つだけ含まれると仮定します。すると、は 0 の絶対凸有界近傍となり、は連続となります。 ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p:}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A=\{p<1\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p=p_{A}}$

逆はアンドレイ・コルモゴロフによるものである。すなわち、任意の局所凸かつ局所的に有界な位相ベクトル空間はノルム可能である。正確には、

が 0 の絶対凸境界近傍である場合、ゲージ(つまり はノルムです)。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g_{X}}$ ${\displaystyle X=\{g_{X}<1\}}$

参照

• 非対称規範 – 規範の概念の一般化
• F-セミノルム – 位相が計量によって定義できる位相ベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ガワーズノルム – 加法組合せ論におけるノルムのクラス
• カデックノルム – すべての無限次元可分バナッハ空間は同相であるPages displaying short descriptions of redirect targets
• 最小二乗スペクトル解析 - 周期性計算法
• マハラノビス距離 – 統計的距離尺度
• 大きさ（数学）  - 比較と順序を決定する性質
• 行列ノルム – 行列のベクトル空間上のノルム
• ミンコフスキー距離 – pth累乗を用いたベクトル距離
• ミンコフスキー関数 – 集合から構成される関数
• 演算子ノルム – 線形演算子の「大きさ」の尺度
• パラノルム – 位相が計量によって定義できる位相ベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 規範と計量の関係 – 距離の概念を持つ数学的空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• セミノルム – 数学関数
• 劣線形関数 – 線形代数における関数の種類

参考文献

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