パス空間ファイブレーション

代数的位相幾何学において、尖端空間上のパス空間ファイブレーション^[1]は、次の形式のファイブレーションである^[2]。 ${\displaystyle (X,*)}$

${\displaystyle \Omega X\hookrightarrow PX{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\to }}X}$

どこ

• ${\displaystyle PX}$は、尖端空間の基底 パス空間です。つまり、コンパクト開位相を備えています。 ${\displaystyle (X,*)}$ ${\displaystyle PX=\{f\colon I\to X\mid f\ {\text{continuous}},f(0)=*\}}$
• ${\displaystyle \Omega X}$は の基点上ののファイバーです。したがって、のループ空間です。 ${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}$ ${\displaystyle (X,*)}$ ${\displaystyle (X,*)}$

Xの自由経路空間、つまり は、必ずしも基点から始まらないIからXへのすべての写像から構成され、たとえば によって与えられるファイバ化は、自由経路空間ファイバ化と呼ばれます。 ${\displaystyle \operatorname {Map} (I,X)=X^{I}}$ ${\displaystyle X^{I}\to X}$ ${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}$

パス空間ファイバは、マッピングコーンの双対であると理解できます。^{[説明が必要]}基底ファイバのファイバは、マッピングファイバ、またはホモトピーファイバと呼ばれます。

パス空間のマッピング

が任意の写像である場合、の写像パス空間はに沿ったファイバの引き戻しである。（写像パス空間は、写像シリンダの普遍的性質である押し出しと双対となる普遍的性質を満たしている。このため、写像パス空間は写像コシリンダとも呼ばれる。^[3]） ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle P_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y^{I}\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)}$ ${\displaystyle f}$

ファイバリングはファイバリングに引き戻されるので、Yが基底であれば、ファイバリングは

${\displaystyle F_{f}\hookrightarrow P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}$

ここで、および はホモトピーファイバー、つまり に沿ったファイバーの引き戻しです。 ${\displaystyle p(x,\chi )=\chi (0)}$ ${\displaystyle F_{f}}$ ${\displaystyle PY{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\longrightarrow }}Y}$ ${\displaystyle f}$

構成も注目 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle X{\overset {\phi }{\to }}P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}$

ここで、最初の写像はxを に送ります。ここでは は値 を持つ定数経路を表します。明らかに はホモトピー同値です。したがって、上記の分解は、任意の写像がホモトピー同値を除いてファイブレーションであることを示しています。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (x,c_{f(x)})}$ ${\displaystyle c_{f(x)}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \phi }$

がファイバ化である場合、写像はファイバホモトピー同値であり、その結果、^[4]基点のパス成分上のファイバはのホモトピーファイバとホモトピー同値である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi \colon X\to P_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F_{f}}$ ${\displaystyle f}$

ムーアのパス空間

定義により、空間Xにおける経路は単位区間 IからXへの写像です。また、定義により、となる2つの経路の積は、次式で与えられる経路です。 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \alpha (1)=\beta (0)}$ ${\displaystyle \beta \cdot \alpha \colon I\to X}$

${\displaystyle (\beta \cdot \alpha )(t)={\begin{cases}\alpha (2t)&{\text{if }}0\leq t\leq 1/2\\\beta (2t-1)&{\text{if }}1/2\leq t\leq 1\\\end{cases}}}$。

この積は一般に、直接見ると となり、明らかに結合的ではありません。この失敗に対する1つの解決策は、ホモトピー類に移行することです。つまり となります。もう1つの解決策は、任意の長さのパスを扱うことです。これは、後述するムーアのパス空間とムーアのパス空間ファイブレーションの概念につながります。^[5]（より洗練された解決策は、合成を再考することです。つまり、任意の合成族を扱うことです。Lurieの論文^[6]の序文を参照してください。これはオペラドの概念につながります。） ${\displaystyle (\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha \neq \gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )}$ ${\displaystyle [(\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha ]=[\gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )]}$

基底空間が与えられている場合、 ${\displaystyle (X,*)}$

${\displaystyle P'X=\{f\colon [0,r]\to X\mid r\geq 0,f(0)=*\}.}$

この集合の元f は、区間への唯一の拡張を持ち、となる。したがって、この集合は の部分空間として識別できる。結果として得られる空間は、この概念を導入したジョン・コールマン・ムーアにちなんで、 Xのムーア経路空間と呼ばれる。すると、前述と同様に、ムーア経路空間ファイブレーションが存在する。 ${\displaystyle {\widetilde {f}}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle {\widetilde {f}}(t)=f(r),\,t\geq r}$ ${\displaystyle \operatorname {Map} ([0,\infty ),X)}$

${\displaystyle \Omega 'X\hookrightarrow P'X{\overset {p}{\to }}X}$

ここでpはそれぞれを に送り、はファイバーです。と はホモトピー同値であることがわかります。 ${\displaystyle f:[0,r]\to X}$ ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle \Omega 'X=p^{-1}(*)}$ ${\displaystyle \Omega X}$ ${\displaystyle \Omega 'X}$

さて、製品マップを定義します

${\displaystyle \mu :P'X\times \Omega 'X\to P'X}$

作成者: forおよび、 ${\displaystyle f\colon [0,r]\to X}$ ${\displaystyle g\colon [0,s]\to X}$

${\displaystyle \mu (g,f)(t)={\begin{cases}f(t)&{\text{if }}0\leq t\leq r\\g(t-r)&{\text{if }}r\leq t\leq s+r\\\end{cases}}}$。

この積は明らかに結合的である。特に、μ をΩ ' X × Ω ' Xに制限すると、Ω ' Xは（すべての空間の圏において）位相モノイドとなる。さらに、このモノイド Ω ' X は元のμを介してP ' Xに作用する。実際、 Ω ' X はΩ' X -ファイブレーションである。^[7] ${\displaystyle p:P'X\to X}$

注記

1. 記事全体を通じて、空間は「合理的な」空間のカテゴリの対象です。たとえば、コンパクトに生成された弱ハウスドルフ空間のカテゴリなどです。
2. Davis & Kirk 2001、定理6.15。2。
3. デイビス＆カーク 2001、§6.8。
4. 繊維の変化を利用して
5. ホワイトヘッド 1978、第3章、§2。
6. Lurie, Jacob (2009年10月30日). 「導来代数幾何学 VI: E[k]-代数」(PDF) .
7. G = Ω ' X、P = P ' Xとします。Gがファイバーを保存することは明らかです。P の任意の γ に対して、写像が弱同値であることを確認するために、次の補題を使用することができます。 ${\displaystyle G\to p^{-1}(p(\gamma )),\,g\mapsto \gamma g}$

   補題— p : D → B、q : E → B を基底のない空間B上のファイブレーションとし、f​​ : D → E をB上の写像とする。B がパス連結である場合、以下は同値である。

   • fは弱い同値です。
   • ${\displaystyle f:p^{-1}(b)\to q^{-1}(b)}$は、 B内の何らかのbに対する弱い同値です。
   • ${\displaystyle f:p^{-1}(b)\to q^{-1}(b)}$は、 B内のすべてのbに対する弱い同値です。

   αはP内の経路であり、I → Xはt → α ( t )の終点であるとして、補題を適用する。γが定数経路であれば、主張は補題から導かれる。（簡単に言えば、補題は長完全ホモトピー列と 5 つの補題から導かれる。） ${\displaystyle B=I,D=I\times G,E=I\times _{X}P,f(t,g)=(t,\alpha (t)g)}$ ${\displaystyle p^{-1}(p(\gamma ))=G}$

参考文献

• デイビス, ジェームズ・F.; カーク, ポール (2001). 代数的位相幾何学講義ノート(PDF) . 数学大学院研究. 第35巻. プロビデンス, ロードアイランド州:アメリカ数学会. pp. xvi+367. doi :10.1090/gsm/035. ISBN 0-8218-2160-1. MR  1841974。
• メイ、J.ピーター(1999). 『代数的位相幾何学の簡潔な講義』(PDF) . シカゴ数学講義.シカゴ大学出版局. pp. x+243. ISBN 0-226-51182-0. MR  1702278。
• ホワイトヘッド, ジョージ・W. (1978). ホモトピー理論の要素.大学院数学テキスト. 第61巻（第3版）. ニューヨーク-ベルリン:シュプリンガー出版社. pp. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR  0516508。

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