1の行列
数学において、1の行列またはすべて1の行列とは、すべての要素が1に等しい行列のことです。[1]例えば：
一部の情報源では、すべて1の行列を単位行列と呼んでいますが、[2]この用語は、異なる種類の行列である単位行列を指す場合もあります。
1 のベクトルまたはすべて1 のベクトルは、行形式または列形式を持つ 1 の行列です。単位ベクトルと混同しないでください。
プロパティ
n × nの 1 の行列Jの場合、次の特性が成り立ちます。
- Jのトレースはnに等しく、[3]行列式はn ≥ 2の場合には0になるが、n = 1の場合には1になる。
- Jの特性多項式は です。
- Jの最小多項式は です。
- Jの階数は1で、固有値はn （重複度1）と0（重複度n − 1）である。[4]
- [ 5]
- Jはアダマール積の中立元である。[6]
J を実数上の行列として考えると、次の追加の特性も成り立ちます。
アプリケーション
すべて1の行列は、特に代数的手法のグラフ理論への応用を含む、数学の組合せ論の分野で登場する。例えば、Aがn頂点の無向グラフGの隣接行列であり、Jが同じ次元のすべて1の行列である場合、Gが正則グラフであるための必要十分条件は、 AJ = JAである。[7] 2つ目の例として、この行列は、行列木定理を用いて完全グラフの全域木の数を与えるケイリーの公式 のいくつかの線型代数的証明に現れる。
1の行列の論理平方根、つまり平方が1の行列である論理行列は、中心群を特徴付けるために使用できます。中心群は、恒等式 に従う代数構造です。有限中心群は平方個の要素を持ち、対応する論理行列はそれらの次元に対してのみ存在します。[8]
参照
- ゼロ行列、すべての要素がゼロである行列
- 単一エントリマトリックス
参考文献
- ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012)、「0.2.8 オールワン行列とベクトル」、Matrix Analysis、Cambridge University Press、p. 8、ISBN 9780521839402。
- ^ Weisstein, Eric W.、「単位行列」、MathWorld
- ^ スタンリー、リチャード・P.（2013）、代数的組合せ論：ウォーク、ツリー、タブロー、その他、シュプリンガー、補題1.4、p.4、ISBN 9781461469988。
- ^ スタンリー（2013）；ホーン＆ジョンソン（2012）、65ページ。
- ^ ab Timm, Neil H. (2002), 応用多変量解析、Springer統計テキスト、Springer、p. 30、ISBN 9780387227719。
- ^ スミス、ジョナサン・DH（2011）、抽象代数入門、CRCプレス、p.77、ISBN 9781420063721。
- ^ ゴッズィル、クリス（1993）、代数的組合せ論、CRCプレス、補題4.1、p.25、ISBN 9780412041310。
- ^ クヌース、ドナルド・E.（1970）、「中心群に関するノート」、組合せ理論ジャーナル、8（4）：376-390、doi：10.1016/S0021-9800（70）80032-1、MR 0259000
